清华附中C07级初三数学统练6

初三年级9月阶段性测试数学一．选择题（本大题共24分，每小题3分）1.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底全国共有共青团员7358万．数据73580000用科学记数法表示为（）A.77.35810⨯ B.37.35810⨯ C.47.35810⨯ D.67.35810⨯2.下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.如果1∠与2∠互余，2∠与3∠互补，则3∠与1∠的关系是（）A.31∠=∠ B.3901∠=︒+∠ C.3901∠=︒-∠ D.31801∠=︒-∠4.已知实数a ，b 满足11a b +>+，则下列选项错误的是（）A.a b> B.a b->- C.22a b ->- D.22a b>5.下列多边形中，内角和等于外角和的是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形6.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（）A.4B.2C.1D.1-7.小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是（）A.0B.1C.12D.138.如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则下列结论错误的是（）A.AB =B.90BAC ∠=︒C.ABC 的面积为10D.点A 到直线BC 的距离是2二．填空题（本大题共24分，每小题3分）9.有意义，则x 的取值范围是______．10.已知a ，b 为两个连续整数，a b <<，则a b +=______．11.分解因式：3244x x x -+=_________．12.方程212x x=+的解是_______．13.为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区500名树中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力 4.7以下4.74.84.95.05.0以上人数989686958243根据抽样调查结果，估计该地区20000名初中学生视力不低于4.9的人数为______．14.如图，在32⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 均在格点上，则BAC ∠=______︒．15.点()13,A y ，()2,B a y 在二次函数243y x x =-+的图象上．若为12y y <，写出一个符合条件的整数a 的值______．16.21C 级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一二三名（不并列），对应名次的得分分别为,,a b c （a b c >>，且,,a b c 均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小菲a26小冬bc12小敏b10根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为______分，小敏恰有______轮获得第二名．三．解答题（本题共72分，第17－22题，每小题5分，第23－24题，每小题6分，第25－26题，每小题7分，第27－28题，每小题8分）17.计算()201312π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．18.解不等式组()2112323x x x x ⎧-≤+⎪⎨++≥⎪⎩．19.已知2210x x +-=，求代数式()()()2112x x x -+++的值．20.如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，点E 和点F 分别在直线AD 的两侧，且AE DF =，A D ∠=∠，AB CD =．（1）求证：四边形BECF 是平行四边形；（2）若90,4,3AEC AE CE ∠=︒==，当AB =_______时，四边形BECF 是菱形．21.“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量3+个搬运工的体重和21=块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x 斤，则可列方程为：______．②解这个方程得，x =______．③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=______．个搬运工的体重④最终可求得：大象的体重为______斤．22.在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()1,3，()0,2．（1）求这个函数的解析式；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数()0y nx n =≠的值小于函数y kx b =+的值，直接写出n 的取值范围．23.如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于()1,0A -、B 两点，交y 轴于()0,3C ，点P 在抛物线上，横坐标设为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在x 轴上方时，直接写出m 的取值范围；（3）若抛物线在点P 右侧部分（含点P ）的最高点的纵坐标为1--m ，求m 的值．24.某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有10个部门，且各部门的人数相同．为了解午餐的浪费情况，公司从这10个部门中随机抽取了A ，B 两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．A 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：02x ≤<，24x ≤<，46x ≤<，68x ≤<，810x ≤<，1012x ≤≤）；b ．A 部门每日餐余重量在68x ≤<这一组的是：6.1 6.67.07.07.07.8c ．B 部门每日餐余重量如下：第1周1.42.8 6.97.8 1.9第2周 6.9 2.67.56.99.5第3周9.7 3.1 4.6 6.910.8第4周7.88.48.39.48.8d ．A ，B 两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：部门平均数中位数众数A 6.4m7.0B6.67.2n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ，n 的值，m ＝______，n ＝______；（2）在A ，B 这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是______（填“A ”或“B ”），理由是______．（3）结合A ，B 这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量为______千克；（4）食堂工作人员从B 部门第1周和第2周各抽查一日餐余重量，两日餐余重量刚好都是n 的概率是______．25.2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系xOy ，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m ，韩旭进行了两次投篮训练．（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m 01234…竖直高度y /m2.03.0 3.6 3.83.6…①在平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______m ，并求y 与x 满足的函数解析式；③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系()23 4.25y a x =-+，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d _____5（填“>”，“=”或“<”）．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()22220y mx m x m =-+≠与y 轴交于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B ．（1）求B 点的横坐标（用含m 的式子表示）；（2）已知点(22)(02)P m Q m ++，，，，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．27.如图1，E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点（不与B ，D 重合），F 为DE 中点，作EG BC ⊥于G ，连接AF ，FG ．（1）直接写出线段AF 与FG 的数量关系和位置关系，不必证明；（2）将BEG 绕点B 逆时针旋转α（090α︒<<︒）．①如图2，若045α︒<<︒，（1）中的结论是否还成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；②如图3，若4590α︒<<︒，连接AE 且满足AE EG ⊥，直接用等式表示线段EA ，AF ，EG 之间的数量关系，不必证明．28.在平面直角坐标系中，对于点(),P a b ，(),Q c d ，当0c ≥时，将点P 向右平移c 个单位，当0c <时，将点P 向左平移c -个单位，得到点P '，再将点P '关于直线y d =对称得到点M ，我们称点M 为点P 关于点Q 的跳跃点．例如，如图1，已知点()1,3P ，()3,2Q ，点P 关于点Q 的跳跃点为()41M ，．（1）已知点()31A ，，()22B ，，①若点C 为点A 关于点B 的跳跃点，则点C 的坐标为______．②若点A 为点B 关于点C 的跳跃点，则点C 的坐标为______．（2）已知点D 在直线2y x =上，点D 的横坐标为m ，点E 的坐标为()03m ，．①点K 为点E 关于点D 的跳跃点，若DKO △的面积为4，直接写出m 的值；②点E 向上平移1个单位得到点F ，以EF 一边向右作正方形EFGH ，点R 为正方形EFGH 的边上的一个动点，在运动过程中，直线2y x =上存在点D 关于点R 的跳跃点，请直接写出m 的取值范围．初三年级9月阶段性测试数学一．选择题（本大题共24分，每小题3分）1.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底全国共有共青团员7358万．数据73580000用科学记数法表示为（）A.77.35810⨯B.37.35810⨯ C.47.35810⨯ D.67.35810⨯【答案】A【分析】根据科学记数法的一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．【详解】解：7735800007.35810=⨯，故选：A ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2.下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义对每个选项进行判断即可．【详解】A 项是轴对称图形，不是中心对称图形；B 项是中心对称图形，不是轴对称图形；C 项是中心对称图形，不是轴对称图形；D 项是中心对称图形，也是轴对称图形；故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，掌握知识点是解题关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.如果1∠与2∠互余，2∠与3∠互补，则3∠与1∠的关系是（）A.31∠=∠B.3901∠=︒+∠ C.3901∠=︒-∠ D.31801∠=︒-∠【答案】B【分析】根据1∠与2∠互余，2∠与3∠互补，可得1290∠+∠=︒①，23180∠+∠=︒②，通过求差，可得3∠与1∠的关系．【详解】解：∵1∠与2∠互余，2∠与3∠互补，∴1290∠+∠=︒①，23180∠+∠=︒②，②-①得，311809090∠-∠=︒-︒=︒，变形为：3901∠=︒+∠，故选：B ．【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法．4.已知实数a ，b 满足11a b +>+，则下列选项错误的是（）A.a b >B.a b->- C.22a b ->- D.22a b>【答案】B【分析】根据不等式的性质求解即可．【详解】解：∵11a b +>+，∴a b >，则a b -<-，22a b ->-，22a b >，故选项A 、C 、D 正确，不符合题意，选项B 错误，符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．5.下列多边形中，内角和等于外角和的是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】B【分析】设多边形的边数为n ，根据多边形的内角和公式()2180n -⋅︒和多边形的外角和为360︒列方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数为n ，根据题意，得()2180360n -⋅︒=︒，解得4n =，即这个多边形是四边形，故选：B ．【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和，熟记多边形的内角和公式是解答的关键．6.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（）A.4B.2C.1D.1-【答案】D【分析】根据判别式的意义得到2140m ∆=->，然后解关于m 的不等式，最后对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得2140m ∆=->，解得：14m <，四个选项中符合要求的只有1-，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．7.小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是（）A.0B.1C.12D.13【答案】C【分析】根据概率的意义判断即可．【详解】解：小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是：12，故选：C ．【点睛】本题考查了概率的意义和计算，抛一枚质地均匀的硬币时，每次正面朝上和反面朝上的概率都是相同的．8.如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则下列结论错误的是（）A.AB =B.90BAC ∠=︒C.ABC 的面积为10D.点A 到直线BC 的距离是2【答案】C【分析】根据勾股定理可判断A ；根据勾股定理的逆定理可判断B ；求出AC ，AB ，根据三角形的面积公式可判断C ；根据三角形的面积结合点到直线距离的意义可判断D ．【详解】解：A ．由勾股定理得：AB ==A 正确，不符合题意；B ．∵222125AC =+=，2222420AB =+=，2223425BC =+=，∴222AC AB BC +=，∴90BAC ∠=︒，故B 正确，不符合题意；C ．∵90BAC ∠=︒，AC ==，AB =∴11522ABC S AC AB =⋅==△，故C 错误，符合题意；D ．设点A 到直线BC 的距离为h ，∵5BC ==，∴152ABC S BC h =⋅=△，∴2h =，即点A 到直线BC 的距离是2，故D 正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．二．填空题（本大题共24分，每小题3分）9.有意义，则x 的取值范围是______．【答案】5x ≥【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可．有意义，∴50x -≥，∴5x ≥．故答案为：5x ≥．)0a ≥的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10.已知a ，b为两个连续整数，a b <<，则a b +=______．【答案】3【分析】根据无理数的估算求得12<<，进而求得a 、b 可求解．【详解】解：∵12<<，a ，b 为两个连续整数，∴1a =，2b =，∴123a b +=+=，故答案为：3．【点睛】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到a 、b 值是解答的关键．11.分解因式：3244x x x -+=_________．【答案】()22x x -【分析】先提取公因式x ，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：()()232244442x x x x x x x x -+=-+=-，故答案为：()22x x -【点睛】此题考查了分解因式，熟练掌握综合应用提公因式和公式法是解题的关键．12.方程212x x=+的解是_______．【答案】x =2【详解】解：方程的两边同乘x （x +2），得2x =x +2，解得x =2．检验：把x =2代入x （x +2）=8≠0．∴原方程的解为：x =2．故答案为：x =2．13.为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区500名树中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力4.7以下 4.7 4.8 4.95.0 5.0以上人数989686958243根据抽样调查结果，估计该地区20000名初中学生视力不低于4.9的人数为______．【答案】8800【分析】用总人数乘以样本中视力不低于49．所占的比例即可求解．【详解】解：由题意，958243200008800500++⨯=（名），故该地区20000名初中学生视力不低于49．的人数为8800名，故答案为：8800．【点睛】本题考查用样本估计总体，理解题意，正确求解是解答的关键．14.如图，在32⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 均在格点上，则BAC ∠=______︒．【答案】45【分析】先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明ABC 是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：∵22215==+=AB AC 223110AC =+=，∴222AB BC AC +=，∴90ABC ∠=︒，则ABC 是等腰直角三角形，∴45BAC ∠=︒，故答案为：45．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得ABC 是等腰直角三角形是解答的关键．15.点()13,A y ，()2,B a y 在二次函数243y x x =-+的图象上．若为12y y <，写出一个符合条件的整数a 的值______．【答案】4（答案不唯一）【分析】由解析式求得开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质即可得出3a >或1a <，进而可得答案．【详解】解：∵243y x x =-+，∴抛物线开口向上，对称轴为直线4221x -=-=⨯，∴点()13,A y 关于直线2x =的对称点为()11 y ，，∵点()13,A y ，()2,B a y 在二次函数243y xx =-+的图象上．且12y y <，∴3a >或1a <，故a 的值可以是4，故答案为：4（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．16.21C 级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一二三名（不并列），对应名次的得分分别为,,a b c （a b c >>，且,,a b c 均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小菲a 26小冬b c 12小敏b 10根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为______分，小敏恰有______轮获得第二名．【答案】①.2②.4【分析】根据“每轮分别决出第一二三名（不并列）”及“小菲的得分最高为6a ”可计算出,,a b c 的值．假设小敏有一轮获得第一，分析三人的实际得分情况即可求解．【详解】解：∵每轮分别决出第一二三名（不并列）∴()626121048a b c ++=++=∴8a b c ++=∵小菲的得分最高为6a∴()266,5a a a ≤≥为正整数∵a b c >>，且,,a b c 均为正整数∴,b c 的最小值分别为2,1∴85a ab =--≤故5,2,1a b c ===所以每轮比赛第二名得分为2分；∵26551=⨯+∴小菲5轮得第一，1轮得第三设小敏有一轮获得第一，则小敏的得分至少为：524111++⨯=（分）与小敏的实际得分不符合故小敏没有一轮得第一，小冬有一轮获得第一∵125214---=（分）即小冬剩余未知的三轮总分为4分，∴剩下三轮只能是1轮第二，2轮第三，∴小冬1轮得第一，2轮得第二，3轮得第三，又∵小菲5轮得第一，1轮得第三，三人第一、第二和第三的总数都是6，∴小敏4轮得第二，2轮得第三故答案为：2;4【点睛】本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键．三．解答题（本题共72分，第17－22题，每小题5分，第23－24题，每小题6分，第25－26题，每小题7分，第27－28题，每小题8分）17.计算()201312π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．【答案】【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．【详解】解：原式341=+=【点睛】本题考查实数的混合运算．熟记相关运算法则是解题关键．18.解不等式组()2112323x x x x ⎧-≤+⎪⎨++≥⎪⎩．【答案】03x ≤≤【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：()2112323x x x x ⎧-≤+⎪⎨++≥⎪⎩①②，解不等式①，得3x ≤，解不等式②，得0x ≥，∴原不等式的解集为03x ≤≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．19.已知2210x x +-=，求代数式()()()2112x x x -+++的值．【答案】5【分析】先求得221x x +=，再利用平方差公式和完全平方公式化简所求代数式，然后代值求解即可．【详解】解：∵2210x x +-=，∴221x x +=，∴()()()2112x x x -+++22144x x x =-+++()2223x x =++213=⨯+5=．【点睛】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟记平方差公式和完全平方公式，利用整体思想正确求解是解答的关键．20.如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，点E 和点F 分别在直线AD 的两侧，且AE DF =，A D ∠=∠，AB CD =．（1）求证：四边形BECF 是平行四边形；（2）若90,4,3AEC AE CE ∠=︒==，当AB =_______时，四边形BECF 是菱形．【答案】（1）见解析（2）75【分析】（1）证明AEC DFB △△≌，可得,BF EC ACE DBF =∠=∠，从而得到EC BF ∥，即可；（2）设,EF BC 于点G ，根据勾股定理可得AC 的长，再由1122ACE S AE CE AC GE =⨯=⨯ ，可得GE ，再根据勾股定理求出,AG BG 的长，即可．【小问1详解】证明：∵AB CD =，∴AC DB =，在AEC △和DFB △中，∵AC DB A D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AEC DFB ≌ ，∴,BF EC ACE DBF =∠=∠，∴EC BF ∥，∴四边形BECF 是平行四边形；【小问2详解】如图，设,EF BC 于点G，∵四边形BECF 是平行四边形，∴当EF BC ⊥时，四边形BECF 是菱形，∴3BE CE ==，∵90,4,3AEC AE CE ∠=︒==，，∴5AC ===，∵1122ACE S AE CE AC GE =⨯=⨯ ，∴1143522GE ⨯⨯=⨯⨯，解得：125GE =，∴165AG ==，∴95BG ==，∴1697555AB AG BG =-=-=．故答案为：75【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．21.“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量3+个搬运工的体重和21=块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x 斤，则可列方程为：______．②解这个方程得，x =______．③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=______．个搬运工的体重④最终可求得：大象的体重为______斤．【答案】20313020130x x x +⨯=++；260；2；5590【分析】根据题意，表示出大象的重量可表示为()203130x +⨯斤，也可表示为()20130x x ++斤，进而可列方程求解即可.【详解】解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量3+个搬运工的体重和21=块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x 斤，则可列方程为：20313020130x x x +⨯=++．