函数的零点导学案

§3.1.1 方程的根与函数的零点(1编者:郭志敏1. 掌握判断一元二次函数方程根的存在及个数的方法,了解函数的零点与方程根的联系;理解函数零点的概念,会求简单函数的零点.2. 通过实例,理解函数零点的性质,探究求函数零点的规律与方法.学习重点:函数零点的概念,判断二次函数零点的个数,求函数零点的方法.学习难点:函数的零点的应用. 使用说明: (1预习教材,用红色笔画出疑惑之处,并尝试完成下列问题,总结规律方法;(2用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容;(3不做标记的为C 级,标记★为B 级,标记★★为A 级。

预习案(20分钟一.知识链接1、在初中我们已学习过一元二次方程的解法,如何求一元二次方程的根?2、方程2ax +bx +c =0 (a ≠0的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0的图象之间有什么关系?请同学们画出二次函数223y x x =--的图像,说出函数图像与x 轴交点坐标。

二.新知导学1已知二次函数223y x x =--,试问x 取哪些值时0y =?这些值与方程2230x x --=的根有什么关系?2、结合一元二次方程的根及二次函数的图像与x 轴的交点,如何理解函数的零点?组长评价: 教师评价:3、如何求函数的零点?4、函数零点与函数图像有何关系?5、函数的零点、相应方程的根之间有何关系?6、结合二次函数零点的性质,探究出图像连续的函数的零点有那些性质?探究案(30分钟三、.新知探究探究任务一:函数零点与方程的根的关系问题1. 填空后回答下面问题①方程2230x x --=的解为 ,函数223y x x =--的图象与x 轴有个交点,坐标为 .②方程2210x x -+=的解为 ,函数221y x x =-+的图象与x 轴有个交点,坐标为 .③方程2230x x -+=的解为 ,函数223y x x =-+的图象与x 轴有个交点,坐标为 .④方程032=+x 的解为 ,函数32+=x y 的图象与x 轴有个交点,坐标为 .问题:函数图象与x 轴的交点与相应方程的根的关系?归纳总结: 。

函数的零点教案详细教学目标：1.理解函数的零点概念；2.掌握求解函数零点的方法；3.能够应用函数零点解决实际问题。

教学准备：1.教师准备白板、黑板和彩色粉笔；2.学生准备教材和笔记。

教学步骤：第一步：概念讲解（10分钟）教师首先解释函数的零点的定义：当函数的自变量取一些值时，函数的值等于零。

即，在坐标系中，函数图像与x轴的交点即为函数的零点。

教师示范画出一条函数图像并指出该图像的零点，并要求学生观察和思考。

第二步：解决一元一次方程（10分钟）教师给出一元一次方程的定义并解释其与函数的零点的关系。

然后，教师以具体的一元一次方程为例，介绍求解一元一次方程的步骤和方法。

第三步：求解函数的零点（20分钟）教师示范以一元一次函数为例，介绍如何求解函数的零点。

教师解释首先要将函数转化为一元一次方程，然后解方程得到函数的零点。

第四步：练习与巩固（20分钟）教师出示几个函数图像，并要求学生找出函数的零点并解释其含义。

然后，教师提供一些函数的表达式，要求学生求解函数的零点。

第五步：应用实例（20分钟）教师给出一些实际问题，要求学生将其转化为函数并求解函数的零点。

例如，商品制造企业的销售函数为y=500-2x，其中x为单位时间内生产的商品数量，y为单位时间内的销售额。

学生需要求解销售额为零的情况，即找出生产多少单位商品时销售额为零。

第六步：总结与展望（10分钟）教师与学生共同总结函数的零点的概念和求解方法，并回顾本节课所学的内容。

最后，教师展望下节课的内容，引起学生的兴趣和思考。

教学反思：本节课通过理论讲解和实际问题的应用，使学生对函数的零点概念有了深入的理解，并掌握了求解函数零点的方法。

通过练习和实例的训练，学生的求解能力得到了提高。

然而，在实际问题的应用中，一些学生仍然存在困难，需要进一步加强训练和巩固。

因此，下节课将继续举一些实际问题进行训练和拓展。

函数的零点教案教案标题：函数的零点教案教案目标：1. 理解函数的零点的概念和意义；2. 能够通过图像、方程和计算等方式确定函数的零点；3. 掌握求解函数零点的方法和技巧；4. 运用函数的零点解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：计算器、白板、彩色粉笔、投影仪；2. 学生准备：笔、纸。

