国际数学奥林匹克IMO竞赛试题

1．△ABC的内心为I，三角形内一点P满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证，AP ≥AI，而且等号当且仅当P=I时成立．证：∠PBC+∠PCB= 12(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而P，B，C，I四点共圆．但由内外角平分线相垂直知B，C，I与BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT是这个圆的直径，IT的中点O为圆心．由于A，I，T共线(∠BAC的平分线)，且P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO，PO=IO，故AP≥AI．等号当且仅当P为线段AO与圆周的交点即P=I时成立．2．正2006 边形P 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P 的边界分成的两部分各含P的奇数条边．P的边也是好的．设P被不在P的内部相交的2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P 的边数记作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．考虑任一好三角形ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的P 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而A-B 段上P 的边数为奇数，故A-B 段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于20062=1003 个．设P=A1A2…A2006，用对角线A1A2k+1(1≤k≤1002)及A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．3．求最小实数M ，使得对一切实数 a ，b ，c 都成立不等式2222222222|()()()|()ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-++≤解：222222()()()ab a b bc b c ca c a -+-+-()()()()a b b c c a a b c =----++．设a b x b c y c a z a b c s -=-=-=++=，，，，则22222221()3a b c x y z s ++=+++． 原不等式成为 22222()9||(0)M x y z s xyzs x y z +++++=≥．x y z ，，中两个同号而与另一个反号．不妨设 x y ，≥0．则2221||()2z x y x y x y =+++，≥，2()4x y xy +≥．于是由算术－几何平均不等式 222222223()(())2x y z s x y s +++++≥＝22222111(()()())222x y x y x y s ++++++ 6223414())42()||162||8x y s x y s xyzs +=+≥(≥ 即9232M =时原不等式成立． 等号在21s x y ===，，2z =-，即::(23):2:(23)a b c =+-时达到，故所求的最小的9232M =． 4．求所有的整数对（x y ，），使得212122x x y +++=．解：对于每组解（x y ，），显然0x ≥，且()x y -，也是解．0x =时给出两组解(02)±，．设x y ，>0，原式化为12(21)(1)(1)x x y y ++=+-．1y +与1y -同为偶数且只有一个被4整除．故3x ≥，且可令12x y m ε-=+ ，其中m 为正的奇数，1ε=±．代入化简得 2212(8)x m m ε--=-．若1ε=，2801m m -=≤，．不满足上式．故必1ε=-，此时22212(8)2(8)x m m m -+=--≥，解得3m ≤．但1m =不符合，只有3m =，4x =，23y =．因此共有4组整数解(02)(423)±±，，，．5．设()P x 为n 次(n >1)整系数多项式，k 是一个正整数．考虑多项式()(((())))Q x P P P x = ，其中 P 出现k 次．证明，最多存在 n 个整数t ，使得()Q t t =．证：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立．设有整数0x 使得00()Q x x =，00()P x x ≠．作递推数列 1()(012)i i x P x i +== ，，．它以 k 为周期．差分数列1(12)i i i x x i -∆=-= ，，的每一项整除后一项．由周期性及10∆≠，所有||i ∆ 为同一个正整数u ．令121111min{}m k m m m m m m x x x x u x x x x x x -++-==-=-= ，，，，，．数列的周期为 2．即0x 是 P 的2-周期点．设 a 是P 的另一个2-周期点，() b P a =(允许b =a )．则0a x -与1b x -互相整除，故01||||a x b x -=-，同理01||||b x a x -=-．展开绝对值号，若二者同取正号，推出01x x =，矛盾．故必有一个取负号而得到01a b x x +=+．记01x x C +=，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程 ()P x x C +=的根．由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次．故得本题结论．6．对于凸多边形P 的每一边b ，以b 为一边在P 内作一个面积最大的三角形．证明，所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍．证：过P 的每个顶点有唯一的直线平分P 的面积，将该直线与P 的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)．每两条面积平分线都交于 P 内．P 可 看成一个 2n 边形122-12n n A A A A ，每条对角线i i n A A +是P 的面积平分线(i =1，2，…，n ，2i n i A A +=)．设i i n A A +与11i i n A A +++交于 i O (i n i O O +=)，由面积关系得到， 11()()i i i i i n i n S O A A S O A A ++++=△△，11i i i i i i n i i n O A O A O A O A ++++= ，故i i n i i O A O A +和11i i n i i O A O A +++ 中必有一个不小于 1，于是以 1i i A A +为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积 11111()max{()()}2()i i i n i i i n i i i i i S A A S A A A S A A A S O A A +++++++≥△，△≥△．对于每条有向线段i i n A A + ，P 内部的每一点T 或在它的左侧或在它的右侧．由于T 在11n A A + 和12111n n n A A A A +++= 的相反侧，故必有i 使得T 在i i n A A + 和11i i n A A +++ 的相反侧，从而Ｔ在1i i i O A A +△或1i i n i n O A A +++△中．即211ni i i i O A A P +=⊇ △．于是 221111()2()2()n nii i i i i i S A A S O A A S P ++==∑∑≥△≥ P 中同一边上的各个1()i i S A A +之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．。

