高考数学4月命题比赛参赛试题21

浙江省杭州市重点高中 高考数学4月命题比赛参赛试题3（考试时间120分钟，满分150分）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， Sh V 31=则n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，， 球的表面积公式台体的体积公式 24S R π=121()3V h S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积， 343V R π=h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知U 为全集，I B A ,,都是U 的子集，且I B I A ⊆⊆,，则=)(B A C I （ ）（A ）{}B x A x U x ∉∉∈且| （B ）{}B x A x U x ∉∉∈或| （C ）{}B x A x I x ∉∉∈且| （D ）{}B x A x I x ∉∉∈或|（2）（全品改编）执行如图1的程序框图，输出的T 的值为（ ）（A ）12 （B ）20 （C ）30 （D ）42 （3）等比数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“63a a <”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）（课本改编）设i 为虚数单位，则下列运算结果不是．．纯虚数的是（ ） （A ）ii -+11 （B ）)1)(1(i i -+ （C ）2)1(i + （D ）2)1(i - （5）已知m 是平面α的一条斜线，点α∉A ，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）（A ）α//,l m l ⊥ （B ）α⊥l m l ,// （C ） α⊥⊥l m l , （D ） α//,//l m l （6）（2007模拟题改编）已知点)10sin ,10(cos ︒︒A 、)40cos ,40(sin ︒︒B ，则直线AB 的倾斜角等于（ ）（A ）︒135 （B ）︒120 （C ）︒105 （D ）︒95（7） 已知OAB ∆三顶点坐标分别是)0,0(O 、)1,1(A 、)0,2(B ， 直线1=+by ax 与线段OA 、AB 都有公共点，则对于b a -2下列叙述正确的是 （ ）（A ）有最大值而无最小值 （B ）有最小值而无最大值 （C ）既有最大值也有最小值 （D ）既无最大值也无最小值 （8）如图2，正方体D C B A ABCD ''''-中，M 为BC 边的中点，点P 在底面D C B A ''''和侧面 C D CD ''上运动并且使C PA C MA '∠='∠，那么点P 的轨迹是（ ）（A ）两段圆弧 （B ）两段椭圆弧 （C ）两段双曲线弧 （D ）两段抛物线弧（9）（2011模拟题改编）ABC ∆中，内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，满足2222c b a =+，如果2=c ，那么ABC ∆的面积等于（ ）（A ）A tan （B ）B tan （C ）C tan （D ）以上都不对（10）（2011模拟题改编）已知)(x f 是定义在],[b a 上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：)(x f 的值域为G ，且],[b a G ⊆；对任意],[,b a y x ∈都有B '图2y x y f x f -<-)()(．那么，关于x 的方程x x f =)(在区间],[b a 上根的情况是（ ） （A ）可能没有实数根 （B ）有且仅有一个实数根（C ）恰有两个实数根 （D ）可能有无数多个实数根非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）（课本题改编）若naa )1(32+的展开式中含3a 项，则最小自然数_________=n ．（12）（2012北京高考题改编）如图3, ABC ∆与ACD∆都是等腰直角三角形, 且2==DC AD ,BC AC =, 平面⊥DAC 平面ABC , 如果以ABC 平面为水平面, 正视图的观察方向与AB 垂直,则三棱锥ABC D -左视图的面积为__________.（13）（2011模拟题改编）编号为1 ~8的八个小球按编号从小到大顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有 ______种．（14）首项11=a 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，对于一切*∈N k ，总有2)(2k k S S = 成立，则________=n a ．（15）（全品改编）已知双曲线116922=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，定点)3,1(A ，点P 在双曲线的右支上运动，则PA PF +1的最小值等于________． （16）（2011温州模拟题）如图4，线段AB 长度为2，点,A B分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为 一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐 标原点，则OD OC ⋅的取值范围是 .（17）实数c b a >>且c b a -=+1，)1(-=⋅c c b a ，则c 的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．DBCA图3图4（18）（2012杭州高三期中联考改编）（本题满分14分）平面直角坐标系中，ABC ∆满足)sin ,sin 3(θθ-=AB ，)sin ,(cos θθ=AC ， （Ⅰ）若BC 边长等于1，求θ的值（只需写出)2,0(π内的θ值）； （Ⅱ）若θ恰好等于内角A ，求此时内角A 的大小． （19）（2010高考模拟改编）（本题满分14分）某种鲜花进价每束5.2元，售价每束5元，若卖不出，则以每束6.1元的价格处理掉．某节日需求量X （单位：束）的分布列为X 200 300 400 500P20.0 35.0 30.0 15.0（Ⅰ）若进鲜花004束，求利润Y 的均值． （Ⅱ）试问：进多少束花可使利润Y 的均值最大？ （20）（本题满分14分）如图5，ABC ∆的三边长分别为6=AC 、8=AB 、10=BC ，O '为其内心；取A O '、B O '、C O '的中点A '、B '、C '，并按虚线剪拼成一个直三棱柱C B A ABC '''-（如图6），上下底面的内心分别为O '与O ；（Ⅰ）求直三棱柱C B A ABC '''-的体积；（Ⅱ）直三棱柱C B A ABC '''-中，设线段O O '与平面C B A '交于点P ，求二面角C AP B --的余弦值．（21）（全品改编）（本题满分14分）定长等于62的线段AB 的两个端点分别在直线x y 26=和x y 26-=上滑 动，线段AB 中点M 的轨迹为C ；A BCA 'B 'C 'O '图5B BC ' 图6（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点)1,0(的直线l 与轨迹C 交于Q P ,两点，问：在y 轴上是否存在定点T ， 使得不论l 如何转动，⋅为定值．（22）（原创并将发表在数学通讯“我为高考设计题目”栏目）（本题满分16分）设函数41)(2+=x x f ，)2ln(21)(ex x g =，（其中e 为自然底数）； （Ⅰ）求)()(x g x f y -=（0>x ）的最小值；（Ⅱ）探究是否存在一次函数b kx x h +=)(使得)()(x h x f ≥且)()(x g x h ≥对一切0>x 恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；（Ⅲ）数列{}n a 中，11=a ，)2)((1≥=-n a g a n n ，求证：83)(111∑=++<⋅-nk k k k a a a ．2013年高考模拟试卷数学卷（理科）答题卷一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。

2021年高二4月月考数学理含答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、曲线在(1,1)处的切线方程是（）AB CD.2、定义运算，则符合条件的复数为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角4.观察按下列顺序排列的等式：，，，，…，猜想第个等式应为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5、曲线与轴以及直线所围图形的面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6、平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7、若，则（）A．B．C．D．8、复数z=,则是（）A．25 B．5 C．1 D．79、一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记，则下列结论中错误的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10、如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数A. B. C. D. 11、设*211111()()123S n n n n n n n=+++++∈+++N ，当时，（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ． Ｄ．12、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（ ）(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J13. 曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）14. 已知直线是的切线，则的值为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）15. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确16. 在复平面内, 复数1 + i 与i 分别对应向量和, 其中为坐标原点,则=（ ）A. B. C. D.17. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得( ) (A)当时，该命题不成立 (B)当时，该命题成立(C)当时，该命题成立 (D)当时，该命题不成立18. 若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．[0，π2)B ．[0，π2)∪[2π3，π)C ．[2π3，π)D ．[0，π2)∪(π2，2π3] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．19、 20、设= i 4 + i 5+ i 6+…+ i 12 ,= i 4 · i 5·i 6·…·i 12，则Z 1 ，关系为21．已知（为常数），在上有最小值，那么在上的最大值是 22．函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，则a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23、（本小题10分）．（1）求的单调区间；（2）求函数在上的最值．24．（本小题10分）设是二次函数，方程有两个相等的实根，且．（1）求的表达式；（2）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值．25、（本小题10分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。

（新高考）2020-2021学年下学期高三4月月考卷数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{},,,A a b c d =，{},,,B b c d e =，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．7B ．9C ．8D ．322．“21a =”是“直线1x ay +=与1ax y +=平行”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．i 为虚数单位，已知复数234202020211i i i i i ii z +++++⋅⋅⋅++=，则复数z 在复平面中对应的点的坐标为（ ） A ．()1,0B ．()0,1C ．()1,1-D ．()1,1-4．已知034.a =，40.3b =，3log 10c =，则（ ） A ．b c a >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．若关于x 的方程2230x x mx ---=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．34,,23⎛⎤⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．34,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭6．已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=->满足()()124f x f x -=，且12x x -的最小值为π2，则8πf ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．622- B ．1C ．3D ．27．函数()()221sin 1x xf x x ++=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知,a b 是平面向量，满足||2=a ，||1≤b ，且322-≤b a ，记a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值是（ ） A ．1116B ．78C ．158D ．31516二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ）A ．在ABC △中，::sin :sin :sin a b c ABC = B ．在ABC △中，若sin 2sin 2A B =，则a b =C ．在ABC △中，若sin sin A B >，则A B >；若A B >，则sin sin A B >都成立此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号D ．在ABC △中，sin sin sin a b cA B C+=+ 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若831a =，10210S =，则（ ） A ．19919S a = B ．数列{}22na 是公比为8的等比数列C ．若()1nn n b a =-⋅，则数列{}n b 的前2020项和为4040 D ．若11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前2020项和为20202424911．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF =． 则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥A BEF -的体积为定值B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D ．当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成的角为π412．