教学过程：步骤一：引入1. 教师通过提问和展示实际问题的图像，引发学生对函数零点的思考，例如：什么是函数的零点？为什么函数的零点在图像上表现为与x轴交点？2. 教师解释函数的零点是使得函数值等于零的x值，即f(x) = 0。

步骤二：图像法确定函数的零点1. 教师通过投影仪展示一些函数图像，并指导学生观察图像上与x轴交点的位置，解释这些点是函数的零点。

2. 学生在纸上绘制给定函数的图像，并标出零点。

步骤三：方程法确定函数的零点1. 教师解释通过方程来确定函数的零点的方法，即将函数f(x) = 0转化为一个方程，然后解方程得到零点。

2. 教师通过例题演示如何通过方程法求解函数的零点，并引导学生进行练习。

步骤四：计算法确定函数的零点1. 教师解释通过计算法确定函数的零点的方法，即将函数的表达式代入到计算器或手算中，求解函数值为零的x值。

2. 教师通过例题演示如何通过计算法求解函数的零点，并引导学生进行练习。

步骤五：应用实际问题1. 教师提供一些与函数的零点相关的实际问题，并引导学生运用所学的方法解决这些问题。

2. 学生个别或小组合作解决实际问题，并将解决过程和结果进行展示和讨论。

步骤六：总结1. 教师对本节课所学的内容进行总结回顾，强调函数的零点的概念和求解方法。

2. 学生进行课堂小结，回答教师提出的问题或总结要点。

作业布置：1. 预习下一节课的内容；2. 完成课堂练习题。

教学延伸：1. 学生可以进一步研究函数的零点在图像上的性质和变化规律；2. 学生可以探究更复杂的函数零点的求解方法，如二次函数、三次函数等。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和学习态度；2. 教师检查学生课堂练习的完成情况；3. 学生通过解决实际问题展示对函数零点的理解和应用能力。