②解这个方程得，260x =．③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量2=个搬运工的体重；④2026031305590⨯+⨯=，即最终可求得：大象的体重为5590斤．故答案为：20313020130x x x +⨯=++；260；2；5590．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．22.在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()1,3，()0,2．（1）求这个函数的解析式；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数()0y nx n =≠的值小于函数y kx b =+的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）2y x =+（2）12n ≤≤【分析】（1）利用待定系数法，将已知点代入()0y kx b k =+≠求解即可；（2）求出当2x =时的n 值，再根据题意画图求解n 的取值范围即可．【小问1详解】解：∵函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()1,3，()0,2，∴32k b b +=⎧⎨=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩，∴这个函数的解析式为2y x =+；【小问2详解】解：当2x =时，224y =+=，将点()2,4代入y nx =，得2n =，∵当2x <时，函数2y x =+的函数值随x 的增大而增大，且函数y nx =的图象过原点，∴如图，当2x <时，对于x 的每一个值，函数()0y nx n =≠的值小于函数y kx b =+的值，则n 的取值范围为12n ≤≤．【点睛】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．23.如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于()1,0A -、B 两点，交y 轴于()0,3C ，点P 在抛物线上，横坐标设为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在x 轴上方时，直接写出m 的取值范围；（3）若抛物线在点P 右侧部分（含点P ）的最高点的纵坐标为1--m ，求m 的值．【答案】（1）223y x x =-++（2）13m -<<（3）5m =-或4m =【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）求出点B 的坐标，根据图象写出m 的取值范围即可；（3）先求出抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为()1,4，得出二次函数223y x x =-++有最大值4，分两种情况讨论，当点P 在对称轴的左侧或对称轴上，即1m £时，当点P 在对称轴的右侧，即1m >时，分别求出m 的值即可．【小问1详解】解：把()1,0A -，()0,3C 代入抛物线2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =-++．【小问2详解】解：把0y =代入223y x x =-++得：2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0，∴当点P 在x 轴上方时，m 的取值范围是13m -<<．【小问3详解】解：∵()222314y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为()1,4，∵10a =-<，∴二次函数223y x x =-++有最大值4，当点P 在对称轴的左侧或对称轴上，即1m £时，抛物线在点P 右侧部分图象的最高点为抛物线的顶点，∴14m --=，解得：5m =-；当点P 在对称轴的右侧，即1m >时，抛物线在点P 右侧部分图象的最高点就是点P ，∴2231m m m -++=--，解得：14m =，211m =-<（舍去）；综上分析可知，5m =-或4m =．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，求抛物线的最值，解题的关键是理解题意，数形结合，注意分类讨论．24.某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有10个部门，且各部门的人数相同．为了解午餐的浪费情况，公司从这10个部门中随机抽取了A ，B 两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．A 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：02x ≤<，24x ≤<，46x ≤<，68x ≤<，810x ≤<，1012x ≤≤）；b ．A 部门每日餐余重量在68x ≤<这一组的是：6.16.67.07.07.07.8c ．B 部门每日餐余重量如下：第1周1.42.8 6.97.8 1.9第2周6.9 2.67.5 6.99.5第3周9.7 3.1 4.6 6.910.8第4周7.88.48.39.48.8d．A，B两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：部门平均数中位数众数A 6.4m7.0B 6.67.2n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值，m＝______，n＝______；（2）在A，B这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是______（填“A”或“B”），理由是______．（3）结合A，B这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量为______千克；（4）食堂工作人员从B部门第1周和第2周各抽查一日餐余重量，两日餐余重量刚好都是n的概率是______．【答案】（1）6.8，6.9（2）A，A部门的平均数和中位数较小，浪费的少（3）15600（4）2 25【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）分别根据表格中A、B两部门的平均数、中位数和众数进行分析解答即可；（3）用一个部门每日餐余重量乘以总工作日，再乘以总部门数可求解；（4）利用列表格法求解即可．【小问1详解】解：将A部门20格工作日的餐余重量从小到大排列后，处于最中间位置的两个数的平均数为6.67.0 6.82+=，∴中位数 6.8m=，B部门20格工作日的餐余重量中出现次数最多的是6.9，出现了4次，∴众数 6.9n=，故答案为：6.8，6.9；【小问2详解】解：从平均数和中位数上看，A部门的平均数和中位数较小，说明浪费的少，因此，做的做得较好的部门是A，理由是A部门的平均数和中位数较小，浪费的少，故答案为：A；A部门的平均数和中位数较小，浪费的少；【小问3详解】。

2024年北京清华大附属中学九年级数学第一学期开学预测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A ．3，4，5B ．2，3，4C ．4，6，7D ．5，11，122、（4分）若关于x 的方程x 2+6x -a =0无实数根，则a 的值可以是下列选项中的()A ．-10B ．-9C ．9D ．103、（4分）一次函数y kx k =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长是（）A ．6.5B ．8.5C ．13D ．60135、（4分）已知a 为整数，且a ，则a 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．46、（4分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．()21x x x x +=+B ．()233x xy x x y +-=-+C ．()226435x x x ++=+-D ．()22211x x x ++=+7、（4分）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A ．y 2﹣2y +4＝（y ﹣2）2B ．10x 2﹣5x ＝5x （2x ﹣1）C ．a （x +y ）＝ax +ayD ．t 2﹣16+3t ＝（t +4）（t ﹣4）+3t8、（4分）在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为（）A ．84B ．24C ．24或84D ．42或84二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 为()6,0，点C 是第一象限上一点，以OA ，OC 为邻边作▱OABC ，反比例函数1k y x =的图象经过点C 和AB 的中点D ，反比例函数2k y x =图象经过点B ，则21k k 的值为______．10、（4分）如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+PD 的最小值等于______.11、（4分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则菱形的面积为____．12、（4分）若34a b =，则b a b =+_____．13、（4分）二次函数()2215y x =---的最大值是____________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）画出函数y =-2x +1的图象．15、（8分）如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 边上，且BE ∥DF.求证:(1)四边形BFDE 是平行四边形；(2)AE=CF.16、（8分）王达和李力是八(2)班运动素质最好的两位同学，为了选出一名同学参加全校的体育运动大寒，班主任针对学校要测试的五个项目，对两位同学进行相应的测试(成绩：分)，结果如下：姓名力量速度耐力柔韧灵敏王达60751009075李力7090808080根据以上测试结果解答下列问题：（1）补充完成下表：姓名平均成绩(分)中位数(分)众数(分)方差(分2)王达807575190李力（2）任选一个角度分析推选哪位同学参加学校的比赛比较合适?并说明理由；（3）若按力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，推选得分同学参加比赛，请通过计算说明应推选哪位同学去参赛。

平面内两条直线的位置关系：平行与相交平行直线： 定义：在同一平面内，永不相交的两条线称为平行线．相交直线： 定义：如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线． 相交线的性质：两直线相交只有一个交点．对顶角： 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角．我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点 而没有公共边的两个角叫做对顶角．如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角． 对顶角的一个重要性质是：对顶角相等．邻补角： 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角．注意： 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角知识互联网思路导航直线的相交题型一：两线四角1234a b O【引例】 如图所示，AB 与CD 相交所成的四个角中，1∠的邻补角是______，1∠的对顶角是 .若125∠=︒，则2∠=_______，3∠=______，4∠=_______．【解析】 2∠和4∠，3∠，155︒，25︒，155︒．【例1】 ⑴ 如图1，直线a b c 、、两两相交，123265∠=∠∠=︒，，求4∠的度数．⑵ 如图2，直线AB 、CD 交于点O ，且120AOD BOC ∠+∠=°，求AOC ∠的度数． ⑶ 如图3，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，25AOE ∠=°，45DOF ∠=°，求AOD ∠的对顶角和邻补角的度数．⑷ 如图4，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分AOD ∠，30BOC BOD ∠=∠-°，求COE ∠的度数．O图 4图 3图 2图 14321c baA B CD EOAB CDEFODCBA【解析】 ⑴ ∵123∠=∠，265∠=︒，∴1265∠=∠=︒，∴136532.52∠=⨯︒=︒，∴4332.5∠=∠=︒；⑵ 由对顶角相等可知，AOD BOC ∠=∠，又120AOD BOC ∠+∠=°，故60AOD ∠=° 从而由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，120AOC ∠=°；⑶ 由对顶角相等可知，45COE DOF ∠=∠=°，故254570AOC AOE COE ∠=∠+∠=+=°°°． 由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，18070110AOD ∠=-=°°° 由对顶角相等可知，AOD ∠的对顶角110BOC ∠=°；⑷ 由BOC ∠、BOD ∠互为邻补角可知，180BOC BOD ∠+∠=°． 又30BOC BOD ∠=∠-°，故105BOD ∠=°，75BOC ∠=°． 由对顶角相等可知，75AOD BOC ∠=∠=°．又OE 平分AOD ∠，故37.5AOE ∠=°，又因为180AOC BOC ∠+∠=︒,所以105AOC ∠=︒,从而可知，37.5105142.5COE AOE AOC ∠=∠+∠=+=°°°．【例2】 已知：如图所示，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，2AOF BOD ∠=∠，32COE AOC ∠=∠，求COE ∠的度数．【解析】 由对顶角相等可知，AOC BOD ∠=∠， 例题精讲典题精练OFE B D A C 4321DCB A设AOC BOD x ∠=∠=，则2AOF x ∠=，32COE x ∠=． 又180AOC AOF COE ∠+∠+∠=°，故321802x x x ++=°，40x =°，故60COE ∠=°．同位角： 两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁）叫做同位角． 如图所示，1∠与5∠，2∠与6∠，3∠与7∠，4∠与8∠都是同位角．内错角： 两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，（即分别在第三条直线的两旁），这样的一对角叫做内错角． 如图中，3∠与5∠，4∠与6∠都是内错角．同旁内角： 两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角．如图中，3∠与6∠，4∠与5∠都是同旁内角．【引例】 下列图形中1∠和2∠是同位角的是（ ）21 211221A ．B ．C ．D ．（海淀区期末）【解析】 B ．【例3】 ⑴ 如图1，①1∠与2∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．②1∠与3∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．③2∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ④3∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ⑤5∠与6∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．（清华附中统练）例题精讲思路导航典题精练题型二：三线八角FE D CBA 87654321图1l 3l 2l 1654321⑵ 如图，图中与∠1成同位角的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 ⑴ ①1∠与2∠是两条直线2l 与3l 被第三条直线1l 所截构成的同位角；②1∠与3∠是两条直线1l 与3l 被第三条直线2l 所截构成的同位角； ③2∠与4∠是两条直线2l 与3l 被第三条直线1l 所截构成的内错角； ④3∠与4∠是两条直线1l 与3l 被第三条直线2l 所截构成的内错角；⑤5∠与6∠是两条直线1l 与2l 被第三条直线3l 所截构成的同旁内角；⑵ B ．【备选】找出图中用数字表示的角中，所有的同位角、内错角和同旁内角，并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的．【解析】 1∠与5∠是直线AD 、BC 被直线AB 所截形成的同位角；2∠与4∠是直线AD 、BC 被直线AC 所截形成的内错角； 3∠与5∠是直线AC 、BC 被直线AB 所截形成的同旁内角；3∠与4∠是直线AB 、BC 被直线AC 所截形成的同旁内角； 4∠与5∠是直线AC 、AB 被直线BC 所截形成的同旁内角．【例4】 ⑴ 如图1，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？⑵ 如图2，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ ⑶ 如图3，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？A B CDE1234图1 AB CDE F G H1234图2A B CDE FG H 1234MN 图3【解析】 ⑴ 图中，1∠与3∠是直线BE 、CD 被直线AC 所截形成的同位角；2∠与4∠是直线BE 、CD被直线BD 所截成的内错角；3∠与4∠是直线BC 、BD 被直线CD 所截成的同旁内角； ⑵ 图中，2∠与3∠是直线EG 、HF 被直线EF 所截形成的内错角； ⑶ 图中，1∠与3∠是直线EG 、FH 被直线MN 所截形成的同位角.【点评】 三线八角的判定技巧：两条直线被第三条直线所截，所形成的三线八角中，究其实质，可简单概括为“F 、Z 、U ”型．⑴“F ”型是找同位角的方法，即：如图21，1∠和2∠就是一对同位角，现改变“F ”的方向，如图21 2121等，各个图中1∠与2∠依然是同位角．⑵“Z ”型是找内错角的方法，如图21， 1∠和2∠就是一对内错角，改变“Z ”的方向后，各个图中1∠和2∠还是内错角，如2121等．⑶“U ”型是找同旁内角的方法，如l 2l 1cb a 1A BC D 12345图21，1∠和2∠就是一对同旁内角，改变“U ”的方向后，如21 21 21等，各个图中，1∠和2∠还是同旁内角．（仅作教学参考）垂线：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条是另一条直线的垂线，它们的交点为垂足．如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ” 性质1：在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；简单说成：垂线段最短．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【引例】 如图，直线AB 与CD 相交于O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥，65DOF ∠=°，求BOE ∠和AOC ∠的度数．【解析】 ∵OF AB ⊥，65DOF ∠=°，∴906525BOD ∠=-=°°°（垂直定义）． ∴25AOC BOD ∠=∠=°（对顶角相等）．∵OE CD ⊥，∴902565BOE ∠=-=°°°（垂直定义）．例题精讲思路导航题型三：垂直的定义与表示DCBAOOFEDCBAaPC B A【例5】 ⑴ 如图1，已知90ACB ∠=°．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段 的 长；线段DB 的长为点 到直线 的距离．⑵ 如图2，在直角三角形ABC 中，90C ∠=°，AB c =，AC b =，BC a =，则||||||AC AB AB BC AC BC AB -+-++-= ．图1D CB A图2c ba CBA⑶ 如图，点P 是直线a 外的一点，点A 、B 、C 在直线a 上，且PB a ⊥，垂足是B ，PA ⊥PC ，则下列不正确的语句是（ ）A ．线段PB 的长是点P 到直线a 的距离 B ．PA 、PB 、PC 三条线段中，PB 最短 C ．线段AC 的长是点A 到直线PC 的距离D ．线段PC 的长是点C 到直线PA 的距离【解析】 ⑴ AC ，B ，CD ；⑵c ；⑶C ．【例6】 已知：如下图A 、O 、B 三点共线，OC 为任意一条射线，OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．求证：OD OE ⊥．【解析】 ∵A 、O 、B 三点共线∴180AOB ∠=︒∵OE 平分BOC ∠,OD 平分AOC ∠∴12COE BOC ∠=∠,12DOC AOC ∠=∠∴ COE DOC ∠+∠ 1122BOC AOC =∠+∠ =()12BOC AOC ∠+∠ =12AOB ∠=1180902⨯︒=︒ 又∵DOE COE DOC ∠=∠+∠ ∴90DOE ∠=︒ ∴OD OE ⊥ 典题精练OEDCBA【例7】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.⑵ 三条平行直线呢? 四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律？【解析】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时，有3412?对同位角，326?对内错角，326?对同旁内角； 当有4条平行线时，有6424?对同位角，6212?对内错角，6212?对同旁内角； 当有5条平行线时，有10440?对同位角，10220?对内错角，10220?对同旁内角. ⑶ 当n 条线彼此平行时，被直线m 所截，即1l ∥2l ∥…∥n l ，则共有(1l ，2l )、(1l ，3l )、(1l ，4l )、…(1l ，n l )；(2l ，3l )、(2l ，4l )、…(2l ，n l )、…21(,)n n l l --、2(,)n n l l -、1(,)n n l l -共()()()112212n n n n --+-+++=对平行线，每对平行线被m 所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有()()14212n n n n -?-对同位角，()()1212n n n n -?-对内错角，()()1212n n n n -?-对同旁内角．【铺垫】如下图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有 对.A B CD E FGH【解析】 图中有8条线段，所以有16对同旁内角．NM A B CO训练1. 下列四个命题：①如果两个角是对顶角，则这两个角相等． ②如果两个角相等，则这两个角是对顶角． ③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等．④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角．其中正确的命题有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 B ．训练2. 用数码标出图中与1∠是同位角的所有角．1l 2l 3l 1ba【解析】 如图所示1∠的同位角有2∠，3∠，4∠，5∠，6∠，7∠． 【点评】 1∠的两条边所在的直线是a 、b ，若把a 看成是第三条直线，则有：⑴a 截直线b 及1l ，得1∠的同位角为2∠； ⑵a 截直线b 及2l ，得1∠的同位角为3∠；⑶a 截直线b 及3l ，得1∠的同位角为4∠； 若把b 看成第三条直线，则有⑷b 截直线a 及1l ，得1∠的同位角为5∠； ⑸b 截直线a 及2l ，得1∠的同位角为6∠；⑹b 截直线a 及3l 得1∠的同位角为7∠．训练3. 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_________对同旁内角. 【解析】 共有12条线段，有24对同旁内角训练4. 如图，O 为直线AB 上的一点，OM 、ON 分别平分AOC ∠、BOC ∠，则图中互余的角有对.【解析】 根据题意可得：90MON ∠=︒，AOM COM ∠=∠，BON CON ∠=∠，所以互余的角有4对：AOM BON ∠--∠，AOM CON ∠--∠，COM BON ∠--∠，COM CON ∠--∠．7ba 654321l 3l 2l 1思维拓展训练（选讲）题型一 两线四角 巩固练习【练习1】 ⑴ 下列图中1∠和2∠是对顶角的有（ ）212121(4)(3)(2)(1)21A ．1对B ．0对C ．2对D ．3对⑵ 下列四个图中，α∠与β∠成邻补角的是（ ）D B AβαβαβαβαA B C D⑶如右图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，若1270∠-∠=︒，则 BOD ∠=_____，2∠=____.【解析】 ⑴B ；⑵C ；⑶∵12180∠+∠=︒，1270∠-∠=︒，∴255∠=︒，1125BOD ∠=∠=︒．【练习2】 已知：如图，AB 、CD 交于点O ，OA 平分EOD ∠，80EOD ∠=°．⑴ 写出图中所有的对顶角、邻补角；⑵ 求BOC ∠． 【解析】 ⑴ 对顶角：AOD ∠与BOC ∠、AOC ∠与BOD ∠邻补角：BOC ∠与AOC ∠、BOC ∠与BOD ∠、AOC ∠与AOD ∠、 AOD ∠与BOD ∠、COE ∠与DOE ∠、BOE ∠与AOE ∠．⑵ ∵OA 平分EOD ∠（已知），∴12AOD EOD ∠=∠（角平分线的定义）∵80EOD ∠=°（已知），∴40AOD ∠=° ∵BOC AOD ∠=∠（对顶角相等），∴40BOC ∠=°．【练习3】 如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，COE ∠是直角，OF 平 分AOE ∠．若35COF ∠=°，求BOD ∠的度数．【解析】 ∵COE ∠是直角，∴90COE ∠=°．复习巩固F EO D C BA 21ODCB AO E BD A C87654321 F EDC A B 又∵35COF ∠=︒∴903555FOE COE COF ∠=∠-∠=-=°°°． ∵OF 平分AOE ∠，∴55AOF FOE ∠=∠=°．∴553520AOC AOF COF ∠=∠-∠=-=°°°． ∵BOD AOC ∠=∠， ∴20BOD ∠=°．题型二 三线八角 巩固练习【练习4】 如图，判断下列各对角的位置关系：⑴1∠与4∠；⑵2∠与6∠；⑶5∠与8∠；⑷4∠与BCD ∠；⑸3∠与5∠.【解析】 1∠与4∠是同位角，2∠与6∠是内错角，5∠与8∠是对顶角，4∠与BCD ∠是同旁内角，3∠与5∠是内错角．题型三 垂直的定义与表示 巩固练习 【练习5】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是AOD ∠的平分线，若 60AOC ∠=°，OF OE ⊥．判断OF 把AOC ∠所分成的两个角的大小关系并证明你的结论．【解析】 AOF COF ∠=∠证明：∵O 是直线CD 上一点，∴180AOC AOD ∠+∠=°， ∵60AOC ∠=°，∴18060120AOD ∠=-=°°°． ∵OE 平分AOD ∠．∴111206022AOE AOD ∠=∠=⨯=°°．∵OF OE ⊥，∴90FOE ∠=°∴906030AOF FOE AOE ∠=∠-∠=-=°°° ∴603030COF AOC AOF ∠=∠-∠=-=°°°． ∴AOF COF ∠=∠【练习6】 已知：如图A 、O 、B 共线，OC 为任意一条射线， OE 平分BOC ∠,OD OE ⊥．求证：OD 平分AOC ∠.【解析】 ∵A 、O 、B 共线，OD OE ⊥ ∴90COE COD DOE ∠+∠=∠=︒，90BOE AOD ∠+∠=︒ ∴90COD COE ∠=︒-∠，90AOD BOE ∠=︒-∠ 又∵OE 平分BOC ∠， ∴COE BOE ∠=∠ ∴COD AOD ∠=∠ 即OD 平分AOC ∠O EDC B A OF E D CB A。

