江苏省灌云高中、曲塘中学、姜堰二中2021届高三下学期联考 数学 含答案

2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%A．2023 B．2026 C．2029D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A ．3：1B ．3：2C ．1：3D ．2：35．若存在复数z 同时满足|z －i|＝1，|z －3＋3i|＝t ，则实数t 的取值范围是A ．[0，4]B ．(4，6)C ．[4，6]D ．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C ＝B log 2(1＋SN )来表示，其中C 是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B 是信道的带宽(Hz)，S 是平均信号功率(W)，N 是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A ．0.1WB ．1.0WC ．3.2WD ．5.0W7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝32c的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为A ．23B ．63C ．4－2 3D ．3－18．已知函数f (x )＝x －a ex ，且e a＝ln b ＝c ，则 A ．f (a )＜f (b )＜f (c ) B ．f (b )＜f (c )＜f (a ) C ．f (a )＜f (c )＜f (b ) D ．f (c )＜f (b )＜f (a )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }没有最小值C ．数列{S n }单调递减D ．数列{S n }有最大值10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则A ．2a －2b ＞1B ．a 3－b 3＜1C ．4a －1b≤1 D ．2log 2a －log 2b <211．已知函数f (x )＝sin 3xx 2＋1，x ∈(－π，π)，则A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1C ． x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则 A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，a 0＝0 C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2 D ．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→AC ＝4． (注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 15．设(x －1x )( x ＋1x)6＝1470ii i a x-=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋ab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝13， ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示： 规格 中蟹大蟹特大蟹重量(单位：克) [160，180)[180，200)[200，220)[220，240)[240，260) [260，280]数量(单位：只)32 15 20 7 3(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离2 3.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A 的大小分别为α，β． (1)求1tan 2a ＋1tan 2β的值； (2)若tan β＝3tan α，求二面角A －PC B 的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (0，－1)的直线交抛物y 2＝4x 于A ，B 两点． (1)设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)过点A ，B 分别作直线x ＝－4的垂线，垂足为C 、D ，试探究∠AOB 和∠COD 的关系，并说明理由．POC BA22．(12分)已知函数f (x )＝－32x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f ′(x )的最大值不小于0． (1) 求a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．数 学 解析版 2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2020~2021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试数学2021年4月注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现，最简单的二次方程x2＋1＝0在实数范围内没有解．已知复数z满足z2＋4i＝0则|z|＝A．4 B．2 C． 2 D．12．已知集合A＝{x∈R|x2－x＋t＜0，t∈R}，B＝{x∈R|x2＋x－6＜0}，若A∪B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝A．(－3，3) B．(－2，2) C．(－2，3) D．(－3，2)3．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即104＝1万，108＝1亿，1012＝1兆，1016＝1京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是A ．21B ．20C ．25D ．244．已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是A ．2019B ．2020C ．2021D ．20225．已知a ，b 是不共面向量，设→OA ＝2a ＋b ，→OB ＝a ＋2b ，→OC ＝3a ＋b ，→OD ＝a ＋3b ， 若△OAB 的面积为3，则△OCD 的面积为A ．4B ．5C ．6D ．86．正实数a ，b ，c 满足a ＋sin a ＝2，b ＋3b＝3，c ＋log 4c ＝4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a7．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若面面体ABCD 的体积是423，则这个球面的面积是A ．16πB ．323πC ．4πD ．763π8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞114x ＋1，x ≤1，g (x )＝f (x )－kx ，若函数g (x )有两个零点，则k 的取值范围是A ．⎝⎛⎦⎤0，14B ．(0，1e ln2)C ．⎣⎡⎭⎫0，1e D ．[14，1e ln2)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标xOy 中，已知圆O 过点，A (3，4) 、B 、C 、且→BC ＝→OA ，则 A ．直线BC 的斜率为34B ．∠AOC ＝60°C ．△ABC 的面积2532 D ．点B 、C 在同一象限内10．在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 的方程是xy ＝1，下列结论正确的是 A ．曲线C 上的点与定点F (2，2)距离的最小值是2－ 2B ．曲线C 上的点和定点F (2，2)的距离与到定直线l ：x ＋y －2＝0的距离的比是 2 C ．曲线C 绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是x 2－y 2＝2 D ．曲线C 的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是411．设(1－2x )29＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 29x 29，则下列结论正确的是 A ．a 15＋a 16＞0B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 29＝－1C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 29＝－1＋3292D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋29a 29＝－5812．下列结论正确的是A ．存在这样的四面体ABCD ，四个面都是直角三角形B ．存在这样的四面体ABCD ，∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAB ＝∠BCD ＝90° C ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90° D ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90° 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(|φ|＜π2)是奇函数，若 x ∈[0，π2]，m ≤sin(2x ＋φ)≤n ，则n －m 的最小值是______．14．集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列，A∩B的元素个数是1，在A∪B 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是______．5．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且a i∈{1，2，3，4}(i＝1，2，3，4)．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值是______．16．设抛物线C1：y＝x2－2x＋2和C2：y＝－x2＋ax＋b在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点_____．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1)写出一个等差数列{a n}的通项公式，使{a n}满足①a1≠0，②{S n}是等差数列，其中S n是{a n}的前n项和．(写出一个就可以，不必证明)(2)对于(1)中的{a n}，设b n＝2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1． (1)当A 、B 、C 、D 共圆时，求cos A 的值；(2)若cos ∠ADB ＝36，求sin ∠ABC 的值．19．(12分)某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；(2)①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润(单 位：元)，求ξ的分布列和数学期望；DCBA②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由．20．(12分)如图，矩形BCDE 所在平面与△ABC 所在平面垂直，∠ACB ＝90°，BE ＝2． (1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)若平面ADE 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值是55，且直线AE 与平面BCDE 所 成角的正弦值是13，求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值．EDC BA21． (12分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是12，焦点到相应准线的距离是3． (1)求a ，b 的值；(2)已知A 、B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，F (1，0)，连接AF 、BF 并分别延长交椭圆C 于D 、E 两点，证明：直线DE 过定点．22．(12分) 设0＜x ＜1．(1)证明： 1－x 26＜sin xx＜1；(2)若ax －x36＜sin x ，求a 的取值范围．2020~2021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试数学2021年4月注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现，最简单的二次方程x2＋1＝0在实数范围内没有解．已知复数z满足z2＋4i＝0则|z|＝A．4 B．2 C． 2 D．1【考点】复数的运算【答案】B2．已知集合A＝{x∈R|x2－x＋t＜0，t∈R}，B＝{x∈R|x2＋x－6＜0}，若A∪B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝A．(－3，3) B．(－2，2) C．(－2，3) D．(－3，2)【考点】集合的运算【答案】B3．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即104＝1万，108＝1亿，1012＝1兆，1016＝1京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是A ．21B ．20C ．25D ．24 【考点】新情境下的文化题：计数的位数 【答案】C4．已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 【考点】等差数列的性质 【答案】C5．已知a ，b 是不共面向量，设→OA ＝2a ＋b ，→OB ＝a ＋2b ，→OC ＝3a ＋b ，→OD ＝a ＋3b ， 若△OAB 的面积为3，则△OCD 的面积为A ．4B ．5C ．6D ．8 【考点】平面向量的几何应用 【答案】D6．正实数a ，b ，c 满足a ＋sin a ＝2，b ＋3b＝3，c ＋log 4c ＝4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a 【考点】大小比较【答案】A7．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若面面体ABCD 的体积是423，则这个球面的面积是A ．16πB ．323πC ．4πD ．763π【答案】A【考点】立体几何的外接球问题【解析】由题意可知S △BCD ＝3，所以点A 到平面BCD 的距离为463，可设AB 的中点为O ，△BCD 的外心为点E ，则可得到OE ＝263，又BE ＝233，所以OB ＝2，则S 球＝4πR 2＝16π，故答案选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞114x ＋1，x ≤1，g (x )＝f (x )－kx ，若函数g (x )有两个零点，则k 的取值范围是A ．⎝⎛⎦⎤0，14B ．(0，1e ln2)C ．⎣⎡⎭⎫0，1eD ．[14，1e ln2)【答案】B【考点】函数的零点问题【解析】当y ＝kx 与y ＝log 2x 相切时，可得k ＝1e ln2，将函数y ＝kx 的图象顺时针旋转，当k＞0时，f (x )与y ＝kx 都有2个交点，故答案选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标xOy 中，已知圆O 过点，A (3，4) 、B 、C 、且→BC ＝→OA ，则 A ．直线BC 的斜率为34B ．∠AOC ＝60°C ．△ABC 的面积2532 D ．点B 、C 在同一象限内【考点】直线与圆的应用 【答案】BD10．在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 的方程是xy ＝1，下列结论正确的是 A ．曲线C 上的点与定点F (2，2)距离的最小值是2－ 2B ．曲线C 上的点和定点F (2，2)的距离与到定直线l ：x ＋y －2＝0的距离的比是 2 C ．曲线C 绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是x 2－y 2＝2 D ．曲线C 的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是4 【考点】曲线的切线方程、导数的几何意义综合应用 【答案】ABC11．设(1－2x )29＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 29x 29，则下列结论正确的是 A ．a 15＋a 16＞0B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 29＝－1C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 29＝－1＋3292D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋29a 29＝－58 【答案】ACD【考点】二项式定理展开式定理的应用【解析】对于选项A ，a 15＋a 16＝C 1529(－2)15＋C 1629(－2)16＞0，故选项A 正确；对于选项B ，可令x ＝0，可得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 29＝－1，所以a 1＋…＋a 29＝－2，故选项B 错误；对于选项C ，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 29＝329，则2(a 1＋a 3＋…＋a 29)＝－1－329，故选项C 正确；对于选项D ，由[(1－2x )29]′＝－58(1－2x )28，可令x ＝1，可得a 1＋2a 2＋…＋29a 29＝－58，故选项D 正确；综上，答案选ACD. 12．下列结论正确的是A ．存在这样的四面体ABCD ，四个面都是直角三角形B ．存在这样的四面体ABCD ，∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAB ＝∠BCD ＝90° C ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90° D ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90° 【答案】AC【考点】立体几何中四面体的应用【解析】对于选项B ，三个直角以A 为顶点，那么△BCD 为锐角三角形，故错误；对于选项D ，此时A ，B ，C ，D 四点共面，故错误；综上，答案选AC. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(|φ|＜π2)是奇函数，若 x ∈[0，π2]，m ≤sin(2x ＋φ)≤n ，则n －m 的最小值是______．【答案】1＋32【考点】三角函数的图象与性质应用14．集合A 中有4个等差数列，集合B 中有5个等比数列，A ∩B 的元素个数是1，在A ∪B 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是______． 【答案】1928【考点】数列与概率综合应用5．设数列a 1，a 2，a 3，a 4各项互不相同，且a i ∈{1，2，3，4}(i ＝1，2，3，4)．若下列四个关系①a 1＝1；②a 2≠1；③a 3＝2；④a 4≠4中恰有一个正确，则(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值是______． 【答案】18【考点】逻辑推断题：数列的项与最值问题【解析】若①正确，②也正确，则不符合题意；若②正确，此时a 4＝4，a 3＝1，a 1＝3，a 2＝2，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为18；若③正确，此时a 4＝4，a 2＝1，a 1＝3，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为7；若④正确，此时a 4＝2，a 3＝3，a 1＝4，a 2＝1，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为9；综上，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为18.16．设抛物线C 1：y ＝x 2－2x ＋2和C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b 在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C 2过定点_____． 【答案】(1，32)【考点】抛物线与二次函数的交点问题【解析】设交点为(x 0，y 0)，则(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，且x 02－2x 0＋2＝－x 02＋ax 0＋b ，联立化简可得a ＋b ＝52，所以C 2过定点(1，32)．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1)写出一个等差数列{a n }的通项公式，使{a n }满足①a 1≠0，②{S n }是等差数列，其中S n 是{a n }的前n 项和．(写出一个就可以，不必证明)(2)对于(1)中的{a n }，设b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【考点】等差数列的通项公式、错位相减法求和【解】(1)可写a n ＝2n －1，则有S n ＝n ()a 1＋a n 2＝n 2，所以S n ＝n ，即{S n }是等差数列(2)由(1)得b n ＝2na n ＝(2n －1)2n ＝(2n －3)2n ＋1－(2n －5)2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2n －3)2n ＋1＋6． 18．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1． (1)当A 、B 、C 、D 共圆时，求cos A 的值；(2)若cos ∠ADB ＝36，求sin ∠ABC 的值．【考点】三角恒等变换与解三角形【解】(1)在△ABD 中，由余弦定理可得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝4－23cos A ， 在△BCD 中，由余弦定理可得BD 2＝BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos C ＝2＋2cos A ，所以解得cos A ＝3－12． (2) 在△ABD 中，由余弦定理可得AB 2＝AD 2＋DB 2－2AD ·DB cos ∠ADB ，化简可得3＝1＋BD 2－33BD ，解得BD ＝3，则∠ACB ＝2π3，所以∠CBD ＝π6， 且cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝56，所以sin ∠ABC ＝sin(∠ABD+∠CBD)=12×56+32×116=5+331219．(12分)DCBA某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；(2)①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润(单 位：元)，求ξ的分布列和数学期望；②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由． 【考点】随机变量的概率、期望与分布列【解】(1)由题意得从60天中任取2天的日需求量至少有一天为35的概率P ＝1－C 245C 260＝2959；(2)①由题意ξ＝－20，10，40，70，其分布列为：则E (ξ)＝－20×112＋10×112＋40×16＋70×23＝1052②由题意每天准备40杯这款新品奶茶的数学期望为 E (ξ)＝－40×112＋(－10)×112＋20×16＋50×14＋80×512＝45，因为45＜1052，所以每天准备40杯这款新品奶茶的利润较少，则不应该接受这个建议20．(12分)如图，矩形BCDE 所在平面与△ABC 所在平面垂直，∠ACB ＝90°，BE ＝2． (1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)若平面ADE 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值是55，且直线AE 与平面BCDE 所 成角的正弦值是13，求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值．【考点】立体几何中位置关系的证明、空间角(二面角、异面直线所成的角)的求解 【解】(1)由题意可知DE ⊥DC ，又∠ACB ＝90°，则BC ⊥AC ， 又DE //BC ，所以DE ⊥AC ，且AC ∩DC ＝C ，所以DE ⊥平面AC D ． (2)由题意可知AC ⊥平面BCDE ，连结CE ，则有sin ∠AEC ＝AC AE ＝13，又平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的平面角为∠DAC ， 所以cos ∠DAC ＝AC AD ＝55,且DC ＝BE ＝2，可得AC ＝1，所以AE ＝3，则可知CF ＝72，所以BC ＝2，则AB ＝5， 而异面直线DE 与AB 所成的角为∠ABC ， 所以其余弦值为cos ∠ABC=BC AB =255.21． (12分)EDC BA在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是12，焦点到相应准线的距离是3． (1)求a ，b 的值；(2)已知A 、B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，F (1，0)，连接AF 、BF 并分别延长交椭圆C 于D 、E 两点，证明：直线DE 过定点．【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系中求直线的过定点问题 【解】(1)由题意有c a ＝12，a 2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.(2)由题意可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 由A ，F ，D 三点共线，得y 1x 1－1＝y 2x 2－1，所以y 1x 2－y 2x 1＝y 1－y 2，又因为y 12x 22－y 22x 124＝y 12－y 22，所以y 1x 2＋y 2x 1＝4(y 1＋y 2)，解得⎩⎨⎧x 2＝5x 1－82x 1－5y 2＝3x 12x －5，同理可得⎩⎨⎧x 1＝5x 1＋52x ＋5y 2＝3x 1＋52x ＋5，又直线DE 的方程为y ＝y 3－y 2x 3－x 2x ＋y 2x 3－y 3x 2x 3－x 2，且y 3－y 2x 3－x 2＝5y 13x 1,y 2x 3－y 3x 2x 3－x 2＝－8y 13x 1，即有直线DE 的方程为y ＝y 13x 1(5x －8)，所以过定点(85，0).22．(12分) 设0＜x ＜1．(1)证明： 1－x 26＜sin xx＜1；(2)若ax －x36＜sin x ，求a 的取值范围．【考点】函数与导数：利用函数的单调性证明不等式、利用函数的零点求参数范围 【解】(1)由题意可设f (x )＝sin x －x (0＜x ＜1)，有f ′(x )＝cos x －1＜0，则f (x )＜0，得sin x x ＜1，设g (x )＝sin x ＋x 36－x (0＜x ＜1)g '(x )＝cos x ＋x 22－1,g ''(x )＝x －sin x ＞0，则有g '(x )＞0，g (x )单调递增，得g (x )＞0，所以sin x x ＞1－x26得证；(2)由(1)可知a ≤1时，ax －x 36≤x －x36＜sin x 成立，则当a ＞1时，设h (x )＝sin x ＋x 36－ax ，则h '(x )＝cos x ＋x 22－a ，h ''(x )＝x －sin x ＞0,h '(x )单调递增，则h '(x )max ＝cos1＋12－a ，② 若a ≥cos1＋12，h '(x )＜0，h (x )单调递减，则有h (x )＜0，此时不符合题意；②若1＜a ＜cos1＋12，h '(0)＝1－a ＜0，h '(1)＝cos1＋12－a ＞0，所以h '(x )有唯一零点，可记为x 0，则0＜x ＜x 0，h '(x )＜0，此时h (x )单调递减，有h (x )＜0，则不符合题意； 综上可知a ≤1，即a 的取值范围为(－ ，1]．。