第2课时函数零点的应用1.会利用零点的分布求参数的取值范围.2.能通过构造函数解决有关的零点问题.3.根据一元二次方程根的分布条件讨论参数的取值范围.前面我们学习了零点的概念、零点存在性定理等,注意掌握零点的求法,利用数形结合的思想判断零点的个数,利用零点存在性定理判断零点所在的区间等.零点的应用是本部分考查的重点和热点,本节课我们就来探讨零点的应用问题,思考并回答以下几个问题.问题1:求方程f(x)=g(x)的根所在的范围或者根的个数的一般方法:(1)转化为研究函数φ(x)=f(x)-g(x)在相应定义域内的情况,方程的根就是函数φ(x)的.(2)转化为研究函数y=f(x)和y=g(x)的图象的交点问题,两个函数图象的的横坐标所在的范围或个数,就是方程的根的范围或个数.问题2:已知含参数m的连续函数y=f(x)在区间[a,b]上存在零点,求参数m 的取值范围的一般方法:(1)若y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则只需解关于m的不等式即可.(2)若y=f(x)在区间[a,b]上不是单调函数,则需先求出y=f(x)在区间[a,b]上的最大值M(m)和最小值N(m),再解关于m的不等式组即可.问题3:判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)根的分布的一般方法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)根的分布问题可以转化为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点问题,要结合图象和性质进行转化.(1)若方程的两根中的一根大于m,另一根小于m,则;当m=0,即方程的根一正一负时,.(2)若方程的两根都大于m,则,若方程的两根都小于m,则.(3)若方程的两根在区间(m,n)的两侧,则.(4)若方程的两根都在区间(m,n)内,则.(5)若方程的两根中的一根在区间(m,n)内,另一根在(p,q)内,则.分段函数的零点判断的零点个数为().函数f(x)=-A.3B.2C.1D.0利用零点的分布求参数的取值范围关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于-2小于0,另一个根大于1小于3,求实数a的取值范围.数学思想在零点问题中的综合应用试讨论函数f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)的零点个数.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为().A.1B.2C.3D.4考题变式(我来改编):第2课时 函数零点的应用知识体系梳理问题1:(1)零点 零点 (2)交点问题2:(1)f (a )·f (b )≤0 (2) ≥ ≤问题3:(1)f (m )<0 c<0 (2)- -(3) ≤ ≤ (4)(5) · · 重点难点探究探究一:【解析】当x ≤0时,令x 2+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e 2,故函数有两个零点.【答案】B【小结】判断分段函数的零点个数,分段解方程或者画出分段函数的图象后判断与x 轴的交点个数.探究二:【解析】设f (x )=3x 2-5x+a ,其大致图象如图所示:则由图象结合函数零点的性质可知f(x)满足-解得-12<a<0.故实数a的取值范围是(-12,0).【小结】本题已知方程根(即函数的零点)的分布情况,要求参数的取值范围,解决此类问题的关键是利用函数的图象结合零点的性质将方程根(即函数的零点)的分布情况转化为参数所满足的条件.这里利用了函数在特殊点处的函数值符号来对参数进行限定.探究三:【解析】f(x)=0⇔x2-2|x|=a+1,令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则有g(x)=-≥g(x)、h(x)的图象如图所示.g(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,当a+1<-1,即a<-2时,g(x)与h(x)无交点;当a+1=-1或a+1>0,即a=-2或a>-1时,g(x)与h(x)有两个交点;当-1<a+1<0,即-2<a<-1时,g(x)与h(x)有四个交点;当a+1=0,即a=-1时,g(x)与h(x)有三个交点.故当a<-2时,函数f(x)无零点;当a=-2或a>-1时,函数f(x)有两个零点;当-2<a<-1时,函数f(x)有四个零点;当a=-1时,函数f(x)有三个零点.【小结】在解决有关函数零点的问题时,往往要综合运用多种思想方法,一般有函数与方程、化归与转化、数形结合、分类讨论思想等.全新视角拓展【解析】令f(x)=0,则有2x|lo x|-1=0,即|lo x|=()x,所以要求y=f(x)的零点个数,即求函数h(x)=|lo x|与函数g(x)=()x的图象的交点个数,画图观察可得函数y=h(x)与y=g(x)的图象有两个交点,即y=f(x)有两个零点.【答案】B思维导图构建y=f(x)y=g(x)。

2.4.1函数的零点导学案2014.10.211. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.2. 掌握零点存在的判定定理.3. 掌握判断函数零点存在的方法.学习重点1.函数零点与方程根之间的联系,2.零点存在的判定定理学习难点探究发现零点存在条件，准确理解零点存在性定理自学探究，合作交流探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题2： 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程，你得到的一元二次方程20(0)a x b x c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y a x b x ca =++=≠的图象与x 轴交点的________________.你能将结论进一步推广到任意的函数()y f x =吗？定义：对于函数()y f x =，把使()0f x =的_____________叫做函数()y f x =的零点.反思：问题1：零点是点么？问题2：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？答：__________________________________________________________问题3：二次函数的零点具备怎样的性质？答：__________________________________________________________________________________________________________________课堂练习1：求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)的零点并画出函数图像探究任务二：零点存在性定理（1）观察二次函数 223y x x =-- 的图象并填空， 2、完成以下表格，并回答问题你有什么发现？ f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间[-2，1]上______零点；（填“有”或“无”） f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”） 在区间(2，4)上______零点；（填“有”或“无”）(2) 观察右侧函数()y f x =的图象，()()f a f b ∙___0;在区间[,]a b 上____零点 ()()f b f c ∙___0;在区间[,]b c 上____零点()()f c f d ∙___0;在区间[,]c d 上____零点问题4：是否满足()()f a f b ∙< 0；函数在（a,b ）上就有零点？根据下面例子填空并回答：函数1y x=，计算f(-1)=____;f(1)=____; f(-1)·f(1)_____0 那么此函数在（a,b ）上有零点么？为什么？新知：零点的存在性如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条_____________曲线，并且有()()f a f b ∙_________，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.请以A ，B 为端点任画一条连续不断的曲线，思考讨论： 1：零点个数一定是一个吗？试结合图形来分析.2：若函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，一定有()()f a f b ∙<0么？请举例说明课堂练习2．（1）已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：请写出3个一定存在零点的区间________________________________________________．（2）能确定保证在区间()1,0上一定有零点的函数是（ ）． A ．()12+=x x f B ．()323+-=x x x f C ．()223-+=x x x f D ．()322++=x x x f课后能力提升：1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 函数3()35f x x x =--+的零点所在的大致区间为（ ）A.( - 2 ，0)B. (1，2)C. (0，1)D. (0，0.5)3. 函数220y x x =-++的零点为4. 若函数()f x 为定义域是R 的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上有一个零点， 则()f x 在R 上的零点个数为。