2024年北京市清华大学附属中学九年级下册中考数学三模试题一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列调查方式适合用普查的是（ ）A. 检测一批LED 灯的使用寿命B. 检测一批家用汽车的抗撞击能力C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况D. 中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率【答案】C【解析】【分析】本题考查调查分类，涉及抽样调查和全面调查定义与区别，一般地，具有破坏性、涉及面广，无法普查、普查意义或价值不大的采取抽样调查；对于精度要求较高的调查、事关重大的采取普查，逐项判定即可得到答案，熟记普查与抽查的特征与区别是解决问题的关键．【详解】解：A 、检测一批LED 灯的使用寿命，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；B 、检测一批家用汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；C 、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况，每一个环节都事关重大，适合普查，符合题意；D 、中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率，涉及面广，无法普查，适合抽查，符合题意；故选：C ．2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方逐项判断即可．【详解】解：A. ，故选项A 错误，不符合题意；B. ，故选项B 正确，符合题意；C. 与不是同类项，不能合并，故选项C 错误，不符合题意；D. ，故选项D 错误，不符合题意．故选：B ．5510a a a +=826a a a ÷=32a a a -=()235a a =5552a a a +=826a a a ÷=3a 2a ()236a a =3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A.B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．【详解】解：A ．.是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B ．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C ．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．故选D ．4. 在实数，，1中，最小的数是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：在实数，，1中，最小的数是．故选：B5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）A. B. C.D.180︒π-3-3-π-0>>31π-<-<< ∴π-3-π-12x -<【答案】A【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式以及解集在数轴上的表示方法，掌握一元一次不等式的解法以及解集在数轴上的表示方法是正确解答的前提．求出不等式的解集，再在数轴上将解集表示出来即可．【详解】解：，解得：，∴原不等式的解集为：，故选：A ．6. 如图，在正方形中，点E 、F 分别在边上，满足，连接，点G 在边上，连接交于点H ，使得，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而证明得到，再证明得到，，进一步证明，推出，则．【详解】解：如图所示，延长到E 使得，连接，设交于O，12x -<3x <3x <ABCD BC CD 、CE DF =AF DE 、AB DG AF 45DHF ∠=︒GE DAF α∠=BGE ∠902α︒-45α︒+4α315α+︒()SAS ADF DCE ≌DAF CDE α==∠∠90HOD ∠=︒45HDE ∠=︒()SAS ADK CDE ≌ADK CDE ∠=∠DE DK =()SAS KGD EGD ≌45AGD EGD α==︒+∠∠180902BGE AGD EGD α=︒--=︒-∠∠∠BA AK CE =DK DE AF 、∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，故选；A ．7. 如图，点O 是边长为2的正方形的中心，点P 从点A 出发，在正方形的边上沿以每秒1个单位长度做匀速运动．若移动时间为x ，线段的长为y ．则y 与x 关系的图象大致是（ ）A. B.C.ABCD 90AD DC ADF DCE =∠=∠=︒，CE DF =()SAS ADF DCE ≌DAF CDE α==∠∠90DAF ADF ADF CDE ∠+∠=∠+∠=︒90HOD ∠=︒45DHF ∠=︒904545HDE ∠=︒-︒=︒90AK CE DAK DCE AD CD ===︒=，∠∠，()SAS ADK CDE ≌ADK CDE ∠=∠DE DK =9045GDK ADG ADK ADG CDE EDG EDG ∠=+=+=︒-=︒=∠∠∠∠∠∠DG DG =()SAS KGD EGD ≌()90904545AGD EGD ADG αα∠=∠=︒-∠=︒-︒-=︒+180902BGE AGD EGD α=︒--=︒-∠∠∠ABCD ABCD AD DC -OPD.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，分当时，当时，正确情况利用勾股定理表示出y 即可得到答案．【详解】解：如图所示，当时， 过点O 作于F ，∵点O 是边长为2的正方形的中心，∴，由题意得，，则，在中，由勾股定理得如图所示，当时， 过点O 作于F ，∵点O 是边长为2的正方形的中心，∴，由题意得，，则，在中，由勾股定理得；综上所述，四个选项中，只有B 选项的函数图象符号题意，故选：B ．8.如图，是的直径，内接于，，的半径是4，则弦的长是（ ）02x ≤≤24x <≤02x ≤≤OF AD ⊥ABCD 1OF AF ==AP x =1FP x =-Rt OPF △y OP ===24x <≤OF CD ⊥ABCD 1OF DF ==2DF x =-3FP x =-Rt OPF △y OP ===AB O BDC O tan 1BCD ∠=O BDA. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】本题考查圆周角定理，勾股定理．根据题意，连接，由，得，再由勾股定理得即可求出结果．【详解】解：连接，是的直径，故选：D ．二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9. 的平方根是________．【答案】【解析】【AD tan 1BCD ∠=DAB BCD ∠=∠1BD AD=222AD BD AB +=AD AB O 90ADB ∴∠=︒tan 1BCD ∠=DAB BCD∠=∠ta n 1DAB ∴∠=1BD AD∴=222,8AD BD AB AB +== 2228BD BD ∴+=B D ∴=2±【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．，根据平方根的定义即可求得答案．，的平方根是，故答案：．10. 一组数据2，4，，2，4，10的众数是2，则这组数据的平均数是______；中位数是______；方差是______.【答案】①. 4 ②. 3 ③. 8【解析】【分析】本题主要考查方差、平均数、中位数、众数，解题的关键是掌握方差、平均数、中位数、众数的定义．先根据众数的概念求出的值，将原数据重新排列，再由平均数、中位数和方差的定义列式计算即可．【详解】解：数据2，4，，2，4，10的众数是2，，这组数据为2，2，2，4，4，10，所以这组数据的平均数为，中位数为，方差为，故答案为：4、3、811. 如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的重心，连接、，如果，那么_______．为4=4=2±2±x x x 2x ∴=∴222441046+++++=2432+=2221[3(24)2(44)(104)]86⨯⨯-+⨯-+-=ABCD AC E F ABC ADC △AE EF AE EF ⊥sin EAB ∠=【解析】【分析】延长交于M ，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、，根据重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形的性质可推出，，，，得到，判定，推出，再证明，推出，得到，再用勾股定理求出，即可得解．【详解】解：延长交于M ，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、，∵点、分别是与的重心，∴、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点；、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点，∴，； ，，，，∴，；，，∴，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∵，AE BC AF AF CD N CF CF AD G CE CE AB H MN GN HM 23AEAM =23AF AN =MB CM =CN DN =AE AF AM AN=AEF AMN △∽△90AEF AMN ∠=∠=︒ABM MCN V V ∽AB BM MC CN =2212MB AB =AM AE BC AF AF CD N CF CF AD G CE CE AB H MN GN HM E F ABC ADC △AM CH BC AB M H BC AB AN CG CD AD N G CD AD HM AC ∥12HM AC =GN AC ∥12GN AC =MB CM =CN DN =ECA EHM ∠=∠EAC EMH ∠=∠FCA FGN ∠=∠FAC FNG ∠=∠ECA EHM △∽△FCA FGN △∽△22AE AC HM ME HM HM ===22AF AC GN NF GN GN===2223AE AE EM AM AE EM EM EM ===++2223AF AF FN AN AF FN FN FN ===++AE AF AM AN =EAF MAN ∠=∠AEF AMN △∽△AMN AEF ∠=∠AE EF ⊥90AMN AEF ∠=∠=︒ABCD 90B BCD ∠=∠=︒AB CD =90BAM AMB CMN AMB ∠+∠=︒=∠+∠BAM CMN ∠=∠B MCN ∠=∠∴，∴，∵，，∴，∴或（负值不符合题意，舍去），设，则，在中，，∴．．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的重心，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是由三角形重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形判定和性质推出．12. A ，B 两个容器分别盛有部分液体，容器的底部分别有一个出水口．若将A 中的液体全部倒入B 容器，并打开B 容器的出水口，10分钟可以放完；若将B 中液体全部倒入A 容器，并打开A 容器的出水口，15分钟可以放完．（1）A 出水口的液体流速是B 出水口液体流速的______；（2）若从A 中取出20升液体倒入B 中，再打开两容器的出水口，放完液体，B 需要的时间是A 的2倍．设开始时，A ，B 两容器中液体体积分别为x 升，y 升，则x ，y 应满足的数量关系为______．【答案】①. ②. ##【解析】ABM MCN V V ∽AB BM MC CN=MB CM =1122CN CD AB ==2212MB AB =AB =AB =MB x ==AB Rt ABM AM ===sin BM EAB AM ∠===AE AF AM AN=23380y x =-803y x=-+【分析】本题考查的列函数关系式，正确的理解题意是解题关键，（1）设两个容器内溶液总量为单位1，分别表示两个容器液体流速即可计算求出结论；（2）设A 出水口的液体流速是升/分钟，B 出水口液体流速是升/分钟，由题意列出等式，进而得出表达式．【详解】解：（1）设两个容器内溶液总量为单位1，由题意得：A 出水口的液体流速是，B 出水口液体流速是，出水口的液体流速是B 出水口液体流速的，故答案为：；（2）出水口的液体流速是B 出水口液体流速的，设A 出水口的液体流速是升/分钟，B 出水口液体流速是升/分钟，由题意得：，整理，得，，故答案为：．13. 若关于x 的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y 的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为______．【答案】6【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案．【详解】解：解不等式组，得，2k 3k 115110A ∴11215103÷=23A 232k 3k 2020223x y k k-+⨯=36020x y -=+380y x ∴=-380y x =-1112631x x x a x +-⎧≥+⎪⎨⎪-≤+⎩42311y a y y y+++=---x a y a a 112x a x ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩不等式组有解且最多有3个整数解，，解得：，整数为：1，2，3，4，5，6，解分式方程，得，分式方程有整数解，整数，且，整数为：1，5，所有满足条件的整数的值之和是．故答案为：6．14. 如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值：______．【答案】或或（任选一个即可）．【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，由，可得轴，得到点的纵坐标为，再根据横坐标，横坐标为整数，求出点的坐标，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：∵，，∴轴，∵点在线段上，∴点的纵坐标为，且横坐标，是 1142a +∴≤<17a ≤<∴a 42311y a y y y +++=---12a y -= ∴12a -112a -≠∴a ∴a 156+=()1,4A ()5,4B P AB A B ，k y x=0x >P k 81216()1,4A ()5,4B AB x ∥P 415x <<P ()1,4A ()5,4B AB x ∥P AB P 415x <<∵点的横坐标为整数，∴或或，∴点的坐标为或或，∴的值为，，，故答案为：或或（任选一个即可）．15. 如图，是一个闭环运算游戏，即：给x 一个值，把它代入中得到一个y 值，再把得到的y 值代入中，又求出一个新的x 值．如：把代入中得到；再把代入中求得．（1）把代入中，最后求出的x 值为______；（2）小明发现，给x 一个整数并把它代入中后，最后求出的x 值竟然是它自身，这个整数是______．【答案】①. ②. 【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，和分式方程．（1）根据题意运算法则计算即可求解；（2）设这个数为，依题意得，解一元二次方程求得整数解即可．【详解】解：（1）把代入中，，再把代入中，求得；经检验是原方程的解，故答案为：；（2）设这个数为，依题意得，整理得，解得（舍去），，P 2x =34P ()2,4()3,4()4,4k 812168121623y x =+23x y x-= 1.5x =-23y x =+0y =0y =23x y x-=2x =1x =23y x =+23y x =+17-1-m 2233m m m-+=1x =23y x =+235y =+=5y =253x x -=17x =-17x =-17-m 2233m m m -+=23410m m ++=13m =-1m =-故答案为：．16. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形，等边三角形，等边三角形，⋯中，，，…平行于x 轴，点，，，…在轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点，，，，…，…，以此类推，则等边三角形的顶点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，特殊角的正切值的计算，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质，垂直平分线的性质，可得点O 为所有等边三角形的外心，内心，可得的长度，结合含的直角三角形，特殊角的正切值的计算方法即可求解．【详解】解：∵三边垂直平分线的交点在原点，∴点为所有等边三角形的外心，内心，∴平分，即，∵，∴，且垂直平分，∴点到，到轴的距离为，∵点在第三象限，1-111A B C222A BC 333A BC 11A B 22A B 33A B 1C 2C 3C y 11A B 22A B 33A B 202420242024A B C 2024A ()1012--30︒20242024A B 30︒O 2024OA 202420242024C A B ∠202420242024202430C A O OA B ∠=∠=︒112233A B A B A B ⋯，，⋯20242024A B =2024OC 20242024A B 2024A y =x 301012︒==A∴，故答案为： ．三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （1）计算：．（2）化简求值：，其中．【答案】（1）；（2），2【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂的意义、分式的化简求值、因式分解；熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的意义、分式的化简求值是解决问题的关键．（1）根据负整数指数幂，绝对值，平方根和立方根性质，零指数幂的意义进行计算，即可得出结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．【详解】（1）；（2）解：，当，原式．18. 解方程组：()1012A --()1012--2012|(3π)2-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭22144139x x x x -+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭7x =832x x +-x 212(3π)2-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭4231=+-8=22144139x x x x -+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭()()()2332·32x x x x x +--=--32x x +=-7x =73272+==-722x y x y -=⎧⎨+=⎩①②【答案】【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：，①+②得，解得．将代入②，得．所以 19. 如图，在平行四边形中，点E 为边的中点，于点F ，G 为的中点，分别延长，交于点H ，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．【详解】解：证明：四边形是平行四边形，，，，点为边的中点，，在与中，34x y =⎧⎨=-⎩722x y x y -=⎧⎨+=⎩①②39x =3x =3x =4y =-34x y =⎧⎨=-⎩，．ABCD BC DF AE ⊥DF AE DC CG DF ⊥AB CD =ASA ABE HCE ABCD AB CD ∴=AB CD ∥B HCE ∴∠=∠ E BC BE EC ∴=ABE HCE， ，，，为的中点，是的中位线，，，即，．20. 中考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A 是某市一中考考点，在位于考点南偏西方向距离米的C 点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东方向的公路前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．）【答案】消防车不需要改道行驶，理由见详解【解析】【分析】本题主要考查方位角与含角的直角三角形的性质的综合运用，掌握方位角的数量关系，勾股定理，垂线段最短的知识是解题的关键．如图，作，根据方位角可得是含角的直角三角形，根据勾股定理可求出的值，结合垂线段最短即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，则，B HCE BE ECAEB HEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)ABE HCE ∴△≌△AB CH ∴=DC CH ∴=G DF CG ∴DFH CG EH ∴∥DF AE ⊥ DF EH ⊥CG DF ∴⊥15︒50075︒CF 1.732≈30︒AE CF ⊥ACE 30︒AE A AE CF ⊥E 90AEC ∠=︒∵，，∴，∴，则，在直角中，，∴，∴由勾股定理得：，∵消防车的警报声传播半径为400米，且，∴消防车不需要改道行驶．21. 微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其他用户．小李在家庭群里（群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人）发了一个如图所示的新年拼手气红包，将三个随机红包记为，分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走．（1）爸爸抢到红包的概率为_________；（2）请你利用画树状图求妈妈抢到红包，同时小李抢到红包的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查随机事件的概率，列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图1575CAB DCE ∠=︒∠=︒，AB CD 15ACD CAB ∠=∠=︒751560ACE DCE ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒30CAE ∠=︒ACE 500m AC =1250m 2CE AC ==250 1.732433(m)AE ==≈⨯=433400>A B C ，，A B C 1316法求概率的方法是解题的关键．（1）根据概率的计算公式即可求解；（2）列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．【小问1详解】解：共有3种等可能结果，A 是其中一种，∴抢到A的概率为；【小问2详解】解：运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，共有6种等可能结果，妈妈抢到红包B ，同时小李抢到红包C 的结果有1种，∴妈妈抢到红包B ，同时小李抢到红包C 的概率为．22. 陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天1080元的利润【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可．