imo数学竞赛试题及答案IMO数学竞赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可以是：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：ABC3. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 236B. 284C. 312D. 376答案：B二、填空题4. 一个数的平方根是3，那么这个数是_________。

答案：95. 一个等差数列的前三项分别是2，4，6，那么它的第10项是_________。

答案：22三、解答题6. 证明：对于任意的正整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 总是能被30整除。

解答：首先，我们可以将 \( n^5 - n \) 分解为 \( n(n^4 - 1) \)。

接下来，我们注意到 \( n^4 - 1 \) 可以表示为 \( (n^2 +1)(n^2 - 1) \)。

而 \( n^2 - 1 \) 可以进一步分解为 \( (n +1)(n - 1) \)。

因此，我们有：\( n^5 - n = n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) \)。

由于 \( n \) 是正整数，\( n - 1 \) 和 \( n + 1 \) 也是整数。

这意味着 \( n^5 - n \) 中至少包含因子2和3（因为 \( n^2 + 1 \) 至少是奇数，从而至少包含一个2的因子）。

因此，\( n^5 - n \)可以被30整除。

7. 一个圆的半径是15厘米，求圆的面积。

解答：圆的面积可以通过公式 \( A = \pi r^2 \) 计算，其中\( A \) 是面积，\( r \) 是半径，\( \pi \) 是圆周率，约等于3.14159。

将给定的半径 \( r = 15 \) 厘米代入公式，我们得到：\( A = \pi \times 15^2 = \pi \times 225 \approx 706.86 \)平方厘米。

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第2届）
1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和．
2.寻找使下式成立的实数x：
3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n 等份（n为奇数），令为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：
tan = 4nh/(an2 - a).
4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC．
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）．X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点．
a.求XY中点的轨迹；
b.求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹．
6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上．令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积．
(a) 求证：V1不等于V2；
(b) 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般．
7.等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD．令AB=a，CD=c，梯形的高为h．X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角．试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在．。

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第25届）
1.求证0 ≤yz + zx + xy - 2xyz ≤7/27，其中x，y，z 是非负实数并满足x + y + z = 1.
2.试找出所有的正整数对（a，b）满足ab(a+b)不能被7 整除，但(a+b)7 - a7 - b7可被77整除．
3.给定平面上的点O、A．平面上的每个点都被染色成有限种颜色中的一个．设X是平面上一给定点，以O为圆心的圆C(X)的半径是OX + (∠AOX)/OX，其中角∠ AOX 是用弧度衡量（即范围是[0，2л)），求证能够找到不在OA上的一点X使得它的颜色出现在圆C(X)的圆周上．
4.凸四边形ABCD的边CD与以AB为直径的圆相切，求证：AB与以CD为直径的圆相且当且仅当BC和AD是平行的．
5.设d 是平面上一凸n 边形（n>3）的所有对角线的长度之和，p 是它的周长．求证:
n - 3 < 2d/p < [n/2] [(n+1)/2] - 2，
其中[x]表示不超过x的最大整数．
6. 0 < a < b < c < d 是四个奇数且ad = bc. 若a + d = 2k及b + c = 2m对某k、m成立，则 a = 1.
1。