函数的零点导学案学习考试大纲与考试说明结合二次函数的图像，了解函数零点与方程的联系一、说考点(一) 考点回顾1. 函数零点概念：一般的，如果函数y = f(x)在实数Q 处的值等于零，即 __________ ,则—叫 做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与兀轴的公共点是 __________ 点。

2. 零点存在性定理：如果函数歹=/(兀)在一个区间 ______ 上的图彖 __________ ,并在它的两个 端点处的函数值 _______ ,即 ______________ ,则这个函数在这个区间上 _______________ 零点•即 存在一点 x Q G (a,b),使 f(x 0) = 0。

(二) 高考如何考例・1、(2013天津7)函数/(x) = 2x |log 05 x|-l 的零点的个数为()A 1B 2C 3D 4函数f(x) = 2x +x 3-2在区间(0,1)内零点个数(B 1C 2D 3 二、深挖教材、预测高考例3、选自教材(1) (必修一P”例题)求函数y = x 3-2x 2-x + 2的零点，并画出它的图像。

(2) (必修一P79I ⑸)如果二次函数y = x 2+ mx + (/?? + 3)有两个不同零点,则加的取值范围是 A (—co,—2) U (6,+co) B (—2,6) C [—2,6] D{-2,6} (3) 已知函数/(x) = 2(/7? + l)x 2 + 4mx + 2m-1: (2)如果函数的一个零点在原点,求加的值例4、求函数/⑴=X 3-6X 2+9x-10的零点的个数。

变式1、讨论方程tz = ?-6x 2+9x-10的根个数。

例2、(2012天津4) A 0变式2、讨论函数/(x) = x3 -6x2 +9x-lQ-a的零点的个数。

变式3、函数f(x) = x3-6x2+9x-10-a在［2,4］上冇零点，则a的取值范围______________例5、(1)函数/(x) = lgx-cosx的零点有 (A. 4 个B. 3 个C. 2 个D.变式1：若函数为/(X)= lgx -COSX ,贝Ij冇_____ 个零点.变式2：若函数为/(x) = lg|x|-cos^，贝|J有_________ 个零点三、课堂小结四、当堂检测1、(2012湖北9)求函数f(x) = xcosx2在区间［0,4］上的零点的个数()A 4B 5C 6D 72^ (2011 陕西6)函数f (x) = Vx -cosx在区间［0,+oo)内( )D冇无穷多个零点A没冇零点B冇F1.仅冇一个零点C冇仅冇两个零点3、(2013 重庆6)若a <b <c ,贝U函= (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间() A (a,b)和@,c)内 B (-oo,t7)和(a,b)内C (b,c)和(c,+oo)内D (一oo,a)和(c,+oo)内4^ (2012 陕西21)设函数f tl(x) = x n +bx + c(n G N+,b,c e R)(1)设n>2,b = l,c = -1,证明九(兀)在区间(丄,1)内存在唯一零点。

