2019-2020学年度最新高中数学苏教版课本回归:5 必修5课本题精选(教师版)
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2020年苏教版必修5课后练习(2)一、解答题(本大题共9小题,共108.0分)1.如图,从A点和B点测得上海东方明珠电视塔塔顶C的仰角分别为和B两点与塔底D点在同一条直线上,,求东方明珠电视塔的高度精确到.2.一艘船以的速度向正北方向航行.从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上,30min后船航行到B处,从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上.求灯塔S与B之间的距离精确到.3.在中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且,试判断的形状.4.仿照正弦定理的证法证明,并运用这一结论解决下面的问题:在中,已知,,,求;在中,已知,,,求b和;证明正弦定理.5.在中,已知,试判断的形状.6.在,设,,,已知,证明:为正三角形.7.在中,的外角平分线交BC的延长线于D,用正弦定理证明:.8.在中,斜边c等于外接圆的直径故有,这一关系对任意三角形也成立吗如图?探索并证明你的结论.9.在已知两边a,b和一边的对角A,求角B时.如果A为锐角,那么可能出现以下情况如图:如果A为钝角,那么可能会出现哪几种情况?试画出草图加以说明.-------- 答案与解析 --------1.答案:解:由题得:在,,中,,,;;东方明珠电视塔的高度468m.解析:确定、,利用,求出CD,即可得到结论.本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.2.答案:解:由题意,中,,,;,由正弦定理得,故灯塔S与B之间的距离为.解析:确定中的已知边与角,利用正弦定理,即可求得结论.本题考查正弦定理,考查学生的计算能力,属于基础题.3.答案:解:根据正弦定理得:,整理得:,,,代入已知等式得:,即,整理得:,,即,则为等腰直角三角形.解析:已知等式利用正弦定理化简,得到,即可确定出三角形形状.此题考查了正弦定理,同角三角函数间的基本关系,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.4.答案:证明:中,,则,故,,,,;,,,,由正弦定理可得,,,;证:为锐角三角形时,圆心在内部,连接CO并延长交圆于D,连接BD,则,中,,所以,同理,故有,为钝角三角形时,圆心在外部,连接BO并延长交圆于D,连接CD,则,,,,同理,故有,当为直角三角形时,c为斜边,易得综上,任意ABC外接圆的直径都有有.解析:先结合锐角三角函数定义及三角形的面积公式可证明,直接结合三角形的面积公式即可求解;由已知结合三角形的内角和可求B,然后结合正弦定理可求b,代入三角形的面积公式可求;分别对直角,锐角,钝角三角形各种情况,结合锐角三角函数定义可证.本题主要考查了正弦定理,三角形的面积公式在求解三角形中的应用,属于中档试题.5.答案:解:,,由正弦定理可得:,,,,,,,,,或,化为,或.为等腰三角形或直角三角形.解析:由,利用同角三角函数基本关系式与正弦定理可得,再利用倍角公式及其三角函数的单调性即可得出.本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、倍角公式及其三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6.答案:证明:由,,,可知,即,根据,所以,即,所以,即,所以,同理可得,故可得:为正三角形.解析:根据向量的数量积性质与和向量可得,同理可得,即证了为正三角形.本题考查三角形的形状的判断及数量积的运算性质,属于中档题.7.答案:证明:设,在中,由正弦定理得,在中,由正弦定理得,即两式相除,可得,结论成立.解析:分别在、中根据正弦定理列式,再将所得的式子相除并利用比例的性质,可得成立.本题考查利用正弦定理解三角形等知识,属于中档题.8.答案:证:成立,证明如下:为锐角三角形时,圆心在内部,连接CO并延长交圆于D,连接BD,则,,中,,故,所以,同理,故有,为钝角三角形时,圆心在外部,连接BO并延长交圆于D,连接CD,则,,,,同理可得,,综上,任意ABC外接圆的直径都有.解析:由已知结合锐角三角函数定义及圆的内角三角形的性质,就锐角及钝角三角形两种情况分别进行证明.本题考查三角形的正弦定理的证明,考查转化能力,属于基础题.9.答案:解:如果A为钝角,可能会出现3种情况,如图所示:,无解,,无解,,有一解,解析:由A为锐角,出现的几种情况,进行简单的合情推理,得到A为钝角,可能会出现2种情况,画出图即可.本题主要考查了正弦定理中已知三角形两边和一边所对的角的解得情况,是中档题.。
2020年苏教版必修5课后练习(18)一、选择题(本大题共1小题,共3.0分)1.某厂去年的产值记为1,计划在今后五年内每年的产值比上年增长,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为A. B. C. D.二、解答题(本大题共9小题,共108.0分)2.若a,G,b成等比数列,则称G为a和b的等比中项.求45和80的等比中项;已知两个数和的等比中项是2k,求k.3.已知无穷等比数列的首项为,公比为q.依次取出数列中的所有奇数项,组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项和公比是多少?数列其中常数是等比数列吗?如果是,它的首项和公比是多少?4.已知三个数成等比数列,它们的积为27,他们的平方和为91,求这三个数.5.已知等比数列的公比,且,求的值.6.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加,人均粮食占有量比现在提高如果人口年增长率为,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷?精确到1公顷粮食单产,人均粮食占有量7.求下列等比数列的各项和:,3,9,,2187;,,,,,.8.根据下列条件,求等比数列的前n项和:,,;,,;,,;,,.9.对任意等差数列,计算,,,,,你发现了什么一般规律?能将发现的规律推广吗?在等比数列中有怎样类似的结论?10.如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图如此继续下去,得图试探求第n个图形的边长和周长.-------- 答案与解析 --------1.答案:D解析:【分析】本题考查数列模型的构建,考查数列求和,考查计算能力,推理能力,是基础题.依次列出每年的产值,构成数列,由于从今年起到第五年,利用等比数列的求和公式,可求出这个工厂的总产值.【解答】解:由题意,第一年要比去年产值增加,那么第一年产值就是,即第二年又比第一年增加,所以第二年产值是,依此类推,第五年产值是,所以从今年起到第五年,这个厂的总产值为故选D.2.答案:解:由等比中项性质可知,45和80的等比中项为;由等比中项性质可知,和的等比中项是2k,则,整理可得,,解可得,或.解析:由已知结合等比数列的性质即可求解.本题主要考查了等比中项的性质的简单应用,属于基础试题.3.答案:解:由题意可得,,依次取出数列中的所有奇数项,组成一个新数列,这个新数列是等比数列,它的首项,公比;,数列其中常数是等比数列,它的首项,公比是q.解析:由题意可得,,然后结合等比数列的性质及定义即可判断.本题主要考查了等比数列的性质的应用,属于基础试题.4.答案:解:设这三个数分别为、a、aq,则有题意可得,.解得,或当时,这三个数分别为1,3,9;当时,这三个数分别为,3,;当时,这三个数分别为9,3,1;当时,这三个数分别为,3,.解析:设成等比数列数列的三个数分别为、a、aq,则有题意可得,,解方程组求得a、q的值,即可求得这三个数.本题主要考查等比数列的定义和性质,属于基础题.5.答案:解:由等比数列的性质可知,,,比,.解析:由已知结合等比数列的性质可求,而,代入可求.本题主要考查了等比数列的性质在求值中的应用,属于性质的灵活应用.6.答案:解:设耕地平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨公顷.依题意得不等式化简得公顷.答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.解析:利用公式粮食单产,人均粮食占有量分别求出现在和10年后的人均粮食占有量再利用已知条件人均粮食占有量比现在提高列出不等式解得.本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似计算的方法和能力.7.答案:解:数列首相,公比,由得,数列首相,公比由得.解析:由已知首项,公比,可求项数,进而可求S.同.本题主要考查等比数列的应用,根据等比数列建立条件关系求出项数是解决本题的关键.8.答案:解:由等比数列的求和公式可得,,由等比数列的求和公式可得,,由,,,故,,,,,,,解析:由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可直接求解.本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题.9.答案:解:设等差数列的公差为d,则,,,,,可以发现,数列,,,,,仍然是等差数列,其公差为4d;能将发现的规律推广为:对任意等差数列,,,,,,仍然构成等差数列,公差为;类比推理可得:对任意等比数列,,,,,仍然构成等比数列,公比为.解析:由等差数列的通项公式求出,,,,的各项,可推广得到对任意等差数列,,,,,,仍然构成等差数列,公差为;由此可以推广的等比数列的性质.本题考查类比推理,考查等差数列与等比数列的性质,考查学生分析问题与观察问题的能力,是中档题.10.答案:解:第n个图形边长为,周长为.解析:根据题中所给的图找到规律.本题考查归纳推理,根据题意找到规律,属于基础题.。
