A = C 1,： 2,： 3),
B =(：1
： 2
： 3, j 2 24 3√ 1
3： 2
9 3)
线性代数
第一章行列式
典型例题
、利用行列式性质计算行列式 、按行（列）展开公式求代数余子式
四、抽象行列式的计算或证明
1. 设四阶矩阵 A=[2>,3 2,4 3, 4]，B=「,2 2,3 3,4 4],其中2, 3, 4 均为四 维列向量，且已知行列式|A| = 2,|B|=-3,试计算行列式|A - B|.
A
1
2. 设A 为三阶方阵，A 为A 的伴随矩阵，且IAI=',试计算行列式
2
"（3A ） j
-2A * 0〕 2 L :O AT
3. 设A 是n 阶（n 工2）非零实矩阵，元素a ij
与其代数余子式A j 相等，求行列式|A|.
2 1 0
4. 设矩阵 A= 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA * = 2BA*+E ,则 |B|= ________ .
'0 0 1 J
5. 设＞1√∙2, : 3均为3维列向量，记矩阵
已知行列式D 4 =
1 3 1 1
2
3 5 1 3
4 6 2 4 4 7 2
=-6
，试求 A 41 A 42 与 A 43 ' A 44.
三、利用多项式分解因式计算行列式
1
1
、t
W
1 2 —
X
1 •计算D =
1
5
1 9-x 2
2 •设 f(x)=
X b b b b X C C C C X
d
d
d ,则方程f (X) =O 有根X = d
如果I A ∣=1，那么| B |= __ .
五、n阶行列式的计算
六、利用特征值计算行列式
1. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为丄丄,则行列式
2 3 4 5
1
IB -E∣= _________ .
2. 设A为四阶矩阵，且满足|2E ∙ A∣=0,又已知A的三个特征值分别为-1,1,2，试计算行列式|2A 3E |.
第二章矩阵
典型例题
一、求逆矩阵
1. 设代B, A ■ B都是可逆矩阵，求：（A J■ B」）」.
-00021〕
00053
2.设 A =12300,求A JL
45800
34600
一
二、讨论抽象矩阵的可逆性
1. 设n阶矩阵A满足关系式A3∙ A2- A- E =0,证明A可逆，并求A^l.
2. 已知A3 =2E,B = A2 -2A ∙ 2E ,证明B可逆，并求出逆矩阵。
3. 设A = E Xy T ,其中X, y均为n维列向量，且X T y = 2 ,求A的逆矩阵。
4. 设代B为n阶矩阵，且E-AB可逆，证明E - BA也可逆。
三、解矩阵方程
1 1 -1
1. 设矩阵A= -1 1 1 ,矩阵X满足A*X=A*+2X,求矩阵X .
J -1 1 J
1 0 0 0 1 1
2. 已知矩阵A=I 1 0,B=1 0 1 ,且矩阵X满足
111 110
AXA BXB=AXB BXA E ,求X .
四、利用伴随矩阵进行计算或证明
1. 证明下列等式
(1) (A T)*=(A*)T；⑵若IA卜0,则(A J)^ (A*)J；
(3) | Ar 0,则[(A J)T]*=[(A*)T]J；
⑷| AI= 0,则(kA)* =k n'A*(k = O,A为n阶矩阵)；
(5)若代B为同阶可逆矩阵，则(AB)* =B*A*.
2. 设矩阵A = (a j)3>3满足A =A T,若a11,a12,a13为三个相等正数，则a∏ =__________________________ .
五、关于初等矩阵和矩阵的秩(看教材)
第三章矩阵
典型例题
一、判断向量组的线性相关性
1. 设〉i Nr,,,…，>J(i =1,2,…，r;r ：：：n)是n维实向量，且线性无关，已知1 =(d,b2,…,b n)τ是线性方程组
冷1必+312X2 + …+ HinXn =0
a21X1 +a22X2 * +a2n X n =0
I ……
3r1x1 a r2x2 ............... 3rn x n =0
的非零解向量，试判断向量组>1,>2,i,>r,1的线性相关性。
2. 设〉1」2,…Z n是n个n维的线性无关向量，∖ ^k r1 ■ k^k"n ,其中k1,k2, ,k n全不为零，证明 m,…n 1中任意n个向量均无关。
1 1 -1
1 2 1
3. 设A为4X3矩阵，B为3X3矩阵，且AB=0,其中A= ,证明B的
2 3 0
0 T —2_
列向量组线性相关。
4. 设:∙1√∙2Λ'√∙n j为n-1个线性无关的n维列向量，'1和2是与>1,>2,i,>nj均
正交的n维非零列向量，证明(1) I、2线性相关；(2)「1,「2,…CnJ , I线
性相关。
、把一个向量用一组向量线性表示
a11x1S f2X2亠'亠a1n x n= 0
证明线性方程组< a21X1 +槨2+ …+a2n X^0的解都是
b1X1 bX√冶7'b n X n =0的解的充要条件是：是>1√'2√' √'m的线性组合，其中
■-=(bι,b2, ,b n)，:i =C i1, ：i2, , ：in)(i "2 ,m).
三、求向量组的秩
1. 给定一个向量组，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
2. 已知向量组(1) :-1/-2/-3 ；( 2)〉1「2「3,〉4 ；( 3)〉1「2「3「5.如果各向量
组的秩分别是3、3、4，证明：向量组〉1,二2,〉3, >5 -〉4的秩为4.
四、有关矩阵秩的命题
1. 设A为m n实矩阵，证明：R(A)=R(A T A).
2. 设A为n阶方阵，且满足A^ A 2E ,证明：R(^2E) R(A E)= n .
综合题
1. 设A 为 m n矩阵，B 为n (n -m)矩阵，且已知AB=O，R( A) = m, R(B) = n - m，
设〉是满足AX=O的一个n维向量，证明：存在唯一的一个(n-m)维列向量一：，
2. 已知随机变量X ~ 0 1
， P^- -0.5 -1 ,又n维向
量:-1∕-2∕∙3线性无
∣[0.25 0.75
关，求向量2/ 22 3,X 3Y1线性相关的概率。
S m1X1 ' a m2X2 •a mn Xn=O
