数值计算方法37

第一章测试1.数值计算方法研究的误差有()A:截断误差;B:观测误差;C: 模型误差；D:舍入误差.答案:AD2.A:只有模型误差、截断误差与观测误差。

B: 只有舍入误差、截断误差与观测误差；C:只有模型误差、观测误差与舍入误差；D:只有模型误差、截断误差与舍入误差；答案:C3.A:4位B:5位C:3位D:2位答案:A4.对于下列表达式，用浮点数运算，精度较高是A:B:C:D:答案:A5.A:B:C:D:答案:B第二章测试1.A:0.5000B:0.6250C:0.5625D:0.6875答案:C2.A:B:C:D:答案:CD3.关于Steffensen(斯蒂芬森)迭代方法，下列命题中正确的是：A:Steffensen迭代法使得收敛的迭代格式加速收敛，发散的迭代格式更快发散。

B:Steffensen迭代法使得某些发散的迭代格式变为收敛。

C:Steffensen迭代法使得任何收敛的迭代格式加速收敛。

D:Steffensen迭代法使得某些收敛的迭代格式加速收敛。

答案:BD4.关于Newton迭代法，下列命题中正确的是：A:求解任一方程的Newton迭代法都是2阶收敛的。

B:Newton迭代格式若收敛，则一定是超线性收敛的。

C:D:Newton迭代格式可能收敛也可能发散。

答案:CD5.A:6B:3C:5D:4答案:A第三章测试1.A:若求解失败，则说明矩阵A奇异。

B:算法的计算量与近似成正比。

C:若A的对角线元素的绝对值都大于1，则求解结果的精度一定较高。

D:只要A非奇异，则求解结果的精度一定较高。

答案:B2.列主元Gauss消去法与Gauss顺序消元法相比，优点是：A:提高了稳定性，减少了误差的影响。

B:方程组的系数矩阵奇异时也可以求解。

C:能求出方程组的精确解。

D:减少了计算量。

答案:A3.A:平方根法与Gauss列主元消去法相比，提高了稳定性，但增加了计算量。

B:只要是对称正定矩阵，就可用平方根法求解。

转化
(a0,a1, 取,an 极)小值
a0*,的a1*问,题,an*
由多元函数取极值的必要条件
得：
(a0,a1,,an) 0
ak
k0,1,,n

ak
m
n
i[2( ajj(xi)yi)k(xi)] 0
i0
j0
移项整理得：
mn
m
i ajj(xi)k(xi) iyik(xi)
i0 j0
i0
交换求和号顺序得：
n[ mij(xi)k(xi)a ]j miyik(xi) (k0,1, ,n) (7)
j0i0
i0
即
m
m
m
a0 i0(xi)k(xi)a1 i1(xi)k(xi) an in(xi)k(xi)
m
Байду номын сангаас
m
((jj,, kk)) ij(xi)k(xi) ik(xi)j(xi)(k,j) (8)
i0
i0
m
(f,k) iyik(xi)
(9)
i0
方程组(7)便可化为:
n
n
(j,k)aj (k,j)aj (f,k)(k0,1, ,n) (10)
一、最小二乘法的基本概念
根据上述实例图中测试点的分布情况,可以画出很多条靠 近这些点的直线,其方程都可表示为：
S(t)atb
(1)
其中: a, b 待定.要从形如(1)式的所有直线中,找出一条用某种 度量标准来衡量最靠近所有数据点 (ti , si ) (的i直0,1线,....m ,)
若 a, b 给定,计算值 S(ti) 与测量数据 si 之差为:

x⋆ − η ⩽ x ⩽ x⋆ + η or x = x⋆ ± η
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误差与有效数字
例 用毫米刻度的直尺量一长度为 x 的物体，测得其近似值为 x⋆ = 84mm。 因直尺以 mm 为刻度，其误差不超过 0.5mm，即有
|x − 84| ⩽ 0.5 mm or x = 84 ± 0.5 mm.
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14
误差与有效数字
定义 : 绝对误差与绝对误差限 设某个量的精确值为 x，其近似值为 x⋆，则称
E(x) = x − x⋆ 为近似值 x⋆ 的绝对误差，简称误差。若存在 η > 0，使得
|E(x)| = |x − x⋆| ⩽ η 则称 η 为近似值 x⋆ 的绝对误差限，简称误差限或精度。 η 越小，表示近似值 x⋆ 的精度越高。
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研究数值方法的必要性
而对于行列式，可以采用 Laplace 展开定理进行计算： 定理 : Laplace 展开定理 |A| = ai1|Ai1| + ai2|Ai2| + · · · + ain|Ain|, Aij为aij的代数余子式
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研究数值方法的必要性
实际操作中，该方法的运算量大的惊人，以至于完全不能用于实际计 算。事实上，设 k 阶行列式所需乘法运算的次数为 mk，则
所以，
|E⋆r (x)|
=
|x − x⋆| |x⋆|
⩽
1 2
×
10m−n
α1 × 10m−1
=
1 2α1
× 10−(n−1)
反之，由
|x
−
x⋆|
=
|x⋆|
·
|E⋆r (x)|
⩽
(α1
+
1)

数值计算方法主要知识点数值计算方法是数学中的一门基础课程，主要研究数值计算的理论、方法和算法。

它是现代科学和工程技术领域中不可或缺的重要工具，广泛应用于数值模拟、优化计算、数据处理等诸多领域。

下面是数值计算方法的主要知识点（第一部分）。

1.近似数与误差：数值计算的基本问题是将无法精确计算的数值通过近似计算来求得。

近似数即为真实数的近似值，其与真实值之间的差称为误差。

误差可以分为绝对误差和相对误差。

绝对误差为真实值与近似值之差的绝对值，相对误差为绝对误差与真实值的比值。

通过控制误差可以评估数值计算结果的准确性。

2.插值与多项式：插值是指通过已知离散点构造一个函数，并在给定点处对其进行近似计算。

插值函数通常采用多项式拟合，即通过已知点构造一个多项式函数，并利用此函数进行近似计算。

主要的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

3.数值微分与数值积分：数值微分主要研究如何通过数值方法去近似计算函数的导数。

常用的数值微分方法有差商、中心差商和插值微分等。

数值积分则是研究如何通过数值方法去近似计算函数的定积分。

常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。

4.非线性方程的数值解法：非线性方程的数值解法是指通过数值方法求解形如f(x)=0的方程。

常用的非线性方程数值解法有二分法、牛顿法和二次插值法等。

这些方法基于一些基本原理和定理，通过迭代的方式逐步逼近方程的根即可求得方程的近似解。

5.线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法是指通过数值方法求解形如Ax=b的线性方程组。

其中，A是一个已知的系数矩阵，b是一个已知的常数向量，x是未知的解向量。

常用的线性方程组数值解法有高斯消元法、追赶法和LU分解法等。

这些方法通过一系列的变换和迭代来求解线性方程组的解。

6.插值型和积分型数值方法：数值计算方法可以分为插值型和积分型两类。

插值型数值方法是通过插值的方式进行近似计算，如插值法和数值微分。

而积分型数值方法是通过数值积分的方式进行近似计算，如数值积分和微分方程的数值解法。