3.4 基本不等式1、函数()(log 310,a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线20mx ny ++=上,其中0,0m n >>,则21m n+的最小值为( )A. B. 4C.52 D. 922、若41x -<<,则当22222x x x -+-取最大值时 x 的值为( )A.-3B.-2C.-1D.03、若,,,,,a b c d x y 都是正实数,且P Q ==则( ) A. P Q = B. P Q ≥ C. P Q ≤ D. P Q >4、某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为()0a a >,第三年的增长率为()0b b >,这两年的平均增长率为 x ,则( )A. 2a bx += B. 2a bx +≤C. 2a bx +>D. 2a ba +≥5、已知,?a b 均为正实数,则下列不等式不一定成立的是( )A. a b++≥B. ()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C.22a b≥+D.≥6、已知等差数列{}n a 的各项均为正数, 95a =,则315a a 的最大值为( ) A.100 B.75 C.50 D.257、已知01?x <<,则( )A. 14 B. 12C.2D. 18、设,x y R ∈,且4x y +=,则33x y +的最小值为( ) A. 10B.C. D. 189、若01,01a b <<<<,且a b ≠,则22,2,a b ab a b ++中最大的是( )A. 22a b +B. C. 2ab D. a b +10、在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2cos ,4cos a c Cb b B==-,则ABC ∆的面积的最大值为( )A.B.C.D.11、长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,且宽减少2x时,面积最大,此时x = ,面积S = .12、已知在△ABC 中, 90,3,4ACB BC AC ∠=︒==,P 是AB 上异于点,?A B 的点,则点P 到,AC BC 的距离的乘积的最大值是__________.13、为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 C (单位:1mg L -⋅)随时间t (单位: h )的变化关系为2204tC t =+,则经过__________h 后池水中该药品浓度达到最大.14、若()11,lg lg ,lg22a ba b P Q a b R +>>=+=,则,,P Q R 的大小关系是__________(用“>”连接).15、已知0x >,0y > ,且280x y xy +-=.求: 1. xy 的最小值; 2. x y +的最小值.答案以及解析1答案及解析: 答案:D解析:∵当2x =-时, log 111a y =-=-,∴函数()(log 310,a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --.∵点A 在直线20mx ny ++=上,∴220m n --+=,即22m n +=. ∵0,0m n >>,∴()21121122925222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (当且仅当22n m m n =时,等号成立).故选D.2答案及解析: 答案:D解析:变形,可得()()()()222112221111222121221x x x x x x x x x x -+-+-++-===+----,∵41x -<<, ∴510x -<-<,∴原式()()11111221221x x x x ⎡⎤--=+=--+≤-=-⎢⎥---⎢⎥⎣⎦, 当且仅当()11221x x --=--, 即0?x =时取等号,故选D.3答案及解析: 答案:C解析:Q P == (当且仅当adx bcyy x=时等号成立).4答案及解析: 答案:B解析:∵这两年的平均增长率为 x , ∴()()()2111A x A a b +=++, ∴()()()2111x a b +=++,∴111122a b a bx +++++=+, ∴2a bx +≤,当且仅当11a b +=+,即a b =时取等号.5答案及解析: 答案:D解析:A 项, a b+≥≥当且仅当a b ==时等号同时成立,B 项, ()1124a ba b a b b a ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭,当且仅当a b =时取等号;C 项,()2222a b a b a b+≥≥=++,当且仅当a b =时取等号.故选D.6答案及解析: 答案:D解析:由等差数列的性质,可得3159210a a a +==.又3150,0a a >>,所以315a a +≥(当且仅当315a a =时,等号成立),即2315315252a a a a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.7答案及解析: 答案:B解析:因为221x +=,且01?x <<,由均值不等式可得222x +≥,所以12 (当且仅当x =即2x =时,等号成立).故选B.8答案及解析: 答案:D解析:∵30,30x y >>,∴23322318x y +≥==⨯=,当且仅当2x y ==时取等号.9答案及解析: 答案:D解析:方法一 ∵01,01a b <<<<,且a b ≠,∴22222,,a b ab a b a a b b +>+>>>,∴22a b a b +>+,故选D.方法二取11,23a b ==,则221336a b +=,15,36ab a b =+=,显然56最大,故选D.10答案及解析: 答案:A 解析:11答案及解析: 答案:1;252解析:依题意得:221125(4)(3)12(1)2222x S x x x x =+-=-++=--+ 所以当1x =时,252S =最大值.12答案及解析: 答案:3解析:以 C 为坐标原点, CB 所在直线为 x 轴, CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,过点P 作PD y ⊥轴点D ,PE x ⊥轴于点E ,如图所示.设()(),0,0P x y x y >>,则AB 所在直线的方程为134x y +=,∵0,0x y >>,∴134x y =+≥当且仅当34x y =,即3,22x y ==时等号成立),∴3xy ≤.13答案及解析: 答案:2 解析:2202044t C t t t==++.因为0t >,所以44t t +≥= (当且仅当4t t=,即 2t =时等号成立),所以2020544C t t=≤=+, 即当 2t =时, C 取得最大值.14答案及解析: 答案:R Q P >> 解析:因为1a b >>,所以lg 0,lg 0,a b >>()()11lg lg ,lg lg 222a b Q a b P R ab Q +=+==>==,所以R Q P >>.15答案及解析:答案:1. 28xy x y =+≥,当且仅当28x y =,即16x =,4y =时等号成立.8≥,∴64xy ≥. 故xy 的最小值为64. 2.由28x y xy +=,得281y x+=,∴.()2828101010818x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭, 当且仅当28x y y x=,即12x =,6y =时等号成立. 故x y +的最小值为18. 解析:。