已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，若A ，B 两点在准线上的射影分别为M ，N ，线段MN 的中点为C ，则（ ） A ．AC BC ⊥B ．四边形AMCF 的面积等于AC MF ⋅ C ．AF BF AF BF +=⋅D ．直线CA 与抛物线相切第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．()52121x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______． 14．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，其中A 、B 相邻，且C 、D 在A 、B 的两侧，则不同的排法共有__________种．（用数字作答）15．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增，且()11f -=-．若()110f x -+≥，则x 的取值范围是_______；设函数()2(1)1,021,0x x a x g x x a x ⎧-->⎪=⎨+-+≤⎪⎩，若方程()()10f g x +=有且只有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________． 16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()0f x '>且()()1xf f x e -=，若()f x ax x ≥+恒成立，则a 的取值范围为____________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{}n a 数列满足12a =，1122n n n a a ++-=．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）求数列{}12n n a ++的前n 项和．19．（12分）2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛． （1）①若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率； ②若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；（2）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记X 为赛区的个数，求X 的分布列及期望()E X ．20．（12分）如图甲是由正方形ABCD ，等边ABE △和等边BCF △组成的一个平面图形，其中6AB =，将其沿AB ，BC ，AC 折起得三棱锥P ABC -，如图乙．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）过棱AC 作平面ACM 交棱PB 于点M ，且三棱锥P ACM -和B ACM -的体积比为1:2，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,0，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆C 的上顶点，A 、B 是椭圆C 上两个不同的动点（不在y 轴上），直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，且123k k =，求证：直线AB 过定点50,33N ⎛⎝．22．（12分）已知函数()2ln f x x a x =-，()()2g x a x b =-+，(),a b ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值； （2）讨论()f x 的单调性；（3）若关于x 的方程()()f x g x =在区间()1,+∞上有两个不相等的实数根1x ，2x ，证明：12x x a +>．（新高考）2020-2021学年下学期高三4月月考卷数学（A ）答案第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】A B 含有3个不同元素，故它的子集个数为8，故选C ．2．【答案】B【解析】因为直线1x ay +=与1ax y +=平行，所以0a ≠且两直线的斜率相等，即1a a-=，解得1a =±．而当1a =时，直线1x ay +=为1x y +=，同时1ax y +=为1x y +=，两直线重合不满足题意； 当1a =-时，1x y -=与1x y -+=平行，满足题意， 故1a =-，根据小范围推大范围可得21a =是1a =-的必要不充分条件，故选B ． 3．【答案】D【解析】231i i i 0+++=，根据i 的运算周期性，所以1i1i iz +==-， 所以该复数对应的点为()1,1-，故选D ． 4．【答案】C 【解析】因为05032441..=>>，4010.3<<，33log 10log 92>=，所以12a <<，01b <<，2c >， 因此c a b >>，故选C ． 5．【答案】D【解析】方程2230x x mx ---=，即为223x x mx -=+， 因为方程2230x x mx ---=有两个不相等的实数根，所以函数22y x x =-与3y mx =+的图象有两不同的交点， 在同一坐标系中作出函数22y x x =-与3y mx =+的图象如图所示：由图象知：当直线3y mx =+过点()2,0时，32m =-， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 2311m m +=+，解得43m =-，所以实数m 的取值范围是34,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，故选D ． 6．【答案】A【解析】()()π3cos 2sin 06f x x x x ωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，则()max 2f x =，()min 2f x =-，且()()()()12max min 4f x f x f x f x -==-， 设函数()f x 的最小正周期为T ，则12π22T x x -==，2ππT ω∴==，可得2ω=， ()3sin 2cos2f x x x ∴=-，因此，πππ623cos 8442f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选A ． 7．【答案】B 【解析】()()2221sin 2sin 111x x x x f x x x +++==+++，令()22sin 1+=+x x g x x ，则()()22sin 1x x g x g x x ---==-+，故()g x 为R 上的奇函数， 故()f x 的图象关于()0,1对称，故排除C ；又当0x >时，令()2sin h x x x =+，则()2cos 0h x x '=+>，故()()00h x h >=，故当0x >时，()1f x >，故排除D ； 而()sin1102f -=-<，故排除A ， 故选B ． 8．【答案】B【解析】由322-≤b a ，得()2223294124-=+-⋅≤b ab a a b ，所以2143⋅≥+b b a ，则23||113||4cos ||||2||2||8θ+⋅=≥=+⋅b a b b a b b b ， 令函数13()28xf x x =+，因为()f x 在[]0,1上单调递减， 又因为1≤b ，故当1=b 时，cos θ取得最小值，最小值为78，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】ACD【解析】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 可得::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故该选项正确； 对于B ，由sin 2sin 2A B =，可得A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=， ∴a b =或222a b c +=，故该选项错误；对于C ，在ABC △中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>， 因此A B >是sin sin A B >的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C++====++左边，故该选项正确，故选ACD ． 10．【答案】CD【解析】由等差数列的性质可知191019S a =，故A 错误；设{}n a 的公差为d ，则有811017311045210a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得13a =，4d =，故41n a n =-，28122n a n -=，则数列{}22n a是公比为82的等比数列，故B 错误；若()()()1141n nn n b a n =-⋅=-⋅-，则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=，故C 正确； 若()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则{}n b 的前2020项和2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪⎝⎭，故D 正确， 故选CD ． 11．【答案】AC【解析】选项A ：连接BD ，由正方体性质知11BDD B 是矩形，1112212224BEF S EF BB ∴=⋅=⨯=△， 连接AO 交BD 于点O ，由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ，所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即22AO =， 112213312A BEF BEF V S AO -∴=⨯==△，A BEF V-∴是定值；选项B ：连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ，由正方体性质知11AD AB =，M 是11B D 中点，AM EF ∴⊥， 又1BB EF ⊥，11BB AA ∥，A EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，在直角三角形1AA M 中，12tan 2MAA ∠=为定值．选项C ：如图，作11FH A B ⊥，11EG A B ⊥，ET EG ⊥，在直角三角形EFT 中，221cos 45222FT EF =︒⨯=⨯=，12HG FT ∴==，选项D ：当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ， 连接1D R ，1D R BM ∥，异面直线AE 与BF 所成的角，即为异面直线1AD 与1D R 所成的角，在三角形1AD R 中，12AD =，2211132D R MB BB M B ==+=，22AR =， 由余弦定理得13cos 6AD R ∠=， 故选AC ． 12．【答案】ACD【解析】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为1x ty =+， 将直线AB 的方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系得124y y =-． 如图，由题意可得()1,0F ，准线方程为1x =-．设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为1x ty =+， 代人抛物线方程，得2440y ty =-=，所以124y y =-， 因为线段MN 的中点为C ，所以121,2y y C +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以21121,42y y y CA ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，22211,42y y y CB ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以2121210162y y y yCA CB ⋅=++=，所以AC BC ⊥，故A 正确；因为()11,M y -，所以()12,MF y =-，所以12202y y CA MF ⋅=+=，所以AC MF ⊥，所以四边形AMCF 的面积等于12AC MF ⋅，故B 错误；根据抛物线的定义知2114y AF AM ==+，2214y BF BN ==+，所以2212244y y AF BF +=++，22222212121212164444y y y y y y AF BF ⋅=+++=++，所以AF BF AF BF +=⋅，所以C 正确；不妨设点211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴上方，当0y >时，由24y x =，得y =y '=， 所以抛物线以点A为切点的切线方程为21111242y y y x y x y ⎛⎫=-+=+⎪⎭， 令1x =-，得221111212111422222y y y y y y y y y y y -++=-===， 所以点C 在以点A 为切点的切线上，即直线CA 与抛物线相切，故D 正确， 故选ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】19【解析】()521x -的展开式的通项()()()555155C 212C 1rrrrr r rr T x x ---+=-=⋅-，所以()52121x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中的常数项为452C 2119⨯⨯-=，故答案为19． 14．【答案】80【解析】将A 、B 捆绑，合二为一，共有2种方法； 从5个位置选出3个，共35C 种选法，其中A 、B 放中间，C 、D 放两边，有22A 种排法； 剩下两个位置放E 、F ，共22A 种排法，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为3225222C A A 80⋅⋅⋅=，故答案为80．15．【答案】[0,2]，(](),13,-∞-+∞【解析】由()f x 是偶函数，且()f x 在(,0]-∞上单调递增， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减，且()()111f f =-=-， 由()110f x -+≥，可得()()11f x f -≥， 所以111x -≤-≤，即02x ≤≤．由()()10f g x +=，可得()1g x =或()1g x =-．由函数解析式可知()g x 在(],0-∞和()0,+∞上均为增函数， 故当(],0x ∈-∞时，()2g x a ≤-；当()0,x ∈+∞时，()g x a >-．①若121a a >->->-，则()1g x =有1解，()1g x =-有2解，不符合题意； ②若211a a ->>->-，此时()1g x =有2解，()1g x =-有1解，不符合题意； ③若1a -≥，则()1g x =有1解，()1g x =-有1解，符合题意； ④若21a -<-，则()1g x =有1解，()1g x =-有1解，符合题意； ⑤若21a -=，则()1g x =有2解，()1g x =-有1解，不符合题意； ⑥若21a -=-，则()1g x =-有2解，()1g x =有1解，不符合题意；综上，1a -≥或21a -<-，解得1a ≤-或3a >． 故答案为[0,2]，(](),13,-∞-+∞．16．