13161619x x【详解】解：设提高了元，则销售价格为元，利润为（元），少买份，∴，整理得，，∴，解得，，，∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润．23. 如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点，过点作，与交于点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据， 得出，根据，得出，即可证明结论；（2）连接，交于点，根据切线的性质得出，证明为的中位线，得出，解直角三角形得出，．最后根据勾股定理求出．【小问1详解】证明：∵，∴，又∵，∴．∴．【小问2详解】x ()12x+1275xx +-=+()16010x -()()5160101080x x +-=211280x x -+=()()470x x --=14x =27x =16191080AB O C O C O CD AB D B BE CD ∥BE O E AE CE ACE D ∠=∠3tan 4ACE ∠=3AE =CE CE =»»AE AE =ACE ABE ∠=∠BE CD ∥ABE D ∠=∠OC BE F 90OCD ∠=︒OF AEB △12OF AE =4BE =5AB =CE ==»»AE AE =ACE ABE ∠=∠BE CD ∥ABE D ∠=∠ACE D ∠=∠解：连接，交于点，如图所示：∵是的切线，切点为，∴，∵，∴，∴⊥，∴为中点．∵为直径中点，∴为的中位线，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，在中∵，∴，由勾股定理得．∴．OC BE F CD O C 90OCD ∠=︒BE CD ∥90OFB OCD ∠=∠=︒BE OC F BE O AB OF AEB △12OF AE =3AE =32OF =»»AE AE =ACE ABE ∠=∠3tan 4ACE ∠=3tan 4ABE ∠=AB O 90AEB ∠=︒Rt AEB 3tan 4ABE ∠=4BE =5AB =52OC =∴．∵为中点， ，∴．在中， 由勾股定理得．【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，中位线的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．24. 已知平面直角坐标系，抛物线：与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点与点重合时，求平移的距离；（3）连接，如果与互补，求点的坐标．【答案】（1） （2）（3）【解析】【分析】（1）将点、代入抛物线：上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可；（2）由抛物线顶点式知对称轴为，顶点，设平移的距离为，可1CF =F BE 4BE =2EF =Rt ECFCE ==xOy 1M 2y ax x c =++x ()2,0A -B y ()0,4C 1M 2M 2M D y E DE x P 1M P A AD ADP ÐACB ∠D 2142y x x =-++3()1,3D -()2,0A -()0,4C 1M 2y ax x c =++a c 1M ()219122y x =--+1x =91,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭d得抛物线的表达式为，继而得到，，最后由得，即可得解；（3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，由平移的性质可证明四边形为平行四边形，得，继而得到，得到，在中，，得，继而得到，由，证明，得，则，可得解．【小问1详解】解：∵点和点在抛物线：上，∴，解得：，∴抛物线的表达式为；【小问2详解】∵抛物线：，，∴对称轴为，顶点，把抛物线向下平移得到抛物线，当点与点重合，设平移的距离为，设对称轴交轴于点，∴抛物线的表达式为，∴抛物线的顶点为，∴，，对于抛物线：，2M ()219122y x d =--+-91,2D d ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,4E d -tan tan EAO DAH ∠=∠EO DH AO AH =CF A AG x ⊥A BC G C CK FH ⊥K CEDF CED CFD ∠=∠tan tan 2CED CFD ∠=∠=1tan 2OPE ∠=Rt OAC 1tan 2OCA ∠=OPE OCA ∠=∠CAG DPA ∠=∠180GCA ACB ADP ∠=︒-∠=∠GCA ADP △∽△45G DAP ∠=∠=︒tan 3DH AH DAP =⋅∠=()2,0A -()0,4C 1M 2y ax x c =++4204a c c -+=⎧⎨=⎩124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1M 2142y x x =-++1M ()2211941222y x x x =-++=--+()2,0A -1x =91,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭1M 2M P A d 1x =x H 2M ()219122y x d =--+-2M 91,2D d ⎛⎫- ⎪⎝⎭92DH d =-()123AH =--=2M ()219122y x d =--+-当时，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，解得：，∴当点与点重合时，平移的距离是；【小问3详解】连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，∵，，，对称轴为，∴，，，，四边形为矩形，∴，，∴，∵抛物线：与轴交于点和点，当时，得，解得：或，∴，0x =19422y d d =-+-=-()0,4E d -4OE d =-2AO =90AOE AHD ∠=∠=︒tan tan EAO DAH ∠=∠EO DH AO AH=94223d d --=3d =P A 3CF A AG x ⊥G BC A C CK FH ⊥K ()2,0A -91,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,4C 1x =2AO =()123AH =--=4OC =92FH =COHK 1CK OH ==4KH CO ==1tan 2942CK CFK FK ∠===-1M 2142y x x =-++x ()2,0A -B 0y =21402x x -++=2x =-4x =()4,0B∴，∴，∵把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为，∴，∵对称轴与轴平行，即，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∵轴，∴轴，∴，，∴，∵与互补，即，∴，∴，∴，∴，∴．4OB OC ==45OCB OBC ∠=∠=︒1M 2M 2M D CE FD =1x =y CE FD ∥CEDF CED CFD ∠=∠tan tan 2OP CFD CED OE∠=∠==2OP OE =1tan 22OE OE OPE OP OE ∠===Rt OAC 21tan 42AO OCA OC ∠===OCA OPE ∠=∠AG x ⊥AG y ∥OCA CAG ∠=∠45G OCB ∠=∠=︒CAG DPA ∠=∠ADP ÐACB ∠180ADP ACB Ð+Ð=°180GCA ACB ADP ∠=︒-∠=∠GCA ADP △∽△45G DAP ∠=∠=︒tan 3tan 453DH AH DAP =⋅∠=⨯︒=()1,3D -【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点．掌握二次函数的图像与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定和性质是解题的关键．25. 矩形中，，．点在边、上运动，连接，将射线绕点逆时针旋转，交直线CD 于点．（1）如图1，当点恰好与点重合时，则__________度；（2）过点作于点，连接．①如图2，当F 落在线段上时．求的度数；如图3，当落在线段的延长线上且时，求．【答案】（1）（2）①【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，结合三角函数，即可作答；（2）①连接，先证明，再证明，即有，问题即可作ABCD AB =6AD =E BC CD AE AE A 30︒F F C FAD ∠=E EG AF ^G DG CD GDC ∠F CD FD DG =FG AG 3060︒t an CD DAC AD ===∠AC AD AG AC AE=EAC GAD △△∽30ADG ACE ∠=∠=︒答；②连接，过点G 作交延长线于点P ，的延长线于点Q ，根据①的方法同理可证明，易得四边形是矩形，再证明，即有， 在中，可得，设，，即有 ，，可得，问题随之得解．【小问1详解】∵在矩形中，，，∴，∴在中，，∴，当点恰好与点重合时，则，故答案为：；【小问2详解】①连接，如图，在（1）中已求出，则有，根据旋转可知：，∵，∴在中，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，AC PQ BC ∥CD BA EAC GAD △△∽ADPQ QGA PGF ∽FG FP GA AQ=Rt GPD cos PD PDG DG =∠=PD =2DG a =2FD DG a ==AQ PD ==2FP FD PD a =-=ABCD AB =6AD =CD AB ==6BC AD ==Rt ACD △t an CD DAC AD ===∠30DAC ∠=︒F C 30FAD CAD ∠=∠=︒30AC 30DAC ∠=︒60ACD ∠=︒30EAF ∠=︒EG AF ^Rt AGE cos AG EAF AE =∠=cos AD CAD AC =∠=AD AG AC AE=30CAD EAF ∠=∠=︒CAD CAF EAF CAF ∠-∠=∠-∠EAC DAF ∠=∠EAC GAD △△∽∴，∴；②连接，过点G 作交延长线于点P ，延长线于点Q ，根据①的方法同理可证明，∴，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴， 在中，，，∴，设，，∵，，∴，∴，的30ADG ACE ∠=∠=︒903060GDC ADCADG ∠=∠-∠=︒-︒=︒AC PQ BC ∥CD BA EAC GAD △△∽60ADG ACE ACD ∠=∠=∠=︒ABCD AB CD 90CBD ∠=︒PQ BC ∥ADPQ AQ DP =90AQG GPD PDA ∠=∠=∠=︒90FPG Ð=°9030GDP ADG ∠=︒-∠=︒AQG FPG ∠=∠QGA FGP ∠=∠QGA PGF ∽FG FP GA AQ=Rt GPD 90GPD ∠=︒30PDG ∠=︒cos PD PDG DG =∠=PD =2DG a =2FD DG a ==AQ PD ==2FP FD PD a =-=FP AQ ==∴．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键．26. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点．（1）求二次函数的表达式．（2）求的最大值．（3）如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2（3）存在，点的横坐标为1或【解析】【分析】（1）根据求出点C 的坐标，再把点A ，C 坐标代入，求出a ，c 的值即可；（2）求出直线的解析式，设，求出的长，再根据二次函数的性质可得出的最大值；（3）根据勾股定理求出的值，证明，得，得一元二次方程，求出方程FG FP AG AQ ==xOy 2y ax 2x c =++(3,0)A OA OC =P P PG AB ⊥G AC H PH HC +H AC y M l N GM GN P 45MGN ∠=︒P 223y x x =-++P 95OA OC =2y ax 2x c =++AC ()2,23(03)P m m m x -++<<PH MG G MGN MH ∽V V MG MN MH MG=的解即可得出点P 的横坐标．【小问1详解】，，，，，把代入，得：，解得，二次函数表达式为；【小问2详解】如图1，过点作于点，设直线的解析式为，把代入得：，解得，直线的解析式为，设，则，，，，，，为等腰直角三角形，，．，(3,0)A 3OA ∴=OA OC = 3OC ∴=(0,3)C ∴(3,0),(0,3)A C 2y ax 2x c =++9603a c c ++=⎧⎨=⎩13a c =-⎧⎨=⎩∴223y x x =-++C CT PG ⊥T AC y kx b =+(3,0),(0,3)A C 303k b b +=⎧⎨=⎩13k b =-⎧⎨=⎩∴AC 3y x =-+()2,23(03)P m m m x -++<<(,3)H m m -+()222333PH m m m m m ∴=-++--+=-+OA OC = 90COA ∠=︒45OCA ∴∠=︒45TCH ∴∠=︒CTH ∴CH ∴=23PH CH m m ∴+=-+2(3m m =-+2m ⎛=-+ ⎝10-<【小问3详解】存在点使得，此时点的横坐标为1或．理由如下：如图2，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，，，轴，，，，，，同理可得，，，中，在PH CH ∴+P 45MGN ∠=︒P 95C CT PG ⊥T N NQ y ⊥Q H HR y ⊥R OA OC = 45OAC OCA ∴∠=∠=︒PG x ⊥ 45AHG ∴∠=︒45CHT ∴∠=︒45HCT ︒∴∠=HT CT m OG ∴===HC =HM HC ==2MC m =23MO MC OC m ∴=-=-Rt MGO △MG ==在对称轴上，则，，，，，，，，，，，，，，，，，存在点使得，此时点的横坐标为1或．【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，求函数的最值，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，求出，，的值是解答本题的关键．N Q 1NQ =NQ HR ∴∥45HCR ︒∠= 45RHC ∴∠=︒90MHC ∠=︒ 45MHR ∠︒∴=45MNQ QMN ∠∠︒∴==MN ∴=45AHG ∠=︒90MHC ∠=︒45GHM ∠︒∴=GMN HMG =∠∠45MGN GHM ∠=∠=︒MGN MHG ∴∽△△MG MN MH MG∴=2M MG MH N =∴⋅22(23)m m +-=∴195m =21m =∴P 45MGN ∠=︒P 95MG MH MN。

2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数学试卷（一）一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）1. 实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. 2a >−B. a b >C. 0a b +>D. 0b a −< 2. 如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC CD =；②A EBC ∠=∠；③AB EB ⊥；④CD 平分ADE ∠（ ）A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④ 二.填空题（共2小题，本题共8分，每题4分）3. 有甲､乙两组数据，如表所示： 甲 11 12 13 14 15乙 12 12 13 14 14甲､乙两组数据的方差分别为22,s s 甲乙，则2s 甲______________2s 乙（填“＞”，“＜”或“＝”）． 4. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e 的卡片写有数字_______．三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）5.计算：021)|1()2π−−−−. 6. 解不等式组：247412x x x x −<+ +−≤． 7. 已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.8. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ l ∥．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，交PA 延长线于点B ；②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，交BC 的延长线于点Q ； ③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB = ，CB = ，∴PQ l ∥（）（填推理依据）．9. 列分式方程解应用题．的的倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要0.618≈）10. 如图，在四边形ABCD 中，6810AB CD AC BC ABC BCD ====∠=∠，，，．过点D 作DE BC ⊥，延长DE 至点F ，使E F ＝D E ，连接CF ．（1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）求DE 的长．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点1A m （-，）是直线2y x =−+上一点，点A 向右平移4个单位长度得到点B（1）求B 点的坐标；（2）若直线l ：20y kx k =−≠（）与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围． 12. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知 叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：a ．乙校区学生成绩频数分布直方图如下（数据分为5组：6580x ≤<；8085x ≤<；8590x ≤<；9095x ≤<；95100x ≤<）：的b ．乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是： 91 91 92 94c ．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示： 校区平均数 中位数 方差 甲校区89.3 88.5 42.6 乙校区 89.3 m 87.2根据上述信息，解答问题：（1）m =______；（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”；（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中．13. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x ，水流的最高点到地面的距离记为y ．y 与x 的几组对应值如下表：（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 m ；（2）在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y 与x 的函数图象；（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m 时，水流的最高点到地面的距离为 m （精确到1m ）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 m （精确到1m ）． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222=−+−y x tx t t ．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；（2）点()()1122,,,P x y Q x y 在抛物线上，其中1212,1−≤≤+=−t x t x t ．①若1y 最小值是2−，求1y 的最大值；②若对于12,x x ，都有12y y <，直接写出t 的取值范围．15. 已知ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=°，P 为AE 的中点（1）如图1，点A 、B 、D 在同一条直线上，直接写出DP 与BC 的位置关系；（2）将图1中ADE 绕点A 逆时针旋转，当AD 落在图2所示的位置时，点C 、D 、P 恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明BAE ACP ∠=∠；②连接BD ，交AE 于点F ，判断线段BF 与DF 的数量关系16. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点C ，若ABC 是以AB 为一条直角边，且满足AC AB >的直角三角形，则称点C 为线段AB 的“从属点”．已知点A 的坐标为(0,1)．的的（1）如图1，若点B 为()2,1，在点()10,2C −，()22,2C ，()31,0C ，()40,3C 中，线段AB 的“从属点”是___________；（2）如图2，若点B 为()1,0，点P 在直线23y x =−−上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；（3）点B 为x 轴上的动点，直线()40y x b b =+≠与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若存在某个点B ，使得线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，直接写出b 的取值范围．2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数学试卷（一）一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）1. 实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. 2a >−B. a b >C. 0a b +>D. 0b a −<【答案】B【解析】【分析】由数轴及题意可得32,01a b −<<−<<，依此可排除选项．【详解】解：由数轴及题意可得：32,01a b −<<−<<， ∴,0,0a b a b b a >+<−>，∴只有B 选项正确，故选B ．【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键．2. 如图，将ABC 绕点C DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC CD =；②A EBC ∠=∠；③AB EB ⊥；④CD 平分ADE ∠（ ）A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④【答案】A【解析】 【分析】由旋转的性质可得AC CD BC CE AB DE A CDE ===∠=∠，，，，可判断①，由等腰三角形的性质可判断②④，由于A ABC ∠+∠不一定等于90°，于是得到ABC CBE ∠+∠不一定等于90°，故③错误．【详解】解：∵将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∴AC CD BC CE ==，，故①正确；∴ACD BCE EBC BEC ∠=∠∠=∠，， ∴1118018022A ADC ACD BCE ∠=∠=°−∠=°−∠（）（）， ∴A EBC ∠=∠，故②正确；∵将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∴A CDE ∠=∠，∵AC CD =，∴A ADC ∠=∠，∴ADC CDE ∠=∠，即CD 平分ADE ∠，故④正确；∵A ABC ∠+∠不一定等于90°，∴ABC CBE ∠+∠不一定等于90°，故③错误；故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键．二.填空题（共2分，每题4分）3. 有甲､乙两组数据，如表所示： 甲 11 12 13 14 15乙 12 12 13 14 14甲､乙两组数据的方差分别为22,s s 甲乙，则2s 甲______________2s 乙（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＞【解析】【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．【详解】解：由题意得：1112131415135x ++++=甲，1212131414135x ++++==乙，∴()()()()()2222221113121313131413151325s −+−+−+−+− =甲， ()()()()()22222212131213131314131413455s −+−+−+−+− =乙，∴425>， ∴22s s >乙甲；故答案为＞．【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．4. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e 的卡片写有数字_______．