C EF 2021年高三下学期毕业班联考（二）数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1. 已知复数，则复数的虚部是A ．B ．iC ．－D ．－i2. 设实数满足约束条件22010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则的最小值是A ．B ．1C ．2D ．7 3. 执行如图所示的程序框图，若输入,则输出的A ．B ．C ．D ．4. 下列说法正确的是A ．命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题；B ．命题“已知、为一个三角形的两内角，若，则”的逆命题为真命题；C ．“若，则”的否命题为“若，则”；D ．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件.5. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为,则双曲线的标准方程为 A ． B ． C ． D ．6. 函数在定义域内可导，若，且当时，有，设，，，则 A ． B ． C ． D ．7. 已知为圆的直径，于，为的中点，与相交于点，切线与的延长线交 于点.若圆的半径为1，则的长为A ．B ．C ．D ． 8. 已知菱形的边长为2,,点、分别在边、上，，.若, 则的最小值 A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 某学院的三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本．已知该学院的专业有420名学生，专业有580名学生，则在该学院的专业应抽取____________名学生．10.设区域{(,)|01,01},x y x y Ω=≤≤≤≤区域{(,)|,(,)}A x y y x x y =≤∈Ω,在区域中随机取一个点,则该点在中的概率___________11. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个 半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是____12. 在中，内角，，所对的边分别是,,3))((bc a c b c b a =-+++则的值为_________13．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于两点，弦长___________ 14．若函数的图象与函数的图象恰有五个交点，则实数的取值范围是________．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-．(I)求函数的最小正周期； (II)若006(),,12542f x x πππ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，求的值. 16．（本小题满分13分）国家旅游局确定xx 以“丝绸之路旅游年”为xx 旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”。

2021年高三下学期期初联考试题数学含答案注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．．1．设集合则▲．2．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是____▲____．3．计算复数＝▲（为虚数单位）．4. 连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是▲．Array 5．若，则的最小值是___▲______.6．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的序号是▲．7．已知满足约束条件,则的最大值为▲.8．程序框图如图(右)所示,其输出结果是____▲____.9．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则实数的取值范围是____▲____．10．若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面积为▲.11．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为▲. 12．已知函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，……，由此推测函数的图像的对称中心为▲．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．14．已知是锐角的外接圆圆心，，，则 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E 是AB 的中点． （I ）求证：平面；（II ）若，求证：．16．(本小题满分14分)已知函数的最小正周期为. （I ）求.（II ）在图中给定的平面直角坐标系中,画出函数在区间上的图象,并根据图象写出其在上的单调递减区间.17. (本小题满分14分)光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1。