【答案】[1,1]e --【解析】()0f x '>，∴()f x 为增函数，()()1x f f x e -=，∴存在唯一一个常数0x ，使得0()1f x =，∴0()x f x e x =-，即0()xf x e x =+，令0x x =可得01x e x +=，∴00x =，故而()xf x e =，∵()f x ax x ≥+恒成立，即(1)xe a x ≥+恒成立，∴xy e =的函数图象在直线(1)y a x =+上方，不妨设直线(1)y k x =+与xy e =的图象相切，切点为()00,x y ，则00000(1)1x x y k x y e e k =+⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得01x =， 1k e =-．如图，∴当01a e ≤+≤，即11a e -≤≤-时，xy e =的函数图象在直线(1)y a x =+上方，即()f x ax x ≥+恒成立， 故答案为[1,1]e --．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）证明见解析；（2）()1122n n S n +=+⋅-．【解析】（1）依题，在1122n n n a a ++-=两边同时除以12n +，得11122n n n n a a ++-=，1112a =， 故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）得()112nn a n n =+-=，可得2n n a n =⋅，所以()1222n n n a n ++=+⋅， 则数列{}12n n a ++的前n 项和()12332425222n nSn =⋅+⋅+⋅+++⋅①，()()231232421222n n n S n n +=⋅+⋅+++⋅++⋅②，①-②，得()()()231121262222242212n n n n n S n n ++--=++++-+⋅+-+⋅-=，所以()1122n n S n +=+⋅-．18．【答案】答案见解析． 【解析】选择条件①：由正弦定理可得sin sin sin c πos 6A C C A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由于sin 0C ≠，可得31sin cos cos sin 6π22A A A A ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， 化简可得13sin 2A A =，即tan 3A = 因为()0,πA ∈，所以π3A =， 由余弦定理可得()22223a b c bc b c bc =+-=+-，解得12bc =，4312b c bc ⎧+=⎪∴⎨=⎪⎩3b c == 因此1sin 332ABC S bc A ==△ π3332222B C A A +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3sin 2A A =， 32sin cos 222A A A=， ()0,πA ∈，则π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 02A≠，所以3sin 2A =， 所以π23A =，即2π3A =， 由余弦定理可得()2222222cos a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+-， 由已知可得()2236bc b c a =+-=，由基本不等式可得2122b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以不存在满足条件的ABC △．选择条件③：由余弦二倍角公式可得22cos 3cos 20A A +-=，解得1cos 2A =或2-（舍去）， 因为()0,πA ∈，所以π3A =， 由余弦定理得()22223a b c bc b c bc =+-=+-，解得12bc =，4312b c bc ⎧+=⎪∴⎨=⎪⎩，解得23b c ==， 因此1sin 332ABC S bc A ==△． 19．【答案】（1）①150；②37；（2）分布列见解析；期望为7435． 【解析】（1）①记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶情况数，然后分析“决赛恰好在同一赛区”和冰球”为事件A ．由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有1010100⨯=种不同情况， 其中恰好看到冰壶和冰球，共有2种不同情况， 所以21100(50)P A ==． ②记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B ． 由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有6742⨯=种不同情况，其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同情况，在张家口赛区共有4416⨯=种不同情况， 所以21627(34)P B +==． （2）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3．根据题意，3437C 4(1)C 35P X ===，121212211214242437C C C C C C C C 1612423(2)C 3535P X ⋅+⋅+++++====，11112437C C C 8(3)C 35P X ⋅⋅===．随机变量X 的分布列是：X 123 P4352335835数学期望423874()12335353535E X =⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）427． 【解析】（1）证明：如图，取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ． ∵PA PC =，∴PO AC ⊥． ∵6PA PC ==，90APC ∠=︒， ∴1322PO AC ==，同理32BO =． 又6PB =，∴222PO OB PB +=，∴PO OB ⊥． ∵ACOB O =，AC ，OB ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ．又PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ． （2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，()32,0,0A ，()32,0,0C -，()0,32,0B ，(0,0,32P ， ∴()32,32,0CB =，(32,0,32CP =．∵三棱锥P ACM -和B ACM -的体积比为1:2，∴:1:2PM BM =， ∴(2,22M ，∴(32,2,22AM =-． 设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则3232032320x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，得()1,1,1=--n ．设直线AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,7AM θ===n ，∴直线AM 与平面PBC所成角的正弦值为7． 21．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）根据题意得222212a c a b a c=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）因为点M 为椭圆上顶点，所以点M的坐标为(M ， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线1:MA y k x =221143x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()2211340k x x ++=，解得11x =，则1111y k x =+=，即点11A ⎛ ⎝⎭，111112113343ANy k k x k k ===--+，设直线2:MB y k x =，同理可得2213BN k k k =--， 又因为123k k =，所以213k k =，所以1111311333BNk k k k k =--=--，所以AN BN k k =，所以直线AB过定点0,N ⎛ ⎝． 22．【答案】（1）2a =；（2）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上为增函数；当0a >时，()f x在上递减，在)∞上递增；（3）证明见解析． 【解析】（1）因为()2ln f x x a x =-，所以22()2(0)a x af x x x x x-'=-=>，依题意可得(1)20f a '=-=，得2a =．（2）22()2(0)a x af x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数；当0a >时，当0x <<时，()0f x '<；当x >()0f x '>， 所以()f x在上递减，在)+∞上递增． 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上为增函数； 当0a >时，()f x在上递减，在)+∞上递增． （3）因为关于x 的方程()()f x g x =在区间()1,+∞上有两个不相等的实数根1x ，2x ，所以2ln (2)x a x a x b -=-+，即2(2)ln x a x a x b +--=在区间()1,+∞上有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设211x x >>，所以21112222(2)ln (2)ln x a x a x b x a x a x b ⎧+--=⎨+--=⎩，所以22121212(2)()(ln ln )0x x a x x a x x -+----=，所以22121212122()ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，要证12x x a +>，即证2212121212122()ln ln x x x x x x x x x x -+-+>-+-， 因为21x x >，所以12120,ln ln 0x x x x -<-<，所以1212ln ln 0x x x x -+-<，所以只需证22121212121212()()()(ln ln )2()x x x x x x x x x x x x +-++-<-+-，即要证1121222(1)ln1x x x x x x -<+，令12x t x =，因为21x x >，所以01t <<， 所以只需证2(1)ln (01)1t t t t -<<<+， 令2(1)()ln (01)1t h t t t t -=-<<+， 则212(1)2(1)()(1)t t h t t t +--'=-+2222214(1)4(1)0(1)(1)(1)t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(0,1)上单调递增，所以()(1)0h t h <=，即2(1)ln (01)1t t t t -<<<+， 所以12x x a +>．。

2021年高三4月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．若{}{}2|22,|log (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则=A ．B ．C ．D ．2．设为虚数单位，则复数=A ．B ．C ．D ． 3．执行如图所示的程序框图，若输出值，则输入值可以是A ．B ．2C ．4D ．64．已知为等差数列,若,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知、、为互不重合的三个平面，命题若，，则；命题 若上存在不共线的三点到的距离相等，则．对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“且”为真B ．命题“或”为假C．命题“或”为假D．命题“且”为假7．设，则二项式展开式的常数项是（）A．B．C．D．8．已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．或D．或9．在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（）A．B．C．D．10．函数在区间上的最大值的最小值是（）A．B．C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．请把答案填在答题卡相应位置11．在等比数列中，，公比，若前项和，则的值为．12．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上xx元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为人．13．按如图所示的程序框图运算，若输出，则输入的取值范围是______ ．14．当实数满足约束条件（其中为小于零的常数）时，的最小值为，则实数的值是 ． 15．在平面上有如下命题：“为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数满足，且”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程写在答题卡的相应位置． 16．（本小题满分13分）某地区有甲，乙，丙三个单位招聘工作人员，已知一大学生到这三个单位应聘的概率分别是0．4，0．5，0．6，且他是否去哪个单位应聘互不影响，用表示他去应聘过的单位数（1）求的分布列及数学期望；（2）记“数列（）是严格单调的数列”为事件，求事件 发生的概率． 17．（本小题满分13分）已知函数)0,0(3cos 32cos sin 2)(2>>-+=ωωωωa x x x a x f 的最大值为，是集合中的任意两个元素，且||的最小值为．（1）求，的值； （2）若，求的值． 18．（本小题满分13分）下图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，//，且= （1）求证：//平面；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）若，求平面与平面所成的二面角的大小．19．（本小题满分13分）已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．（1）证明：直线的斜率互为相反数；（2）求面积的最小值；（3）当点的坐标为，且．根据（1）（2）结论试推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线的斜率是否仍互为相反数？②面积的最小值是多少？20．（本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的极值；（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线∥,，则称为弦的伴随切线．特别地，当时，又称为弦的-伴随切线．①求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵：①求矩阵的逆矩阵；②求矩阵的特征值及相应的特征向量（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为；①若以极点为原点，极轴所在的直线为轴，求曲线的直角坐标方程；②若是曲线上的一个动点，求的最大值（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数3)()()()()(2222cbacxbxaxxf+++-+-+-=（为实数）①求的最小值（用表示）；②若，求（1）中的最小值．xx届山东省济宁市兖州第一中学高三4月月考数学（理）试题参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A A C D C B B 二、填空题11．7 12．4320 13．14．-315．为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：存在实数满足且三、解答题16．（1）解：记该生到甲，乙，丙个单位应聘分别为事件B，C，D，则P(B)=0．4,P(C)=0．5,P(D)=0．5，的可能取值是0，1，2，3--------------2分P（=0）=0．12 P（=1）=0．38 P（=2）=0．38 P（=3）=0．12------6分所以的分布列为所以，----9分（2）解：因为数列（）是严格单调的数列，所以数列，即<--12 分P(A)=P(<)=P(=0)+P(=1)+ P(=2)=0．88--------------------------------13分17．解：（I），--3分由最大值为2，故，又，------------6分……………………………………… 7分（II ）由3132sin ,3232sin 232)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπαα即知f 。