§2.9函数的零点与方程的解学习目标1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√)教材改编题1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)答案 BCD解析 由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0， f (5)f (7)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案 －2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________． 答案 (3,6)解析 设f (x )＝2x ＋x ， ∴f (x )在(1,2)上单调递增， 又f (1)＝3，f (2)＝6， ∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0， f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0， 所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析 设f (x )＝log 3x －3＋x ， 当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2， 又∵f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33－3＋3＝1>0， 故f (2)·f (3)<0，故方程log 3x ＝3－x 在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a <3<b <4，函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋b 的交点为(x 0，y 0)，且x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 依题意x 0为方程log a x ＝－x ＋b 的解， 即为函数f (x )＝log a x ＋x －b 的零点， ∵2<a <3<b <4，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (2)＝log a 2＋2－b <0， f (3)＝log a 3＋3－b >0， ∴x 0∈(2,3)，即n ＝2. 题型二 函数零点个数的判定例2 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－6,6]内的零点个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．11 答案 C解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2函数， 因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出它的图象，则y ＝f (x )的图象如图所示．(注意拓展它的区间)再作出函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0的图象，容易得出交点为12个．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案 6解析 令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点． 教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析 根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. 题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤0，1x ，x >0，若关于x 的方程f (x )－a (x ＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4－23) B ．(4＋23，＋∞) C ．[0,4－23] D ．(0,4－23)答案 D解析 画出f (x )的函数图象，设y ＝a (x ＋3)，该直线恒过点(－3,0)， 结合函数图象，若y ＝a (x ＋3)与y ＝－x 2－2x 相切，联立得x 2＋(a ＋2)x ＋3a ＝0， Δ＝(a ＋2)2－12a ＝0， 得a ＝4－23(a ＝4＋23舍)， 若f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根， 则0<a <4－2 3.命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析 由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时， g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝xx ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案 －1解析 由f (x )＝xx ＋2－kx 2＝x ⎝⎛⎭⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0.即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件． 当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0， 解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x (x ＋1)，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 BCD解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点， 当x ≤0时，f (x )＝(x ＋1)e x ， 则f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ＝(x ＋2)e x ，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f (－2)＝－1e 2，f (0)＝1，x →－∞时，f (x )→0，从而可得f (x )的图象如图所示，通过图象可知，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，则b ∈(0,1]． (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－53，0 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－53，0 答案 D解析 由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0.课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析 取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32， 因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32. 3．(2022·武汉质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解， 设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析 因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．5．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4答案 C解析 f (x )＝log 3|x |的解的个数，等价于y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数，因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且f (x )为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点．7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 ABC解析 由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]， 在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．g (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝12x ＋1D ．f (x )＝|log 2x |－1答案 BCD解析 选项A ，若f (x 0)＝x 0，则02x ＝0，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故C 中函数是“不动点”函数； 选项D ，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故D 中函数是“不动点”函数．9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f (x )＝________.答案 x 3－x (答案不唯一)解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e 解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e2， f (x )＝ln x (x ＞1)，f ′(x )＝1x， 设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e. 则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2＝________. 答案 1解析 x 1，x 2分别是函数y ＝e x ，函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，所以A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析 令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12 解析 当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12；当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为() A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 C解析 因为|x |x ＋4＝kx 2有四个实数解，显然，x ＝0是方程的一个解，下面只考虑x ≠0时有三个实数解即可．若x >0，原方程等价于1＝kx (x ＋4)，显然k ≠0，则1k ＝x (x ＋4)．要使该方程有解，必须k >0，则1k ＋4＝(x ＋2)2，此时x >0，方程有且必有一解；所以当x <0时必须有两解，当x <0时，原方程等价于－1＝kx (x ＋4)，即－1k＝x (x ＋4)(x <0且x ≠－4)，要使该方程有两解， 必须－4<－1k<0， 所以k >14. 所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。

高函数的零点导学案课堂练习：1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 42.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b > ．则函数()f x 在[],a b 上（ ）. A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点 C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定3. 函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）. A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)4. 函数220y x x =-++的零点为 .5. 若函数()f x 为定义域是R 的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为 . 1. 求函数3222y x x x =--+的零点所在区间，并画出它的大致图象.2. 已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-. （1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点； （2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求m 值.归纳总结：复合函数单调性的判断及求解⑴若()f x，()g x具有相同的单调性，则()()f xg x+也具有相同的单调性；⑵若()f x，()g x具有相反的单调性，则()()f xg x-具有与()g x相反（与()f x相同）的单调性；⑶对于复合函数()y f g x=⎡⎤⎣⎦，其单调性质如下：复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时增；相异时减.注意：对于⑴，⑵，当单调递增（或递减）区间由几个区间组成时，一般情况下不能取他们的交集，而应该用“和”或“，”连接，对于⑶，在判断复合函数单调性时，单调区间必须在定义域内并且要确定内层函数()g x的值域，否则就无法确定()f g x⎡⎤⎣⎦的单调性（特别是当()f g x⎡⎤⎣⎦的单调区间是由几个区间组成时）.。