【答案】 ①. B ②. 4【解析】【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B 与第二行中c 肯定有一张为白1，若第二行中c 为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B 的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A 的位置，；第一行中C 与第二行中c 肯定有一张为白2，若第二行中c 为白2，则a ，b 只能是黑1，黑2，而A 为黑1，矛盾，∴第一行中C 为白2；第一行中F 与第二行中c 肯定有一张为白3，若第一行中F 为白3，则D ，E 只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）5.计算：021)|1()2π−−−−.【答案】-2.【解析】【详解】【分析】按顺序先分别进行零指数幂运算、绝对值化简、二次根式化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得. 详解】原式=1﹣（1）4，=1﹣4，=﹣2．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算．6. 解不等式组：247412x x x x −<+ +−≤． 【答案】16x −<≤【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集． 【详解】247412x x x x −<+ +−≤①② 解不等式①得：1x >−，【解不等式②得：6x ≤，∴不等式组的解集为：16x −<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．7. 已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)见解析；(2)m=-1,-3.【解析】【分析】（1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 【详解】解: （1）∵m≠0，∴方程mx 2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵x=()()332m m m −−±+ ，∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 8. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ l ∥．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，交PA 的延长线于点B ；②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，交BC 的延长线于点Q ； ③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB = ，CB = ，∴PQ l ∥（ ）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析 （2）AP ，CQ ，三角形中位线定理【解析】【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2【小问1详解】解：直线PQ 如图所示；【小问2详解】证明：∵AB AP CB CQ ==，， ∴PQ l ∥（三角形中位线定理）． 故答案为：AP CQ ，，三角形中位线定理．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9. 列分式方程解应用题．倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要0.618≈）【答案】边衬的宽度应设置为10厘米【解析】【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设边衬的宽度设置为x 厘米， 由题意得：8220.61502x x+=+， 解得：10x =，经检验：10x =是原方程的解，答：边衬的宽度应设置为10厘米．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．10. 如图，在四边形ABCD 中，6810AB CD AC BC ABC BCD ====∠=∠，，，．过点D 作DE BC ⊥，延长DE 至点F ，使E F ＝D E ，连接CF ．（1）求证：四边形ABFC 矩形；（2）求DE 的长．【答案】（1）见解析 （2）4.8【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到90DEC FEC ∠=∠=°，根据全等三角形的性质得到CF CD =，推出是四边形ABFC 是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）过A 作AH BC ⊥于H ，根据全等三角形的性质得到AH DE =，根据三角形的面积公式得到AB ACAH BC ⋅=．于是得到结论．【小问1详解】证明：∵DE BC ⊥，∴90DEC FEC ∠=∠=°，在DEC 与FEC 中，DE EFDEC FEC CE CE= ∠=∠ = ，∴SAS DEC FEC ≅（）△△，∴CF CD DCE FCE =∠=∠，，∵ABC BCD ∠=∠，∴ABC FCE ∠=∠，∴AB CF ，∵AB CD =，∴CF AB =，∴四边形ABFC 是平行四边形，∵6810AB AC BC ===，，，∴242AB AC BC +=，∴90BAC ∠=°，∴四边形ABFC 是矩形；【小问2详解】过A 作AH BC ⊥于H ，∴90AHB DEC ∠=∠=°，在ABH 与DCE △中，∵ABH DCEAHB DEC AB CD∠=∠∠=∠ = ，∴AAS ABH DCE ≅（）△△，∴AH DE =， ∵1122ABC S AB AC AH BC =⋅=⋅△， ∴68 4.810AB AC AH BC ⋅×===． ∴ 4.8DE AH ==．【点睛】本题考查了矩形判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得ABH DCE ≅△△是解题的关键．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点1A m （-，）是直线2y x =−+上一点，点A 向右平移4个单位长度得到点B（1）求B 点的坐标；（2）若直线l ：20y kx k =−≠（）与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围． 【答案】（1）()33，（2）5k ≤−或53k ≥【解析】 【分析】（1）将点()1A m −，代入2y x =−+，求出m ，得到点A 的坐标，再根据向右平移，横坐标相加纵坐标不变求出点B 的坐标；（2）分别求出直线l ：2y kx =−过点()13A −，、点33B （，）时k 的值，再结合函数图象即可求出b 的取值范围．【小问1详解】解：∵点()1A m −，是直线2y x =−+上一点， ∴()123m =−−+=．∴点A 的坐标为()13−，．的∴点()13−，向右平移4个单位长度得到点B 的坐标为()33，． 【小问2详解】当直线l ：2y kx =−过点()13A −，时， 得32k =−−，解得5k =−． 当直线l ：2y kx =−过点()33B ，时， 得332k =−，解得53k =．如图，若直线l ：()22y kx k =−≠与线段AB 有公共点，则5k ≤−或53k ≥．【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出点B 的坐标是解题的关键．12. 2022年10月12日，“”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知 叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：a ．乙校区学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为5组：6580x ≤<；8085x ≤<；8590x ≤<；9095x ≤<；95100x ≤<）：b ．乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是： 91 91 92 94c ．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示： 校区平均数 中位数 方差 甲校区89.3 88.5 42.6 乙校区 89.3 m 87.2根据上述信息，解答问题：（1）m =______；（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”）；（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中．【答案】（1）91 （2）乙，甲（3）50【解析】【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；（2）根据平均数，中位数，方差判断即可；（3）先求出抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分的人数，然后用样本估计总体即可求解．【小问1详解】解：由乙校区学生成绩的频数分布直方图知：9095x ≤<有4人，95100x ≤<有7人，∴乙校区抽取20名学生的竞赛成绩的中位数在9095x ≤<，又乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是：91，91，92，94，∴中位数为91+91=912m =， 故答案为：91；【小问2详解】解：∵甲、乙两校区的平均数都是89.3，而甲校区的中位数88.5小于乙校区的中位数91，∴对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是乙校，∵甲校区的方差42.6小于乙校区的方程87.2，∴甲校区的成绩更整齐，故答案为：乙，甲；【小问3详解】解：∵抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分，∴两校区不低于95分共有()20+2030%=12×人，又抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有7人，∴抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有1275−=人， ∴估计甲校区被选中人数有52005020×=人． 【点睛】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．13. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x ，水流的最高点到地面的距离记为y ．y 与x 的几组对应值如下表：（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 m ；（2）在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y 与x 的函数图象；（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m 时，水流的最高点到地面的距离为 m （精确到1m ）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 m （精确到1m ）． 【答案】（1）1 （2）见解析（3）3，13【解析】【分析】（1）由图象可得出水口到地面的距离；（2）直接描点可得图象；（3）求出y 与x 的关系式，把6x =代入可得水流的最高点到地面的距离，再根据顶点式得到水流轨迹的关系式，可得水流的射程．【小问1详解】解：由图象可得，喷枪的出水口到地面的距离为1m ，故答案为：1；【小问2详解】如图，【小问3详解】由（2）得，y 与x 是一次函数关系，设y kx b =+，把()()0142，，，代入得142b k b = +=， 解得141k b = = ，∴y 与x 的关系式为114y x =+， 当6x =时，53m 2y =≈； 设水流轨迹263w a x =−+（），把（0，1）代入得118a =−， ∴216318w x =−−+（）， 当0=w时，6x =±，负值舍去，∴613(m)x =+≈∴水流的射程为13m ．故答案为：3，13．【点睛】本题考查二次函数的实际应用、一次函数的应用，根据点的坐标得到函数关系式是解题关键． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222=−+−y x tx t t ．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；（2）点()()1122,,,P x y Q x y 在抛物线上，其中1212,1−≤≤+=−t x t x t ．①若1y 的最小值是2−，求1y 的最大值；②若对于12,x x ，都有12y y <，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）(,)t t −（2）①14x =时，1y 的最大值为2；②21t <−或32t > 【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可求解；（2）①根据抛物线的性质，对称轴为x t =，开口向上，则当1x t =时，1y 有最小值t −，进而求得t 的值，结合函数图象，当14x =时，1y 的最大值为2．②根据抛物线开口向上，离对称轴越远的点的函数值越大，分情况讨论结合函数图象即可求解．【小问1详解】解：（1）∵2222()−+−−−y x tx t t x t t ，∴抛物线的顶点坐标为(,)t t −．【小问2详解】①∵10a =>，∴抛物线222=−+−y x tx t t 开口向上∴当x t =时，y 有最小值t −．∵112−≤+t x t ，∴当1x t =时，1y 有最小值t −．∴2−=−t ．∴2t =．∴2(2)2y x =−−．∵114≤≤x ，∴结合函数图象，当14x =时，1y 的最大值为2．②根据题意可得，抛物线2()y x t t =−−的对称轴为x t =，设P 到对称轴的距离为d ，112t x t −≤≤+，1,2t t t t −<+>()12t t d t t ∴−−≤≤+−即12d ≤≤即P 到对称轴距离最大为2，1）当Q 点在P 的右侧，且12y y <，21x t =−，Q ∴到x t =的距离为112t t t −−=− 12y y <，抛物线开口向上，∴离对称轴越远则，函数值越大，∴122t −> 解得21t <− 2）当Q 点在P 的左侧，且12y y <，同理可得21x t =−，Q ∴到x t =的距离为()121t t t −−=−212t ∴−> 解得32t > 综上所述：21t <−或32t >． 【点睛】本题考查了二次函数性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．15. 已知ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=°，P 为AE 的中点（1）如图1，点A 、B 、D 在同一条直线上，直接写出DP 与BC 的位置关系；（2）将图1中的ADE 绕点A 逆时针旋转，当AD 落在图2所示的位置时，点C 、D 、P 恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明BAE ACP ∠=∠；②连接BD ，交AE 于点F ，判断线段BF 与DF 的数量关系【答案】（1）DP BC ⊥的（2）①见解析；②BF DF =．证明见解析【解析】【分析】（1）根据ADE 是等腰直角三角形，可得AD ED =，由P 为AE 的中点，依据等腰三角形性质“三线合一”，即可得到DP AE ⊥；进一步证得AE BC ∥，得出DP BC ⊥；（2）①按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得45BAE CAD BAC DAE ∠+∠=∠−∠=°，即可证明结论；②延长CP 至G ，使PG DP =，连接AG BG ，，利用SAS 证明APG APD BAG CAD ≌，≌，可得BGC APG ∠=∠，进而可得PF BG ∥，根据平行线分线段成比例定理即可证明结论．【小问1详解】解：∵ADE 是等腰直角三角形，90ADE ∠=°，∴AD ED =，∵P 为AE 的中点，∴DP AE ⊥；又∵ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，∴45EAD ABC ∠=∠=°，∴AE BC ∥，∴DP BC ⊥；【小问2详解】①补全图形如图2所示；证明：∵ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=°，∴45DAE AD ED ∠=°=，，∵P 为AE 的中点，∴45ADP EDP ∠=∠=°， ∴45BAE CAD BAC DAE ∠+∠=∠−∠=°，∵45CAD ACP ADP ∠+∠=∠=°，∴BAE ACP ∠=∠；②BF DF =．证明如下：如图3，延长CP 至G ，使PG PD =，连接BG BG ，，∵ADE 是等腰直角三角形，90ADE ∠=°，∴45AD DE DAE =∠=°，，∵P 为AE 中点，∴90APD APG AP DP PG ∠=∠=°==，，∴SAS APG APD ≌（）， ∴45AG AD PAG DAE AGP =∠=∠=∠=°，，∴90GAD BAC ∠=∠=°， ∴90BAG BAD CAD BAD ∠+∠=∠+∠=°，∴BAG CAD ∠=∠，∵AG AD AB AC ==，，∴SAS BAG CAD ≌（）， ∴180135AGB ADC ADP ∠=∠=°−∠=°，∴90BGC AGB AGP ∠=∠−∠=°，∴BGC APG ∠=∠，∴PF BG ∥， ∴1DFDP BF PG==， ∴BF DF =．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，旋转变换的的性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．16. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点C ，若ABC 是以AB 为一条直角边，且满足AC AB >的直角三角形，则称点C 为线段AB 的“从属点”．已知点A 的坐标为(0,1)．（1）如图1，若点B 为()2,1，在点()10,2C −，()22,2C ，()31,0C ，()40,3C 中，线段AB 的“从属点”是___________；（2）如图2，若点B 为()1,0，点P 在直线23y x =−−上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；（3）点B 为x 轴上的动点，直线()40y x b b =+≠与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若存在某个点B ，使得线段MN 上恰有2个线段AB “从属点”，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）1C ，2C（2）25,33 −− 或41,33 −−（3）5b >或4b <−【解析】【分析】（1）按照“从属点”的定义分别对四个点进行分析即可；（2）分90ABP ∠=°和90BAP ∠=°两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解； （3）画出图象，分0b >和0b <两种情况，分别求出其临界值，从而得到b 的取值范围．【小问1详解】解：1(02)C -，，则132AC AB =>=，且ABC 为直角三角形，故1C 是线段AB 的“从属点”；2(22)C ，，则22AC AB =>=，且ABC 为直角三角形，故2C 是线段AB 的“从属点”；3(1,0)C ，则AB 不是直角边，故3C 不是线段AB 的“从属点”；4(0,3)C ，则42AC AB ==，故4C 不是线段AB 的“从属点”；综上：线段AB 的“从属点”是1C ，2C【小问2详解】解：设点P 的坐标为(),23a a −−，点P 为线段AB 的“从属点”，①90ABP ∠=°时，由题意可知：1OAOB ==， ∴OAB 为等腰直角三角形，∴45ABO ∠=°，∴45OBP ∠=°， 过点P 作PF y ⊥轴，垂足为F ，BP 交y 轴于点E ，可知OBE △和PEF 为等腰直角三角形，∴1OE OB ==，PF EF a ==−，∴1OF a =−，则123a a −+，解得：23a =−，∴点P 的坐标为25,33 −−，此时AP AB >；②90BAP ∠=°时，过点P 作PG x ⊥轴，垂足为G ，AP 交x 轴于点H ，同理可知：45OAP AHO PHG ∠=°=∠=∠，∴AOH △和PHG 为等腰直角三角形，∴1AO HO ==，23PG HG a ==+，∴24OGa =+， 则24a a −−=，解得：43a =−， ∴点P 的坐标为41,33 −−，此时AP AH HP AB =+>；综上，点P 的坐标为：25,33 −− 或41,33 −−【小问3详解】 解：如图，AC AE AB ==由“从属点”的定义可知：线段AB 的从属点在射线1CC ，1EE ，BD 上，当0b >时，当点B 和原点重合时，若要满足线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，则点C 在线段MN 上此时点1(1,1)C −，代入4y x b =+，得：5b = 从而当5b >时，总能找到点B ，满足条件，故5b >当0b <时，若要满足线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，如图，当点E 和M 重合时，AB AE =ABE ∴ 为等腰直角三角形可得：1AO EO ==，即(1,0)E ，代入4y x b =+，得：4b =− 而当4b >−时，四条射线1CC 、1DD 、1EE 、1FF 无法与线段MN 产生两个交点，从而当4b <−时，总能找到点B ，满足条件，故4b <−综上，b 的取值范围是：5b >或4b <−【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行数形结合分析．。

2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷一、选择题（共8小题）1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．三棱柱D．长方体2．故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面积最大．请将720000用科学记数法表示应为（）A．0.72×105B．7.2×105C．7.2×104D．72×1033．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜04．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF 等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°5．如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式x（x+2）+（x+1）2的值是（）A．﹣5B．5C．3D．﹣36．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b7．如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BF A 的面积比为（）A．1：B．1：2C．1：4D．1：88．某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），使得，则n的取值不可能为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：4a2﹣28ab＝．11．把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是．12．数据组：28，37，32，37，35的中位数是．13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为．14．如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为6，则k＝．15．小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是．16．小夏同学从家到学校有A ，B 两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时频数公交车线25≤t ≤3030＜t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤45合计A 59151166124500B4357149251500据此估计，早高峰期间，乘坐B 线路“用时不超过35分钟”的概率为；若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐（填A或B ）线路．三、解答题：（共68分）17．计算：．18．解不等式组：．19．下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，▱ABCD ．求证：∠BAD ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ．方法一：证明：如图，连接AC ．方法二：证明：如图，延长BC 至点E ．方法三：证明：如图，连接AC 、BD ，AC 与BD 交于点O ．20．关于x 的方程x 2﹣2x +2m ﹣1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．21．如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．（1）求证：四边形OMPN是矩形；（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．22．已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，2），（3，﹣4）两点且与y轴交于A点．（1）求函数解析式及点A的坐标；（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝kx+b的值，求m 的取值范围．