2021年高三下学期第一次联考（2月）理数试题含解析一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合，，则为A. (0，＋)B. (1，＋)C. [2，＋)D.［1，＋)【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以；故选B．考点：集合的交并运算．2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：该三视图对应的空间几何体为边长为1的正方体去掉一个三棱锥如下图所示：所以它的体积为；故选C ． 考点：三视图的应用．3.已知倾斜角为的直线l 与直线垂直，则的值为A .B .C .D .【答案】A 【解析】 试题分析：由题意可得：，所以541tan tan 2cos sin cos sin 22sin 222015cos 222=+=+==⎪⎭⎫⎝⎛-ααααααααπ；故选A ． 考点：1.两直线的位置关系；2.诱导公式．4.已知是两条不同．．的直线，是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 A . 若 B . 若 C . 若 D . 若【答案】C 【解析】试题分析：A . 若 或相交；B . 若或相交；D . 若或在平面内；故选C ．考点：空间几何元素的位置关系．5.如图所示，点是函数图象的最高点，M 、N 是图象与轴的交点，若，则等于【答案】B【解析】试题分析：由题意可得：，,所以；所以函数的周期为16即故选B．考点：1.三角函数的性质；2.向量运算．6.外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为A. B. C. D.【答案】A考点：平面向量数量积的含义及其物理意义．7.若非零向量满足，且，则与的夹角为A.B .C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，所以与的夹角为；故选D．考点：向量的运算及夹角．8.不等式组表示的点集记为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：列出相应的区域如下所示：区域M是正方形区域，区域N是阴影区域，，所以P∈N的概率为；故选B．考点：几何概型的应用．9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是，则这个三棱柱的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由球的体积是，可得，所以正三棱柱的高为4，底面是边长为的正三角形，所以三棱柱的体积是；故选D．考点：空间几何体的体积．10.已知函数,n∈N*的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋的值为A. 1B. 1－log xxC. -log xxD. －1 【答案】D【解析】试题分析：由题意可得：点，，所以点P处的切线切线的斜率为故可得切线的方程为，所以与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋；故选D．考点：1.导数的几何意义；2.对数运算．11.已知函数,若函数有且只有两个零点,则k 的取值范围为A .B .C .D .【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得当时为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为，当时有可得，所以即在出的切线方程为此时函数有且只有一个交点若；故选．若函数有且只有两个零点,则k 的取值范围为. 考点：函数零点与方程根的关系． 12.已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是A . B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：令()()()()()()()()xx x f x x f x x x f x x f x g x x f x g 2'2'''cos sin cos cos cos cos ,cos -=-==则，由对任意的满足可得，即函数在上为增函数，则即即；故选A ． 考点：导数与函数单调性的关系．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知数列为等差数列，，，则 . 【答案】2 【解析】试题分析：因为数列为等差数列且，，所以；故填2． 考点：等差数列的性质．14.设，若的最小值为 . 【答案】9 【解析】试题分析：由题意可得：，令则，所以在上为减函数，在上为增函数，所以；故填9． 考点：函数的性质及其导数的应用． 15.已知数列满足,且，则 . 【答案】【解析】试题分析：①，②， ②—①，得，即，又，所以数列是以为首项、公差为2的等差数列，则，即； 则， ， ， ， ，上述式子相加，得]3)1(2353433[21321-⋅++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n a a ，则]3)1(232353433[21432n n n n ⋅++⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯-，两式相减除以2，得nn n n a a 2)1()3333(914321⋅+-+⋅⋅⋅++++=--，即293)21(2)1(31)31(3921-⋅+=⋅+---+=--n n n n n n a a ； 则；故填.考点：1.由数列的递推式求通项；2.累加法；3.错位相减法. 16.有下列4个命题:①若函数定义域为R ,则是奇函数;②若函数是定义在R 上的奇函数,,,则图像关于x =1对称;③已知x 1和x 2是函数定义域内的两个值(x 1<x 2),若,则在定义域内单调递减; ④若是定义在R 上的奇函数, 也是奇函数,则是以4为周期的周期函数. 其中,正确命题是 （把所有正确结论的序号都填上）. 【答案】 (1)(4)考点：命题真假的判断．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n–b1=S1•S n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．【答案】（Ⅰ）a n=3n–1 b n=2n–1；（Ⅱ）T n=(n–2)2n+2；（Ⅲ）略．【解析】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;(2)一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论．试题解析：（Ⅰ）∵a n+1=3a n，∴{a n}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为a n=3n–1．∵2b n–b1=S1•S n，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．∴当n＞1时，b n=S n–S n–1=2b n–2b n–1，∴b n=2b n–1，∴{b n}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为b n=2n–1．…………4分（Ⅱ）c n=b n•log3a n=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，T n=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……①2T n= 0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ……②①–②得：–T n=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n∴T n=(n–2)2n+2．………… 8分（Ⅲ）===≤++…+＜++…+==(1–)＜．…………12分考点：(1)求数列的通项公式；（2）错位相减求数列的和；（3）证明恒成立的问题．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD‖BC，，平面⊥底面，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为，设PM=tMC，试确定t的值．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）3．【解析】试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明面面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.．试题解析：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；，，，．设，则，1(1)3(3)13()31txtx t xty t y ytz t zzt⎧=-⎪+=--⎧⎪⎪⎪=-⇒=⎨⎨+⎪⎪-=-⎩⎪=⎪+⎩,∴，在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为.∵二面角为30°，∴，得………………………………………………………………12分考点：（1）证明平面与平面垂直；（2）利用空间向量解决二面角问题.．19.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式【答案】（Ⅰ）有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.；（Ⅱ）；(Ⅲ)0.5．【解析】试题分析：(1)独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，根据表中的数据计算随机变量的观测值，越大说明两个分类变量有关系的可能性越大.（2）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.(3)在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形.（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.．试题解析：(Ⅰ)由表中数据得的观测值()2250221288505.556 5.024302030209K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)y1O设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为由几何概型即乙比甲先解答完的概率为.(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，，的分布列为：1.考点：1.检验；2.几何概型，超几何分布 20.（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， 直线与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点的直线与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ， 满足（O 为坐标原点），求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.．试题解析：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为， ∴圆心到直线的距离（*）………………………………1分 ∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴,， 代入（*）式得， ∴，故所求椭圆方程为……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设， 将直线方程代入椭圆方程得：， ∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k kk k ，∴.设,，则， 由，当,直线为轴，点在椭圆上适合题意； 当，得∴.将上式代入椭圆方程得：， 整理得：，由知，，所以，综上可得. ………………………………………………………12分 考点：(1)椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当时，曲线与直线只有一个交点,求x的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到的值.(2)根据曲线与直线只有一个交点,可以得到方程有唯一解,构造函数，然后利用函数的性质得到x的取值范围(3)分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.．试题解析：（I）由,知,而曲线在点处的切线过点, ，……………6分（II）法一时，曲线与直线只有一个交点,时方程有唯一解,即有唯一解.当x=0时，显然无解.当时，变形为，……………………………………①令，由，知时，为增函数，时，为减函数，故时，.而，故方程①无解.若,，为减函数,且,即时，故时，方程①有唯一解，综上知，所求x的取值范围是.………………………………………………12分法二时，曲线与直线只有一个交点,时方程 ()有唯一解,当x=0时，显然无解.当时，变形为，解32232 34(2)(1)34100 x x x x x x xx x x-++-+-+<⇔<⇔<得.令,知,当，时，在，单调递减，故，，有唯一解.综上知，所求x的取植范围是 .…………………………………………12分考点：函数与导数性质的应用．四．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲的延长线于P，已知.证明（Ⅰ）；（Ⅱ）．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略．【解析】试题分析：（1）根据圆的切线性质可得：又由已知进而可得所以可以得出；（2）由内接圆的性质可得三角形相似故可以得出所以得到．试题解析：（Ⅰ）∵与⊙相切于点，∴. …………………2分又，∴，∴. …………………………5分（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，∴，又，∴∽.∴，即，∴. ………………………10分考点：圆的性质的综合应用.23.（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为．的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．【答案】（Ⅰ）：，：；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点到曲线距离的取值范围．试题解析：（I ）的直角坐标方程：， 的普通方程：．5分 （II ）由（I ）知，为以为圆心，为半径的圆，的圆心到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为 ．………………………………………………………10分考点：(1)参数方程的应用；（2）两点间的距离公式. 24.（本小题满分10分） 选修4—5:不等式选讲 已知关于的不等式，其解集为. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）将不等式转化为，脱去绝对值即可得到，然后根据解集为得到的值；（Ⅱ）利用不等式的性质或构造二次函数的性质即可得到的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）不等式可化为， ………1分 ∴，即,∵其解集为，∴ ，. ………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，（方法一：利用基本不等式） ∵ ，∴ ，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分 .（方法二：利用柯西不等式）∵ 222222()(11)(11)()9a b a b a b +⋅+≥⨯+⨯=+=， ∴ ，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分 （方法三：消元法求二次函数的最值） ∵，∴，∴222222399(3)2692()222a b a a a a a +=+-=-+=-+≥， ∴当且仅当时，取最小值为.………………………………10分考点：（1）含绝对值不等式的解法；（2）不等式的性质.*39583 9A9F 骟34841 8819 蠙25464 6378 捸B38859 97CB 韋I32693 7FB5 羵22785 5901 夁'Q27612 6BDC 毜21808 5530 唰。

2021年高三下学期联合考试数学（理）试题含答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，在复平面内复数对应的点在第一象限（其中为虚数单位），则实数的取值可以为（）A.0B.1C.﹣1D.22.已知实数满足约束条件则的最大值为( )A. -2B. -1C. 1D. 23.“”是“命题‘，不等式成立’为真命题”的（）A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设，则的取值范围为（）A. B. C. D.5.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率的取值为Array（）A.3B.3.14D.3.36.已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.7.右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8.已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A． B． C． D．9.若为偶函数，则的解集为（）A. B. C. D.10.如图所示，函数离轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则＝（）A. B.C. D.11.如右下图所示为某几何体形状的纸盒的三视图，在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为（）A. B. C. D.12.已知函数,,则的取值范围为（）A. B. C. D.二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

