第4章 半导体中的载流子

(2m ) dZ gc ( E) 4V dE h
* n 3 3 2
( E Ec )
1
2

价带顶附近状态密度
g v ( E ) 4V ( 2m ) h
* p 3 3 2
( Ev E )
1
2
第4章 半导体中的载流子
§4.1 状态密度

2. 对于各向异性，等能面为椭球面 2 2 2 h 2 k x k0 x k y k0 y k z k0 z E (k ) E [ ]
EC EF n N C exp k T 0
NC称为导带的有效状态密度.
N c f Ec
导带电子浓度可理解为:把导带中所有的量子态都集中在导 带底Ec，而它的有效状态密度为Nc，则导带中的电子浓度就是 服从波尔兹曼分布的Nc个状态中有电子占据的量子态数。
第4章 半导体中的载流子
§4.2费米能级和载流子的统计分布
对于空穴，EF-E>>k0T时,
EF E EF E 1 f E exp exp exp kT kT kT
上式给出的是能级比EF低很多的量子态,被空穴占据的几率.
3/ 2
c
h

椭球面包含的量子态数
8 (8m m m ) Z V 3 h
* x * y 3 * z 1 2
( E Ec )
3
2Байду номын сангаас
第4章 半导体中的载流子
§4.1 状态密度

晶体对称性，极值附近对应椭球不止一个，若 有s个对称椭球，导带底附近状态密度
* * 1/ 2 1 s(8m* m dZ x y mz ) 2 gc ( E) 4V ( E E ) c dE h3
§4.1 状态密度 3.1.2 状态密度

1.导带底E(k) 与k的关系（单极值，球形等能面）
h k E (k ) Ec * 2mn
2 2
半径：a
2m
* n
/ h 2 E Ec

4 4 2m 包围k空间体积： a 3 3 3


* 3/ 2 n
E E
第4章 半导体中的载流子
§4.2费米能级和载流子的统计分布
3.2.4 导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度
为了计算单位体积中导带电子和价带空穴的数目,即
载流子浓度,必须先解决下述两个问题:
1、能带中能容纳载流子的状态数目; 2、载流子占据这些状态的几率.
第4章 半导体中的载流子
§4.2费米能级和载流子的统计分布
3.1.1 k空间中量子态的分布

对于边长为L的立方晶体

kx = nx/L (nx = 0, ±1, ±2, …) ky = ny/L (ny = 0, ±1, ±2, …) kz = nz/L (nz = 0, ±1, ±2, …)
单位体积k空间内共有2×V种状态
第4章 半导体中的载流子
第4章 半导体中的载流子
§4.2费米能级和载流子的统计分布
书中图3-3，随着温度的增加，EF以上能
级被电子占据的几率增加，其物理意义在
于温度升高使晶格热振动加剧，晶格原子 传递给电子的能量增加使电子占据高能级 的几率增加，因此温度升高使半导体导带 电子增多，导电性趋于加强。
EF标志电子填充能级的水平
E k0T fB E exp Be kT E
此时分布函数的形式同经典的波尔兹曼分布是一致的.对于 能级比EF高很多的量子态,被电子占据的几率非常小,因此泡利 不相容原理的限制显得就不重要了.
物理意义 在能级远高于费米能级的条件下，对一个能级来说同时被几 个电子占据的几率极小，换句话说，一个能级最多只能被一个 电子所占据，无论电子的自旋方向如何，也就是说对电子的自 旋方向没有限制，这种电子在能级上的分布正是波尔希曼分布。
c
3/ 2
h3
3/ 2
球面包含的量子态数
* 2mn 4 3 8 Z 2V a V 3 3

E E
3/ 2 c
h3
第4章 半导体中的载流子
§4.1 状态密度

E是连续（准连续），求微分
(2m ) dZ 4V h
* n 3 3 2
( E Ec ) 2 dE
1

导带底附近状态密度
第4章
● ● ● ● ● ●
半导体中的载流子
4.1 状态密度 4.2 费米能级和载流子的统计分布
4.3 本征半导体的载流子浓度
4.4 杂质半导体的载流子浓度 4.5 一般情况下的载流子统计分布 4.6 简并半导体
第4章 半导体中的载流子
热平衡状态
在一定温度下，存在： 产生载流子过程——电子从价带或杂质能级向导 带跃迁； 复合过程——电子从导带回到价带或杂质能级上。 在一定的温度下，给定的半导体中载流子的产 生和消失这两个相反过程之间建立起动态平 衡，称为热平衡状态。
第4章 半导体中的载流子
§4.2费米能级和载流子的统计分布
1. EF的确定 ⑴ 在整个能量范围内所有量子态被电子占据的量子态数 等于实际存在的电子总数N,则有
f E N
i i
EF是反映电子在各个能级中分布情况的参数.
与EF相关的因素:
①半导体导电的类型；
②杂质的含量 ③与温度T有关;
第4章 半导体中的载流子
● ●
ED
Ec
产生
复合
Ev
○ ○
第4章 半导体中的载流子
问题：热平衡时，求半导体中的载流子浓度?
（对确定的材料,载流子浓度与温度有关,与掺杂 有关.) [分别讨论本征半导体和杂质半导体] 途径：半导体中,允许的量子态按能量如何分布—求 状态密度g(E) + 载流子在允许的量子态上如何分布—讨论分 布函数f(E), 从而得到载流子浓度n(T)及p(T)

* * * m m m , m x y t z ml 硅锗半导体等能面为椭球面，即
m mdn s (ml m )
* n 3 2 t
2
1
3
第4章 半导体中的载流子
§4.1 状态密度