23．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月之间存在如图2（一段抛物线）所示的变化趋势．（1）分别求函数y1和y2的表达式；（2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？24．抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC＝90°，请直接写出实数m的取值范围．25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点D作DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，CF＝CD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若，求⊙O半径的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）若c＝4，点C（﹣2，4）在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标（0，﹣2），过原点的直线OC与直线AB交于C，∠COA＝∠OCA＝∠OBA＝30°，AB＝4．（1）点C坐标为，OC＝，△BOC的面积为，＝；（2）点C关于x轴的对称点C′的坐标为；（3）过O点作OE⊥OC交AB于E点，则△OAE的形状为，请说明理由；（4）在坐标平面内是否存在点F使△AOF和△AOB全等，若存在，请直接写出F坐标；若不存在，请说明理由．28．已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC＝45°时，求证：CE ＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当AE＝CE＝3时，求CD的长．2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷参考答案与试题解析（3月份）一、选择题（共8小题）1．【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱．故选：A．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．2．【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．【解答】解：将720000用科学记数法表示应为7.2×105．故选：B．【点评】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．3．【分析】根据数轴确定a，b的大小与符号，然后根据实数的运算法则计算即可．【解答】解：由数轴可知，a＜﹣2，故A结论错误，不符合题意；a＜﹣2，0＜b＜1，|a|＞b，故B结论正确，符合题意；a＜0，b＞0，|a|＞|b|，a+b＜0，故C结论错误，不符合题意；a＜0，b＞0，b﹣a＝b+（﹣a）＞0，故D结论错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，解题的关键是关键数轴确定a，b的符号与绝对值的大小．4．【分析】依据AB∥EF，即可得∠FCA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，∴∠FCA＝∠A＝30°．∵∠F＝∠E＝45°，∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，则原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝5，故选：B．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．6．【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【解答】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜2；所以：A、B、C都是错误的；故选：D．【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．7．【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴△CEF∽△ABF，∴＝，∵E为DC的中点，∴＝＝，∴＝．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF ∽△ABF是解题关键．8．【分析】设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）也都在函数y＝kx的图象上，根据正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点的个数即可得出答案．【解答】解：设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）也都在函数y＝kx 的图象上，即：正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点，由图象可知，正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点可能有1个或2个或3个或4个或5个．故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象，数形结合是解题的关键．二、填空题9．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≠0，解得x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．【分析】原式提取公因式即可．【解答】解：原式＝4a（a﹣7b）．故答案为：4a（a﹣7b）．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．11．【分析】分析命题的题设和结论，写成“如果…那…”的形式即可．【解答】解：命题“不相等的角不是对顶角”的题设是两个角不相等，结论为这两个角不是对顶角．改写成“如果…那…”的形式为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．故答案为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．【点评】本题考查了命题即相关知识，掌握命题的形式是解决本题的关键．12．【分析】先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可得出答案．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：28，32，35，37，37，最中间的数是35，则中位数是35．故答案为：35．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．13．【分析】利用扇形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意，∠FAB＝120°，AF＝AB＝2，＝＝，∴S阴故答案为：．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积S ＝．14．【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE，和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6．设D点的横坐标为x，纵坐标就为，∵D为OB的中点．∴EA＝x，AB＝，∴四边形DEAB的面积可表示为：（+）x＝6k＝4．故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．15．【分析】设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可．【解答】解：设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，依题意得：，解这个方程组得：，则小亮的得分是2x+3y＝6+15＝2（1分）．故答案为21；【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．16．【分析】用乘坐B线路“用时不超过35分钟”的班次数量除以总数量即可得出答案；先结合表中数据得出两线路40分钟之内到达学校的概率，从而得出答案．【解答】解：由表知，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为＝，∵A线路40分钟之内到达学校的概率为＝0.752，B线路40分钟之内到达学校的概率为＝0.498，∴若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐A线路，故答案为：，A．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．三、解答题：（共68分）17．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用负整数指数幂法则计算．【解答】解：原式＝，＝，＝9．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分．【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，解不等式，得：x＜5，则不等式组的解集为：﹣2≤x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：选择方法一：如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠DCA，∴∠BAC＝∠DAC，在△ADC与△BCA中，，∴△ADC≌△BCA（SAS），∴∠B＝∠D，即平行四边形的对角相等．【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行．20．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．21．【分析】（1）由三角形中位线定理得PM∥OC，PN∥OD，得四边形OMPN是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠MON＝90°，即可得出结论；（2）证△ABD是等边三角形，得AD＝BD＝AB＝4，得OD＝2，再由勾股定理得OA＝2，则AN＝OA+ON＝3，然后由矩形的性质得NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点，∴PM、PN是△OCD的中位线，∴PM∥OC，PN∥OD，∴四边形OMPN是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠MON＝90°，∴平行四边形OMPN是矩形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，∴OD＝BD＝2，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，∴OC＝2，∵M，N分别为OD，OC的中点，∴OM＝OD＝1，ON＝OC＝，∴AN＝OA+ON＝3，由（1）可知，四边形OMPN是矩形，∴NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，∴AP＝＝＝2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22．【分析】（1）把2个已知点的坐标分别代入y＝kx+b中得到关于k、b的方程组，再解方程组求出k、b，从而得到以此函数解析式，然后计算自变量为0对应的函数值得到点A 的坐标；（2）根据题意，当m≥0，x＝1时，函数y＝mx的函数值比y＝﹣3x+5的函数值小，所以m≤﹣3+5；当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，所以﹣3≤m＜0．【解答】解：（1）把（1，2），（3，﹣4）分别代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣3x+5，当x＝0时，y＝﹣3x+5＝5，∴A点坐标为（0，5）；（2）∵x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝﹣3x+5的值，当m≥0时，x＝1时，m≤﹣3+5，即m≤2，当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，则﹣3≤m＜0，∴m的取值范围为﹣3≤m≤2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象与系数的关系．23．【分析】（1）设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，用待定系数法求解即可；（2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，将（6，10），（9，9）代入y1＝kx+b，得：，解得，∴y1＝﹣x+12；将（11，14）代入y2＝a（x﹣5）2+8，得：14＝a（11﹣5）2+8，解得a＝，∴y2＝（x﹣5）2+8，函数y1和y2的表达式分别为y1＝﹣x+12，y2＝（x﹣5）2+8；（2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得：w＝﹣x+12﹣[（x﹣5）2+8]＝﹣（x﹣4）2+2.5，＝2.5．∴当x＝4时，w有最大值，w最大∴销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是2.5元．【点评】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．24．【分析】（1）由y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）首先令x＝0，求得点C的坐标，然后设直线BC的解析式为y＝kx+b′，由待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），＝S△PDC+S△PDB，得到S△BDC＝﹣（a﹣）2+，利用二次求出PD的长，由S△BDC函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，点P的坐标；（3）将x＝代入抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3求出点P的纵坐标，过点C作CG⊥DF，然后分①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大，然后根据勾股定理得出CD2+DM2＝CM2，列出关于m的方程，解方程求出m的最大值；②点N在线段GF上时，设GN＝x，然后表示出NF，根据同角的余角相等求出∠NCG＝∠MNF，然后证明△NCG和△MNF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出MF，再根据二次函数的最值问题求出y的最大值，然后求出MO，从而得到点M的坐标，求出m的最小值．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝3，即C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，＝S△PDC+S△PDB＝PD•a+PD•（3﹣a）＝PD•3＝（﹣a2+3a）＝﹣（a ∴S△BDC﹣）2+，∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）将x＝代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣（）2+2×+3＝，∴点D的坐标为（，）．过点C作CG⊥DF，则CG＝．①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大．∵∠MNC＝90°，∴CD2+DM2＝CM2，∵C（0，3），D（，），M（m，0），∴（﹣0）2+（﹣3）2+（m﹣）2+（0﹣）2＝（m﹣0）2+（0﹣3）2，解得m＝．∴点M的坐标为（，0），即m的最大值为；②点N在线段GF上时，设GN＝x，则NF＝3﹣x，∵∠MNC＝90°，∴∠CNG+∠MNF＝90°，又∵∠CNG+∠NCG＝90°，∴∠NCG＝∠MNF，又∵∠NGC＝∠MFN＝90°，∴Rt△NCG∽△MNF，∴＝，即＝，整理得，MF＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时（N与P重合），MF有最大值，此时M与O重合，∴M的坐标为（0，0），∴m的最小值为0，故实数m的变化范围为0≤m≤．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．25．【分析】（1）连接OC，则∠OCB＝∠OBC，由CD⊥AB于点E，得∠BEC＝90°，由CH⊥DF，CF＝CD，得∠FCH＝∠DCH，则∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC ＝90°，即可证明CF是⊙O的切线；（2）由垂径定理得CE＝DE，而CD＝CF＝8，所以CE＝CD＝4，由＝tan∠DCB＝，则BE＝CE＝2，根据勾股定理得（OC﹣2）2+42＝OC2，即可求得OC＝5，则⊙O半径的长是5．【解答】（1）证明：连接OC，则OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵CD⊥AB于点E，∴∠BEC＝90°，∵DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，∴CH⊥DF，∵CF＝CD，∴∠FCH＝∠DCH，∴∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，∴CF是⊙O的切线．（2）解：∵AB⊥CD，∴∠OEC＝∠BEC＝90°，CE＝DE，∵CD＝CF＝8，∴CE＝CD＝×8＝4，∵＝tan∠DCB＝，∴BE＝CE＝×4＝2，∵OE2+CE2＝OC2，OE＝OB﹣2＝OC﹣2，∴（OC﹣2）2+42＝OC2，解得OC＝5，∴⊙O半径的长是5．【点评】此题重点考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．26．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式后，利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；（2）分a＞0、a＜0两种情况，结合函数图象，分别求解即可．【解答】解：（1）若c＝4，则抛物线为y＝ax2﹣2x+4（a≠0），∵点C（﹣2，4）在抛物线上，∴4＝4a+4+4，∴a＝﹣1，∴抛物线为y＝﹣x2﹣2x+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）当a＞0时，如图1．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＞0，∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∴＞2，∴0＜a＜；（ⅱ）当a＜0时，如图2．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，∴抛物线与线段AB只有一个公共点A，∴a＜0，综上所述，a的取值范围是：0＜a＜或a＜0．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论、数形结合是解题的关键．27．【分析】（1）先由∠OBA＝30°、AB＝4得到OA的长，即可得到点A的坐标，过点C 作CD⊥x轴于点D，然后结合∠COA＝∠OCA＝30°求得AC的长，进而得到AD、CD 的长，即可得到点C的坐标；然后得到OC的长；由点B的坐标得到OB的长，进而得到△BOC的面积；由点A、点B、点C的坐标求得△OAC和△OAB的面积，再求得的值；（2）直接由点C的坐标求得点C'的坐标；（3）由OE⊥OC得到∠COE＝90°，然后由∠COA＝30°求得∠AOE＝60°，再由∠OBA＝30°求得∠OAE＝60°，即可得到∠AOE＝∠OAB＝60°，从而得到△OAE是等边三角形；（4）分情况讨论：①△AOB≌△AOF；②△AOB≌OAF，然后作出对应的图形求得点F 的坐标．【解答】解：（1）∵点B（0，﹣2），∴OB＝2，∵AB＝4，∠OBA＝30°，∠AOB＝90°，∴OA＝2，即A（2，0），∵∠AOC＝∠ACO＝30°，∴AC＝OA＝2，∠OAB＝60°，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＝60°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝，∴OD＝OA+AD＝2+1＝3，∴C（3，），＝＝＝3，∴OC＝2，S△BOC＝＝，S△OAB＝＝2，∴S△AOC∴＝，故答案为：（3，），2，3，．（2）∵C（3，），点C与点C'关于x轴对称，∴C'（3，﹣），故答案为：（3，﹣）；（3）∵OE⊥OC，∴∠COE＝90°，∵∠COA＝30°，∴∠AOE＝60°，∵∠OAE＝60°，∴∠AOE＝∠OAB＝60°，∴△OAE是等边三角形，故答案为：等边三角形；（4）在坐标平面内存在点F使△AOF和△AOB全等；理由如下：①如图1，当△AOB≌△AOF时，OB＝OF，∵OB＝2，∴OF＝2，∴F1（0，2），F2（0，﹣2），②如图2，当△AOB≌OAF时，AF＝OB，∴AF＝2，∴F3（2，2），F4（2，﹣2），综上所述，存在F1（0，2），F2（0，﹣2），F3（2，2），F4（2，﹣2），使得△OAB与△OAF全等．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形三边关系、等腰三角形、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过含30°角的直角三角形三边关系求得相关线段的长度．28．【分析】（1）根据圆周角定理，将2∠ADB+∠CDB转化为△ABC的内角和即可；（2）过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，利用ASA证明△CEN≌△CGN，从而证明结论；（3）连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，先证AQ⊥BC，再证EH＝GH，在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，求得PE＝HE＝，由△CDE∽△BAE，即可求得CD的值．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠ADC＝∠CDB+∠ADB，∴∠ADC+∠ABC＝∠CDB+∠ADB+∠ADB＝∠CDB+2∠ADB＝180°，∴2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）证明：过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，如图1，∵∠DBC＝45°，∴∠MCB＝180°﹣∠CNB﹣∠DBC＝45°，∴∠MCB＝∠DBC＝45°，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∴∠ACM＝∠DBA，∵∠CNG＝∠GFB，∠NGC＝∠FGB，∴∠NCG＝180°﹣∠CNG﹣∠NGC＝180°﹣∠GFB﹣∠FGB＝∠GBF＝∠ECN，在△CEN与△CGN中，，∴△CEN≌△CGN（ASA），∴CE＝CG；（3）解：如图2，在DE上取EP＝EH，连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O 作OM⊥AB于M，∵E为AC的中点，∴OE⊥AC，∵AB＝AC，∴OE＝OM，∴AQ平分∠CAB，∴AQ⊥BC，∵CQ＝BQ，点H在AQ上，∴CH＝BH，∵∠DBC＝45°，∴∠HCB＝∠DBC＝45°，∴∠CHB＝180°﹣∠HCB﹣∠DBC＝90°，∴CH⊥BD，∵CE＝CG，∴EH＝GH，∵在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，∴AP∥CH，AP＝CH，∠APH＝90°，∵∠AHP＝∠BHQ＝45°，设PE＝x，∴AP＝PH＝2PE＝2x，AH＝PH＝2x，∵AH2﹣PH2＝AE2﹣PE2，∴8x2﹣4x2＝32﹣x2，3解得：x＝，∴PE＝HE＝，∴AP＝PH＝CH＝BH＝，BE＝，∴AH＝PH＝，∴HQ＝BH＝，在Rt△ABQ中，BQ＝HQ＝，AQ＝+＝，∴AB＝＝6，∵弦AC与BD相交于E，∴△CDE∽△BAE，∴＝，∴CD＝＝＝2；方法二：作DL⊥AC，如图4，∵∠DLA＝90°，∠DBC＝45°，∴△DLA是等膘直角三角形，∴DL＝AL，∵CF⊥AB，∠DBA+∠FGB＝90°，CE＝CG，∴∠FGB＝∠CGE＝∠CEG＝∠DEL，∴∠DBA＝∠ACE＝∠EDL，∵△DLE∽△DCL，设DL为x，则CL＝6﹣x，∴＝，解得：x＝2，∴CL＝4，∴CD＝＝2．【点评】本题考查圆的综合应用，掌握圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键。