课本回归5 必修5课本题精选一、 填空题1.(必修5 P11习题5)在△ABC 中,cCb B a A cos cos sin ==,则△ABC 是_______三角形.解析 由正弦定理可得:△ABC 是等腰直角.2.(必修5 P62习题9改编)在等比数列{a n }中已知661=+n a a ,12811=⋅-n a a ,2q =,则n S = .解析 因为{a n }是等比数列,所以a 1·a n =a 2·a n -1,所以⎩⎨⎧=⋅=+1286611nn a a a a .因为2q=,所以⎩⎨⎧==6421n a a 11261n na a qS q-==-.3.(必修5 P94习题8改编)已知x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,x +y ≤4,x +by +c ≤0,记目标函数z =2x +y 的最大值为7,最小值为1,则b ,c 的值分别为_____.解析 由题意知,直线x +by +c =0经过直线2x +y =7和直线x +y =4的交点, 经过直线2x +y =1和直线x =1的交点,即经过点(3,1)和点(1,-1),所以⎩⎪⎨⎪⎧3+b +c =0,1-b +c =0,解得b =-1,c =-2.4.(必修5 P18例2改编)如图,海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°,与O 相距10海里的C 处,现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向20海里的B 处的乙船,甲船需要________小时到达B 处.解析:由题意,对于CB 的长度,由余弦定理,得CB 2=CO 2+OB 2-2CO ·OB cos120°=100+400+200=700. 所以CB =107(海里),所以甲船所需时间为10730=73(小时).5.(必修5 P55习题17改编)如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来,……,如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ,则6a =____________;345991111a a a a+++⋅⋅⋅+=_________.解析 由图可得:22(1)n a n n n n n =+-=+,所以642a =;又 因为211111(1)1na n n n n n n ===-+++,所以345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111197()()()3445991003100300-+-++-=-=.6.(必修5 P17习题6改编)在△ABC ,若22()()c a c a a b +-=+,则角A 的最大值为 .解析 因为2222c a b =+,所以由余弦定理得2222231322cos 2244b cb c a b c A bc bc c b++-===+, 因为344b c c b +≥,所以cos A ≥,当且仅当22233c a b ==时,等号成立.又因为余弦函数在(0,π)上是减函数,所以角A 的最大值为π6. 7.(P106复习题13改编)已知正实数,x y 满足31x y +≤,则yy x 211++的最小值为 . 解析y y x 211++4222)211)(3(≥++++=+++≥y y x y x y y y x y x ,当且仅当14x y ==时,yy x 211++的最小值为4. 8.(必修5 P62阅读改编)已知数列{}n a 满足)2(11≥+=-+n a a a n n n ,若87=a ,则=++++10321a a a a __________.解析 设 127,,,588,a x a y a x y ===+=12310558888a a a a x y ++++=+=.二、解答题9.(必修5 P17习题13改编)已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形. (1)若2=AB ,6=BC ,4==CD AD ,求四边形ABCD 的面积;(2)若圆O 的半径2=R ,角60=B ,求四边形ABCD 的周长的最大值.解析 (1)在△ABC 中,由余弦定理得B BC AB BC AB AC ∠⋅⋅-+=cos 2222, 所以B AC cos 24402-=,同理在△ADC 中,可得D AC cos 32322-=,因为180=+D B ,所以B AC cos 32322+=,所以71cos =B ,734sin sin ==D B .所以设四边形ABCD 的面积为S ,则38sin 21sin 21=⋅+⋅⋅=D DC AD B BC AB S . (2)由正弦定理得R BAC2sin =,所以32=AC ,由余弦定理得B BC AB BC AB AC ∠⋅⋅-+=cos 2222,所以BC AB BC AB ⋅+=+1222,所以4)(312312)(22BC AB BC AB BC AB ++≤⋅+=+,34≤+BC AB ,当且仅当32==BC AB 时,等号成立.同理4≤+DC AD ,故四边形ABCD 的周长的最大值为)13(4+.10.(必修5 P108测试题15)某种汽车购买时费用为4.14万元,每年应交付保险费、汽油费费用共9.0万元,汽车维修费为:第一年2.0万元,第二年4.0万元,第三年6.0万元,……依等差数列逐年递增.(1)设该车使用n 年的总费用(包括购车费用)为)(n f ,试写出)(n f 的表达式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).解析 (1)依题意)(4.141.09.0)2.06.04.02.0(44.1)(2*∈++=++++++=N n n n n n n f . (2)设该车的年平均费用为S 万元,则有4.314.1410)(≥++==nn n n f S . 当且仅当12=n 时,等号成立.故该种汽车使用12年报废最合算.11.(必修 5 P68复习题12改编)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n T .解析 (1)依题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a 解得⎩⎨⎧==231d a , 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即,(2)13-=n nna b ,113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b ,123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ,n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nn n n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅=. 12.(必修5 P62习题10改编)设n S 是数列{}n a 的前n 和.(1)若{}n a 是以a 为首项,q 为公比的等比数列,且l n m S S S ,,成等差数列,求证:对任意自然数k ,a m +k ,a n +k ,a l +k 也成等差数列.(2)若2n S n =,且对于任意给定的正整数m ,都存在正整数l ,使得数列kl m l m m a a a ++,,为等比数列,求正整数k 的取值集合.解析 (1)若q =1,则{a n }的各项均为a ,此时a m +k ,a n +k ,a l +k 显然成等差数列. 若q ≠1,由S m ,S n ,S l 成等差数列可得S m +S l =2S n ,即a q m -q -1+a q l -q -1=2aq n -q -1,整理得q m +q l =2q n.所以a m +k +a l +k =aq k -1(q m+q l)=2aqn +k -1=2a n +k .即所以a m +k ,a n +k ,a l +k 成等差数列.(2)由2n S n =可得12-=n a n .因为数列kl m l m m a a a ++,,是等比数列,所以2l m kl m m a a a ++=⋅,所以2)2()2(l a kl a a m m m +=+,化简整理得l a ka m m 22+=,所以m a k l 22-=. 要使得对于任意给定的正整数m ,都存在正整数l ,使得数列kl m l m m a a a ++,,为等比数列, 由12-=m a m 是正奇数可知,22-k 必为正整数,不妨设)(22*∈=-N t t k ,则22+=t k )(*∈N t ,所以正整数k 的取值集合为{}*∈+=N t t k k ,22|.。