国际数学奥林匹克（IMO ）竞赛试题（第38届） 1. 在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点．这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像棋盘一样）．对于任意一对正整数m 和n ，考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m 和n ，且其两腰都在这些正方格的边上． 设S 1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，S 2则为所有白色部分的总面积． 令f(m ，n)=|S 1-S 2|，o a. 当m ，n 同为正偶数或者同为正奇数时，计算f(m ，n)；o b. 求证f(m ，n)≤max(m ，n)/2对所有m ，n 都成立；o c. 求证不存在常量C 使得f(m ，n)．2. 设∠A 是△ABC 中最小的內角．B 和C 将此三角形的外接圆分成两个弧．U 为落在不含A 点的弧上且异于B ，C 的一点．线段AB ，AC 的垂直平分线分别交AU 于V ，W ． 直线BV ， CW 相交于T ，求证：AU ＝TB ＋TC ．3. x 1，x 2，...，x n 是正实数满足|x 1+x 2+...x n |=1 且对所有i 有|x i |≤(n+1)/2． 试证明存在x 1，x 2，...，x n 的一个 排列y 1，y 2，...，y n 满足|y 1+2y 2+...+ny n |≤(n+1)/2．4. 一个n×n 的矩阵称为一个n 阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合S={1，2，...，2n-1}且对于每一个i=1，2，...，n ，它的第i 列与第i 行中的所有元素合起来恰好是S 中的所有元素．求证：o a. 不存在n=1997阶的银矩阵；b. 有无限多个n ，存在n 阶银矩阵．5. 试找出所有的正整数对(a ，b)满足6. 对每个正整数n ，将n 表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n 的上述不同表示法的个数．如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的．例如，f(4)=4，因为4恰有下列四种不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1．求证：对于任意整数n ≥3， 22/4/22(2)2nn n f <<。

imo考试题及答案# IMO考试题及答案## 题目1：数列问题**题目描述：**设 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 是一个正整数序列，满足 \(a_1 = 1\) 且对于所有 \(i \geq 2\)，有 \(a_i = a_{i-1} + 2^{i-1}\)。

求 \(a_n\) 的值。

**解答：**首先，我们可以通过递推关系式计算序列的前几项：- \(a_1 = 1\)- \(a_2 = a_1 + 2^1 = 1 + 2 = 3\)- \(a_3 = a_2 + 2^2 = 3 + 4 = 7\)- \(a_4 = a_3 + 2^3 = 7 + 8 = 15\)观察上述计算结果，我们可以发现 \(a_i\) 的值实际上是 \(2^i - 1\)。

因此，对于任意的 \(n\)，我们有：\[ a_n = 2^n - 1 \]所以，\(a_n\) 的值为 \(2^n - 1\)。

## 题目2：几何问题**题目描述：**在三角形 \(ABC\) 中，\(AB = AC\)，点 \(D\) 在 \(BC\) 上，使得\(BD = 2DC\)。

求证：\(AD\) 平分 \(\angle BAC\)。

**解答：**由于 \(AB = AC\)，三角形 \(ABC\) 是等腰三角形，因此\(\angle ABC = \angle ACB\)。

设 \(\angle ABC = \angle ACB =\theta\)，则 \(\angle BAC = 180^\circ - 2\theta\)。

由于 \(BD = 2DC\)，我们可以设 \(DC = x\)，则 \(BD = 2x\)，因此 \(BC = 3x\)。

根据角平分线定理，如果 \(AD\) 平分 \(\angleBAC\)，则有：\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]由于 \(AB = AC\)，我们有：\[ \frac{2x}{x} = 1 \]这与 \(AB = AC\) 相符合，因此 \(AD\) 确实平分 \(\angle BAC\)。

imo数学奥林匹克历届试题IMO（International Mathematical Olympiad）是国际数学奥林匹克竞赛的英文简称，是世界范围内最具影响力的数学竞赛之一。