2021年高二4月月考数学（文）试题含答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．已知集合,集合,则（）A．B．{1} C．{－1} D．{－1,1}2．命题“”的否定是（）A． B． C． D．3．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（）A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%4．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则的值为（） A.35B.33C.31D.295．实数为区间上的随机数，则关于的方程有实根的概率为（）A. B. C. D.6．已知点的坐标满足条件，那么的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知角是第二象限角,且, 的图像关于直线对称,则（）A． B． C． D．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的表面积是（单位）（）A． B． C． D．9.下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中为三个评阅人对该题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于（）A．11 B．10 C．8 D．710. 函数的部分图象大致是（）11. 已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.12.已知椭圆，椭圆的中心为坐标原点，点是椭圆的右焦点，点是椭圆短轴的一个端点，过点的直线与椭圆交于两点，与所在直线交于点，若，则（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第象限．14．已知抛物线的焦点为F，其准线与轴相交于点K，直线过焦点F且倾斜角为，则点K到直线的距离为．15.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于．16．方程的曲线即为函数的图像，对于函数，下列命题中正确的是．（请写出所有正确命题的序号）①函数在上是单调递减函数；②函数的值域是；③函数的图像不经过第一象限；④函数的图像关于直线对称；⑤函数至少存在一个零点三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分12分）在中，（1）求的值；（2）求的值.18．（本小题满分分）某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4．（Ⅰ）估计成绩在80分以上学生的比例；（Ⅱ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．19．（本小题满分12分）已知四棱锥的底面为菱形，且，,为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到面的距离．20．（本小题满分分）如图，已知圆：，点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）已知是轨迹的三个动点，与关于原点对称，且，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）．（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．求：(Ⅰ)圆的半径；(Ⅱ) 的值．23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2) 设P为曲线上的动点，求点P到上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.解：（I ）证明：连接 为等腰直角三角形为的中点……………………2分又是等边三角形，………………………………4分又 ，即 ……………………6分（II ）设点到面的距离为 …………8分,到面的距离………………………………10分点到面的距离为……………………12分20解：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4，故动点Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． ······························ 2分 设其方程为，可知，，则， ······································································ 3分 所以点Q 的轨迹的方程为为． ·································································· 4分 （Ⅱ）存在最小值． ··············································································· 5分 （ⅰ）当AB 为长轴（或短轴）时，可知点C 就是椭圆的上、下顶点（或左、右顶点），则． ···································································································· 6分 （ⅱ）方法一、当直线AB 的斜率存在且不为0时，设斜率为k ，则直线AB 的直线方程为，设点，联立方程组消去y 得，，由，知△ABC 是等腰三角形，O 为AB 的中点，则OC ⊥AB ，可知直线OC 的方程为，同理可得点C 的坐标满足，，则，，……8分则222222224(1)4(1)2||||||144(14)(4)ABC OACk k S S OA OC OA k k k k ∆∆++==⨯==⨯=++++． · 9分 由于22222(14)(4)5(1)(14)(4)22k k k k k ++++++≤≤， 所以，当且仅当，即时取等号．综合（ⅰ）（ⅱ），当时，△ABC 的面积取最小值，······································· 11分 此时，，即，，所以点C 的坐标为，，，． ·········································································· 12分 方法二、前同（ⅰ），记，则，所以， 故22211444991125(43)(3)49()24ABC t S t t t t t ∆===-+-++--+， 当，即时，有最大值，此时取得最小值．综合（ⅰ）（ⅱ），当时，△ABC 的面积取得最小值． ··································· 11分 此时，，即，，所以点C 的坐标为，，，． ·········································································· 12分2当，，，∴．曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．而，即方程无实数解．故不存在，使曲线在处的切线与轴垂直……12分r24183 5E77 幷40534 9E56 鹖C36069 8CE5 賥36154 8D3A 贺?o A_F39195 991B 餛。

2021年高三4月月考数学试题 Word版含答案校区：_________ 授课教师：学管老师：注意事项：请考生使用蓝色或黑色圆珠笔、签字笔或钢笔作答。

考核内容：成绩统计：卷Ⅰ（30分钟，50分）一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．答案写在答卷纸上．）1．若全集，集合，，则集合= ．2．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的___ __ 条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个） 3．如图所示的算法流程图中，若则的值等于 ．4． 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为，，设，则满足 的概率为 ． 5．已知正六棱锥的底面边长为1，侧面积为3，则棱锥的体积为 ．6．已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵 坐标是，则= ．7．正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为 8．已知函数的定义域为，且对任意都有，若，则9．已知是椭圆 的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为 ．10．记，已知函数(){}34,12m in 222+--++=x x t tx x x f 为偶函数（为实常数），则函数的零点为 （写出所有零点）卷Ⅱ（60分钟，50分）二、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（本题满分10分）已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足． （1）将表示为的函数，并求的最小正周期；（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若对所有恒成立，且，求的取值范围．12．（本小题满分12分）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与椭圆交于不同的两点，若是以为直径的圆上的点，当变化时，点的纵坐标的最大值为． （1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，是否存在，使得向量与共线？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．13．（本小题满分14分）已知函数. （1）若，求不等式的解集；（2）若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围. 14．（本小题满分14分）已知函数数列满足， （1）若，求数列的通项公式； （2）若)1(1231的整数为大于为常数，且m m a m -=，为数列的前项和. ①求数列的通项公式；②在平面直角坐标系中，记点,,),,(),,(),,(*∈N q p S q C S m B S p A q m p 其中且，问是否存在，使点三点共线．若存在，求出的关系，若不存在，说明理由．附加卷（20分钟，20分）15. （本小题满分5分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A=，矩阵B=，直线经矩阵A所对应的变换得到直线，直线又经矩阵B所对应的变换得到直线，求直线的方程.16、（本小题满分5分）选修4-4：坐标系与参数方程椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，点是椭圆上的一个动点，若的最大值为，求椭圆的标准方程．17．（本小题满分10分）由数字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个．（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数，至少存在另一个正整数，且，使得”的概率；（2）记为组成该数的相同数字的个数的最大值，求的概率分布列和数学期望.试卷配套答案一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．答案写在答卷纸上．）由正弦定理得，，)6sin(4)32sin(334sin 334sin 334sin 334ππ+=-+=+=+B B B C B c b ……………8分 ，，，所以的取值范围为 …………10分 12.解：（1）由， ，圆心为 以EF为直径的圆的方程为：------------------------------------------2即①--------------------------------------------9分M在直线上②又，而与共线，可得//③, -------------------------------------------------11分由①②③得，-----------------------------------------13分这与矛盾，故不存在---------14分14附加题参考答案15. 选修4-2：矩阵与变换【解】……………2分设是上的任意一点，其在BA作用下对应的点为，得变换到的变换公式，……………3分则即为直线，则得．……………4分此时，同理可得的方程为，即．……………5分答：的数学期望为．……………10分34040 84F8 蓸37697 9341 鍁W39845 9BA5 鮥22154 568A 嚊21176 52B8 劸31977 7CE9 糩E27512 6B78 歸33147 817B 腻W35826 8BF2 诲32870 8066 聦39567 9A8F 骏。