3.1 不等关系1、若13(),1ln 2ln ln x e a x b x c x ∈-,=,=,=,则( )A .a b c <<B .c a b <<C .b a c <<D .b c a <<2、下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要条件是( )A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >3、设,R a b ∈,则“()20a b a -⋅<”是“a b <”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定5、设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则( )A. c b a >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >>6、下列命题正确的是( )A.若22a b >,则a b >B.若11a b>,则a b < C.若ac bc >,则a b >D.,则a b <7、设101,1,,1x a b x c d x <<==+==-,将,,,a b c d 排成一个递增数列.则此数列的第三项是( )A.aB.bC.cD.d8、已知,0a b >,且1,1a b ≠≠,若log 1a b >,则( )A. ()()110a b --<B. ()1()0a a b -->C. ()1()0b b a --<D. ()()10b b a -->9、已知,x y R ∈,且0x y >>,则( )A. 110x y-> B. sin sin 0x y ->C. 11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ln ln 0x y +>10、若12120,0a a b b <<<<,且12121a a b b +=+=,则下列代数式中值最大的是( )A. 1122a b a b +B. 1212a a b b +C. 1221a b a b +D. 1211、已知1260,1536a b <<<<,则a b -的取值范围为__________,b a 的取值范围为__________.12、如果a b >,给出下列不等式:①11a b <;②33a b >>2222ac bc >;⑤1a b>⑥221a b ab a b ++>++.其中一定成立的不等式的序号是__________.13、给出下列条件:①1a b <<;②01a b <<<;③01a b <<<.其中,能使11log log log ba ab b b<<成立的条件的序号是__________.(填所有可能的条件的序号) 14、若a b >,且,a b 同号,则1a __________1b(填“>”或“<”). 15、已知()R,0,1,1mx m m a b f x x ∈≠>>=-,试探究()f a 与()f b 的大小关系对 m 值的影响.答案以及解析1答案及解析:答案:C解析:2答案及解析:答案:A解析:使a b >成立的充分而不必要条件,即寻找p ,使p a b ⇒>,而a b >推不出p ,逐项验证可知选A.3答案及解析:答案:A解析:若()20a b a -⋅<,则0a ≠,且a b <,所以充分性成立;若a b <,则0a b -<,当0a =时, ()20a b a -⋅=,所以必要性不成立.故“()20a b a -⋅<”是“a b <”的充分而不必要条件.4答案及解析:答案:B解析:由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.5答案及解析:答案:D解析:由对数运算发则得33log 61log 2,a ==+51log 2,b =+71log 2c =+,由对数函数图像得357log 2log 2log 2>>,所以a b c >>,故选D.6答案及解析:答案:D解析:答案:C解析:8答案及解析:答案:D解析:9答案及解析:答案:C解析:10答案及解析:答案:A 解析:令12121313,,,4444a ab b ====, 则1122121210563,168168a b a b a a b b +==+==,122163188a b a b +== ∵813528>> ∴最大的数应是1122a b a b +.故选A.11答案及解析:答案:()124,45,43⎛⎫- ⎪⎝⎭解析:12答案及解析:答案:②⑥解析:答案:② 解析:∵1log 1bb =-,若1a b <<,则111b b a <<<,∴11log log 1a b b b<=-,故条件①不可以;若01a b <<<,则111b b a <<<,∴11log log 1log a a b b b b>=-=,故条件②可以;若01a b <<<,则101b <<,∴1log 0a b >,log 0a b <,条件③不可以.14答案及解析:答案:<解析:因为,a b 同号,所以0ab >.将a b >的两边同乘以1ab 得11a b <15答案及解析:答案:()()11ma mb f a f b a b -=--- ()()()11m b a a b -=-- 故当()()f a f b >时, 0m <;当()()f a f b <时, 0m >.解析:。
2019-2020学年度最新高中数学苏教版课本回归:1 必修1课本题精选(教师版)一、填空题1.(必修1 P10习题1. 2(7))设U =R ,{}|1A x x =<,{}|B x x m =>若U A B ⊆ð,则实数m 的范围是 .解析 [1,)U A =+∞ð,由U A B ⊆ð,得1m <. 2.(必修1 P13练习5)设{}{}(,)|46,(,)|53A x y y x B x y y x ==-+==-,则A B = .解析 461532y x x y x y=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎩,故{}AB =(1,2)3.(必修1 P27 练习7(1))函数2(),{1,2,3}f x x x x =+∈的值域是 .解析 由函数值域的定义可知该函数的值域是{}2,6,12. 4.(必修1 P31习题2.1(8))已知函数()f x ,()g x 分别由下表给出:那么[(1)]f f = .[(2)]f g = .[(3)]g f = . 解析 [(1)](2)3f f f ==;[(2)](1)2f g f ==;[(3)](4)3g f g ==.5. (必修1 P111.复习题(17))已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间+∞[0,)上是单调增函数,若(1)(lg )f f x <,则x 的取值范围为_________.解析 因为()f x 为偶函数,所以(1)(|l g f f x <,又()f x 在区间+∞[0,)上是单调增函数,故1|l g |x <,解得x 的取值范围为110∞(0,)(10,+). 6.(必修1 P52复习题11(2))已知2(2)31f x x =+,则函数()f x 的解析式为 . 解析 令2x t =,则2t x =,有223()3()1124t f t t =+=+,即23()14f x x =+. 7.(必修1 P 29习题2.1(5))已知函数))((b x a x f y ≤≤=,集合A ={))((|),(b x a x f y y x ≤≤=}, B ={}0|),(=x y x ,则AB 的元素个数为_______个.解析 根据函数定义,可知直线x =0和函数图象有一个交点或无交点,则集合的元素的个数为0或1个.8.(必修1 P45习题2.2(11))已知函数()y f x =是R 上的奇函数,且当0x >时,()1f x =,则函数1()2y f x x m =-+有两个零点的充要条件是 . 解析 当0x <时,()()1f x f x =--=-; 当0x =时,(0)0f =.故1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩. 函数1()2y f x x m =-+有两个零点等价于方程1()2f x x m =-有两个不同的实数根,即函数()y f x =的图象与直线12y x m =-有两个不同的交点,易知11m -<-<且0m -≠,即(1,0)(0,1)m ∈-,所以函数1()2y f x x m =-+有两个零点的充要条件是(1,0)(0,1)m ∈-. 二、解答题9.(必修1 P 71习题3.1(2)13)已知函数1()41x f x a =++是奇函数. (1)求实数a 的值;(2)求函数()f x 在[1,1]-上的值域; (3)设函数1()11()2g x f x =-+,对于任意的12,x x ∈R ,试比较12()()2g x g x +与12()2x x g +的大小. 解析 (1)1()41x f x a =++是奇函数且定义域为R,则(0)0f =,得12a =-,经检验,函数()f x 为奇函数.(2)由(1)知11()241x f x =-++,在R 上任取12x x <,则1111()241x f x =-++,2211()241x f x =-++ 有211212121144()()04141(41)(41)x x x x x x f x f x --=-=>++++的 所以函数()f x 在R 上为减函数.故()f x 在[1,1]-上的取值范围是[(1),(1)]f f -,即函数的值域是33[,]1010-(3) ()4xg x =,有1212()()4422x x g x g x ++=,12122()42x x x x g ++= 则121212121222212122()()4422222(22)()4022222x x x x x x x x x x g x g x x x g +++++-⨯⨯--=-==≥故有12()()2g x g x +≥12()2x xg +10.(必修1 P 100练习3)经市场调查,某商品在过去100天内的销售量(单位:件)和价格(单位:元) 均为时间t (单位:天)的函数,且销售量近似地满足1109()(1100,)33g t t t t =-+≤≤∈N .前40天价格为1()22(140,)4f t t t t =+≤≤∈N ,后60天价格为1()52(41100,)2f t t t t =-+≤≤∈N ,(1)试写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系; (2)求出日销售量的最大值。