1 1 正(主)视侧(左)视2021年高三下学期第二次联考数学（文）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分。

考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集,集合，集合，则 （ ）A. B. C. D.2.已知复数为虚数单位，则的共轭复数是A. B. C. D.3.已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则=（ ）A.27B.3C.-1或3D.1或274.已知平面向量,,,则的值为( )A. B. C.2 D.15.已知的取值如下表:若y 与x 线性相关，且，则=（ ）x0 1 3 4 y 2.2 3.3 4.8 5.7A.2.2B.2.6C.2.8D.3.06.已知命题使；命题，下列是真命题的是 ( )A. B.C. D.7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( )A. xxB. 2C. D.8.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个 四棱锥的体积为（ ）A 1B 2C 3D 49.已知函数的最小正周期为, 若将其图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称,则函数的图像( )A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称10.已知变量满足以下条件,,若的最大值为3,则实数的值为( )A.2或5B.-4或2C.2D.511.定义在R 上的函数24)(,42)1(,2)()()(+>+=>'+xe xf e ef x f x f x f 则不等式满足 (其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D.12．已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C 上恰好有6个不B 同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ． B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.点，则的概率___________． 14.设数列满足，点对任意的，都有向量，则数列的前项和 .15.在半径为的球面上有三点，如果，，则球心到平面的距离为___________．16.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程 的不同实根个数为三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2021年高三下学期期初联考数学理试题 含答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 复数z ＝1＋i ，为z 的共轭复数，则 ( )．A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i2. 已知是两个不同的平面，是不同的直线，下列命题不正确．．．的是( )． A ．若则 B ．若则C ．若则D ．若，则3. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是（ ）． A ．30 B ．60 C ．70 D ．804．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）. A.14 B.24 C.28 D.485. 某程序框图如图 2所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的 ( )．A ．32B ．24C ．18D ．166. 抛物线的焦点为F ，点为该抛物线上的动点，又点则的最小值是（ ）． A ． B ． C ． D ．7. 设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为（ ）．A ．B ．C ．D ．8. 将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图 3），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法： ①的值域为；②是周期函数； ③；④.周长(cm)频率/组距0.010.02 0.04 图 1y其中正确的说法个数为：（ ）A ．0B ．C ．D ．二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答. 9. 已知向量，，若，则实数的值等于 ． 10. 不等式的解集为 ．11. 设为等比数列的前n 项和，，则 .12. 函数的部分图象如图 4所示，点,，若，则等于 ．13. 如图 5，圆O ：内的正弦曲线与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分）随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答只计算前一题的得分.14.（极坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆上的点到直线的最大距离为 ．15.（几何证明选讲）如图 6，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆O 交于F ，若,,，则________．三．解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本题满分12分）已知函数且函数的最小正周期为．(1)求的最大值及取得最大值的值； (2)若且，求的值．17.（本题满分12分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．(1) 求文娱队的人数；(2) 写出的概率分布列并计算．18.（本题满分14分）等边三角形的边长为,点、分别是边、上的点,且满足(如图7甲).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图7乙).(1)求证:平面；（2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.19.（本题满分14分）已知数列满足，．（1）求的值；（2）求证：数列是等比数列；Oxy AB C图 4图 6图 5BCE D1A 图乙图甲ABC DE（3）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．20.（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1上的任一点到点（1，0）的距离与到直线的距离之比为，动点Q 是动圆C 2：上一点．（1）求曲线C 1的轨迹方程；（2）若点P 为曲线C 1上的点，直线PQ 与曲线C 1和动圆C 2均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离｜PQ ｜的最大值．21．（本题满分14分）已知函数，.（1）若函数在处取到极值,且成等差数列，求的值；（2）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数 的最大值．xx 学年度高三理科数学测试题参考答案三．解答题：16. 解：24f (x )sin x sin(x )sin x cos x x )ππωωωωω=++=+=+……2分的最小正周期为，………………………………4分（1）的最大值为，当即时取得最大值；…………………………………………………………………………………………6分（2）因为，即①, ………………………………7分 且………………………………………………9分272311616(cos sin ),cos sin αααα-=+=∴-=②， (11)分由①、②解得…………………………………………………………12分17. (1)解法1：∵，∴． ……………………………………………………………………2分 即， ∴， ∴x=2．………………………………5分故文娱队共有5人． ……………………………………………………………………6分 解法2：因为会唱歌的有2人，故两项都会的可能1人或2人。