2021年高三4月检测数学试题 Word 版含答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．设全集，集合，，则 ． 2．已知复数满足，则的模为 ．3．已知，则 ．4．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为 ． 5．若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值是 ．6．如图所示的“双塔”形立体建筑，已知和是两个高相等的正三棱锥， 四点在同一平面内．要使塔尖之间的距离为m ，则底边的长为 m ．7．下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为 ． 8．向量，= ．9．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是10．函数的最大值与最小值之和为11．已知半椭圆和半圆组成的曲线如图所示．曲线交轴于点，交轴于点，点是半圆上异于的任意一点，当点位于点时，的面积最大，则半椭圆的方程为 ．第6题图甲乙I ←2S ←0While I ＜m S ←S+I I ←I+3 End While Print S End（第7题图）12．已知，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，均为等边三角形，则的外接圆的半径的最小值是 ．13．已知实数x 、y 满足，若不等式恒成立，则实数a 的最小值是 ．14．设等比数列满足公比，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为 ．二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分） 已知且．（1）求的值；（2）证明：．16．（本题满分14分）如图，正方形所在的平面与三角形所在的平面交于，平面，且 ．（1）求证：平面； （2）求证：平面平面；17．（本小题满分14分）第11题图A C D E 第12题图（第16题图）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润函数（单位：万元）．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第个月的利润率为，例如． （1）求；（2）求第个月的当月利润率；（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．18．（本小题满分16分）已知椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为，且圆C ：过两点．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线的倾斜角为α，直线的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P 在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q ，在满足条件（2）的情形下证明：+．19．（本小题满分16分）已知数列的前项和满足：（为常数，且）． （1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式 对任意的恒成立，求实数的取值范围．20．（本小题满分16分）己知函数（，是自然对数的底）．（1）若函数在点处的切线方程为，试确定函数单调区间；（2）① 当，时，若对于任意，都有恒成立，求实数m 的最小值； ② 当时，设函数，是否存在实数，使得若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由．数学试卷附加题21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内做答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤. B ．（选修4－2：矩阵与变换）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换． （1）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．C.（选修4－4：参数方程）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为(4，π2)，若直线l 过点P ，且倾斜角为 ，圆C 以M 为圆心、4为半径．（1）求直线l 关于的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．22．已知数列的前项和为，通项公式为，， （1）计算的值；（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.23．如图所示，某城市有南北街道和东西街道各条，一邮递员从该城市西北角的邮局出发，送信到东南角地，要求所走路程最短. （1）求该邮递员途径C 地的概率； （2）求证：，（）.A B C •••数学参考答案1．【解析】由，得．2．【解析】因为，所以两边同时取模可得． 3．【解析】由，知，因为，所以．4．【解析】由图示可知，甲的平均成绩为90，若要符合题意，被污损的数字只能是9，故所求概率为．5．【解析】显然，，双曲线的渐近线方程为，焦点坐标是， 由距离公式，得．6．【解析】由正三棱锥的概念知，顶点在底面的射影分别是正三角形和正三角形的中心，因为高相等，所以塔尖之间的距离即为两个正三角形中心间的距离，由平面几何易知，底边的长为．7． xx 【解析】由伪代码知，这是当型循环结构的算法，由于是正整数，所以最大值为xx ． 8．9．∵，∴在上是增函数， ∴即是方程的两个不等的正实数根，问题等价于方程有两个不等的正根． 设，易得，∴． 10．2【解析】是奇函数，奇函数的最大值与最小值之和为0， 11．【解析】由点在半圆上，所以，而当点位于点 时，的面积最大可知，，即，，所以半椭圆的方程为 ．12．设则，在中，由余弦定理，知2222cos DE CD CE CD CE DCE =+-⋅∠222()393m n mn m n mn mn =+-=+-=-又当且仅当时，取“=”，所以， 又的外接圆的半径．13．【解析】由题意，，设该数列中的任意两项为，它们的积为，则，即，，，故必是81的正约数，即的可能取值为1,3,9,27,81，即的可能取值为1,3,9,27,81，所以的所有可能取值的集合为．14．【解析】则()()2222222221x y xy x y a x yx y x y y x+++≥==++++．设（表斜率），则，，则，， 故，所以． 即．15．解：解：（1）将代入得（4分）所以又， 解得．（6分） （2）易得，又 所以，（8分） 由（1）可得，（10分）所以()()53124635sin sin 1351356513βαβα=+-=⨯--⨯=>⎡⎤⎣⎦．（14分）16． 证明：（1）正方形ABCD 中，， 又平面CDE ， 平面CDE ， 所以平面CDE ．（6分） （2）因为， 且， 所以，（8分） 又 且， ， 所以，（12分） 又， 所以．（14分） 17．解：（1）依题意得，． ----------------------------------4分 （2）当时，． 当时，，则 ()()()()()18112180f x g x f f f x x==++++-+， 而也符合上式，故当时，． 当时，()()()()()()()811220211f x g x f f f f f x =+++++++-()()()()2112101021208120211160010120x xx x x f f x x x ===-+++++--++， 所以，第个月的当月利润率为．--------------------------10分 （3）当时，是减函数，此时的最大值为． 当时，，当且仅当，即时，有最大值为．，当时，有最大值为， ----------------------------------13分即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为．-------14分 18．解：（1）圆与轴交点坐标为，，故，所以，∴椭圆方程是：． （2）设点P （x ，y ），因为（－3，0），（3，0），设点P （x ，y ），则＝tan β＝y x ＋3,＝tan α＝yx －3，因为β－α＝2π3，所以tan(β－α)＝－3．因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝－23yx 2＋y 2－3，所以－23yx 2＋y 2－3＝－3．化简得x 2＋y 2－2y ＝3．所以点P 在定圆x 2＋y 2-2y ＝3上．（3）∵PQ 2＝x 2＋(y －3)2＝x 2＋y 2－6y ＋9，因为x 2＋y 2＝3＋2y ，所以PQ 2＝12－4y ．又PF 12＝(x ＋3)2＋y 2＝2y ＋6＋23x ，PF 22＝(x －3)2＋y 2＝2y ＋6－23x ， ∴2P F 1×P F 2＝24(y ＋3)2－12x 2＝4(y ＋3)2－3x 2， 因为3x 2＝9－3y 2＋6y ，所以2 P F 1×P F 2＝44y 2， ∵β＝α+2π3 > 2π3，又点P 在定圆x 2＋y 2－2y ＝3上，∴y ＜0，所以2 P F 1×P F 2＝－8y ，从而(P F 1+P F 2)2＝PF 12＋2 P F 1×P F 2＋PF 22＝4y ＋12－8y ＝12－4y ＝PQ 2． 所以PQ ＝PF 1＋PF 2．19．解：（1）当时，，得． -----------------------------------1分当时，由，即，① 得，，②①②，得，即，是等比数列，且公比是，． -----------------------------------5分 （2）由（1）知，，即， ----------------------7分若数列为等比数列，则有， 而，故，解得， 再将代入，得，由，知为等比数列，． -----------------------------------10分 （3）由，知，，，由不等式恒成立，得恒成立，-----------------------------------12分 设，由，当时，，当时，， -----------------------------------14分 而，． -----------------------------------16分 20．（1）由题意，∵在点处的切线方程为， ∴，即，解得． ∴，， 当，，∴在上单调递减，在单调递增． （2）①由，，即，对于任意，都有恒成立，等价于对于任意恒成立． 记，，设，∵对恒成立，∴在单调递增． 而，∴在上有唯一零点， ∴，，，，∴在单调递减，在上单调递增， ∴的最大值是和中的较大的一个， ∴即∴，∴m 的最小值为．②假设存在，使得，则问题等价于．，∴． ①当时，，在上单调递减， ∴，即，得． ②当时，，在上单调递增， ∴，即，得． ③当时，在上，，在上单调递减，在上，，在上单调递增，∴，即．（*） 由（1）知在上单调递减，故，而，不等式（*）无解． 综上所述，存在，使得命题成立． B ．（1）由条件得矩阵，它的特征值为和，对应的特征向量为及；（2）， 椭圆在的作用下的新曲线的方程为． C 解：（1）直线l 的参数方程为，圆C 的极坐标方程为．（2）因为M (4，π2)对应的直角坐标为（0，4），直线l 的普通方程为， ∴圆心到直线l 的距离，所以直线l 与圆C 相离．22解：（1）由已知，，； …………………………3分 （2）由（Ⅰ）知；下面用数学归纳法证明：当时，． …………………………………………4分 （１）由（Ⅰ）当时，；………………………………………5分 （２）假设时，，即 ，那么11111(1)1222122f k k k k k k +=+++++++++ 11111111222122k k k k k k k⎛⎫=++++++- ⎪++++⎝⎭ ，所以当时，也成立． ………………………………………8分 由（1）和（2）知，当时，． ……………………………………9分 所以当，和时，；当时，．…………………10分 23．解：（1）邮递员从该城市西北角的邮局A 到达东南角B 地，要求所走路程最短共有种不同的走法，其中途径C 地的走法有种走法， 所以邮递员途径C 地的概率；………3分 （2）由，得， 要证时，， 只要证时，， ………………………4分 因为时，，且，所以只要证，且时，． ………………………5分由于时012012111112nn n n n nC C C C C n n n n ⎛⎫+=+++>+= ⎪⎝⎭，且 ………………………6分 012323111111nnn n n n nnC C C C C n n n n n ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭， 23(1)1(1)(2)1(1)21122!3!3!n n n n n n n n n n n ----⋅=+⋅+⋅++⋅， 21111(2)112122!3!!n n n n n n n n n n n n n n n n n ----=+⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅，1111111222!3!!122334(1)n n n <++++<++++⨯⨯⨯-，111111112133223341n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．………………9分所以成立，所以． (10)分2303959FF姿精品文档&<?6) ]32778 800A 耊H22231 56D7 囗39113 98C9 飉39198 991E 餞.实用文档。

2021年山东省新高考质量测评联盟高考数学联考试卷（4月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x||x−2|≤1}，B={y|y=x2−2}，则(∁R A)∩B=()A. [−2,+∞)B. [−2,1]∪[3,+∞)C. [−2,1)∪(3,+∞)D. [−2,1]∪(3，+∞)2.若复数z=1+i+i2+i3+⋯+i2021，则z=()A. 0B. iC. 1+iD. 1−i3.如图，两个互相啮合的齿轮.大轮有64齿，小轮有24齿.当大轮转动一周时，小轮转动的角度为()πA. 83πB. 103πC. 143πD. 1634.已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是()A. 若α//β，m⊥α，n⊥β，则m⊥nB. 若m⊥α，m⊥n，则n//αC. 若m⊥α，n//β，m⊥n，则α⊥βD. 若m⊥α，n//β，α//β，则m⊥n5.函数f(x)=2x−3的大致图象是()(x−2)2A.B.C.D.6. 抛物线y =2x 2的焦点为F ，过F 作斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则|AB|=( )A. 4B. 1C. 34D. 127. 五声音阶，古代文献通常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵(zℎi)、羽.如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽.中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为( )A. 20B. 28C. 32D. 408. 已知数列{a n }，{b n }对任意的m ，n ∈N +，有a m+n =a m +a n ，a 1=2，b n =[log 2a n ]([x]表示不超过x 的最大整数)，S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 100=( )A. 472B. 480C. 580D. 769二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 若a >b >0，且ab =1，则( )A. a >b +1B. 1a 2+1<1b 2+1 C. (12)a >(12)bD. log 2(a +b)>110. 如图.统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是( )A. 这五年基础研究经费支出与年份线性相关B. 这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C. 这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D. 这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关11. 已知f(x)={2−|4x −6|,1≤x ≤212f(x 2),x >2，则下列说法正确的是( )A. 关于x 的方程f(x)=(12)n (n ∈N ∗)有2n +2个不相等的实数根 B. y =f(x)与g(x)=3x 的图象上存在2对关于直线y =x 的对称点 C. ∀x ∈[1,8]，有xf(x)≤3恒成立D. 当x ∈[2n−1,2n ]，n ∈N ∗，函数f(x)的图象与x 轴围成的图形面积S =112. 已知双曲线方程为x 29−y 216=1，A 为双曲线右支上任意一点，F 1，F 2为左、右焦点，△AF 1F 2的内切圆圆心为I ，⊙I 与x 轴切于点N ，线段AI 的延长线与x 轴交于点M(x 0,0).则以下结论正确的有( )A. |F 1N|−|F 2N|为定值B. I 的横坐标为定值C. x 0的范围是(0,3)D. ⊙I 半径的最大值为4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=sinx +2f′(π6)cosx ，则f(π3)= ______ ．14. 平面内非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，有|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4，a ⃗ ⋅b ⃗ =0.且|c ⃗ −a ⃗ −b ⃗ |=2，则|c⃗ |的最大值为______ ．15. 若对于任意实数m ，函数f(x)=√3sinωx +cosωx.