一、选择 题1.已知: a 、 b 、c 为三个向量,以下命题中正确的选项是 A .假如 |a |= |b |,那么 a = bB .a - b = b -aC .|a + b |≤ |a |+ | b |D .( a 2 b )2 c = a 2( b 2 c ) 答案: C2.假如 α 、 β 都是第二象限的角,且 α > β ,那么 sin α 与 sin β 的大小关系是A .sin α> sin βB .sin α <sin βC .sin α= sin βD .大小关系不定答案: D= 2,则3sin x 2cos x 的值是()2 cos x 4 sin x3 B .5C .2 5 A .3D .255答案: C4.直线上有 A 、 B 、 C 三点,假如 B 分有向线段 AC 的比为-1,则2A .B 是线段 AC 的中点 B .A 是线段 BC 的中点 C .C 是线段 AB 的中点D .B 是线段 AC 的三平分点 答案: B5.下边四个关系式中,正确的项的个数是① 02 a = 0 ②( a + b )+ c = a +( b + c a 2 b = b 2 a ④|a 2 b |= |a || b |A .4B . 3C . 2D . 1答案: C6.将函数 y = f ( x )图象上的点 P ( 1,0)平移变成 P ′( 2, 0),平移后函数的新分析式为A .y = f ( x + 1)C .y = f ( x )+ 1答案: BB .y = f (x - 1)D .y = f ( x )- 17.在△ ABC 中,若 acosA - bcosB = 0,则三角形的形状是 A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形答案: D8.已知 a =( x ,3), b =( 3,- 1),且 a ∥ b ,则 x 等于A .- 1B .9C .- 9D . 1答案: C9.已知a=(λ,2),b=(- 3,5),且a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是()1010A .λ>B .λ<331010C.λ>- D .λ<-33答案: A x k b 1 . c o m二、填空题10.已知 |a|= 3, |b|=4,若向量a+ k b与向量a- k b相互垂直,则实数 k=.3答案:±411.设e1,e2是不共线的向量, e 1-4e2与λ e1+ e2共线,则实数λ的值为.1答案:-412.已知a=( 2,- 1),b=(- 1,3),则 2a- 3b的坐标是.答案:( 7,- 11)13.把一个函数图象按向量a=(, 2)平移后,函数的分析式为y= sin( x+)+ 2,44则本来函数的分析式为.答案: y= cosx14. 点 P( 4, 3)对于点 Q( 5,- 3)的对称点的坐标是.答案:( 6,- 9)三、解答题15.已知点 A(0, 2)、B( 1,- 1)、 C( 2,- 4),求证: A、B、 C 三点共线 .证明:∵ AB =(1-0,-1-2)=(1,-3).AC =(2-0,-4-2)=(2,-6)又 13(-6)- 23(-3)= 0,∴ AB ∥ AC又直线 AB、直线 AC 有公共点 A∴ A、 B、 C 三点共线 .16.已知 ABCD 的极点 A 的坐标为 (- 2, 1),一组对边 AB、 CD 的中点分别为M(3, 0)、AB CD的其他极点坐标.N(- 1,- 2) .求解:略17.已知a=( 2x- y+ 1, x+y- 2),b=( 2,- 2),当 x,y 为什么值时 (1) a=b (2)a∥b12x y 1 2x,解得 3 解:( 1)由题意可知:y 2 21xy3( 2)由向量 共线条件知:- 2( 2x -y + 1)- 2( x + y - 2)= 0 化简得: 3x - 1=018.如图,已知△ ABC 中, D 、 E 、 F 分别是 BC 、 CA 、 AB 的中点,求证:( 1) DE ∥ AB ;( 2) ADBE CF = 0.证明:( 1) DEDCCE1BC1CA1(BCCA)1BA1AB2 2222∴ DE ∥ AB( 2) AD AB BD, AD AC CD x k b 1 . c o m新 课 标 第一 网∴ 2AD AB AC BD CDAB AC同理可得新 课 标 xk b1. c om2BEBA BC,2CFCA CB∴ ADBE CF1( AB ACBA BCCACB ) = 021 9.一船在海面 A 处看见两灯塔 P 、 Q 在北 15°西的一条直线上 .该船沿东北方向航行 4海里抵达 B 处,看见灯塔 P 在正西方向,灯塔Q 在西北方向,求两灯塔距离 .解:如图,由题意可知:∠ A = 45°+ 15° =60 °,∠ ABP =45°,∠ PBQ = 45°∴∠ AB Q = 90°∴∠ AQB = 30°,∠ APB = 75°62sin75°= sin( 45°+ 30°)=44AP 在△ ABP 中, AB= 4,由正弦定理知sin 75sin 45∴ AP= 4( 3 -1)在△ AB Q 中,∠ AB Q= 90°, AB= 4∴AQ= 8∴PQ= AQ-AP =8- 4(3- 1 )= 12-4 3故两灯塔P、Q 的距离为12- 4 3 海里.新课标第一网系列资料。
本章复习解三角形一、学习要求:1.掌握正弦定理、余弦定理,利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决解三角形的有关问题;2.熟练运用正、余弦定解决一些简单的三角形度量问题.二、根底回忆:1.假设△ABC的三个内角满足in A∶in B∶in C=5∶11∶13,那么coC=________1.a∶b∶c=5∶11∶13,不妨令a=5,b=11,c=13,coC==2.圆的半径为4,a、b、c为该圆的内接三角形的三边,假设abc=16错误!,那么三角形的面积为________.2.3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,假设a2-b2=错误! bc,in C=2错误!in B,那么A=________°4.△ABC的外接圆半径为R,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且2Rin2A-in2C=错误!a-b inB,那么角C的大小为________.4.解析:由正弦定理,得a2-c2=错误!ab-b2,∴coC=错误!=错误!∵050 m b⇔in A____in B⇔A____B;4三角形面积公式:S△ABC=错误!ah=错误!ab in C=错误!ac in B=____________________;5在三角形中有:in 2A=in 2B⇔A=B或______________⇔三角形为等腰或直角三角形;in A+B=in C,in 错误!=co 错误!2.正弦定理和余弦定理3〔1〕.仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.如下图〔2〕方向角:相对于某一正方向的水平角.如下图①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.③南偏西等其他方向角类似.〔3〕方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角,如方位角45°,是指北偏东45°,即东北方向.〔4〕坡角坡面与水平面的夹角.如下图〔5〕坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比,即i=错误!=tan αi为坡比,α为坡角.4解题的根本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题,实质是数学知识在生活中的应用,要解决好,就要把握如何把实际问题数学化,也就是如何把握一个抽象、概括的问题,即建立数学模型.三、典例精析题型一正弦定理的应用例1.1在△ABC中,a=错误!,b=错误!,B=45°,求角A、C和边c;2在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求边b和c3在△ABC中,假设tan A=错误!,C=150°,BC=1,那么AB=________;例1解题导引三角形的两边和其中一边的对角,可利用正弦定理求其他的角和边,但要注意对解的情况进行判断,这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.具体判断方法如下:在△ABC中,a、b和A,为锐角,①当a≥b 时,有一解;②当a=b in A时,有一解;③当b in Ab时,有一解;②当a≤b 时,无解.解1由正弦定理错误!=错误!得,in A=错误!∵a>b,∴A>B,∴A=60°或A=12021当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c=错误!=错误!;当A=12021,C=180°-45°-1202115°,c=错误!=错误!综上,A=60°,C=75°,c=错误!,或A=12021C=15°,c=错误!2∵B=60°,C=75°,∴A=45°由正弦定理错误!