高三数学联考试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．．1.已知集合，，，则____．【答案】【解析】【分析】根据并集和补集的定义，直接计算得结果.【详解】由题意得：则本题正确结果：【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2.已知复数（i为虚数单位），若为纯虚数，则实数a的值为__．【答案】2【解析】【分析】将化简的形式，为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，由此可求得结果.【详解】为纯虚数本题正确结果：【点睛】本题考查复数的基本运算和纯虚数的定义，属于基础题.3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示．根据此图可知这批样本中寿命不低于300 h的电子元件的个数为____．【答案】800【解析】【分析】根据频率分布直方图求出的频率，利用得到不低于的概率，利用得到结果.【详解】使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率使用寿命不低于的概率使用寿命不低于的电子元件个数为：（个）本题正确结果：【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体的问题，属于基础题.4.运行如图所示的流程图，若输入的，则输出的x的值为____．【答案】0【解析】【分析】按照程序框图依次运算，不满足判断框中条件时输出结果即可.【详解】由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，输出结果：本题正确结果：【点睛】本题考查程序框图中的条件结构和循环结构，属于基础题.5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和为偶数的概率为____．【答案】【解析】【分析】所有可能的结果共种，通过两次数字之和为偶数说明两次均为奇数或者均为偶数，共种，由此得到概率为.【详解】骰子扔两次所有可能的结果有：种两次数字之和为偶数，说明两次均为奇数或均为偶数，则有：种两次数字之和为偶数的概率本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型的应用，可通过排列组合来解决，由于此题基本事件个数较少，也可采用列举法来求解.6.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a，则该双曲线的渐近线方程为____．【答案】【解析】【分析】由标准方程可得渐近线方程，利用点到直线的距离构造方程，求得的值，从而得到渐近线方程.【详解】渐近线方程为：由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等取渐近线，焦点渐近线方程为：本题正确结果：【点睛】本题考查双曲线的几何性质、点到直线距离公式，关键在于利用点到直线距离公式建立的等量关系，求解得到结果.7.已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点．若，则三棱锥M PBC的体积为____．【答案】1【解析】【分析】三棱锥体积与三棱锥体积一样，为上动点，可知面积为侧面面积的一半；到面的距离等于到面的距离的，由此可根据三棱锥体积公式求得体积.【详解】由题意可知原图如下：又，即到面的距离等于到面的距离即本题正确结果：【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键在于能够通过体积桥的方式将原三棱锥进行体积变换，找到易求解的底面积和高.8.已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．【答案】【解析】【分析】根据奇函数求得；将变成，代入，求得结果. 【详解】为上的奇函数又本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.9.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为____．【答案】【解析】【分析】根据对称轴之间距离求出最小正周期，从而求得；利用的终边所过点，得到、；将利用两角和差公式展开求得结果.【详解】角终边经过点，两条相邻对称轴之间距离为即本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角函数图像特点求解解析式、三角函数定义、两角和差公式的应用，关键在于能够通过对称轴之间距离求出解析式，能够利用三角函数定义解出的正余弦值.10.如图，在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心的圆上．已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得，则____．【答案】2【解析】【分析】根据点求出，从而得到直线；假设点坐标，利用可求得，由此可用坐标求解.【详解】圆半径则所在直线为：，即：设，则，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，关键在于能够利用向量垂直求得点的坐标，从而得到所求向量的坐标，最终求得结果.11.已知函数的单调减区间为，则的值为____．【答案】e【解析】【分析】通过单调递减区间可确定，，利用韦达定理得到关于的方程，求解出结果.【详解】单调递减区间为且为方程的两根由韦达定理可知：当，即时，当，即时，，即此时，，即无解综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查利用单调区间求解参数值的问题，解题关键是要明确此函数单调区间的端点值恰为导函数值为零的点，通过构建方程求得结果.12.已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】通过时函数的单调性和值域，可判断出此时有且仅有一个零点，由此可知当时，有两个零点；通过求导运算，得到单调性，通过图像可知要想有两个零点，只需，求解得范围.【详解】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，需要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：【点睛】本题考查利用导数研究函数图像和零点个数的问题，关键在于能够通过导数得到图像情况，然后找到临界情况，从而列出关于的不等关系，求得范围.13.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在点A，在圆C：上存在点B，使得△MAB为等边三角形，则r的最大值为____．【答案】8【解析】【分析】通过分析图像可知：取最大值时，且在圆内部，由此可确定点的坐标，再利用方程组求解得到坐标为，由此可求得.【详解】圆由题意可知：，又且若最大，则需取最大值，且在圆内部可得，又与成角为设，则直线所在直线方程为：又解得：或（舍）时取最大值本题正确结果：【点睛】本题考查点与圆上点连线的最值、圆的最值类问题，关键在于能够通过图像分析出取得最值时点的位置，然后根据等量关系求解出坐标，进而求得结果.14.已知等差数列的前n项和S n>0，且，其中且．若（），则实数t的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】首先根据可得恒成立，通过分析可求得；利用已知条件得到时，，根据等差数列通项公式和求和公式可化为，将右侧看做函数，即，通过的范围求得的范围，再结合变量和，分析求出的取值范围.【详解】设等差数列首项为，公差为由得：且即：对恒成立若，不恒成立，舍去若即，此时满足题意若即时，需时，，满足题意，又，所以由得：两式作商可得：，又整理可得：设，①当时，即当时，当时，此时，即，无法取得②当时，即当时，当时，综上所述：【点睛】本题考查数列的综合应用问题，在求解过程中结合了函数、不等式、恒成立等问题的求解方法和思路，整体难度较大.关键在于能够将范围的求解转化为函数值域的求解，在求解最值过程中，因为变量较多，需要不断进行变量迁移，从而能够在最值集合中找到满足题意的临界值，对学生的综合分析和应用能力要求较高.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱中，，．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）通过，证得结论；（2）通过四边形为菱形，得到，又，可得到平面，从而证得结论.【详解】（1）在三棱柱中，又平面，平面所以平面（2）在三棱柱中，四边形为平行四边形因为，所以四边形为菱形，所以又，，平面，平面所以平面而平面所以平面平面【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，题目中的位置关系较为简单，属于基础题.16.在中，角所对的边分别为．向量，，且（1）若，求角的值；（2）求角的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量平行得到，再利用正弦定理化简，可求得，从而求得；（2）方法一：利用正弦定理将边都化成角的关系，化简求得，再利用，结合基本不等式求得的最值，从而得到的最大值；方法二：利用余弦定理将角化成边的关系，再利用和基本不等式得到的最小值，从而得到的最大值.【详解】（1）因为，，且所以，即由正弦定理，得……①所以整理，得……②将代入上式得又，所以（2）方法一：由①式，因为，，所以②式两边同时除以，得又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为方法二：由（1）知，由余弦定理代入上式并化简得所以又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为【点睛】本题主要考查解三角形边角关系式的化简，以及通过边角关系式求解角的范围的问题.解决边角关系式的关键是能够通过正余弦定理将边化成角或者将角化成边，然后再进行处理.17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程；（2）设，根据可知，，又与原点距离为，即，可把化简为：，根据与椭圆相切，联立可得，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以又椭圆的左焦点到左准线的距离为所以所以，，所以椭圆的方程为（2）因为原点与直线的距离为所以，即设直线由得因为直线与椭圆相切所以整理得因为直线与直线之间的距离所以，所以又因为，所以又位于直线的两侧，所以同号，所以所以故实数的取值范围为【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆中的参数范围问题求解.求解参数范围问题，关键是构造出满足题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围.18.某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B 分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．（1）求水渠MN长度的最小值；（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计）．【答案】（1）百米；（2）平方米.【解析】【分析】（1）设，可表示出直线的方程，从而求得两点坐标，进而将表示为关于的函数，利用导数求得最值；（2）方法一：将表示为，利用将面积表示出来，利用进行换元，从而化简得：，再根据的范围求得面积最大值；方法二：利用三角形面积公式，直接用表示出，再利用换元，也可得到，从而与方法一采用相同的求最大值方法求值. 【详解】【解】（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为设点，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得所以令，即，则令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以当时，所以水渠长度的最小值为百米（2）由（1）可知，，，且则设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米另法：（2）因为，所以由所以设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米【点睛】本题考查函数导数的实际应用问题，属于中档题.解题关键在于能够将所求量表示为某一变量的函数关系，然后利用函数最值的求解方式求得对应的结果.19.已知数列的各项均不为0，其前n项和为．若，，，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．【答案】（1）81；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）将代入，可求得；（2）由可求得，进而，两式作差可得，进而推得，可得数列及数列均为等差数列，进而求得通项；（3）由与关系可得：，即，两式作差可得：，进而推得，即，则证明结束.【详解】（1）时，由得解得（2）时，由，得则因为，所以……①所以……②②①得所以，两式相减得即数列及数列都成公差为的等差数列由，得，可求得所以数列的通项公式为（3）由，，得所以因为，所以所以两式相减得，即所以两式相减得所以因为，可得所以所以数列是等差数列【点睛】本题考查由数列递推关系式求解通项公式以及证明类问题.关键在于能够适当代入和，从而得到数列前后项之间的关系，灵活运用递推关系式.证明数列为等差数列问题，基本思路为说明或，符合定义式即可证得结论.20.已知函数，，其中且，．（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围．【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）分别求得与的极值点，利用极值点相同构造方程，求得；（2）首先求得在上单调递减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据单调性可知仅有这两个不同零点；（3）根据已知关系，将问题变为：，又，则可分别在，，三个范围内去求解最值，从而求解出的范围.【详解】（1）因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，所以函数的极值点为因为函数与有相同的极值点，所以所以（2）由题意，所以因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，又在上连续且单调所以在上有唯一零点取满足且则因为且，所以所以，又在上连续且单调所以在上有唯一零点综上，函数有两个不同的零点（3）时，由，使，则有由于①当时，，在上单调递减所以即，得②当时，，在上单调递增所以即，得③当时，在上，，在上单调递减；在上，，在上单调递增；所以即（*）易知在上单调递减故，而，所以不等式（*）无解综上，实数的取值范围为或【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，包括了单调性的求解、极值和极值点、最值问题，综合性较强.证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的最大值确定，进而再通过零点存在定理来确定零点个数；而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关键.数学Ⅱ（附加题）第21、22、23题，每小题10分，共计30分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵．【答案】【解析】【分析】设二阶矩阵为，根据特征值、特征向量可列出关于的方程组，求解即可得到结果.【详解】设所求二阶矩阵因为有特征值，其对应的一个特征向量为所以，且所以，解得所以【点睛】本题考查二阶矩阵以及特征值与特征向量的计算问题，属于基础题.22.如图，四棱锥P ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，，F为BC的中点，．（1）若，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；（2）若，求二面角E AF C的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据求得点坐标，从而表示出，通过夹角公式求得结果；（2）通过求得得点坐标，再进一步求出平面法向量，又面的一个法向量为，求出即可求得所求余弦值.【详解】以为原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，（1）当时，由得所以，又所以所以异面直线与所成角的余弦值为（2）当时，由，得设平面的一个法向量为，又，则，得又平面的一个法向量为所以所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角和二面角的问题，关键在于能够准确地建立坐标系，并用坐标表示点、求解法向量；需要注意的问题是：平面法向量有无数条，方向不同会造成的符号不同，要判断好所求二面角与法向量夹角是等角关系还是补角关系，从而准确求得结果.23.设整数数列{a n}共有2n（）项，满足，，且（）．（1）当时，写出满足条件的数列的个数；（2）当时，求满足条件的数列的个数．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】（1）当确定时，可确定，再逆推可知有种取法；再依据可知各有种取法；由于与有关，当确定时，必然随之确定，故根据分步乘法计数原理，可得数列个数为；（2）设，且，可推得：；又，可推得：；用表示中值为的项数可知的取法数为，再任意指定的值，有种，可知数列有个；再化简，可得最终结果.【详解】（1）时，，且则确定时，有唯一确定解又，可知有种取法若，则，则有种取法此时，也有种取法又，当确定时，随之确定故所有满足条件的数列共有：个满足条件的所有的数列的个数为（2）设，则由得①由得，则：即②用表示中值为的项数由②可知也是中值为的项数，其中所以的取法数为确定后，任意指定的值，有种由①式可知，应取，使得为偶数这样的的取法是唯一的，且确定了的值从而数列唯一地对应着一个满足条件的所以满足条件的数列共有个下面化简设两展开式右边乘积中的常数项恰好为因为，又中的系数为所以所以满足条件的数列共有个【点睛】本题考查新定义、排列组合、二项式定理问题，对学生分析解决问题能力要求较高；如何正确理解定义，同时找到定义式的切入点是解决问题的关键；题目对于排列组合、二项式定理知识的应用能力要求比较高，难度较大.。

2021年高三下学期联考（三）试题数学文含答案本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟，注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则实数a的值为A．0 B．1 C．2 D．42．已知复数在夏平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A．870 B．30C．6 D．36．把一根长度为7的铁丝截成3段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为7．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为8．已知点的最小值是A．-2 B．0 C．-1 D．19．定义行列式运算的图象向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为10．已知两点A（0，2）、B（2，0），若点C在函数的图像上，则使得的面积为2的点C的个数为A．4 B．3 C．2 D．111．函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是12．已知双曲线含的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列，归纳出这个数列的通项公式为。

2021年高三下学期联考（三）数学理试题（word版含答案）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟，注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则实数a的值为A．0 B．1 C．2 D．42．已知复数在夏平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A．870 B．30C．6 D．36．设的展开式的各项系数之和为肘，二项式系数之和为N．函数f（x）的图像如图所示，下列数值排序正确的是A．4 B．6C．8 D．107．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为8．已知实数的取值范围是9．定义行列式运算的图象向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为10．已知两点A（0，2）、B（2，0），若点C在函数的图像上，则使得的面积为2的点C的个数为A．4 B．3 C．2 D．111．函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是12．已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若线段FH 的中点肘在双曲线C上，则双曲线C的离心率为第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列的值为。

2021年高三下学期第二次联考（数学理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（）2．设复数且，则复数的虚部为（）A．B．C．D．3．定义在上的偶函数满足：对任意，且都有，则（）A．B．C．D．4．已知向量，，，则（）A．B．C．D．5．方程所表示的曲线是（）A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的双曲线6．若某多面体的三视图（单位：cm）如右图所示，则此多面体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm37．2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码。

公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．xx B．4096 C．5904 D．83208．对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界。

若，且，则的上确界为（）A．B．C．D．9．若函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为，则的展开式中常数项为( )A. B. C. D.10．给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中1 2 3 …xx xx 20111俯视图1侧视图1正视图数学试卷第1页（共2页）理科第一行各数依次是1 , 2 , 3 , …, 2011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M是（）A．B．C．D．第II卷二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.)11．已知等差数列中，是函数的两个零点，则.12．设，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .13．如图：若，，，则输出的数为.14．给出以下三个命题：（A）已知是椭圆上的一点，率；（B）过椭圆上的任意一动点，引圆的两条切线、取值范围为；数学试卷第2（C）已知、其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）15．选作题（请在下列2小题中选做一题，全做的只计算第（A）题得分）（A）在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线C1与C2交于两点，则线段的长度为。

江苏省泰州市姜堰区2020-2021学年高三下学期期初考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2kB ．4kC ．4D ．22．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．103．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍 4．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e +∞ B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞5．若函数f(x)＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)6．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 的形状为（ ）C．等腰或直角三角形D．钝角三角形7．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）A．43B．916C．34D．1698．若实数,x y满足不等式组121210x yx yx y+≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y-+的最大值为（）A．1-B．2-C．3 D．29．双曲线C：2215x ym-=（0m>），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．250x y±=B．250x y±=C．520x y±=D．50x y±=10．已知复数z满足202020191z i i⋅=+（其中i为虚数单位），则复数z 的虚部是（）A．1-B．1 C．i-D．i11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．24πB．28πC．32πD．36π12．P是正四面体ABCD的面ABC内一动点，E为棱AD中点，记DP与平面BCE成角为定值θ，若点P的轨迹为一段抛物线，则tanθ=（）A2B．2C2D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