自1959年起，IMO每年都在不同国家举办，每个国家都会派出一支由高中生组成的代表队参赛。

这场竞赛旨在挑战学生的数学智力、培养他们的创新思维和解决问题的能力。

在这篇文章中，我们将回顾IMO数学奥林匹克的历届试题，展示一些经典问题的解决方法。

1. 第一届IMO（1959年）题目：证明当n为整数时，n^2 + n + 41为素数。

解析：我们可以通过代入不同的整数n来验证这个结论。

当n=1时，结果为43，为素数；当n=2时，结果为47，同样为素数。

我们可以继续代入更多的整数，发现每次结果都是素数。

虽然这种代入法不能证明对于所有的整数n都成立，但是通过大量的例子验证，我们可以有很高的信心认为这个结论是成立的。

2. 第十届IMO（1968年）题目：证明不等式(1+1/n)^n < 3，其中n是大于1的整数。

解析：我们可以通过数学归纳法证明这个不等式。

首先，当n=2时，不等式成立：(1+1/2)^2 = 2.25 < 3。

假设当n=k时不等式成立，即(1+1/k)^k < 3。

我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立。

通过观察(1+1/k)^k，我们可以发现随着k的增大，(1+1/k)^k的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。

而e约等于2.71828，小于3。

因此，当n=k+1时，(1+1/(k+1))^(k+1) < (1+1/k)^k < 3。

根据数学归纳法原理，我们可以得出对于所有的n大于1的整数，不等式(1+1/n)^n < 3成立。

3. 第二十二届IMO（1981年）题目：设a、b、c是一个正数的三个边长，证明不等式(a^2 + b^2)/(a+b) + (b^2 + c^2)/(b+c) + (c^2 + a^2)/(c+a) ≥ a + b + c。

29届imo试题及答案第29届国际数学奥林匹克（IMO）试题及答案一、试题1. 第一题：给定一个正整数 \( n \)，求所有整数对 \( (a, b) \) 的数量，使得 \( a^2 + b^2 \) 能被 \( n \) 整除。

2. 第二题：设 \( f(x) \) 是定义在实数域上的连续函数。

证明：如果对于所有\( x \)，都有 \( f(x) \leq f(x+1) \)，则 \( f(x) \) 在\( \mathbb{R} \) 上有界。

3. 第三题：设 \( P \) 是一个凸四边形，\( A, B, C, D \) 分别是 \( P \) 的四个顶点。

设 \( M \) 是对角线 \( AC \) 的中点，\( N \) 是对角线 \( BD \) 的中点。

证明：\( M \) 和 \( N \) 之间的距离小于或等于 \( P \) 的内切圆半径。

4. 第四题：设 \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) 是一个正整数序列，满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{i+1} = a_i + a_{i-1} \) 对于 \( i \geq 2 \)。

求证：\( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots +\frac{1}{a_n} \) 是一个整数。

5. 第五题：给定一个正整数 \( n \)，求所有整数 \( k \) 的数量，使得\( k^2 \) 能被 \( n \) 整除。

6. 第六题：设 \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) 是一个函数，满足\( f(f(x)) = f(x+1) \) 对于所有 \( x \in \mathbb{N} \)。

证明：\( f(x) = x + c \) 对于某个常数 \( c \)。

二、答案1. 第一题答案：设 \( d \) 是 \( n \) 的任意一个除数。