=错误!=错误!,得b=错误!=4错误!,c=错误!=4错误!+4∴b=4错误!,c=4错误!+43∵在△ABC中,tan A=错误!,C=150°,∴A为锐角,∴in A=错误!又∵BC=1∴根据正弦定理得AB=错误!=错误!借题发挥1:在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,向量m=a,b,向量n=co A,co B,向量∥n,∥n,∴a co B=b co A.………………………由正弦定理,得in A co B=in B co A,即in A-B=0……………………∵A、B为三角形的内角,∴-π2A2A2Ab时,有一解;②当a≤b时,无解.题型二余弦定理的应用例2 a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边,且a2+c2-b2=ac1求角B的大小;2假设c=3a,求tan A的值.例2解:1∵a2+c2-b2=ac,∴co B=错误!=错误!∵03a3aa,∴B>A,∴co A=错误!=错误!∴tan A=错误!=错误!方法三∵c=3a,由正弦定理,得in C=3in A∵B=错误!,∴C=π-A+B=错误!-A,∴in错误!-A=3in A,∴in错误!co A-co错误!in A=3in A,∴错误!co A+错误!in A=3in A,∴5in A=错误!co A,∴tan A=错误!=错误!借题发挥2:在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,4in2错误!-co 2A =错误!1求∠A的度数;2假设a=错误!,b+c=3,求b、c的值.借题发挥2:8.解1∵B+C=π-A,即错误!=错误!-错误!,由4in2错误!-co 2A=错误!,得4co2错误!-co 2A=错误!,即21+co A-2co2A-1=错误!,整理得4co2A-4co A+1=0,即2co A-12=0∴co A=错误!,又0°<A<180°,∴A=60°2由A=60°,根据余弦定理co A=错误!,即错误!=错误!,∴b2+c2-bc=3,①又b+c=3,②∴b2+c2+2bc=9③①-③整理得:bc=2④解②④联立方程组得错误!或错误!题型三正、余弦定理的综合应用例3 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足co错误!=错误!,错误!·错误!=3①求△ABC的面积;②假设b+c=6,求a的值.〔1〕解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系.解:①因为co错误!=错误!,所以co A=2co2错误!-1=错误!,in A=错误!又由错误!·错误!=3得bc co A=3,所以bc=5,因此S△ABC=错误!bc in A=2②由①知,bc=5,又b+c=6,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc co A=b+c2-错误!bc=2021以a=2错误!借题发挥3:在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果a2+b2in A-B=a2-b2in A+B,试判断该三角形的形状.借题发挥3:解方法一∵a2+b2in A-B=a2-b2in A+B⇔a2[in A-B-in A+B]=b2[-in A+B-in A-B],∴2a2co A in B=2b2co B in A,由正弦定理,得in2A co A in B=in2B co B in A,∴in A in B in A co A-in B co B=0,∴in 2A=in 2B,由0<2A<2π,0<2B<2π,得2A=2B或2A=π-2B,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.方法二同方法一可得2a2co A in B=2b2co B in A,由正、余弦定理,即得a2b×错误!=b2a×错误!,∴a2b2+c2-a2=b2a2+c2-b2,即a2-b2c2-a2-b2=0,∴a=b或c2=a2+b2,∴三角形为等腰三角形或直角三角形.四、稳固与拓展如下图,甲船以每小时30错误!海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距20海里.当甲船航行2021到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距10错误!海里.问乙船每小时航行多少海里?解如图,连结A1B2,由题意知,A1B1=20212B2=10错误!,A1A2=错误!×30错误!=10错误!又∵∠B2A2A1=180°-1202160°,∴△A1A2B2是等边三角形,∠B1A1B2=105°-60°=45°在△A1B2B1中,由余弦定理得B1B错误!=A1B错误!+A1B错误!-2A1B1·A1B2co 45°=202110错误!2-2×20210错误!×错误!=2021∴B1B2=10错误!海里.因此乙船的速度大小为错误!0=30错误!海里/小时.课堂小结:1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三角变换的根本方法,同时它是对正、余弦定理,三角形面积公式等的综合应用.2.在利用正弦定理解三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角〞来判断解的情况,作出正确取舍.3.在解三角形中的三角变换问题时,要注意两点:一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理,二是要用到三角变换、三角恒等变形的原那么和方法.“化繁为简〞“化异为同〞是解此类问题的突破口.。
2.1数列1.数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项.项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.2.数列的表示数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,a n,…,简记为{a n},其中a1称为数列{a n}的第1项(或称为首项),a2称为第2项,…,a n称为第n项.思考1:数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗?[提示]不是,顺序不一样.思考2:数列的记法和集合有些相似,那么数列与集合的区别是什么?[提示]数列中的数讲究顺序,集合中的元素具有无序性;数列中可以出现相同的数,集合中的元素具有互异性.3.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,k})为定义域的函数a n =f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.4.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.数列可以用通项公式来描述,也可以通过列表或图象来表示.思考3:数列的通项公式a n=f(n)与函数解析式y=f(x)有什么异同?[提示]如图,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数a n=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定义域,数列中的n必须是从1开始且连续的正整数,函数的定义域可以是任意非空数集.1.数列3,4,5,6,…的一个通项公式为()A.a n=n B.a n=n+1C.a n=n+2 D.a n=2nC[经验证可知,它的一个通项公式为a n=n+2.]2.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的第________项.24[a n=n(n+1)=600=24×25,所以n=24.]3.数列{a n}满足a n=log2(n2+3)-2,则log23是这个数列的第________项.3[令a n=log2(n2+3)-2=log23,解得n=3.]4.数列1,2, 7,10,13,…中的第26项为________.219 [因为a 1=1=1,a 2=2=4,a 3=7,a 4=10,a 5=13,所以a n =3n -2,所以a 26=3×26-2=76=219.]【例(1)12,2,92,8,252,…;(2)9,99,999,9 999,…; (3)22-11,32-23,42-35,52-47,…;(4)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…. 思路探究:观察―→归纳a n 与n 的关系―→验证结论―→ 得出答案[解] (1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:12,42,92,162,252,…,所以它的一个通项公式为a n =n 22(n ∈N *). (2)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,….