优质(yōuzhì)高中2021届高三联考试题数学〔理工类〕考前须知：答卷前，所有考生必须将姓名，准考证号等在答题卡和答题卷上真写清楚。

选择题答案需要用2B铅笔直接填涂在答题卡上，非选择题用的黑色签字笔在每一小题对应的答题区域做答，答在试题卷上无效。

第一卷〔选择题〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求〕1．复数〔是虚数单位〕，那么的一共轭．．．复数是〔〕A．B． C．D．2．定义域为R的函数不是奇函数，那么以下命题一定为真命题的是〔〕A． B．C． D．3．假设是2和8的等比中项，那么圆锥曲线的离心率是〔〕A． B． C．32或者 D．32或者54．向量，假设，那么向量与向量的夹角的余弦值是〔〕A ．B ．C ．D ．5．某棱锥(léngzhuī)的三视图如下图，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是〔 〕 A ．B ．C ．D ．6．如右图所示，执行程序框图输出的结果是〔 〕A ．B ．C ．D ．7．g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3〔x ≤0〕，g 〔x 〕 〔x >0〕，假设f (2－x 2)>f (x )，那么实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(－2，1)8．如以下图所示将假设干个点摆成三角形图案，每条边〔色括两个端点〕有n(n>l ，n∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为，那么= 〔 〕A ．B ．C ．D ．9．要得到(d é d ào)函数的导函数的图象，只需将的图象〔 〕A ．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍〔横坐标不变〕B ．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍〔横坐标不变〕C ．向左平移3π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍〔横坐标不变〕 D ．向左平移6π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍〔横坐标不变〕10. 在双曲线(a ＞0，b ＞0)中，，直线与双曲线的两条渐近线交于A ，B两点，且左焦点在以AB 为直径的圆内，那么该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(0，2) B ． (1，2) C. ⎝⎛⎭⎪⎫22，1 D ．(2，＋∞) 11．从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码〔每种砝码各一个〕中选出假设干个，使其总重量恰为9克的方法总数为, 以下各式的展开式中的系数为m 的选项是〔 〕A ．B ．C ．D ．12. 函数满足，且存在实数使得不等式成立，那么m 的取值范围为〔 〕 A.B.C.D.第二卷〔非选择题〕本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部。

江苏省2020至2021学年灌云高中、曲塘中学、姜堰二中高三联考数 学 试 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.若集合{0,1,3}A =，{|(3)0}B x x x =-<，则AB = （ ）A.(0，3)B.(0，3]C.{1，3}D.[0，3] 2.已知复数12iz i+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.《关于深化教育教学改革全面提高教育质量的意见》强调，坚持立德树人，着力培养担当民族复兴大任的时代新人；坚持“五育”并举，全面发展素质教育.为促进中学生综合素质全面发展，某校开设5个活动社团，甲、乙、丙三名同学每人报名参加1个社团，则不同的报名方式共有 （ ）A.60种B.120种C.125种D.243种 4.已知随机变量服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP （ ）A ．6.0B ．4.0C ．3.0D ．2.05.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为1，侧棱长为3E 为1BB 中点，F 为11A C 中点，则异面直线AE 与1B F 所成角的余弦值为（ ）A.34B. 35C. 36D. 1366.在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生.必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策.某林区一片森林2019年底的木材总量为a 万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过_________年，使得木材总量翻两番.（参考数据：2log 1.150.202≈，2log 35 5.129≈，2log 23 4.524≈） （ ）A.5B.6C.9D.107.已知正六边形ABCDEF 的边长为1，M 为BC 的中点，则AD FM ⋅的值为（ ）A.12 B. 1 C. 23D. 34AB1AC1B1CFE8.已知偶函数()(0)f x x ≠的导函数为'()f x ，且满足(2)0f -=，当0x >时，'3()()0f x xf x ->，则()0f x >的解集为 （ ）A.(,2)(2,)-∞-+∞ B.(2,0)(0,2)- C.(,2)(0,2)-∞- D. (2,0)(2,)-+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知函数()sin(2)3f x x π=-，则下列说法正确的是 （ ）A.函数()f x 在511(,)1212ππ上单调递减 B.将函数()f x 的图像向左平移3π个单位，得到的图像解析式为()sin 2g x x =C.函数()f x 在[,0]2π-上的最大值为2D.56x π=为)(x f 图象的一条对称轴10.已知函数()|ln |f x x =，0a b <<，且()()f a f b =，下列结论正确的是（ ）A.1b a >B.2a b +≥C.23b a+< D.22(1)(1)8a b +++≥ 11.设函数()(1)()f x x x x a =--，则下列结论正确的是 （ ）A ．当4a =-时，()f x 在1[1,]2-上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点C ．当2a =时，()f x 的图像关于点(1,0)中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，12()()0f x f x +≤12.已知F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，过焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，设AB 的斜率为k (0)k >，则下列结论中一定成立的是 （ ）A ．112p AF BF +=B ．若243AF BF p ⋅=，则k =C ．线段AB 的中点到抛物线准线的距离等于弦AB 长度的一半D ．若CD 是经过抛物线焦点F 的一条弦，且AB CD ⊥，,A C 两点在x 轴上方，O 为坐标原点，则OA OB OC OD ⋅=⋅三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线221x y m-=的离心率为2，则实数m =___________14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1123231,0,3,2a b S S T ===-=，则n b = 15.黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是12.由于按此比例设计的造型十分美观，因此称为黄金分割比.例如中国人民解放军军徽，为镶有金色黄边的五角红星.如图，已知正五角星内接于圆O ，36CAD ∠=︒，点S 为线段AD 的黄金分割点，则sin18︒=__________，若圆O 的半径为2，PQ 为圆O 的一条弦，以PQ 为底边向圆外作等腰三角形PQM ，且36PMQ ∠=︒，则||OM 的最大值为__________（第一空2分，第二空3分）16.已知正四面体A BCD -的棱长为3，若该正四面体A BCD -能在底面半径为2的圆锥S 内任意转动，则该圆锥体积的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）在①cos cos 2a C c A c +=，②1sin sin cos cos sin 2B A B A B -=， ③2sin sin 2sin sin 2sin sin sin A B A C B C B -=-，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，_______________，且cos sin 20a C C b c -+=. （1）求角C ； （2）若BD 为ABC ∠的角平分线，且2BD =，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分） 记n S 为数列{}n a 的前项和，已知20,346n n n n a a a S <-=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n a b =，求1223341n n n T b b b b b b b b +=++++.19.（本题满分12分） 1995年正式确定每年4月23日为“世界图书与版权日”，设立目的是推动更多的人阅读和写作。

江苏省四校联考2025届高三最后一卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥β D ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥2．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．3．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ） A ．2 B ．2-C ．32D ．32-5．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-16．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ） A ．55B ．35C ．79D ．2358．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 3B ．36C 3D 239．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．110．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．511．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f =( ) A ．10B ．11C ．12D ．1312．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．99二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