则状态密度
c
2m E E g E 4V h
* 3/ 2 n 3 c
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§4.2费米能级和载流子的统计分布
2.费米分布函数特征
（1）f(E)与E和T的关系 a)在T=0条件下
E-EF>0时，f(E)=0,表明E>EF的能级未被电子占据；
E-EF<0时, f(E)=1，表明E<EF的能级均被电子占据； E=EF时，f(E)不确定，表明T=0条件下，EF为能级是否为电子 占据的分界线 b）在T>0条件下， E=EF时，f(E)=1/2； E-EF>0时，f(E) <1/2； E-EF<0时，f(E) >1/2。
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§4.2费米能级和载流子的统计分布 3.2.1 导出费米分布函数的条件
⑴把半导体中的电子看作是近独立体系,即认为电子之间的相互 作用很微弱. ⑵电子的运动是服从量子力学规律的,用量子态描述它们的运动 状态.电子的能量是量子化的,即其中一个量子态被电子占据,不 影响其他的量子态被电子占据.并且每一能级可以认为是双重简 并的,这对应于自旋的两个容许值. ⑶在量子力学中,认为同一体系中的电子是全同的,不可分辨的. ⑷电子在状态中的分布,要受到泡利不相容原理的限制. 适合上述条件的量子统计,称为费米-狄拉克统计.
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§4.1 状态密度

状态密度
dZ g (E) dE
定义：能带中单位能量范围内的能级数（量子态数）

计算步骤



计算单位k空间中的量子态数； 计算单位能量范围所对应的k空间体积； 计算单位能量范围内的量子态数； 求得状态密度。
第4章 半导体中的载流子
§4.1 状态密度
1/ 2

mdn称为导带底电子状态密度有效质量。



对于Si，导带底有六个对称状态，s=6 mdn =1.08m0 对于Ge，s=4 mdn =0.56m0
第4章 半导体中的载流子
§4.1 状态密度

同理可得价带顶附近的情况

价带顶附近E(k)与k关系
E (k ) Ev
2 2 h 2 (k x ky k z2 )
dE
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§4.2费米能级和载流子的统计分布
引入变数 E EC k0T ,上式可以写成
EC EF 2mdn k0T 2 n 4 exp
3
h
3

k0T
2 e d 0

1

把积分 e d
1 2 0

2
代入上式中,有
3
EC E F 22mdn k0T 2 n exp 3 h k0T

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§4.2费米能级和载流子的统计分布
22mdn k0T N 若令 C h3
3 2
则导带电子浓度n可表示为（必记）
EC EC


因为 f E 随着能量的增加而迅速减小,所以把积分范围 由导带顶EC一直延伸到正无穷,并不会引起明显的误差.实 际上对积分真正有贡献的只限于导带底附近的区域.于是, 导带的电子浓度n为
4 2mdn k0T n h3
3 2
E E
EC C

1
2
E EF exp k T 0
简并半导体和非简并半导体 非简并半导体：指导带电子或价带空穴数量少， 载流子在能级上的分布可以用波尔兹曼分布描述 的半导体，其特征是费米能级EF处于禁带之中， 并且远离导带底Ec和价带顶Ev。 简并半导体：是指导带电子或价带空穴数量很 多，载流子在能级上的分布只能用费米分布来描 述的半导体，其特征是EF接近于Ec或Ev，或者EF 进入导带活价带之中。
c
2
m* x
2m E E a
* x c
1/ 2
4 4 8m m m E E 椭球面k空间体积：abc
* x * y
h
2m E E ,b
* y c
m* y
m* z
1/ 2
h
2m E E ,c
* z c
1/ 2
h
3
3
* 1/ 2 z 3
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§4.2费米能级和载流子的统计分布 3.2.2 费米分布函数和费米能级
热平衡时,能量为E的任意能级被电子占据的几率为
f E 1 E EF exp kT 0 1
其中,f(E)被称为费米分布函数,它描述每个量子态被电 子占据的几率随E的变化.k0是波尔兹曼常数,T是绝对温 度,EF是一个待定参数,具有能量的量纲,称为费米能级.
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§4.2费米能级和载流子的统计分布 2、价带空穴浓度
单位体积中,能量在E～E+dE范围内的价带空穴数p(E)dE为
(2) f(E)与
f(E)的数值取决于能级差E-EF，而E-EF的大小是与k0T 相比较而言的。举例：
E EF koT
的关系
ⅰ) 当E-EF>5k0T时，f(E) <0.007，这是很小的概率，概
率论认为小概率事件为不可能事件，不会发生，也就是 说，能级高于EF+5k0T时，能级不被电子占据。

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§4.2费米能级和载流子的统计分布 1、导带电子浓度
单位体积晶体中能量在E-E+dE范围内的导带电子数为: nE dE f E gc E dE 整个导带中的电子浓度为
n
E顶 EC
nE dE nE dE gc E f E dE
ⅱ)当E-EF<-5k0T时， f(E) >0.993，这是大概率事件，因
此电子必然占据低于EF-5k0T的能级。
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§4.2费米能级和载流子的统计分布
E EF 1时，费米分布函数 k oT »
3.2.3 波尔兹曼分布函数
E EF f E exp kT EF exp kT
2m * p
3

价带顶附近状态密度
g v ( E ) 4V ( 2m ) h
* p 3 2
( Ev E )
1
2
第4章 半导体中的载流子
§4.1 状态密度

其中
m mdp [(m p ) l (m p ) h ]
* p 2 2

3
3
3
2


mdp称为价带顶空穴状态密度有效质量 对于Si，mdp=0.59m0 对于Ge，mdp=0.37m0