在区间(m,m +1]上至少存在两个不相等的实数x 1，x 2满足f(x 1)f(x 2)=4，则ω的最小正整数值为______ ． 16. 在三棱锥V −ABC 中.△ABC 是边长为6√3的正三角形.VA =VB =VC =2√13，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥V −ABC 的四个面都相切，则球O 1的半径为______ ，球O 2与三棱锥V −ABC 的三个面和球O 1都相切，以此类推，……，球O n 与三棱锥V −ABC 的三个面和球O n−1(n ≥2,n ∈N ∗)都相切，则球O n 的表面积等于______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，b =c =4且满足______．①asinB =bcos(A +π6)，②sinC −√3sinB =sin(A −B)，③2c−√3b a=√3cosB cosA，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题． (1)求角A ；(2)点P 为△ABC 内一点，当∠BPC =2π3时，求△BPC 面积的最大值．18. 随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建−一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进入全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：参考数据：x −=18∑x i 8i=1=6，y −=18∑y i 8i=1=48，∑(8i=1x i −x −)2=72，∑(8i=1y i −y −)2=2598.48，∑(8i=1x i −x −)(y i −y −)=414．(1)从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；(2)根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y(%)关于月份x 的线性回归方程(精确到0.01)附：线性回归方程y =b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i ni=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．19. 已知数列{a n }，{b n }，a n >0.b n =a n +2n−1，数列{b n }的前n 项和为T n ，4T n =a n 2+(2n +2)a n +4n−1+2n (n ∈N ∗)． (1)求a 1的值和{b n }的通项公式； (2)令c n =2n +1−a n ，求∑2i−1c i c i+1ni=1．20. 已知四边形ABCD ，∠BAC =∠ADC =90°，DC =DA =√22AB ，将△ADC 沿AC 翻折至△PAC ．(1)若PA =PB ，求证PA ⊥BC ；(2)若二面角P −AC −B 为π4，求直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值．21.在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x=3的距离是到点(2,0)的距离的√62倍.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)点P为直线x=3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|=2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=x24+ax+12a2lnx(a∈R)f′(x)是f(x)的导函数．(1)若a>0，曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为y=92x+b，求a，b的值；(2)设g(x)=xf′(x)−e x，若g(x)≤0，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|x−2|≤1，∴1≤x≤3，∴A={x|1≤x≤3}，∴∁R A={x|x<1或x>3}，∵y=x2−2≥−2，∴B={y|y≥−2}，∴(∁R A)∩B=[−2,1)∪(3,+∞)，故选：C．先求出A，B，再求出A的补集，最后求出(∁R A)∩B即可．此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：z=1+i+i2+i3+⋯+i2021=1−i20221−i =1−(−1)1−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i．故选：C．利用等比数列的求和公式以及复数的运算进行求解即可．本题考查了复数的乘方运算、除法运算，等比数列的求和公式，考查了化简运算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度为2π×6424=16π3，故选：D．一周为2π弧度，即可计算小轮转过的弧度数．本题考查任意角的概念，属基本概念、基本运算的考查．4.【答案】D【解析】解：若α//β，m⊥α，则m⊥β，又n⊥β，则m//n，故A错误；若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，又n//β，可得α//β或α与β相交，相交也不一定垂直，故C错误；若m⊥α，α//β，则m⊥β，又n//β，∴m⊥n，故D正确．故选：D．由空间中直线与直线、直线与平面位置关系判断ABC ；由直线与平面垂直的性质判断D ． 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力，是中档题．5.【答案】A【解析】解：令f(x)=0，解得x =32，故函数f(x)的零点为32，故选项B ，D 错误； 因为f′(x)=2(x−2)2−2(2x−3)(x−2)(x−2)2=2(1−x)(x−2)3，当x <0时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,0)上单调递减，故选项C 错误，选项A 正确． 故选：A ．利用函数的零点可以判断选项B ，D ，利用函数的单调性可以判断选项A ，C ，即可得到答案．本题考查了函数图象的判断，一般从函数的定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性、单调性等方面进行分析，考查了逻辑推理能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：抛物线y =2x 2的焦点F(0,18)，准线方程为y =−18， ∴直线AB 的方程为y =x +18， 代入y =2x 2可得2x 2−x −18=0∴x A +x B =12，y A =x A +18，y B =x B +18，所以y A +y B =x A +x B +18+18=12+14=34，由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=y A +y B +p =34+14=1． 故选：B ．设直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得y A +y B .再利用弦长公式|AB|=y A +y B +p ，推出结果即可．本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①排好宫、羽、角三种音阶，要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，有2种情况，②排好后，有4个空位，将商安排到4个空位中，有4种情况，③排好后，有5个空位，将徵安排到5个空位中，有5种情况，则有2×4×5=40种不同的顺序，故选：D．根据题意，先排好宫、羽、角三种音阶，要求官、羽两音阶在角音阶的两侧，再将商和徵安排到空位中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n=a m+a n，a1=2，令m=1，则a n+1=a n+a1=a n+2，故a n+1−a n=2(常数)，所以数列{a n}为等差数列，故a n=2+2(n−1)=2n，由于b n=[log2a n]([x]表示不超过x的最大整数)，所以b1=1，b2=b3=2，b4=b5=⋯=b7=3，b8=b9=⋯=b15=4，b16=b17=⋯=b31=5，b32=b33=⋯=b63=6，b64=b65=⋯=b100=7，故S100=1+2×2+3×4+4×8+16×5+32×6+37×7=580．故选：C．令m=1，得到a n+1=a n+a1=a n+2，求出a n的通项公式，再根据b n=[log2a n]，得到S100．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，取整问题的应用，考查运算能力，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：由于a>b>0，且ab=1，则a>1>b>0，对于A：a−b−1=1b −b−1=1−b2−bb=−(b+12)2+34b，故确定不了与0的关系，故A错误；对于B：a2+1>b2+1，故1a2+1<1b2+1，故B正确；对于C：由于f(x)=12x为减函数，故f(b)>f(a)，所以(12)a<(12)b，故C错误；对于D：log2(a+b)>log22√ab=1，故D正确；故选：BD．直接利用不等式的性质的应用和函数的单调性的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：由条形图可知，五年基础研究经费随年份的增长而增长，呈线性相关，故选项A正确；由折线图可知，从2018～2019，2019～2020的折线的斜率反生变化，故年增长率发生变化，故选项B错误；由条形图对应的斜率以及折线图对应的斜率可知，基础研究经费支出的增长率大于发明专专利授权数的增长率，故选项C正确；由统计图可知，发明专利授权数与基础研究经费支出呈正相关，故选项D错误．故选：AC．利用题中给出的条形图和折线图，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.【答案】CD【解析】解：当1≤x≤32时，f(x)=2−(6−4x)=4x−4，当32≤x≤2时，f(x)=2−(4x−6)=8−4x，当2<x<3时，x2∈(1,32)，12f(x2)=x−2，当3≤x≤4时，x2∈(32,2)，12f(x2)=4−x，由此可知，当2n−1≤x≤3⋅2n−1时，f(x)=24−2n(x−2n−1)；当3⋅2n−1<x<2n时，f(x)=24−2n(2n−x)．对于A ：f(x)与(12)n 有2n +1个交点，A 错误；对于B ：作出g(x)关于直线y =x 对称的图像，即g(x)的反函数ℎ(x)=log3x ，由图像可知，f(x)与ℎ(x)有3个交点，即f(x)与g(x)有3对对称点，B 错误； 对于C ：当1≤x ≤8时，xf (x)max =32f (32)=3f(3)=6f(6)=3，C 正确；对于D ：当2n−1≤x ≤2n 时，函数f(x)与x 轴围成的图形为三角形， 底为2n −2n−1，高为(12)n−2，则S =12×2n−1×(12)n−2=1，D 正确． 故选：CD ．由绝对值函数及分段函数的关系，分解出每段定义域内的函数解析式，对应函数图像解题．本题考查绝对值函数、分段函数、函数图像、反函数、最大值、三角形面积计算等知识点，需要逐步分析作图解答，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：双曲线方程为x 29−y 216=1的a =3，b =4，c =5，⊙I 与x 轴切于点N ，与AF 1切于点P ，与AF 2切于点T ，因为I 的横坐标与N 的横坐标相等，设I(x N ,r)，由切线长相等，可得|PF 1|=|NF 1|，|PA|=|TA|，|TF 2|=|NF 2|， 由双曲线的定义可得|AF 1|−|AF 2|=2a ，即有|NF 1|−|NF 2|=2a ， 又|NF 1|+|NF 2|=2c ，解得|NF 2|=c −a ，可得|ON|=a ， 则A ，B 都正确；由内角平分线的性质定理可得5+x 05−x 0=|AF 1||AF 2|=6+|AF 2||AF 2|，即有|AF 2|=3(5x 0−1)>c −a =2，解得0<x <X 0<3，故C 正确；可设A(m,n)，m ，n >0，△AF 1F 2的内切圆的半径为r ， 则m 29−n 216=1，①又S △AF 1F 2=12⋅2c ⋅n =12r(2c +|AF 1|+|AF 2|)，即为5n =r(5+3+|AF 2|)=r(8+em −a)=r(5+53m)，化为n=r(1+13m)，若r=4，则n=4(1+13m)，②联立①②，可得方程组无解．故D错误．故选：ABC．求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义和切线长相等，推得|NF1|−|NF2|=2a，|ON|= a，可判断A，B；运用内角平分线的性质定理，结合双曲线的范围，可判断C；由等积法和双曲线的定义，结合焦半径公式，计算可判断D．本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及内角平分线的性质和内切圆的圆心和半径的最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】3√34【解析】解：已知f(x)=sinx+2f′(π6)cosx，函数f(x)的定义域为R，f′(x)=cosx−2f′(π6)sinx，所以f′(π6)=cosπ6−2f′(π6)sinπ6，解得f′(π6)=√34，所以f(π3)=sinπ3+2f′(π6)cosπ3=3√34，故答案为：3√34．根据函数求导公式即可得到结论．本题主要考查导数的基本运算法则，比较基础．14.【答案】7【解析】解：∵平面内非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗，有|a⃗|=3，|b⃗ |=4，a⃗⋅b⃗ =0．故可建立如图所示的坐标系，则A(3,0)，B(0,4)，设C(x,y)，因为|c⃗−a⃗−b⃗ |=2，∴(x−3)2+(y−4)2=4，即c⃗表示以D(3,4)为圆心，2为半径的圆上的点，因为OD=√32+42=5，故|c⃗|的最大值为：5+2=7，故答案为：7．根据题意建立坐标系，求出各点的坐标，再结合c⃗的几何意义，即可求解结论．本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，建立坐标系是解决本题的关键，是中档题．15.【答案】10【解析】解：f(x)=√3sinωx+cos2πωx=2sin(ωx+π6)，因为f(x1)f(x2)=4，则f(x1)，f(x2)同时为函数的最小或同时为函数的最大值，因为f(x)在区间(m,m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f(x1)f(x2)=4，所以|x1−x2|≥32T=2πω=3πω，故m+1−m≥2πω×32，所以ω≥3π，则ω的最小正整整数为10．故答案为：10．由辅助角公式可得f(x)=2sin(ωx+π6)，由f(x1)f(x2)=4可知f(x1)，f(x2)同时为函数的最小或同时为函数的最大值，然后结合函数的最值与周期关系可求T的范围，进而可求ω的范围，可求．本题主要考查了辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质，属于中档题．16.【答案】32 9π16n−1【解析】解：如图，取O 为三角形ABC 的中心，M 为AB 的中点，连接OM ，VM ，则BM =3√3，OM =13×√(6√3)2−(3√3)2=3，VM =√VB 2−BM 2=5，∴VO =√VM 2−OM 2=4，由对称性可知，球心O 1在VO 上，且O 1O =r 1(r 1为球O 1的半径)，作O 1H ⊥VM ，则O 1H =r 1，VO 1=4−r 1，由Rt △VOM∽Rt △VHO 1，可得OM VM =HO 1VO 1，即35=r 14−r 1，解得r 1=32，则球O 1的半径为32；作球O 1与底面ABC 平行的切面A 1B 1C 1，则球O 2即为三棱锥V −A 1B 1C 1的内切球， 三棱锥V −A 1B 1C 1的高ℎ1=VO −2OO 1=4−2×32=1=14VO ， 由V −A 1B 1C 1与V −ABC 相似，且长度相似比为14，得r 2=14r 1， 可得r n+1=14r n ，则{r n }构成以r 1=32为首项，以14为公比的等比数列，∴r n =32⋅(14)n−1，可得球O n 的表面积为S n =4πr n 2=9π16n−1．