2017年国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第58届)(图片版,含答案)

2017年浙江高中数学竞赛一，填空题（每题8分，共80分）1. 在多项式()()610321x x x 的展开式+-的系数为______.2. 已知()5log35log172+=-a a ，则实数a=_________.3. 设()[]1,02在b ax x x f ++=中有两个实数根，则b a 22-的取值范围是___________.4. 设()1sin sin sin cos cos cos sin ,,222222=+-+-∈y x yx y x x x R y x 且，则=-y x _______. 5.已知两个命题，命题()()0log :>=x x x f p a 函数单调递增；命题函数:q ()012>++=ax x x g ()R x ∈,q p q p ∧∨为真命题，若为假命题，则实数a 的取值范围为____.6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛850，中所有有理想的集合，对简分数()1,,=∈q p S pq，定义函数,1p q p q f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则()32=x f 在S 中根的个数为___________.7. 已知动点P ,M,N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值为__________.8. 已知棱长为1的正四面体P —ABC,PC 的中点为D,动点E 在线段AD 上，则直线与平面ABC 所成的角的取值范围为__________.9.已知平面向量0.10,321,,,=⋅<<===c b c b a ρρρρρ若λ()c b λλ---1所有取不到的值的集合为____________.10. 已知()()()0421212,0.1,0,2222=---+-+⎩⎨⎧≥-<-=x a x x f x x f x x x x x f 方程有三个根.321x x x <<若()12232x x x x -=-，则实数a=_______.二. 解答题11. （本题满分20分）设()()()，⋯=+=+=+,2,1,316,322121n x f x x f x x f n n 对每个n ，求()x x f n 3=的实数解。

第一届（1959年）罗马尼亚布拉索夫（Bra şov，Romania）1.求证314421++n n 对每个自然数n 都是最简分数。

（波兰）2.设A x x x x =--+-+1212，试在以下3种情况下分别求出x 的实数解：a)2=A ；b)A =1；c)A =2。

（罗马尼亚）3.a 、b 、c 都是实数，已知关于cos x 的二次方程cos cos 2=++c x b x a 试用a,b,c 作出一个关于cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a =4,b =2,c =-1时比较cos x 和cos 2x 的方程式。

（匈牙利）4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c ，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

（匈牙利）5.在线段AB 上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以AM 、MB 为底作正方形AMCD 、MBEF ，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P 、Q ，设这两个外接圆又交于M 、N 。

a)求证：AF 、BC 相交于N 点；b)求证：不论点M 如何选取，直线MN 都通过定点S ；c)当M 在A 与B 之间变动时，求线段PQ 的中点的轨迹。

（罗马尼亚）6.两个平面P 、Q 的公共边为p ，A 为P 上给定一点，C 为Q 上给定一点，并且这两点都不在直线p 上。

试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于CD ），使得它有一个内切圆，并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。

（捷克斯洛伐克）第二届（1960年）罗马尼亚锡纳亚（Sinaia，Romania）1.找出所有具有下列性质的三位数N ：N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。

（保加利亚）2.寻找使下式成立的实数x ：（匈牙利）()92211422+<+-x x x 3.直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ，将它分成n 等份（n 为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A 到BC 边的高长为h ，求证：（罗马尼亚）()a n nh14tan 2-=α4.已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、h b 以及从A 引出的中线长m a ，求作三角形ABC 。

2017年波罗的海地区数学奥林匹克试题
2017年波罗的海地区数学奥林匹克试题
波罗的海地区数学奥林匹克(BalticWay Mathematical Contest)始于1990年, 通常在每年11月举行. 不同于许多国际性数学竞赛, 该竞赛是一个纯粹的团体赛. 每队由5名队员组成,在4.5个小时内合作解决20个问题, 由代数、组合、几何、数论各5道题组成. 最初该竞赛只有三个国家参与, 但逐渐, 波罗的海周边的国家陆续受邀参加, 包括德国、俄罗斯、冰岛也在参加者之列. 有些年份还会有一些特邀嘉宾国参加. 该赛事由常规成员国轮流主办.
2017年是该赛事的第28届, 在丹麦举行. 下面是此次比赛的试题:。

高中数学竞赛-历届IMO试题（1-46届）及答案1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。

1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。

2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC 边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。