此数列的通项公式为10n ,可得原数列的通项公式为a n =10n -1(n ∈N *).(3)数列中每一项由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,可用2n -1表示;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,可用(n +1)2表示,分子的后一部分是减去一个自然数,可用n 表示,综上,原数列的通项公式为a n =(n +1)2-n 2n -1(n ∈N *). (4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是a n =(-1)n 1n (n +1)(n ∈N *).用观察法求数列的通项公式的一般规律(1)一般数列通项公式的求法(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k 处理符号问题.(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.1.写出下列数列的一个通项公式.(1)3,5,9,17,33,…;(2)12,34,78,1516,3132,…;(3)23,-1,107,-179,2611,-3713,….[解] (1)中3可看做21+1,5可看做22+1,9可看做23+1,17可看做24+1,33可看做25+1,….所以a n =2n +1.(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列为21,22,23,24,…,所以a n =2n -12n .(3)偶数项为负而奇数项为正,故通项公式必含因式(-1)n+1,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12+12+1,-22+1 2×2+1,所以a n=(-1)n+1n2+12n+1.【例2】n n(1)写出数列的前3项;(2)判断45是否为{a n}中的项?3是否为{a n}中的项?思路探究:(1)令n=1,2,3求解即可;(2)令a n=45或a n=3解n便可.[解](1)在通项公式中依次取n=1,2,3,可得{a n}的前3项分别为:1,6,15.(2)令2n2-n=45,得2n2-n-45=0,解得n=5或n=-92(舍去),故45是数列{a n}中的第5项.令2n2-n=3,得2n2-n-3=0,解得n=-1或n=32,即方程没有正整数解,故3不是数列中的项.1.如果已知数列的通项公式,只要将相应项数代入通项公式,就可以写出数列中的指定项.2.判断某数是否为数列中的一项,步骤如下:(1)将所给的数代入通项公式中;(2)解关于n 的方程;(3)若n 为正整数,说明所给的数是该数列的项;若n 不是正整数,则不是该数列的项.提醒:数列项的取值为正的自然数,是离散的,解题时要关注n 的取值特点.2.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-21n 2(n ∈N *).(1)0和1是不是数列{a n }中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?[解] (1)令a n =0,得n 2-21n =0,∴n =21或n =0(舍去),∴0是数列{a n }中的第21项.令a n =1,得n 2-21n 2=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项为a n ,a n +1,则有a n =a n +1,即n 2-21n 2=(n +1)2-21(n +1)2, 解得n =10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.[探究问题]1.数列是特殊的函数,能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项?[提示] 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项,但要注意函数与数列的差异,数列{a n }中,n ∈N *.2.如何定义数列{a n }的单调性?[提示] 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n +1与a n 的大小来判断,若a n +1>a n ,则数列为递增数列,若a n +1<a n ,则数列为递减数列.【例3】 设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+kn (n ∈N *).数列{a n }是单调递增的,求实数k 的取值范围.思路探究:利用二次函数的单调性,求得k 的取值范围.[解] ∵a n =n 2+kn ,其图象的对称轴为n =-k 2,∴当-k 2≤1,即k ≥-2时,{a n }是单调递增数列.另外,当1<-k 2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫-k 2-1<2-⎝ ⎛⎭⎪⎫-k 2, 即-3<k <-2时,{a n }也是单调递增数列(如图所示).∴k 的取值范围是(-3,+∞).1.(变结论)求本例中k =-13时数列{a n }的最小项.[解] 由题意知n 2-13n =⎝ ⎛⎭⎪⎫n -1322-1694, 由于函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1322-1694在⎝ ⎛⎦⎥⎤0,132上是减函数,在⎣⎢⎡⎭⎪⎫132,+∞上是增函数,故当n =6或7时,f (n )=n 2-13n 取得最小值-42.所以数列{a n }的最小项为a 6=a 7=-42.2.(变条件)本例中“单调递增”改为“单调递减”,那么这样的实数k 是否存在?如果存在,求实数k 的范围,若不存在说明理由.[解] 要使{a n }是单调递减数列,必须a n >a n +1恒成立,即n 2+kn >(n +1)2+k (n +1)对任意n ∈N *恒成立.整理得k <-2n -1对任意n ∈N *恒成立,因为f (n )=-2n -1(n ∈N *)没有最小值,故不存在实数k 使a n =n 2+kn 单调递减.1.函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之若数列单调,其所对应的函数不一定单调.2.求数列的最大(小)项,还可以通过研究数列的单调性求解,一般地,若⎩⎨⎧ a n -1≤a n ,a n +1≤a n ,则a n 为最大项;若⎩⎨⎧a n -1≥a n ,a n +1≥a n,则a n 为最小项.1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质(1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的.(2)可重复性:数列中的数可以重复.(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且也与这些数的排列次序有关.2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.1.判断正误(1)数列1,1,1,…是无穷数列.( )(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列.( )(3)有些数列没有通项公式.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)正确.每项都为1的常数列,有无穷多项.(2)错误.虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列,但是两个数列中后两个数顺序不同,不是同一个数列.(3)正确.某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式,这个数列就有通项公式,否则,不能建立一个函数关系式,这个数列就没有通项公式.2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x 等于( )A .11B .12C .13D .14C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和,故x =5+8=13.]3.已知数列2,10,4,…,2(3n -1),…,则8是该数列的第________项.11 [令2(3n -1)=8,得n =11.]4.已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9n 2-9n +29n 2-1. (1)求这个数列的第10项;(2)98101是不是该数列中的项,为什么?(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.[解] 设f (n )=9n 2-9n +29n 2-1=(3n-1)(3n-2)(3n-1)(3n+1)=3n-23n+1.(1)令n=10,得第10项a10=f(10)=28 31.(2)令3n-23n+1=98101,得9n=300.此方程无正整数解,所以98101不是该数列中的项.(3)证明:∵a n=3n-23n+1=3n+1-33n+1=1-33n+1,又n∈N*,∴0<33n+1<1,∴0<a n<1.即数列中的各项都在区间(0,1)内.。