十二区县重点2021届高三数学下学期毕业班联考试题〔二〕〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题〔5分×9〕1.全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，那么()UA B ⋂=〔 〕A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】此题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了根底知识、根本计算才能的考察. 【详解】={1,3}U C A -，那么(){1}U C A B =-应选：A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.设,x y ∈R ，那么“x y >〞是“ln ln x y >〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性，可得0x y >>，进而可得充分性和必要性. 【详解】解：ln ln 0x y x y >⇔>>，那么“x y >〞是“ln ln x y >〞 的必要不充分条件. 应选：B.【点睛】此题考察充分性和必要性的判断，考察对数函数单调性的应用，是根底题. 3.某组织局部学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100).假设低于60分的人数是18人，那么参加体能测试的学生人数是〔 〕A. 45B. 48C. 50D. 60【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出该班的学生数. 【详解】解：根据频率分布直方图，得低于60分的频率是〔＋〕×20＝， 所以该班的学生人数为18600.3=. 应选：D.【点睛】此题考察了频率分布直方图的应用问题，也考察了频率＝频数/样本容量的应用问题，是根底题目．4.832a x x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为112，那么实数a 的值是〔 〕A. ±1B. 1C. 2D. 2±【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据展开式中的常数项是112 求得a的值．【详解】解：由于82ax⎫-⎪⎭展开式中的通项公式为：()88318822r rr rrr rraa xxT C C--+-⎛⎫⋅-=-⎪⎝⎭=，令83rr--=，求得2r，可得它的展开式的常数项是()2282C a-，再根据展开式中的常数项是112 ，可得()2282112aC=-，求得1a=±，应选：A．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于根底题．5.抛物线24y x=的焦点到双曲线2221xya-=的一条渐近线的间隔是2，那么双曲线的实轴长是〔〕B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】首先根据题意求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的间隔 公式即可得到答案.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，双曲线2221x y a-=的渐近线方程为1y x a =±.那么(1,0)F 到渐近线0x ay ±=的间隔 21221d a ==+， 因为0a >，所以1a =，双曲线的实轴长为2. 应选：D【点睛】此题主要考察抛物线的焦点坐标，同时考察了双曲线的渐近线方程，属于简单题.6.函数()1sin ()1xxex f x e -=+的局部图像大致为〔 〕A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】计算特殊值(0)0f =，(1)sin1(1)01e f e -=>+，利用排除法可得是正确选项．【详解】(0)0f =，排除A 、D ；(1)sin1(1)01e f e -=>+，排除B ； 应选：C.【点睛】此题考察由函数解析式选择函数图象，解题时可通过特殊值结合排除法得出正确结论，有时可研究函数的性质如单调性、奇偶性、对称性等，函数值的正负及变化趋势等． 7.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，那么〔 〕A. ()1.1132(ln 3)log 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭B. ()1.1132log 2(ln 3)f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭C. ()1.113(ln 3)2log 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D. ()1.113(ln 3)log 22f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合偶函数的性质可得()133log 2log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由指数函数、对数函数的单调性可得 1.130log 21ln 322<<<<<，再利用函数单调性即可得解.【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()11333log 2log 2log 2f f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1.122>，2ln ln 3ln e e <<即1ln32<<，333log 1log 2log 3<<即30log 21<<，∴ 1.130log 21ln 322<<<<<，又函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()()()1.13log 2ln32f f f <<，∴()1.1132(ln 3)log 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭.应选：A.【点睛】此题考察了利用函数的单调性与奇偶性比拟函数值的大小，考察了对数函数、指数函数单调性的应用，属于中档题. 8.函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，假设函数()f x 在区间(0,)π上有且只有两个零点，那么ω的取值范围为〔 〕A. 713,66⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 611,56⎛⎫⎪⎝⎭D.611,56⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到666x πππωπω-<-<-，再根据函数()f x 在区间(0,)π上有且只有两个零点，得到不等式26πππωπ<-≤，解不等式即可. 【详解】因为0πx <<，所以666x πππωπω-<-<-.又因为函数()f x 在区间(0,)π上有且只有两个零点， 所以26πππωπ<-≤，解得：71366ω<≤. 应选：B【点睛】此题主要考察()()sin f x A x ωϕ=+的图象，同时考察了函数的零点，属于中档题.9.函数22(1)2,0()ln ,0x t x t x f x x x ⎧+++≤⎪⎨>⎪⎩，假设关于x 的不等式()f x t ≤的解集为[,][,]a b c d ，且b c <，27232t ab cd +-<，那么实数t 的取值范围为〔 〕 A. 54,167⎛⎫⎪⎝⎭ B. 55,168⎛⎫⎪⎝⎭ C. 5,116⎛⎫⎪⎝⎭D.14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】易知0t >，由表达式画出函数图像，再分类讨论y t =与函数图像的位置关系，结合不等关系即可求解.【详解】易知0t >，当0x ≤时，22221721()(1)224t t t f x x t x t x +--⎛⎫=+++=++⎪⎝⎭， ()f x 的图象如下图：①当直线y t =在图中1l 的位置时，2272124t t t t --<<，解得112t <<， 因为,a b 为方程22(1)20x t x t t +++-=的两根， 所以22ab t t =-，而1cd =.那么21127212232ab cd t t t t +-=-+-<， 即2644850t t -+<，解得1588t <<，所以1528t <<；②当直线y t =在图中2l 的位置时，22t t ≤且0t >，得102t <≤； 此时0b =，1cd =.那么112712232ab cd t t +-=-<，得516t >，所以51162t <≤. 综上所述：55168t <<. 应选：B【点睛】此题考察函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于难题. 二、填空题〔5分×6〕10.复数(1)23i z i +=-，那么复数z 的一共轭复数z =_________ 【答案】15i 22-+ 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法运算可得1522z i =--，再由一共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意()23(1)23151(1)(1)22i i i z i i i i ---===--++-， 所以复数z 的一共轭复数1522z i =-+. 故答案为：15i 22-+. 【点睛】此题考察了复数的运算及一共轭复数的概念，考察了运算求解才能，属于根底题. 11.过点(1,0)，倾斜角为π4的直线l 交圆22(1)(2)4x y -+-=于,A B 两点，那么弦AB 的长为_________【答案】 【解析】【分析】首先根据题意写出直线方程，求出圆心到直线的间隔 ，再利用AB =即可.【详解】由题知：直线:l 1y x =-，即10x y --=， 圆22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)，半径2r .圆心(1,2)到直线10x y --=的间隔 d ==所以22224222AB r d =-=-=. 故答案为：22【点睛】此题主要考察直线与圆截得弦长问题，同时考察了直线方程的点斜式，属于简单题. 12.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称粽子，古称“角黍〞，是端午节大家都会品味的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组成的，将它沿虚线对折起来，可以得到如下图粽子形状的六面体，那么该六面体的体积为______________42； 【解析】 【分析】由题意可知该六面体是由两个正四面体组合成的，求出棱长为2的正四面体的体积即可得解.【详解】由题意可知该六面体是由两个正四面体组合成的，如图，三棱锥A BCD -即为棱长为2的正四面体，取CD 中点E ，连接BE ，在BE 上取一点F ，使2BF FE =，连接AF ，易知33BE ==2233BF BE ==F 为BCD 的中心，AF 为该三棱锥的高，所以132BCDS CD BE =⋅=△，222232643AF AB BF ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭所以1126223333A BCD BCD V S AF -=⋅==△， 所以该六面体的体积为422A BCD V -=故答案为：23. 【点睛】此题考察了正四面体的几何特征的应用及体积的求解，考察了空间思维才能与转化化归思想，属于中档题.13.某校在高一年级一班至六班进展了“社团活动〞满意度调查〔结果只有“满意〞和“不满意〞两种〕，从被调查的学生中随机抽取了50人，详细的调查结果如表： 班号 一班 二班 三班 四班 五班 六班 频数451181012现从一班和二班调查对象中随机选取4人进展追踪调查，那么选中的4人中恰有2人不满意的概率为___________；假设将以上统计数据中学生持满意态度的频率视为概率，在高一年级全体学生中随机抽取3名学生，记其中满意的人数为X ，那么随机变量X 的数学期望是___________ 【答案】 (1). 1021 (2). 95； 【解析】 【分析】第一空：利用古典概型的概率公式计算即可；第二空：X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出分布列，进而通过数学期望计算公式即可得出.【详解】解：第一空：从一班和二班调查对象中随机选取4人进展追踪调查，那么选中的4人中恰有2人不满意的概率为2245491021C C P C ==； 第二空：在高一年级全体学生中随机抽取1名学生，其满意概率为3285663505P +++++==，X 的所有可能取值为0，1，2，3．()32805125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()2133236155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2233254255125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()332735125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 分布列如下：()3654279231251251255E X =+⨯+⨯=. 故答案为：1021；95. 【点睛】此题考察离散型随机变量的分布列与数学期望计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题.14.0x >，0y >，23x y +=，那么2x y xy+的最小值为_______【解析】 【分析】利用条件，将所求的式子化为2133x y y x ++，再应用根本不等式，即可求解. 【详解】0x ，0y >，23x y +=，2123x x x y y x y xx y xy +∴++==+2121261233333x y y x +=++≥+=， 当且仅当2233x y y x ==， 即3(61)3(66),510x y --==时，等号成立. 故答案为：2613+. 【点睛】此题考察应用根本不等式求最值，拼凑出积为定值是解题的关键，属于中档题. 15.如图，在ABC 中，2AB =，1AC =，D ，E 分别是直线AB ，AC 上的点，2AE BE =，4CD AC =，且2BD CE ⋅=-，那么BAC ∠=_________【答案】π3【解析】 【分析】变换()()52BD CE AB ACAC AB ⋅=-+-+，展开利用向量的运算法那么计算得到1cos 2BAC ∠=，得到答案. 【详解】()()()()52BD CE BA AD CA AE AB ACAC AB ⋅=++=-+-+222115822cos 52AB AB AC AC BAC =-+⋅-=-+∠-=-，解得1cos 2BAC ∠=， ()0,BAC π∠∈，故3BAC π∠=.故答案为：3π.【点睛】此题考察了求向量夹角，意在考察学生的计算才能和转化才能，表示()()52BD CE AB AC AC AB ⋅=-+-+是解题的关键.三、解答题16.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设b c =，2sin B A =， 〔1〕求sin B 的值 〔2〕求πsin 26B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【答案】〔1〕sin B =〔2〕16【解析】 【分析】〔1〕首先利用正弦定理得到2b =，代入余弦定理得到cos B =函数关系即可得到sin B 的值.〔2〕利用三角恒等变换公式计算即可得到答案.【详解】〔1〕在ABC 中，b c =，2sin B A =，所以2b =由余弦定理可得222222243cos 222b b b a c b B ac +-+-===又因为(0,)B π∈，所以sin 3B ==〔2〕sin 22sin cos 3B B B ==， 21cos 22cos 13B B =-=-所以111sin 2sin 2cos cos 2sin 66632326B B B πππ⎛⎫-=-=⋅+⋅= ⎪⎝⎭.【点睛】此题第一问考察正弦定理角化边公式和余弦定理，第二问考察三角恒等变换公式，同时考察了学生的计算才能，属于中档题.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且2CD =，1AB =，22BC =，1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点.