2024年北京市清华附中数学九上开学复习检测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列计算中正确的是（）A =B 1-=C ．3+=D ．32=2、（4分）高跟鞋的奥秘：当人肚脐以下部分的长m 与身高，的比值越接近0.618时，越给人以一种匀称的美感，如图，某女士身高170cm ，脱去鞋后量得下半身长为102cm ，则建议她穿的高跟鞋高度大约为（）A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm 3、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P(1，0)．点P 第1次向上跳动1个单位至点P 1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P 2(﹣1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P 3，第4次向右跳动3个单位至点P 4，第5次又向上跳动1个单位至点P 5，第6次向左跳动4个单位至点P 6，…．照此规律，点P 第100次跳动至点P 100的坐标是()A ．(﹣26，50)B ．(﹣25，50)C ．(26，50)D ．(25，50)4、（4分）如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点D 在BC 上，且AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．35、（4分）下列说法中，正确的是（）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的矩形是正方形D ．对角线互相垂直的四边形是菱形6、（4分）已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=1．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP和△DCE 全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D．3或77、（4分）如图．在正方形ABCD 中4AB =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，则 PC PE +的最小值是()A ．B ．C ．D ．2+8、（4分）已知一个多边形的每个外角都要是60°，则这个多边形是（）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知一次函数y ＝kx +3k +5的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为_____10、（4分）中，字母x 的取值范围是__________．11、（4分）如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB 、CD 分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长约为12米，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 约为________米．12、（4分）如图，在ABC 中，260AB BAC =∠=︒，，点D 是边BC 的中点，点E 在边AC 上运动，若DE 平分ABC 的周长时，则DE 的长是_______．13、（4分）若一组数据121,1,,1n x x x +++的平均数为17，方差为2，则另一组数据122,2,,2n x x x +++的平均数和方差分别为（）A ．17，2B ．18，2C ．17，3D ．18，3三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h ，精确到1h ，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中百分数a 的值为_____，所抽查的学生人数为______．（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全条形统计图．（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．（4）如果该校共有学生1800名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数．15、（8分）如图，在ABC ∆中，90B =∠，7AB cm =，9BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动．（1）如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ？（2）如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于7cm ？16、（8分）（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN 的度数是多少，并证明你的结论；（2）将图1中的三角形纸片BMN 剪下，如图2，折叠该纸片，猜测MN 与BM 的数量关系，无需证明．17、（10分）如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 的中点，仅用无刻度的直尺按要求画图.(保留作图痕迹，不写作法)(1)在图①中画出AD 的中点H;(2)在图②中的菱形对角线BD 上，找两个点E 、F ，使BE=DF.18、（10分）如图，一次函数y=34x+6的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与点A 关于y 轴对称.动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 与点A 、C 不重合），且满足∠BPQ=∠BAO ．(1)求点A 、B 的坐标及线段BC 的长度；(2)当点P 在什么位置时，△APQ ≌△CBP,说明理由；(3)当△PQB 为等腰三角形时，求点P 的坐标.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）2-1=_____________20、（4分）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是的边AB ，BC 边的中点.若5AB =，8BD =，则线段EF 的长为______．21、（4分）已知一元二次方程29180x x -+=的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC 的周长为__________．22、（4分）如图，菱形ABCD 的周长为20，对角线AC 与BC 相交于点O ，AC=8，则BD=________.23、（4分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，E 为AB 上一点，分别以 ED ，EC 为折痕将两个角（A ∠，B Ð）向内折起，点A ，B 恰好都落在CD 边的点F 处．若3AD =，5BC =，则EF =________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某人购进一批琼中绿橙到市场上零售，已知卖出的绿橙数量x(千克)与售价y(元)的关系如下表：数量x(千克)12345…售价y(元)2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…(1)写出售价y(元)与绿橙数量x(千克)之间的函数关系式；(2)这个人若卖出50千克的绿橙，售价为多少元？25、（10分）如图，(1,0)A -，(1,4)C ，点B 在x 轴上，且3AB =.(1)求点B 的坐标，并画出ABC ∆;(2)求ABC ∆的面积;(3)在y 轴上是否存在点P ，使以,,A B P 三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请直接写出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.26、（12分）解不等式组：2931213x x x +≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】分析：根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一计算即可．详解：A、B、C、3D32，故本选项正确．故选：D．点睛：本题考查的是二次根式的加减法，在进行二次根式的加减运算时要把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．2、C【解析】先设出穿的高跟鞋的高度，再根据黄金分割的定义列出算式，求出x的值即可．【详解】解：设需要穿的高跟鞋是x（cm），根据黄金分割的定义得：1020.618170xx+=+，解得：8x ，∴建议她穿的高跟鞋高度大约为8cm；故选：C.本题主要考查了黄金分割的应用．掌握黄金分割的定义是解题的关键，是一道基础题．3、C【解析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100250÷=，其中4的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴的右侧.1P 横坐标为1，4P 横坐标为2，8P 横坐标为3，以此类推可得到100P 的横坐标．【详解】解：经过观察可得：1P 和2P 的纵坐标均为1，3P 和4P 的纵坐标均为2，5P 和6P 的纵坐标均为3，因此可以推知99P 和100P 的纵坐标均为100250÷=；其中4的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴的右侧.1P 横坐标为1，4P 横坐标为2，8P 横坐标为3，以此类推可得到：n P 的横坐标为41n ÷+（n 是4的倍数）.故点100P 的横坐标为：1004126÷+=，纵坐标为：100250÷=，点P 第100次跳动至点100P 的坐标为()26,50.故选：C ．本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．4、C 【解析】分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，然后根据勾股定理求出AD 的长即可.详解：∵AB=AC=5，AD 平分∠BAC ，BC=6∴BD=CD=3，∠ADB=90°∴AD=故选C.点睛：本题考查了等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．5、C【解析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断.【详解】对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误；有一组邻边相等的矩形是正方形，故C正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D错误；故本题答案应为：C.平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法以及定义是本题的考点，熟练掌握其判定方法是解题的关键.6、C【解析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=11-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=11-2t=2，解得t=2．所以，当t的值为1或2秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．7、A【解析】根据正方形的性质得到点A和点C关于BD对称，BC=AB=4，由线段的中点得到BE=2，连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：四边形ABCD为正方形C关于BD的对称点为A．连结AE交BD于点P，如图：此时 PC PE +的值最小，即为AE 的长．∵E 为BC 中点，BC=4，∴BE=2，∴AE ===．故选：A.本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．8、B 【解析】根据多边形的边数等于310°除以每一个外角的度数列式计算即可【详解】310°÷10°＝1．故这个多边形是六边形．故选：B ．此题考查多边形内角与外角，难度不大二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、－2【解析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】由已知得：350{0k k +＞＜，解得：-53＜k ＜2．∵k 为整数，∴k=-2．故答案为：-2．本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象与系数的关系找出关于系数的不等式（或不等式组）是关键．10、1x 【解析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．【详解】根据题意得：x ﹣1≥0，解得：x ≥1．故答案为x ≥1．a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．11、1【解析】过点C 作CE ⊥AB ，交AB 的延长线于E ，∵∠ABC =150°，∴∠CBE =30°，在Rt △BCE 中，∵BC =12，∠CBE =30°，∴CE =BC =1．故答案是1．点睛：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．【解析】延长CA 至M ，使AM=AB ，连接BM ，作AN ⊥BM 于N ，由DE 平分△ABC 的周长，又CD=DB ，得到ME=EC ，根据中位线的性质可得DE=12BM ，再求出BM 的长即可得到结论．【详解】解：延长CA 至M ，使AM=AB ，连接BM ，作AN ⊥BM 于N ，∵DE 平分△ABC 的周长，CD=DB ，∴ME=EC ，∴DE=12BM ，∵∠BAC=60°，∴∠BAM=120°，∵AM=AB ，AN ⊥BM ，∴∠BAN=60°，BN=MN ，∴∠ABN=30°，∴AN=12AB=1，∴BN=∴∴，．本题考查了三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，作出辅助线综合运用基本性质进行推理是解题的关键．13、B【解析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．∵数据x1+1，x1+1，，x n+1的平均数为17，∴x1+1，x1+1，，x n+1的平均数为18，∵数据x1+1，x1+1，，x n+1的方差为1，∴数据x1+1，x1+1，，x n+1的方差不变，还是1；故选B．本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x1，，x n的平均数为x，方差为S1，那么另一组数据ax1+b，ax1+b，，ax n+b的平均数为a x+b，方差为a1S1．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）45%，60人；（2）18人，条形统计图见解析；（3）众数7，平均数7.2；（4）1170人．【解析】（1）用1减去每天的平均睡眠时间为6小时，8小时，9小时所占的百分比即可求出a的值，用每天的平均睡眠时间为6小时的人数除以其所占的百分比即可得到总人数；（2）用总人数乘以每天的平均睡眠时间为8小时所占的百分比即可求出睡眠时间为8小时的人数，用总人数乘以a的值即可求出睡眠时间为7小时的人数，然后即可补全条形统计图；（3）根据众数和平均数的定义计算即可；（4）先计算出睡眠时间少于8小时的人所占的百分比，然后用总人数1800乘以这个百分比即可得出答案．【详解】a=---=，（1）120%30%5%45%÷=（人）；所抽查的学生人数为1220%60⨯=（人），（2）平均睡眠时间为8小时的人数为6030%18⨯=（人），平均睡眠时间为7小时的人数为6045%27条形统计图如下：（3）由扇形统计图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，所以这部分学生的平均睡眠时间的众数为7，平均数为1262771881937.260⨯+⨯+⨯+⨯=；（4）12271800117060+⨯=（人）本题主要考查条形统计图和扇形统计图，掌握条形统计图和扇形统计图以及众数，平均数的求法是解题的关键．15、（1）出发1秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ；（2）出发0秒或2.8秒后，PQ 的长度等于7cm ．【解析】（1）设x 秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ，根据路程=速度×时间，即可用x 表示出AP 、BQ 和BP 的长，然后根据三角形的面积公式列一元二次方程，并解方程即可；（2）设y 秒后，PQ 的长度等于7cm ，根据路程=速度×时间，即可用y 表示出AP 、BQ 和BP 的长，利用勾股定理列一元二次方程，并解方程即可．【详解】解：（1）设x 秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ，∵点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动∴AP x =，2BQ x=∴7BP x=-则有1(7)262x x -⨯=∴121,6x x ==（此时2×6=12＞BC ，故舍去）答：出发1秒后，PBQ ∆的面积等于62cm （2）设y 秒后，PQ 的长度等于7cm ∵点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动∴AP y =，2BQ y =∴7BP y =-222(7)(2)7y y -+=解得120, 2.8y y ==答：出发0秒或2.8秒后，PQ 的长度等于7cm ．此题考查的是一元二次方程的应用，掌握几何问题中的等量关系和行程问题公式是解决此题的关键．16、（1）30º，见解析．（2）12MN BM =【解析】（1）猜想：∠MBN=30°．如图1中，连接AN ．想办法证明△ABN 是等边三角形即可解决问题；（2）MN=12BM ．折纸方案：如图2中，折叠△BMN ，使得点N 落在BM 上O 处，折痕为MP ，连接OP ．只要证明△MOP ≌△BOP ，即可解决问题.【详解】（1）猜想：∠MBN=30°．证明：如图1中，连接AN ，∵直线EF 是AB 的垂直平分线，∴NA=NB，由折叠可知，BN=AB，∴AB=BN=AN，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN=60°，∴NBM=∠ABM=12∠ABN=30°．（2）结论：MN=12BM．折纸方案：如图2中，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP．理由：由折叠可知△MOP≌△MNP，∴MN=OM，∠OMP=∠NMP=12∠OMN=30°=∠B，∠MOP=∠MNP=90°，∴∠BOP=∠MOP=90°，∵OP=OP，∴△MOP≌△BOP，∴MO=BO=12BM，∴MN=12BM．本题考查翻折变换、矩形的性质、剪纸问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17、见解析【解析】分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC、BD的中点，然后根据三角形的中位线判定与性质，即可画图得到H点；（2）根据①的作图中的H点，连接AP，HC，交BD于E、F点，则BE=DF.详解：图①作法如图所示：图②作法如图所示：点睛：此题主要考查了菱形的判定与性质，三角形的中位线的判定与性质，以及三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性比较强，灵活利用判定与性质的进行推理是画图的关键.18、A（－4，0），B（0，3），BC=1；（1，0）；（1，0）或（，0）．【解析】试题分析：根据函数解析式和勾股定理求出点A和点B的坐标以及BC的长度；根据全等的性质得出点P的坐标；本题分PQ=PB，BQ=BP乙BQ=PQ三种情况分别进行计算得出点P的坐标．试题解析：（1）点A坐标是（-4，0），点B的坐标（0，3），BC=1．（2）点P在（1，0）时（3）i）当PQ=PB时，△APQ≌△CBP，由（1）知此时点P（1，0）ii）当BQ=BP时，∠BQP=∠BPQ∠BQP是△APQ的外角，∠BQP＞∠BAP，又∠BPQ=∠BAO ∴这种情况不可能iii）当BQ=PQ时，∠QBP=∠QPB又∠BPQ=∠BAO，∴∠QBP=∠BAO，则AP=4+x，BP=∴4+x=，解得x=，此时点P的坐标为：（，0）考点：一次函数的应用一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】根据负指数幂的运算法则即可解答.【详解】原式=2-1=12.本题考查了负指数幂的运算法则，牢记负指数幂的运算法则是解答本题的关键.20、3【解析】由菱形性质得AC⊥BD,BO=118422BD =⨯=,AO=12AC ,由勾股定理得3==,由中位线性质得EF=132A C =.【详解】因为，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，所以，AC ⊥BD,BO=118422BD =⨯=,AO=12AC ,所以，3==,所以，AC=2AO=6,又因为E ，F 分别是的边AB ，BC 边的中点.所以，EF=132A C =.故答案为3本题考核知识点：菱形，勾股定理，三角形中位线.解题关键点：根据勾股定理求出线段长度，再根据三角形中位线求出结果.21、2【解析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是3和1，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是1，底是3，然后可以求出三角形的周长．【详解】x 2-9x+18=0（x-3）（x-1）=0解得x 1=3，x 2=1．由三角形的三边关系可得：腰长是1，底边是3，所故周长是：1+1+3=2．故答案为：2．此题考查解一元二次方程-因式分解，解题关键在于用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长．22、1【解析】分析:根据菱形的四条边都相等可得AB =5，根据菱形的两条对角线互相垂直且平分可得AC ⊥BD ，AO=12AC =4，BO =DO ，再利用勾股定理计算出BO 长，进而可得答案．详解:∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =12，AC =4，BO =DO ，AD =AB =DC =BC ，∵菱形ABCD 的周长为20，∴AB=5，∴BO =3，∴DO =3，∴DB =1，故答案为：1．点睛:此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．【解析】先根据折叠的性质得EA=EF ，BE=EF ，DF=AD=3，CF=CB=5，则AB=2EF ，DC=8，再作DH ⊥BC 于H ，由于AD ∥BC ，∠B=90°，则可判断四边形ABHD 为矩形，所以DH=AB=2EF ，HC=BC-BH=BC-AD=2，然后在Rt △DHC 中，利用勾股定理计算出DH=EF=【详解】解：∵分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ，∠B ）向内折起，点A ，B 恰好落在CD 边的点F 处，∴EA=EF ，BE=EF ，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF ，DC=DF+CF=8，作DH ⊥BC 于H ，∵AD ∥BC ，∠B=90°，∴四边形ABHD 为矩形，∴DH=AB=2EF ，HC=BC-BH=BC-AD=5-3=2，在Rt △DHC 中，=∴EF=12.本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)y=2.1x ；(2)这个人若卖出50千克的绿橙，售价为1元．【解析】（1）根据表中所给信息，判断出y 与x 的数量关系，列出函数关系式即可；（2）把x=50代入函数关系式即可．【详解】(1)设售价为y(元)与绿橙数量x(千克)之间的函数关系式为y=kx+b ，由已知得，2.12 4.2k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k=2.1，b=0；∴y 与x 之间的函数关系式为y=2.1x ；(2)当x=50时，y=2.1×50=1．答：这个人若卖出50千克的绿橙，售价为1元．本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式，并且可以求在x 一定时的函数值．25、(1)B 点的坐标为(2,0)，(4,0)-，画图见解析；(2)6；(3)P 点的坐标为20(0,)3或20(0,)3-【解析】（1）分点B 在点A 的左边和右边两种情况解答；（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（3）利用三角形的面积公式列式求出点P 到x 轴的距离，然后分两种情况写出点P 的坐标即可．【详解】（1）点B 在点A 的右边时，-1+3=2，点B 在点A 的左边时，-1-3=-4，所以，B 的坐标为（2，0）或（-4，0），如图所示：（2）△ABC 的面积=12×3×4=6；（3）设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h=10，解得h=203，点P 在y 轴正半轴时，P （0，203），点P 在y 轴负半轴时，P （0，-203），综上所述，点P 的坐标为（0，203）或（0，-203）．本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论．26、3 4.x -≤<【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：2931213x x x +⎧⎪⎨+>-⎪⎩①② 解不等式①得，x 3≥-解不等式②得，x 4<∴原不等式组的解集是3x 4.-≤<本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．。