2019-2020学年度最新高中数学苏教版课本回归:5 必修5课本题精选(教师版)一、 填空题1.(必修5 P11习题5)在△ABC 中,cCb B a A cos cos sin ==,则△ABC 是_______三角形.解析 由正弦定理可得:△ABC 是等腰直角.2.(必修5 P62习题9改编)在等比数列{a n }中已知661=+n a a ,12811=⋅-n a a ,2q =,则n S = .解析 因为{a n }是等比数列,所以a 1·a n =a 2·a n -1,所以⎩⎨⎧=⋅=+1286611n n a a a a .因为2q=,所以⎩⎨⎧==6421n a a11261n n a a qS q-==-.3.(必修5 P94习题8改编)已知x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,x +y ≤4,x +by +c ≤0,记目标函数z =2x +y 的最大值为7,最小值为1,则b ,c 的值分别为_____.解析 由题意知,直线x +by +c =0经过直线2x +y =7和直线x +y =4的交点, 经过直线2x +y =1和直线x =1的交点,即经过点(3,1)和点(1,-1),所以⎩⎪⎨⎪⎧3+b +c =0,1-b +c =0,解得b =-1,c =-2.4.(必修5 P18例2改编)如图,海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°,与O 相距10海里的C 处,现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向20海里的B 处的乙船,甲船需要________小时到达B 处.解析:由题意,对于CB 的长度,由余弦定理,得CB 2=CO 2+OB 2-2CO ·OB cos120°=100+400+200=700. 所以CB =107(海里),所以甲船所需时间为10730=73(小时).5.(必修5 P55习题17改编)如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来,……,如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ,则6a =____________;345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=_________.解析 由图可得:22(1)n a n n n n n =+-=+,所以642a =;又 因为211111(1)1na n n n n n n ===-+++,所以345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111197()()()3445991003100300-+-++-=-=.6.(必修5 P17习题6改编)在△ABC ,若22()()c a c a a b +-=+,则角A 的最大值为 .解析 因为2222c a b =+,所以由余弦定理得2222231322cos 2244b cb c a b c A bc bc c b++-===+, 因为344b c c b +≥,所以cos 2A ≥,当且仅当22233c a b ==时,等号成立.又因为余弦函数在(0,π)上是减函数,所以角A 的最大值为π6. 7.(P106复习题13改编)已知正实数,x y 满足31x y +≤,则yy x 211++的最小值为 . 解析y y x 211++4222)211)(3(≥++++=+++≥y y x y x y y y x y x ,当且仅当14x y ==时,yy x 211++的最小值为4. 8.(必修5 P62阅读改编)已知数列{}n a 满足)2(11≥+=-+n a a a n n n ,若87=a ,则=++++10321a a a a __________.解析 设 127,,,588,a x a y a x y ===+=12310558888a a a a x y ++++=+=.二、解答题9.(必修5 P17习题13改编)已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形. (1)若2=AB ,6=BC ,4==CD AD ,求四边形ABCD 的面积; (2)若圆O 的半径2=R ,角60=B ,求四边形ABCD 的周长的最大值.解析 (1)在△ABC 中,由余弦定理得B BC AB BC AB AC ∠⋅⋅-+=cos 2222, 所以B AC cos 24402-=,同理在△ADC 中,可得D AC cos 32322-=,因为180=+D B ,所以B AC cos 32322+=,所以71cos =B ,734sin sin ==D B .所以设四边形ABCD 的面积为S ,则38sin 21sin 21=⋅+⋅⋅=D DC AD B BC AB S . (2)由正弦定理得R BAC2sin =,所以32=AC ,由余弦定理得B BC AB BC AB AC ∠⋅⋅-+=cos 2222,所以BC AB BC AB ⋅+=+1222,所以4)(312312)(22BC AB BC AB BC AB ++≤⋅+=+,34≤+BC AB ,当且仅当32==BC AB 时,等号成立.同理4≤+DC AD ,故四边形ABCD 的周长的最大值为)13(4+.10.(必修5 P108测试题15)某种汽车购买时费用为4.14万元,每年应交付保险费、汽油费费用共9.0万元,汽车维修费为:第一年2.0万元,第二年4.0万元,第三年6.0万元,……依等差数列逐年递增.(1)设该车使用n 年的总费用(包括购车费用)为)(n f ,试写出)(n f 的表达式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).解析 (1)依题意)(4.141.09.0)2.06.04.02.0(44.1)(2*∈++=++++++=N n n n n n n f . (2)设该车的年平均费用为S 万元,则有4.314.1410)(≥++==nn n n f S . 当且仅当12=n 时,等号成立.故该种汽车使用12年报废最合算.11.(必修 5 P68复习题12改编)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n T .解析 (1)依题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a 解得⎩⎨⎧==231d a , 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即,(2)13-=n nna b ,113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b ,123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ,n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nn n n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅=. 12.(必修5 P62习题10改编)设n S 是数列{}n a 的前n 和.(1)若{}n a 是以a 为首项,q 为公比的等比数列,且l n m S S S ,,成等差数列,求证:对任意自然数k ,a m +k ,a n +k ,a l +k 也成等差数列.(2)若2n S n =,且对于任意给定的正整数m ,都存在正整数l ,使得数列klm l m m a a a ++,,为等比数列,求正整数k 的取值集合.解析 (1)若q =1,则{a n }的各项均为a ,此时a m +k ,a n +k ,a l +k 显然成等差数列. 若q ≠1,由S m ,S n ,S l 成等差数列可得S m +S l =2S n , 即a q m -q -1+a q l -q -1=2aq n -q -1,整理得q m +q l =2q n .所以a m +k +a l +k =aq k -1(q m +q l )=2aq n+k -1=2a n +k .即所以a m +k ,a n +k ,a l +k 成等差数列.(2)由2n S n =可得12-=n a n .因为数列kl m l m m a a a ++,,是等比数列,所以2l m kl m m a a a ++=⋅,所以2)2()2(l a kl a a m m m +=+,化简整理得l a ka m m 22+=,所以m a k l 22-=. 要使得对于任意给定的正整数m ,都存在正整数l ,使得数列kl m l m m a a a ++,,为等比数列,由12-=m a m 是正奇数可知,22-k 必为正整数,不妨设)(22*∈=-N t t k ,则22+=t k )(*∈N t ,所以正整数k 的取值集合为{}*∈+=N t t k k ,22|.。