课题：函数的零点（1课时）【学习目标】1．了解函数零点的定义，会求一元二次函数的零点。

2．通过函数零点的学习，体会“函数与方程思想”和“数形结合思想”的应用。

预习案【使用说明及学法指导】1.先仔细阅读教材两遍，完成零点概念的理解，；2.限时15分钟独立、规X完成基础知识梳理部分，并能说出零点的概念。

3.具体要求：（1）认真阅读，记忆函数零点的定义；（2）判断函数零点的个数。

（3）函数的零点与方程的根的关系。

一、基础知识梳理：1、一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于，即f(α)= ,则叫做这个函数的零点。

在坐标系中表示图象与x轴的公共点是。

2 、(1)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________有交点⇔函数y＝f(x)有________.(2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在某一个区间[a，b]上的，并且在它的两个端点处的，即，则这个函数在这个区间上，即存在，使（3）如果函数图象通过零点时，则称这样的零点为变号零点。

（4）如果函数图象通过零点时，则称这样的零点为不变号零点。

3.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数Y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点无交点零点个数探究案思考: 1 、方程0)(=x f 有实数根，函数)(x f y =的图象与x 轴有交点，函数)(x f y =有零点三者之间有什么联系？2、求函数)(x f y =的零点的方法？例1.求下列函数的零点(1）y=-3x+2 (2)y=x 2-5x+4(3) y=-x 2+5x (4)y=x 3-8x例2.下列函数的自变量在什么X 围内取值时，函数值大于0、小于0或等于0（1）y= x 2+7x-8 (2)y=-x 2+2x+8例3.判断下列方程解的个数 3x =-x+1例4. 判断下列函数零点的个数f(x)=2x -x1训练案1、 若函数y=f(x)在区间（-2，2）上图像是连续不断的一条曲线，方程 f (x)=0在区间（-2，2）仅有一个实根，则f (-2) f (2)的值（）A 大于0B 小于 0C 无法判断D 等于 02、 下列说法不正确的是（）A 若f (a)=0,则a 是y=f(x)的零点B 方程 f (x)=0有实根，则函数y=f(x)有零点C 若函数y=f(x)在区间[a,b]上图像是连续不断的一条曲线，且）b f a f ()(⋅＜0那么函数y=f(x)在区间（a,b ）上至少有一个零点。

2.4.1 函数的零点一．学习要点：函数零点的概念及其应用二．学习过程：1.函数零点的概念：如果函数()y f x =在实数α处的值等于0，即()0f α=，则α叫做这个函数的零点．概念解读：（1）函数的零点指的是一个实数，即当函数自变量取这个实数时，其函数值为零；（2）函数的零点也可理解为函数的图象与x 轴的交点的横坐标；（3）方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点；（4）并不是所有函数都有零点，如221,1,23y y x y x x ==+=-+就不存在零点。

例1下列函数是否存在零点，若存在求出零点。

（1）1y x =+ ；（2）1y x =+，()1,1x -ä ；（3）21y x x =-+ ；（4）223y x x =--，[]2,0x -ä ；（5）11y x =- ； （6）()()()123y x x x =--+ ；（7）1y =- ；（8）428y x x =- ．2.常见函数的零点：常值函数y c =（c 为常数），当0c ≠时，没有零点，当0c =时，有无数个零点；一次函数()0y kx b k =+≠在R 上有唯一零点b k-； 反比例函数()0k y k x=≠没有零点。

二次函数c bx ax y ++=2零点与24b ac ∆=-有关，而与抛物线开口方向无关。

当240b ac ∆=->时，方程()0f x =有两个不等的实数根，函数()y f x =有两个零点；当240b ac ∆=-=时，方程()0f x =有两个相等的实数根，函数()y f x =有二阶零点；当240b ac ∆=-<时，方程()0f x =没有实数根，函数()y f x =没有零点。

3.函数零点的求解：例2 求函数3222y x x x =--+的零点，并画出它的图象.4.函数零点的应用：解一元二次不等式：例3 求函数223y x x =--+的零点，并指出0y >，0y <时，x 的取值范围。