故答案为：32；9π16n−1．由题意画出图形，求解三角形可得球O 1的半径；再由长度相似比可得{r n }构成以r 1=32为首项，以14为公比的等比数列，由球的表面积公式可得球O n 的表面积．本题考查多面体内切球表面积的求法，考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：选①asinB=bcos(A+π6)，由正弦定理得sinAsinB=sinBcos(A+π6)，因为sinB≠0，所以sinA=cos(A+π6)=√32cosA−12sinA，即tanA=√33，因为A∈(0,π)，所以A=π6；选②sinC−√3sinB=sin(A−B)，所以sin(A+B)−√3sinB=sin(A−B)，所以sinAcosB+sinBcosA−√3sinB=sinAcosB−sinBcosA，即2sinBcosA=√3sinB，因为sinB≠0，所以cosA=√32，因为A∈(0,π)，所以A=π6；选③2c−√3ba =√3cosBcosA，由正弦定理得2sinC−√3sinBsinA =√3cosBcosA，整理得，2sinCcosA=√3sinBcosA+√3sinAcosB=√3sin(A+B)=√3sinC，因为sinC≠0，所以cosA=√32，因为A∈(0,π)，所以A=π6；(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA=16+16−2×4×4×√32=32−16√3，△BPC中，由余弦定理得a2=BP2+PC2−2BP⋅PC⋅cos2π3=BP2+PC2+BP⋅PC≥3BP⋅PC，当且仅当BP=CP时取等号，所以BP ⋅PC ≤a 23，S △BPC =12BP ⋅PCsin 2π3≤12×a 23×√32=8√33−4，△BPC 面积的最大值8√33−4．【解析】选①asinB =bcos(A +π6)，先由正弦定理及和角正弦进行化简可求tan A ，进而可求A ；选②sinC −√3sinB =sin(A −B)，结合诱导公式及两角和与差的正弦公式进行化简可求cos A ，进而可求A ； 选③2c−√3ba=√3cosBcosA，由正弦定理及和差角公式进行化简可求求cos A ，进而可求A ；(2)结合余弦定理及基本不等式可求BP ⋅PC 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意可知，满意度小于35%的有2个月，不小于35%的由6个月，所以ξ的可能取值为1，2，3， 故P(ξ=1)=C 61C 22C 83=328，P(ξ=2)=C 62C 21C 83=1528， P(ξ=3)=C 63C 20C 83=514，所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望为E(ξ)=1×328+2×1528+3×514=94； (2)去掉6月份的数据后可得新数据表如下；则x −=17∑x i 7i=1=6，y −=17×(8×48−36)=3487≈49.714， ∑(7i=1x i −x −)(y i −y −)=414−(6−6)×(36−3487)=414，∑(7i=1x i −x −)2=72−(6−6)2=72， 所以b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=41472=5.75， 所以a ̂=y −−b ̂x −=49.714−5.75×6=15.21，故剩下的数据所求出的线性回归方程为y =5.75x +15.21；【解析】(1)先确定ξ的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；(2)先求出新数据，然后求出新数据的样本中心，利用公式求出b ̂和a ̂，即可得到线性回归方程．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)数列{a n }，{b n }，a n >0.b n =a n +2n−1，数列{b n }的前n 项和为T n ，4T n =a n 2+(2n +2)a n +4n−1+2n ①.当n =1时，整理得4T 1=a 12+(2+2)a 1+40+2，解得a 1=1． 当n ≥2时，4T n−1=a n−12+(2n−1+2)a n−1+4n−2+2n−1②，①−②得：2(b n +b n−1)=(b n +b n−1)(b n −b n−1)， 由于a n >0.b n =a n +2n−1， 所以b n +b n−1>0， 整理得b n −b n−1=2(常数)， 由于b 1=1+1=2， 故b n =2+2(n −1)=2n ， 所以a n =2n −2n−1．(2)由(1)得：c n =2n +1−a n =2n−1+1， 所以2k−1c k c k+1=2k−1(2k−1+1)(2k +1)=12k−1+1−12k +1，故∑2i−1c i ci+1ni=1=11+1−12+1+12+1−14+1+⋯+12n−1+1−12n +1=12−12n +1．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； (2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式和，数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为DC =DA =√22AB ，PA =PB ， 所以PB =PA =DA =√22AB ， 在△PAB 中，有PA 2+PB 2=12AB 2+12AB 2=AB 2， 所以PA ⊥PB ，又∠ADC =90°，即∠APC =90°，所以PA ⊥PC ， 因为PB ∩PC =P ，PB ，PC ⊂平面PBC ， 所以PA ⊥平面PBC ， 又BC ⊂平面PBC ， 所以PA ⊥BC ；(2)解：取AC 的中点E ，BC 的中点F ，连结EF ，PE ，则EF//AB ， 因为∠BAC =90°，所以AB ⊥AC ，所以EF ⊥AC ， 因为DC =DA ，即PC =PA ，所以PE ⊥AC ，所以∠PEF 为二面角P −AC −B 的平面角，∠PEF =π4，设DC =DA =√22AB =√2，则AC =√DC 2+DA 2=2=AB ，PE =12AC =CE =AE =1， 以点E 为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则A(1,0,0),B(1,2,0),C(−1,0,0),P(0,√22,√22)，所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√22,√22)， 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y =0−x +√22y +√22z =0， 令x =1，则y =0，z =√2，故n ⃗ =(1,0,√2)， 所以|cos <n ⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√1+2×√4+4=√66， 故直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值为√66．【解析】(1)利用勾股定理证明PA ⊥PB ，结合已知条件可以证明PA ⊥平面PBC ，由线面垂直的性质定理即可证明以PA ⊥BC ；(2)先利用二面角的定义找到二面角的平面角，从而得到线段之间的关系，建立合适的空间直角坐标系，求出点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，由线面角的求解公式计算即可．本题考查了线线垂直的证明以及空间角的求解与应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)设M(x,y)，因为动点M 到直线x =3的距离是到点(2,0)的距离的√62倍，所以|x −3|=√62√(x −2)2+y 2，化简整理可得，x 26+y 22=1，故动点M 的轨迹E 的方程为x 26+y 22=1；(2)由题意可知，直线PQ 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +m ， 则点P(3,3k +m)，联立直线PQ 与椭圆E 可得{y =kx +m x 26+y 22=1，则(1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2−6=0， 所以{△=36k 2m 2−(4+12k 2)(3m 2−6)=02x Q =−6km1+3k 2， 求解可得{m 2=6k 2+2x Q =−3km 1+3k 2，所以Q(−3km 1+3k 2,m1+3k 2)， 椭圆右焦点F 2(2,0)，所以QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+6k 2+3km 1+3k 2,−m1+3k 2)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−3k −m)， 所以QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2−6k2−3km+m 2+3km1+3k 2=m 2−6k 2−21+3k 2=0，所以QF 2⊥PF 2， 因为N 是PQ 的中点， 所以|QP|=2|NF 2|，所以存在定点T(2,0)，满足|PQ|=2|NT|．【解析】(1)设M(x,y)，将已知的等式关系用坐标表示出来，然后化简整理，即可得到点M 的轨迹方程；(2)设直线PQ 的方程，则得到P 的坐标，联立直线PQ 与椭圆的方程，得到m 和k 的关系以及Q 的坐标，利用数量积为0判断QF 2⊥PF 2，从而得到|QP|=2|NF 2|， 由此可得到定点T 的坐标．本题考查了动点轨迹方程的求解以及直线与椭圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=12x +a +a 22x，所以f′(1)=12+a +a 22=92，解得a =2或a =−4(舍)，所以f(1)=94，所以切点坐标为(1,94)，代入切线方程得b =−94， 所以a =2，b =−94． (2)g(x)=12x 2+ax +a 22−e x ，x ∈(0,+∞)，所以g′(x)=x +a −e x ，设ℎ(x)=x +a −e x ，x ∈(0,+∞)， 所以ℎ′(x)=1−e x <0，所以g′(x)在(0,+∞)上是减函数，且g′(x)<g′(0)=a −1， ①当a −1≤0时，即a ≤1时，g′(x)<g′(0)<0， 所以g(x)在(0,+∞)上是减函数， 所以g(x)<g(0)=a 22−1≤0，解得−√2≤a ≤√2，所以−√2≤a ≤1．②当a −1>0时，即a >1时，g′(0)=a −1>0，g′(ln2a)=ln2a −a ， 设m(a)=ln2a −a ，所以m′(a)=1a −1=1−a a<0，所以m(a)在(1,+∞)上是减函数，所以g′(ln2a)=ln2a −a <m(1)=ln2−1<0，所以存在唯一x 0∈(0,ln2a)满足g′(x 0)=0，即x 0+a −e x 0=0，所以当x ∈(0,x 0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x ∈(x 0,ln2a)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max =g(x 0)=12x 02+ax 0+a 22−e x 0=12(x 0+a)2−e x 0=12e 2x 0−e x 0≤0，解得0<e x 0≤2，所以0<x 0≤ln2，因为a=e x0−x0且0<x0≤ln2，设φ(x)=e x−x，x∈(0,ln2]，所以φ′(x)=e x−1>0，所以φ(x)在(0,ln2]上是增函数，因为φ(0)=0，φ(ln2)=2−ln2，所以1<a≤2−ln2，综上所述，实数a的取值范围是[−√2,2−ln2]．，即可求得a的值，从而可得切点坐标，代入切【解析】(1)对f(x)求导，由f′(1)=92线方程即可求得b的值；(2)对g(x)求导，对a分类讨论，求出g(x)的最大值小于等于0，即可求解a的取值范围．本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与最值，考查方程思想、分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．第21页，共21页。

2021年高二（下）4月月考数学（理）试题解析版含解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列说法正确的是（）A．类比推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是特殊到一般的推理C．归纳推理是个别到一般的推理D．合情推理可以作为证明的步骤考点：演绎推理的意义；进行简单的合情推理．专题：概率与统计．分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理、合情推理的定义，即可得到结论．解答：解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，故选C．点评：本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是（）A．4n+2 B．4n﹣2 C．2n+4 D．3n+3考点：归纳推理；等差数列的通项公式．分析：本题考查的是归纳推理，处理的方法是，由已知的图案中分析出白色地面砖的块数与图形序号n之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题．解答：解：方法一：（归纳猜想法）观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n+2方法二：（特殊值代入排除法）或由图可知，当n=1时，a1=6，可排除B答案当n=2时，a2=10，可排除CD答案．故答案为A点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．3．（5分）若f′（x0）=2，则等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1D．考点：极限及其运算．专题：极限思想．分析：首先应该紧扣函数在一点导数的概念，由概念的应用直接列出等式，与式子对比求解．解答：解析：因为f′（x0）=2，由导数的定义即=2⇒=﹣1所以答案选择A．点评：此题主要考查函数在一点导数的概念的应用，属于记忆理解性的问题，这类题目属于最基础性的．4．（5分）（xx•湖北模拟）一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：①求出s的导函数s'（t）=2t﹣1②求出s'（3）解答：解：s'（t）=2t﹣1，s'（3）=2×3﹣1=5．故答案为C点评：考查求导法则及导数意义5．（5分）（xx•江西模拟）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：导数的几何意义．专计算题．题：分析：欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．解答：解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．6．（5分）（xx•广东）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．分析：若求解函数f（x）的单调递增区间，利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域．