小波分析
课程名称：小波分析
英文名称：Wavelets analysis
课程编号码：070102X09
适用专业：信息与计算科学
课程类别：专业选修
学时数：48 学分：3
编写执笔人：高仕龙审定人：宋际平
编写日期：2005年10月25日
一、课程的性质、目的和任务
本课程是信息科学的基础数学理论, 小波（wavelet）分析是一种在传统的Fourier分析的基础上发展起来的新分析方法，它由数学家和信息技术等领域的工程师各自独立发现，并共同推动而得以迅速的发展。作为时间—频率分析方法，小波分析比Fourier分析有着许多本质性的进步，它提出了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法，无论分析低频或高频的局部信号，它都能自动调节时—频窗口，以适应实际分析的需要。在局部时—频分析中具有很强的灵活性，能聚焦到信号时段与频段的任意细节，故被誉为时—频分析的显微镜。小波快速算法则为分析和解决实际问题带来了极大的方便。这些特点使时—频分析的方法和应用得到了辉煌的发展。通过本课程的学习，要求学生理解小波分析的理论，掌握小波分析的方法，并能运用到实践中去。
二、课程教学内容及教学基本要求
本课程分为七讲，概括小波分析的基本概念、基本理论和基本解题方法和技巧以及实验，并讲述了小波分析在其它诸多领域的应用，要求学生会用基本的数学的软件实现小波分析的相关应用实验。每节包括知识、例题、习题及实验四部分内容。
第一章：小波预备知识（4学时）
1、教学内容
线性赋范空间,巴拿赫空间,希耳伯特空间等相关实函，距离空间, 基底和框架，反演公式，线性空间，泛函知识,,傅里叶级数的复数形式，傅里叶变换的定义，傅里叶变换的性质，窗口傅里叶变换的定义，局部化特征，窗函数，时频窗的概念。
2、教学目的及要求
了解线性赋范空间,巴拿赫空间,希耳伯特空间等相关实函。理解距离空间, 基底和框架，反演公式，线性空间。掌握泛函知识,,傅里叶级数的复数形式，傅里叶变换的定义，傅里叶变换的性质，窗口傅里叶变换的定义，局部化特征，窗函数，时频窗的概念。
第二章：小波变换的概念与性质（12学时）
1、教学内容
几类特殊的小波（DOG小波，Morlet小波，Marr小波）离散小波变换的概念，小波变换的反演公式。连续小波变换的定义，小波框架，Reisz 基，卷积小波变换定义，二进小波变换的定义。连续小波变换的性质（叠加性，平移性，尺度法则，乘法定理），小波变换的时频窗特性，小波变换的时频局部化能力，卷积小波变换性质（叠加性，平移性，尺度法则，乘法定理，反演公式），小波变换的稳定性条件和容许性条件，逆小波变换。
2、教学目的与要求
了解几类特殊的小波（DOG小波，Morlet小波，Marr小波）离散小波变换的概念，小波变换的反演公式。理解连续小波变换的定义，小波框架，Reisz基，卷积小波变换定义，二进小波变换的定义。掌握连续小波变换的性质（叠加性，平移性，尺度法则，乘法定理），小波变换的时频窗特性，小波变换的时频局部化能力，卷积小波变换性质（叠加性，平移性，尺度法则，乘法定理，反演公式），小波变换的稳定性条件和容许性条件，逆小波变换。
第三章：正交小波变换（6学时））
1、教学内容
正交小波变换的定义，Mallat快速算法。Haar小波基，Littlewood-Paley小波基，正交小波基的构造，小波的多尺度分析和多分辨分析，尺度函数和小波函数的性质，两尺度方程及其频域特性，理解
函数的正交小波分解和多尺度逼近，小波的分解和重构公式。
2、教学目的与要求
了解正交小波变换的定义，Mallat快速算法。理解Haar小波基，Littlewood-Paley小波基，正交小波基的构造，掌握小波的多尺度分析和多分辨分析，尺度函数和小波函数的性质，两尺度方程及其频域特性，理解函数的正交小波分解和多尺度逼近，小波的分解和重构公式。
第四章：紧支集小波（6学时）
1、教学内容
紧支集正交小波的构造，紧支集正交尺度函数的构造。小波共轭滤波器的性质，Doubechies
小波的性质。
2、教学目的以及要求
理解紧支集正交小波的构造，紧支集正交尺度函数的构造。掌握小波共轭滤波器的性质， Doubechies小波的性质。
第五章：函数的奇异性与小波变换的关系（10学时）
1、教学内容
函数奇异值的概念，函数奇异性在小波变换下的特性。L指数，卷积小波变换与L指数的关系。几种检测函数奇异性常用小波的性质，L指数的估计。
2、教学目的以及要求
了解函数奇异值的概念，函数奇异性在小波变换下的特性。理解L指数，卷积小波变换与L指数的关系。掌握几种检测函数奇异性常用小波的性质，L指数的估计。
第六章：小波分析在其它学科中的应用（10学时）
1、教学内容
检测瞬态突变，非平稳信号去噪，图象边缘检测。
2、教学目的以及要求
理解检测瞬态突变，非平稳信号去噪，图象边缘检测。掌握检测瞬态突变，非平稳信号去噪，图象边缘检测。
三、课程教学环节
课程的教学环节主要包括课堂讲授、学生自学、课堂练习、上机实验、
课后作业、答疑、期未考试。通过上述基本教学步骤，要求学生掌握小波的基本理论和思维方法，掌握基本的解题方法和技巧，掌握这门学科的基本框架和基本实验操作。对问题的类型、解题思路和方法进行归纳、总结，探索规律，会应用基本数学软件实现相关实验。本课程共48学时，其中讲授课34学时，习题课8学时，实验课6学时。教学中适当运用CAI课件等形式，课后作业主要针对课堂讲解的内容，起到补充，巩固的作用。考试方式是闭卷考试,主要是理论考试，时间2小时。
实验：主要是小波的性质和二维小波的应用；
作业：每一章节都有有相关作业，部分课后作业做为习题讲解，部分习题做为学生课后作业。
四、课时分配及教学方式和手段