2024年北京市海淀区清华大学附属中学中考模拟数学试题一、单选题1．一个几何体是由若干个相同的立方体组成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的立方体个数不可能的是（ ）A ．15个B ．13个C ．11个D ．5个2．克旗位于内蒙古东部，赤峰市西北部，有丰富多样的旅游资源，素有“北京御花园”、“内蒙古缩影”、“塞北金三角”之称，全旗总面积20673平方公里．20673用科学记数法表示为（ ）A ．52.067310⨯B ．42.067310⨯C ．320.67310⨯D ．2206.7310⨯3．如图，菱形ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是(0,2)，(2,1)，(4,2)，则顶点D 的坐标是（ ）A ．(2,2)B ．(2,4)C ．(3,2)D ．(2,3)4．若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（ ）边形 A ．6B ．8C ．10D ．125．如果3y x =-+，且x y ≠，那么代数式2221x x y y x+--的值为（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．36．如图，将ABC V 绕点C 按照顺时针方向旋转35︒得到A B C ''△，A B ''交AC 于点D ．若90A DC '∠=︒，则A ∠=（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒7．下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．8．线段5AB =，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ，以线段AP 为边作正方形APCD ，线段PB 长为半径作圆，设点P 的运动时间为t ，正方形APCD 周长为y ，B e 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A ．正比例函数关系，反比例函数关系B ．一次函数关系，二次函数关系C ．正比例函数关系，二次函数关系D ．一次函数关系，反比例函数关系二、填空题9x 的取值范围是． 10．分解因式：3222a a b ab -+=．11．二元一次方程组3,3814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为．12．在平面直角坐标系xOy 中，若点()11,y ，()24,y 在反比例函数(0)ky k x=<的图像上，则1y 2y （填“>”“=”或“<”）．13．某市6月份日最高气温统计如图所示，则在日最高气温这组数据中，众数是℃，中位数是℃．14．如图，在矩形ABCD 中，若210AE AC ==，，14AF FC =，则AB 的长为．15．如图，M e 的半径为4，圆心M 的坐标为()68，，点P 是M e 上的任意一点，PA PB ⊥，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点．若点A 、点B 关于原点O 对称，则当AB 取最大值时，点A 的坐标为．16．如图，正方形的顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上，边BC 的中点F 在y 轴上，若反比例函数12y x=的图象恰好经过CD 的中点E ，则OA 的长为．三、解答题17．计算：()101202212cos303π-⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式组()4126{533x x x x +≤+--<，并写出它的所有非负整数解．．．．．． 19．计算：（1）()3231(2)22m n mn m ⎛⎫-⋅-÷ ⎪⎝⎭；（2）2(2)(3)(3)a b a b a b --+-．20．如图，点A 在线段EB 上，且EA ＝12AB ，以AB 直径作⊙O ，过点E 作射线EM 交⊙O于D 、C 两点，且»»AD CD=．过点B 作BF ⊥EM ，垂足为点F ．（1）求证：CD •CB ＝2CF •EA ； （2）求tan ∠CBF 的值．21．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，过点A 作BC 的平行线，过点B 作AD 的平行线，两线交于点E ．（1）求证：四边形ADBE 是矩形．（2）连接DE ，交AB 于点O ，若10AC =，6BE =，求sin AOD ∠的值．22．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，E 是»BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，∠ACB=2∠EAB ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若cosC=23，AC=6，求BF 的长．23．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为»BC上一点，过点E 作一直线，分别交DC ，AB 的延长线于点F ，G ．若EF FP =连接AE ，交CD 于点P ．(1)求证：EF 为O e 的切线；(2)连接AD ，若AD FG ∥，16CD =，4cos 5F =，求EA 的长． 24．在世园会开幕一周年之际，延庆区围绕“践行…两山‟理论，聚力冬奥筹办，建设美丽延庆”主题，同筑生态文明．近年来，在延庆区政府的积极治理下，空气质量得到极大改善．下图是根据延庆区环境保护局公布的2014～2020年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题：（1）2020年比2016年的全年空气质量优良天数增加了______天；（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是______；（3）在生态环境部2月25日举行的例行新闻发布会上透露，“十四五”空气质量改善目标指标设置仍然坚持PM 和优良天数两个指标；其中，全国优良天数达标指标将提升至87.5％．截止到3月31日，延庆区2021年空气质量优良天数如下：①该小区2021年1月1日至3月31日的空气质量优良天数的平均数约为______． ②试根据以上信息预测延庆区2021年（共365天）全年空气质量优良天数能否达标？达标的天数约为多少天？25．如图，ABC V 中，AB BC =，以AC 为直径的O e 分别交边AB BC ，于点D E ，，过点A 作O e 的切线交CB 的延长线于点F ．(1)求证：AB BF =； (2)若8AF =，4cos 5BAF ∠=，求BC 和DE 的长． 26．已知抛物线()2<0y ax bx c a =++过()13A y -，，()21B y -，，()32C y ，，()44D y ，四点．(1)若为14y y =． ①求该抛物线的对称轴；②比较2y ，3y 的大小，并说明理由；(2)若为3y c =，230y y <，判断140y y >是否成立，并说明理由．27．已知45MON ∠=︒，点A 为射线OM 上的定点，点B 为射线OM 上的动点（不与A ，O 重合），作线段AB 的垂直平分线，分别交OM ，ON 于C ，D ，连接AD ，BD ，过点A 作BD 的垂线，垂足为E ，AE 交直线OD 于点F ．(1)如图1，当点B 在OA 的延长线上时，依题意补全图形，并证明：AF BD =； (2)当点B 在射线OM 上运动时，用等式表示线段OD ，OB 和OF 的关系，并证明． 28．在平面直角坐标系xOy 中，1A ，2,A ，…，k A 是k 个互不相同的点，若这k 个点横坐标的不同取值有m 个，纵坐标的不同取值有n 个，p m n =+，则称p 为这k 个点的“特征值”，记为12,,,k T A A A ⋅⋅⋅p =．如图1，点(1,1)M ，(1,2)N ，,123T M N =+=．(1)如图2，圆C 的圆心为(0,3)，半径为5，与x 轴交于A ，B 两点． ①,T A B =__________，,,T A B C =__________． ②直线3(0)4y x b b =+>与圆C 交于两点D ，E ，若,,,7T A B D E =，求b 的取值范围；(2)点1A ，2A ，…，8A 到点O 的距离为1且这8个点构成中心对称图形，128,,,T A A A ⋅⋅⋅6=，若拋物线2(0)y ax bx c a =++<恰好经过1A ，2A ，…，8A 中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a 的所有可能取值．。

初三第二学期延时开学自主学习检测试题数学(清华附中初17级) 2020.3一、选择题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.当前，新冠肺炎疫情防控仍处在关键阶段，全国人民团结一致，坚决打赢这场疫情防控阻击战，其中广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，用“特殊党费”支持疫情防控工作，截至2月29日，共捐款11.8亿元，将11.8亿元用科学计数法表示应为（ ）A ．81.1810⨯B ．91.1810⨯C ．101.1810⨯D ．111.1810⨯ 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 内角和为540o 的多边形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4.在数轴上，点A B ，在原点O 的两侧，分别表示数,2a ，将点A 向左平移1个单位长度，得到点C .若,CO BO =则a 的值为（ ）A ．3-B ．2- C. 1- D ．1 5.已知线段AB如图，()1以线段AB 为直径作半圆弧AB ，点O 为圆心；()2过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，交AB 于点E F 、； ()3连接,OE OF .根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A ．CE DF =B ．AE BF = C. =60EOF ∠︒ D ．=2CE CO 6. 如果5x y +=，那么代数式221y xx y x y⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．5 D ．5-7.用三个不等式中,0,a b ab a b >>>的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38. 如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（ ）A ．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B ．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C ．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D ．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）9.若分式12x x +-无意义，则x = . 10.如图，已知平行四边形ABCD ，通过测量、计算得平行四边形ABCD 的面积约为_ ____2 c m .(结果保留一位小数)11.如图所示的几何体中，主视图与左视图都是长方形的是 .12.如图所示的网格是正方形网格，点A B C D 、、、均落在格点上，则BAC ACD ∠+∠=__ __o13. 在平面直角坐标系中，点(),A a b 在双曲线2y x =-上，点A 关于y 轴的对称点B 在曲线ky x=上，则2k -的值为 ．14. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩 形的“接近度”.设菱形相邻两个内角的度数分别为m n 、.()1若我们将菱形的“接近度”定义为,m n -于是m n -越小，菱形就接近正方形.若菱形的一个内角为70o ，则“接近度”= .()2若我们将菱形的“接近度”定义为(),m m <则菱形的“接近度”= 时，菱形就是正方形.15.如果一组数据123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅的方差是20S .把这组数据中每个数都减去同一个非零常数k .得到一组新数:123-,-,-,,-n x k x k x k x k ⨯⨯⨯记这组新数据的方差为21S .则21S 20S (填“>”“=”或“<”) 16.如图，在ABC V 中，90ACB ∠=o ，5,3AB BC P ==,是AB 边上的动点(不与点B 重合)，将BCP V 沿CP 所在的直线翻折，得到'B CP V ，连接'B A ，则下列判断: ．①当AP BP =时，//AB CP ； ②当AP BP =时，'2'B PC B AC ∠=∠③当CP AB ⊥时，175AP ='B A ④长度的最小值是1.其中正确的判断是____ _(填入正确结论的序号)三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27， 28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算:()0131023130cos π---⎛⎫⎝+⎪⎭+o .18. 解不等式组：()5,3163x x x x ⎧⎪⎨->+>-⎪⎩19.关于x 的方程24320x x m -+-=有两个不等实根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根. 20.如图，在ABC V 中，AB BC =，110,ABC AB ∠=︒ 的垂直平分线DE 交AC 于点,D 连接BD ，求DBC ∠的度数.21.如图，E F 、分别是菱形ABCD 的边AB AD 、的中点，且角ABD 的正切值为126AC =.()1求对角线BD 的长；()2求证:四边形AEOF 为菱形.22.为了调查居民对新型冠状病毒预防知识的知晓情况，从甲、乙两社区各随机抽取40名居民进行了相关知识测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a.甲、乙两社区40名居民成绩的频数分布统计表如下:(说明:成绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以下为不合格) b.甲社区成绩在7080x ≤<这一组的是:70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c.甲、乙两社区成绩的平均分、中位数、众数如下:根据以上信息，回答下列问题:()1写出表中n 的值；()2在此次测试中，某居民的成绩是74分，在他所属社区排在前20名，由表中数据可知该居民是_社区的居民(填“甲”或“乙”)，理由是_ ；()3假设乙社区800名居民都参加此次测试，估计成绩优秀的居民人数.23.如图，AB 是O e 的直径，点,D E 在O e 上，2A BDE ∠=∠，点C 在AB 的延长线上，C ABD ∠=∠.()1求证:CE 是O e 的切线；()2若O e 的半径长为5,2BF =，求EF 的长. 24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线122y x =+与直线y x m =-+交于点2,3A m ⎛⎫⎪⎝⎭， ()1求,m n 的值；()2若点B 是直线122y x =+上一动点，过点B 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为点C 和点D ，反比例函数ky x=的图象经过点B . ①点B 与点A 重合时，求BC BD +的长； ②当3BC BD +<时， 直接写出k 的取值范围.25.如图，在ABC V 中，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 逆时针旋转90o 得到线段,DE 连接BE .若已知8,BC cm =设,B D 两点间的距离为,,xcm A D 两点间的距离为1,,y cm B E 两点间的距离为2y cm .(若同学们打印的BC 的长度如不是8,cm 请同学们重新画图、测量)小明根据学习函数的经验，分别对12,y y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整:()1按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了12,y y 与x 的几组对应值，如下表:写出,a b 的值.(保留1位小数)()2在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点()()12,,,x y x y ，并画出函数12y y ，的图象；()3结合函数图象，解决问题:①当E 在线段BC 上时，BD 的长度约为____ cm ； ②当BDE V 为等腰三角形时，BD 的长度x 约为____ ___ cm26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:21(0)G y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线(:0)1l y mx m m =+-≠.()1当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长. ()2随着m 取值的变化，判断点C D ，是否都在直线l 上并说明理由.()3若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于3,结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.27.如图，已知45,MON A ∠=︒为射线OM 上一定点，点A 关于射线ON 的对称点为点,B C 为射线ON 上一动点，连接,CB 满足BCO ∠为钝角，以点C 为中心，将线段CB 逆时针旋转a o 至线段,CD 满足点D 在射线OM 的反向延长线上.()1依题意补全图形:()2当点C 在运动过程中，旋转角a 是否发生变化?若不变化，请求出a 的值，若变化，请说明理由； ()3从点D 向射线ON 作垂线，与射线ON 的反向延长线交于点,E 探究线段CE 和OA 的数量关系并证明.28.对于平面内C e 和C e 外一点P ，若过点P 的直线l 与C e 有两个不同的公共点,M N ，点Q 为直线l 上的另一点，且满足PM QMPN QN=(如图1所示)，则称点Q 是点P 关于C e 的密切点.已知在平面直角坐标系xOy 中，O e 的半径为2，点()4,0P .()1在点()()12,11,0,3,,2E F D -⎛⎫⎪⎝⎭中，是点P 关于O e 的密切点的为_ . ()2设直线l 方程为y kx b =+，如图2所示，13k =-①时，求出点P 关于O e 的密切点Q 的坐标；T e ②的圆心为()t,0T ，半径为2，若T e 上存在点P 关于O e 的密切点，直接写出t 的取值范围.C17级初三下延时开学自主学习检测数学试卷答案8. 解: A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确； B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确； C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确； D.就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D 错误. 故选:D . 9.2x =10. 看答题纸上的数据(待定) 11. ()()()134、、 12.90o13.014.()140o()2115.=16.①②④解:Q ①在ABC V 中，90ACB ∠=︒，,AP BP =AP BP CP ∴==，1180',2()BPC APB ∠=︒-∠ 由折叠的性质可得:'CP B P =，(1'180'),2CPB BPC APB ∠=∠=︒-∠ ',AP B P ∴=()1''180',2AB P B AP APB ∴∠=∠=︒-∠ '',AB P CPB ∠=∠∴ '//AB CP ∴；故①正确；,AP BP =Q ②',PA PB PC PB ∴===∴点',A B C B ,,在以P 为圆心，PA 长为半径的圆上，Q 由折叠的性质可得:',BC B C =,BC B C '∴='2'B PC B AC ∴∠=∠；故②正确；③当CP AB ⊥时，,APC ACB ∠=∠,PAC CAB ∠=∠Q,ACP ABC ∴V :VAP AC AC AB∴=Q 在Rt ABC V 中，由勾股定理可知:4AC ===2165AC AP AB ∴== 故③错误；④由轴对称的性质可知: '3,BC CB =='CB Q 长度固定不变，''AB AC CB ∴≥-'AB ∴的长度有最小值.'AB 有最小值'431AC B C =-=-=.故④正确.17.218.43x -<<-19.1,m =此方程的根为1222x x ==20.75o21.() 112,BD =()2证明:,E O Q 分别是,BA BD 中点，1//,2OE AD =∴ 同理可得:1 //,2AF AD = ∴四边形AEOF 是平行四边形，又,AB AD =Q,AE AF ∴=∴平行四边形AEOF是菱形.22.()172.5()2甲，这位居民成绩74分大于甲社区的中位数72.5分()316800320⨯= (人)40答:估计乙社区成绩优秀的居民有320人.OE23.()1连,Q直径ABADB∴∠=o90∴∠+∠=︒A ABD90Q弧BE∴∠=∠2BOE BDEQ∠=∠2A BDE∴∠=∠BOE A∠=∠QC ABD∴∠+∠=oBOE C90∴∠=o90OEC⊥∴半径OE EC()2连BEQ 弧BDBED A BOE ∴∠=∠=∠BEF BOE ∴V :VBE BF EF BO BE OE∴== 5OB OE ==QBE EF ∴=210EF OE BF ∴=⋅=EF ∴=24. ()113,23m n == ()1122,33BC BD ==Q ① 3BC BD ∴+=3BC BD +=②时，B 在A 或()2,1E -，k 分别为14,29- 3BC BD +<B 应在AE 之间1429k ∴-<<且0k ≠ 25.[解答]解:()1当0x =时，7.037.0 3.0;a AD b ==≈=,()2描绘后表格如下图:()3①当E 在线段BC 上时，即:12,x y y =+从图象可以看出，当6x =时，126,y y +=故答案为6；②当BE DE =时，即12,y y = 此时7.5x =或0,故7.5x =；当BE BD =时，即:2y x =，在图上画出直线,y x =此时3x ≈；当DE BE =时，即: 1,y x =从上图可以看出 4.1x ≈；故答案为:3或4.1或7.5.[点评]本题考查的是动点函数图象，此类题目通常在补全表格后，画出函数图象，依据图象求解相关问题，通常从图上，上查阅的数值为近视值.26.解:()1当时1m =，抛物线G 的函数表达式为22,y x x =+直线l 的函数表达式为y x =.画出的两个函数的图象如图6()2Q 抛物线2:2 1 0()G y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点,C∴点C 的坐标为()0,1C m -.()222111y mx mx m m x =++-=+-Q ，∴抛物线G 的顶点D 的坐标为()1,1.--对于直线():1#0l y mx m m =+-，当0x =时，1y m =-；当1x =-时，()111y m m =⨯-+-=-. ∴无论m 取何值，点,C D 都在直线l 上.()3m 的取值范围是m ≤-m ≥. 27.()1补全图形如右图所示:()2旋转角a 不发生变化，90a =o解:如图，连接,,AC AB 线段AB 交ON 于点HQ 点A 、点B 关于射线ON 对称,AB ON AC BC ∴⊥=又45,MON ∠=︒Q45OAB ∴∠=︒又Q 线段CB 绕点C 逆时针旋转至线段CDCD CB ∴=CD CB AC ∴==∴点A B D 、、在以点C 为圆心，线段AC 为半径的圆上 290BCD DAB ∴∠=∠=︒即旋转角a 不发生变化，90a =o()3OA =证明:如图，连接,,AC AB 线段AB 交ON 于点H,45DE CE DOE MON ⊥∠=∠=︒Q90,E DE OE ∴∠=︒=由()2可得: 90BHC BCD ∠=∠=︒90DCE BCH B ∴∠=︒-∠=∠又CB CD =Q()DCE CBH AAS ∴V V ≌CH DE OE ∴==CE OH ∴=在Rt OHA V 中，OA =OA ∴=证法2:如图，连接CA ，作CF OA ⊥于点FDE CE ⊥Q ，45DOE MON ∠=∠=o90,,E CFO OD OC ∴∠=∠===o .又,CD CA =QFA FD ∴=2OA OF FA OF DF OF OD ∴=+=+=+== 证法3:如图，连接CA ，作CG OC ⊥交OA 于点GDE CE ⊥Q ，45DOE MON ∠=∠=o045,COG CG CO CG ∴∠=∠==o ,OD OG ==,0C D CGA ∴∠=∠又CD CA =Q ，CDA CAD ∴∠=∠()DCO ACG AAS ∴V V ≌DO GA ∴=OA OG GA OG OD ∴=+=+=+=28.解:()1E .(如果除了E 点，还出现其它的点扣1分)()2①依题意直线l 方程为1433y x =-+ 如图，MA x ⊥轴于点A NB x ⊥，轴于点B .设14,33M x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 由 2OM =得2214433x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭ 254100x x ∴--=,M N 点得横坐标,M N x x 是方程254100x x --=的两根M N x x ==AB PA PB ∴=== QM PM HA PA QN PN HB PB=⇒= HA PA AB PA PB∴=+6HA =3,5HA ∴=23155OH OA HA ∴=-=-= ()1,1Q ∴e的密切点的轨迹为线段为切点弦ST(不含端点) .②点P关于Ct<≤-≤<或2310t(出现2个以上端点且符号正确的，给1分)。