〔1〕求证：//AN 平面PBC〔2〕求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值〔3〕在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 26，假设存在，求出DMDP的值；假设不存在，说明理由 【答案】〔1〕见解析；〔2〕23〔3〕存在，23DM DP = 【解析】 【分析】〔1〕首先过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，以A 为坐标原点，分別以AE ，AB ，AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出112,,22AN ⎛⎫=-⎪⎭和平面PBC 的法向量1n ，根据10AN n ⋅=即可证明//AN 平面PBC .〔2〕求出平面PAD 的法向量为2n ，再代入二面角公式计算即可得到答案.〔3〕首先假设线段PD 上存在一点M ，设(,,)M x y z ，DM DP λ=，得到(2222,1,)M λλλ--，根据直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为2626，求得23λ=，所以存在M ，且23DM DP =. 【详解】〔1〕过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，那么1DE =，以A 为坐标原点，分別以AE ，AB ，AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 如下图：那么(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(22,0,0)E ，(22,1,0)D -，(22,1,0)C ，(0,0,1)P 112,,22N ⎫-⎪⎭，112,,22AN ⎛⎫=- ⎪⎭，设平面PBC 的一个法向量为1(,,)n x y z =(0,1,1)BP =-，(22,0,0)BC =，那么110220BP n y z BC n x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1y =，解得：1(0,1,1)n =.因为111022AN n ⋅=-+=，所以1AN n ⊥ 又AN ⊄平面PBC ，所以//AN 平面PBC . 〔2〕设平面PAD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，因为(0,0,1)AP =，(21,0)AD =-，所以220220AP n z AD n y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，解得2n =.所以121212222cos ,3||||32n n n n n n ⋅<>===⋅.即平面PAB 与平面PBC所成锐二面角的余弦值23. 〔3〕假设线段PD 上存在一点M ，设(,,)M x y z ，DM DP λ=，[0,1]λ∈.因为(1,)(x y z λ-+=-，所以,1,)M λλ-- 那么(,2,)CM λλ=--因为平面PBC 的一个法向量1(0,1,1)n = 所以11262CM n CM n ⋅==⋅， 整理得：22150240λλ-+=，所以(32)(712)0λλ--=，因为[0,1]λ∈，所以23λ=. 所以存在M ，且23DM DP =.【点睛】此题主要考察利用立体几何向量法证明线面平行和二面角的求法，同时考察了线面角的求法，考察了学生的计算才能，属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a ba b +=>>的离心率是2，短轴长为2，假设点A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，动点(,)M a t ，(t ≥，直线AM 交椭圆E 于P 点.〔1〕求椭圆E 的方程〔2〕①求证：OM BP ⋅是定值；②设ABP △的面积为1S ，四边形OBMP 的面积为2S ，求12S S 的最大值.【答案】〔1〕2212x y +=〔2〕①见解析；②1【解析】 【分析】〔1〕由可得b 的值，再由离心率得到,a c 关系，转化为,a b 关系，即可求出椭圆方程； 〔2〕①由〔1〕得()A M ，求出直线AM 方程，与椭圆方程联立，求出点P 坐标，进而得出,OM BP 坐标，即可证明结论；②12,122p ABM AOP S a y S S S =⋅⋅=-△△，将12,S S 表示为关于t 的函数，进而得出12S S 关于t的函数，整理利用t 的范围，即可求解. 【详解】〔1〕∵短轴长为2，∴1b =，∵222211,222c e c a b a a ==∴== ∴22a =，∴椭圆方程为2212x y +=〔2〕①法一：∵AM k =设AM l：y x =+∴2212x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()22224280t x x t +++-=∴2228(4p t x t -=+∴p x =∴244p p ty x t =+=+∴2224,44t P t t ⎛⎫⎪++⎝⎭∴2224(2,),044t OM BP t t t ⎛⎫-⋅=⋅= ⎪++⎝⎭②∵121142224ptS a yt=⋅⋅=⋅=+2221142244 ABM AOPtS S S tt t =-=⋅-=-++△△∴212221114114242St tS===≤+-+当t=时等号成立，∴12SS的最大值为1法二：①设AM：(y k x=()2222221124202(xyk x x ky k x⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩)222212421212A P Pkkx x xk k--=⇒=++(p py k x=+=∴)22212,1212kPk k⎛⎫-⎪⎪++⎝⎭其中)M，B，∴222,1212BPk k⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，(2,2)OM=，∴0BP OM⋅=②12211|4|||||221212PkS AB yk k==⋅=++()2 22|2|1411||2212 ABM AOPk k S S Sk+ =-=⋅-=+△△∴()212222|4|1221214|2|14S k k S k k k k +=⋅=+++由于t ≥AM 的斜率12k ≥∴12S S 的最大值为1，当且仅当12k =等号成立. 【点睛】此题考察椭圆的HY 方程、直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算，以及定值最值问题，考察计算求解才能，属于中档题.19.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，530S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21n n T =-.〔1〕求数列{}n a ，{}n b 的通项公式. 〔2〕设()()111nn n n b c b b +=++，数列{}n c的前n 项和为n M ，求n M .〔3〕设()(1)ln nn n n n d a b S =-+，求数列{}n d 的前n 项和.【答案】〔1〕2n a n =；12n n b -=〔2〕11221n n M =-+〔3〕1231(1)ln(1)(2)99n n n n ++-+--⋅- 【解析】 【分析】〔1〕由题意结合等差数列的前n 项和公式、通项公式即可求得n a ；由n b 与n T 间的关系可得n b ； 〔2〕由题意1112121n n n c -=-++，由裂项相消法即可得解；〔3〕由题意将n d 分为(1)nn n a b -与(1)ln nn S -的两局部，分别利用错位相减法、裂项相消法求出其前n 项和n A 、n B ，即可得解. 【详解】〔1〕数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，12a =，∴515451010302S a d d ⨯=+=+=，∴2d =， ∴()112n a a n d n =+-=；对数列{}n b ，当1n=时，111211b T ==-=，当2n ≥时，()()11121212n n n n n n b T T ---=-=---=， 当1n=时也满足上式，∴12n n b -=；〔2〕由题意()()()()1112112121n n n n n n n b c b b --+==++++()()()()11121211121212121n n n n n n ---+-+==-++++， ∴0112111111111212121212121221n n n n M -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 〔3〕由题意(1)(ln )(1)(1)ln n n n n n n n n n n d a b S a b S =-+=-+-， ∵1(22)(1)22n n a a n n S n n ++===+，∴[]ln ln (1)ln ln(1)n S n n n n =+=++， 而1(1)(1)22(2)n n n n n n a b n n --=-⋅⋅=⋅-设数列{(1)}n n n a b -的前n 项和为n A ，数列{(1)ln }n n S -的前n 项和为n B ，那么1231(2)2(2)3(2)(2)n n A n =⋅-+⋅-+⋅-++⋅-①，()234121(2)2(2)3(2)1(2)(2)n n n A n n +-=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-②， ①-②得123131(2)(2)(2)(2)(2)n n n A n +=⋅-+-+-++--⋅-11(2)1(2)231(2)(2)1(2)33n n n n n ++⎡⎤---+⎣⎦=-⋅-=--⋅---， ∴1231(2)99n n n A ++=--⋅-， 当n 为偶数时，(ln1ln 2)(ln 2ln 3)(ln 3ln 4)[ln ln(1)]ln(1)n B n n n =-+++-+++++=+；当n 为奇数时， (ln1ln 2)(ln 2ln 3)(ln 3ln 4)[ln ln(1)]ln(1)n B n n n =-+++-++-++=-+；由以上可知(1)ln(1)n n B n =-+所以数列{}n d 的前n 项和1231(1)ln(1)(2)99n n n n n A B n +++=-+--⋅-. 【点睛】此题考察了利用根本量运算求等差数列的通项及利用n a 与n S 的关系求数列通项，考察了裂项相消法、错位相减法及分组求和法求数列前n 项和的应用，属于中档题.20.设函数()(1)(1)mf x x a x =+--的定义域为(1,)-+∞，其中0m ≥，a ∈R . 〔1〕假设3m =，判断()f x 的单调性；〔2〕当0m =，设函数()ln [()1]x g x x f x e =+-⋅在区间(1,)+∞上恰有一个零点，求正数a 的取值范围；〔3〕当0a =，1m 时，证明：对于*n ∀∈N ，有12111m n k k m m n k k +=⎡⎤-⎛⎫<+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕10a e<<〔3〕见解析 【解析】【分析】 〔1〕由题意求导后，按照0a ≤、0a >分类，解出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解； 〔2〕对()g x 求导，令2(1,)()1,xh x ax e x -∈+∞=，求导后可得()h x 在(1,)+∞上单调递减，按照1a e ≥、10a e<<，结合函数单调性、零点存在性定理即可得解； 〔3〕令()()x f x mx ϕ=-，求导后可得对(1,0)x ∀∈-，恒有1(1)m x mx m <+-<，依次取1111,,,,2341x n =----+，求和即可得证. 【详解】〔1〕3m =时，()3()(1)1f x x a x =+--，()1,x ∈-+∞，那么2()3(1)f x x a '=+-，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()1,-+∞上单调递增；②当0a >时，令()0f x '=，11x =-+，21x =--，令()0f x '>，1x ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，1,1x ⎛∈--+ ⎝∴函数()f x 的单调增区间为1⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,1⎛--+ ⎝； 综上，当0a ≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为1⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,1⎛--+ ⎝； 〔2〕由题意()ln (1)xg x x a x e =--，那么211()xx ax e g x axe x x -'=-=， 令2(1,)()1,x h x ax e x -∈+∞=，2()20x x h x axe ax e '=--<，∴()h x 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)1h x h ae <=-， ①假设1a e≥，那么()0h x <即()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)0g x g <=，∴()0<g x ，不合题意； ②假设10a e <<，那么(1)0h >，21ln 211ln 1ln 1(ln )0a h a e a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴根椐零点存在性定理011,ln x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得0()0h x =， 即011,ln x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得00()g x '=， 当0(1,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 在0(1,)x 上单调递增，且(1)0g =，∴()0>g x ，函数()g x 无零点；当0(,)x x ∈+∞时， ()0g x '<，()g x 在0(,)x +∞上单调递减，其中0()0g x >，令()ln 1p x x x =-+，那么()111x p x x x-=-='， ∴()p x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()10p x p ≤=，∴ln 1x x ≤-，∴1ln 11111ln ln ln ln 1ln 1ln 10a g a e a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--<---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 根据零点存在性定理可得0(,)x x ∈+∞时有且仅有一个零点，符合题意； 综上：10a e<<； 〔3〕当1m >时，令()()x f x mx ϕ=-，那么1()(1)1m x m x ϕ-'⎡⎤=+-⎣⎦当(1,0)x ∈-时，恒有()0x ϕ'<，即()()x f x mx ϕ=-在(1,0)-上单调递减，∴(0)()(1)x ϕϕϕ<<-对(1,0)x ∀∈-恒成立.又(0)1ϕ=，(1)m ϕ-=，故1()x m ϕ<<，即对(1,0)x ∀∈-，恒有1(1)m x mx m <+-<， 在此不等式中依次取1111,,,,2341x n =----+，得： 11122m m m ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，11133m m m ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，11144m m m ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭， 11155m m m ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，11111m m m n n ⎛⎫<-+< ⎪++⎝⎭， 将以上不等式相加得：1211n n k m n nm k k +=⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭∑，即12111m n k k m m n k k +=⎡⎫-⎛⎫<+<⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎢⎣⎭∑. 【点睛】此题考察了导数的综合应用，考察了逻辑推理才能与运算求解才能，合理构造新函数是解题关键，属于难题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。