解答：解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，求f（x）的单调递增区间，令f′（x）＞0，解得x＞2，故选D．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间．7．（5分）函数的最大值为（）A．e﹣1B．e C．e2D．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：先找出导数值等于0的点，再确定在此点的左侧及右侧导数值的符号，确定此点是函数的极大值点还是极小值点，从而求出极值．解答：解：令，当x＞e时，y′＜0；当x＜e时，y′＞0，，在定义域内只有一个极值，所以，故答案选A．点评：本题考查求函数极值的方法及函数在某个点取得极值的条件．8．（5分）（2011•资中县模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．解答：解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．9．（5分）（xx•浙江）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A ．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．专题：压轴题．分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．解答：解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．点评：考查函数的单调性问题．10．（5分）若函数y=lnx﹣ax的增区间为（0，1），则a的值是（）A．0＜a＜1 B．﹣1＜a＜0 C．a=﹣1 D．a=1 考点：利用导数研究函数的单调性．专计算题．分析：先求导数，令导数大于0，解的x的范围即为函数的增区间，因为已知函数的增区间是（0，1），所以导数大于0的解集就是（0，1），就可求出a的值．解答：解：对函数y=lnx﹣ax求导，得，y′=﹣a，令y′＞0，﹣a＞0，化简得∵函数y=lnx﹣ax的增区间为（0，1），∴当x∈（0，1）上y′＞0 即的解集为（0，1），∵分式不等式的解集的区间端点是x（1﹣ax）=0的根∴当x=1时，1×（1﹣a×1）=0，∴1﹣a=0，a=1故选D点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，另外还考查了已知分式不等式的解集，求参数的值．11．（5分）积分=（）A．B．C．πa2D．2πa2考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故==．故选B．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．12．（5分）由抛物线y2=2x与直线y=x﹣4所围成的图形的面积是（）A．18 B．C．D．16考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出．解答：解：联立，解得或，∴由抛物线y2=2x与直线y=x﹣4所围成的图形的面积S= ∵，∴S=+=18．故选A．点评：熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上）13．（4分）若y=x3+x﹣2在P处的切线平行于直线y=7x+1，则点P的坐标是（，）或（﹣，）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求导函数，由导数的几何意义令导函数等于4建立方程，求出方程的解，即可求出切点的横坐标，代入原函数即可求出切点坐标．解答：解：由y=x3+x﹣2，求导数得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=7，解之得x=±．当x=时，y=；当x=﹣时，y=．∴切点P0的坐标为（，）或（﹣，）．故答案为：（，）或（﹣，）．点评：本题考查利用导数求切点的坐标，利用导数值等于切线的斜率是解决问题的关键，属基础题．14．（4分）若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是m≥．考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：f（x）为三次多项式函数，解决单调性用导数，函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数即f′（x）＞0在R上恒成立．解答：解：f′（x）=3x2+2x+m．∵f（x）在R上是单调递增函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3x2+2x+m≥0．由△=4﹣4×3m≤0，得m≥．故答案为m≥点评：本题考查函数单调性的应用：已知单调性求参数范围．一般转化为导函数≥0或≤恒成立处理．15．（4分）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为﹣37．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m的值，即可求出函数的最小值．解答：解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，又因为x∈[﹣2，2]，所以得当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．答案为：﹣37点评：本题考查利用函数的导数求最值的问题，解一元二次不等式的方法．16．（4分）曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为3﹒考点：余弦函数的图象．专题：计算题．分析：根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤π上的积分可求出答案．解答：解：S==3=3（sin﹣sin0）=3 故答案为3点评：本题主要考查余弦函数的图象和用定积分求面积的问题．属基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R）．（1）求函数f（x）在x=1的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（1），由于切点为（1，），即可得所求切线的方程；（2）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的极值．解答：解：（1）∵f（x）=xe﹣x，∴f′（x）=x（e﹣x）′+x′e﹣x=e﹣x（﹣x+1）∴f′（1）=0，f（1）=即函数f（x）图象在x=1处的切线斜率为0∴图象在x=1处的切线方程为y=（2）求导函数，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）=0，解得x=1由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1∴函数在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数∴函数在x=1时取得极大值f（1）=．点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，属于中档题．18．（12分）（xx•河南模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．考点：函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．专题：计算题．分析：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．解答：解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b①式…（1分）f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）由条件②式…（5分）由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3点评：注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1．19．（12分）（xx•韶关模拟）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．点评：本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题题，而函数①f（x）＜c2在区间[a，b]上恒成立与②存在x∈[a，b]，使得f（x）＜c2是不同的问题．①⇔f（x）max＜c2，②⇔f（x）min＜c2，在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题．在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用．20．（12分）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8﹣2x）•（5﹣2x）•x为三次函数，用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大．解答：解：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）；盒子容积为：y=（8﹣2x）•（5﹣2x）•x=4x3﹣26x2+40x，对y求导，得y′=12x2﹣52x+40，令y′=0，得12x2﹣52x+40=0，解得：x=1，x=（舍去），所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜时，y′＜0，函数y单调递减；所以，当x=1时，函数y取得最大值18；所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm3．点评：本题考查了简单的三次函数模型的应用，利用求导法求得三次函数在其定义域上的最值问题，是中档题．21．（13分）设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+18（a∈R）（1）判断f（x）在定义域上的单调性；（2）求f（x）在[1，2]上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数不等式去判断函数的单调性．（2）利用（1）的单调性以及单调区间求出函数在[1，2]上的最大值．解答：解：（1）函数的导数为f'（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）．①若a=1，则f'（x）=6（x﹣1）2≥0恒成立，所以此时函数f（x）在R上单调递增．②若a＞1，则由f'（x）＞0得x＞a或x＜1，此时函数f（x）单调递增．由f'（x）＜0得1＜x＜a，此时函数f（x）单调递减．③若a＜1，则由f'（x）＞0得x＞1或x＜a，此时函数f（x）单调递增．由f'（x）＜0得a＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．综上，若a=1，函数f（x）在R上单调递增．若a＞1，f（x）在（a，+∞）和（﹣∞，1）上单调递增，在（1，a）上函数f（x）单调递减．若a＜1，f（x）在（1，+∞）和（﹣∞，a）上单调递增，在（a，1）上函数f（x）单调递减．（2）由（1）知，若a=1，函数f（x）在R上单调递增．所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．若a＜1，f（x）在（1，+∞）单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．若a＞1，因为f（1）=3a+17，由f（1）=3a+17=22得，a=．当a=时，所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．当时，f（1）＜f（22），所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．当时，f（1）＞f（22），所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（1）=3a+17．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，当参数不确定时，需要对参数进行分类讨论．22．（13分）（xx•枣庄模拟）已知函数f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx﹣1．（1）若函数h（x）=g（x）+1﹣f（x）﹣2x存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当a＞0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．专题：常规题型；计算题；分类讨论．分析：（1）先求出函数h′（x），欲使h（x）存在单调递减区间，则h′（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后利用分离法可得a＞在（0，+∞）上有解，故a大于函数在（0，+∞）上的最小值即可．（2）先令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0），函数f（x）=ax与g（x）=lnx ﹣1的交点个数即为函数F（x）的零点的个数，利用导数研究函数F（x）的最小值，比较最小值与0的大小即可得到F（x）的零点的个数．解解：（1）h（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），精品文档实用文档 答： h ′（x ）=﹣ax ﹣2．若使h （x ）存在单调递减区间，则h ′（x ）=﹣ax ﹣2＜0在（0，+∞）上有解．而当x ＞0时，﹣ax ﹣2＜0⇔ax ＞﹣2⇔a ＞﹣问题转化为a ＞在（0，+∞）上有解，故a 大于函数在（0，+∞）上的最小值．又=﹣1，在（0，+∞）上的最小值为﹣1，所以a ＞﹣1．（2）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=ax ﹣lnx+1（a ＞0）函数f （x ）=ax 与g （x ）=lnx ﹣1的交点个数即为函数F （x ）的零点的个数．F ′（x ）=a ﹣（x ＞0）令F （x ）=a ﹣=0解得x=．随着x 的变化，F （x ），F （x ）的变化情况如表：（7分）①当F （）=2+lna ＞0，即a=e ﹣2时，F （x ）恒大于0，函数F （x ）无零点．（8分）②当F （）=2+lna=0，即a=e ﹣2时，由上表，函数F （x ）有且仅有一个零点．③F （）=2+lna ＜0，即0＜a ＜e ﹣2时，显然1＜F （1）=a+1＞0，所以F （1）F （）＜0•，又F （x ）在（0，）内单调递减，所以F （x ）在（0，）内有且仅有一个零点当x ＞时，F （x ）=ln由指数函数y=（e a ）x （e a ＞1）与幂函数y=x 增长速度的快慢，知存在x 0＞使得从而F （x 0）=ln因而F （）•F （x 0＜0）又F （x ）在（，+∞）内单调递增，F （x ）在[，+∞）上的图象是连续不断的曲线，所以F （x ）在（，+∞）内有且仅有一个零点．因此，0＜a ＜e ﹣2时，F （x ）有且仅有两个零点．综上，a ＞e ﹣2，f （x ）与g （x ）的图象无交点；当a=e ﹣2时，f （x ）与g （x ）的图象有且仅有一个交点；0＜a ＜e ﹣2时，f （x ）与g （x ）的图象有且仅有两个交点．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系等基础题知识，考查了转化和划归的数学思想，属于中档题．31175 79C7 秇ni23223 5AB7 媷 <38150 9506 锆28581 6FA5 澥Q30729 7809 砉 39490 9A42 驂 28412 6EFC 滼U。