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第九章多体问题
迄今为止，我们的讨论墓本土局限于单拉子体系。本章将把讨论推广到多拉子休系。自然界实际存在的体来一般都是多杜子体来。因此童子力学多体问题的研究不仅有巨夭的理论意义，而且有极大的实际价值。
但是，应该指出，量子力学的多体问题远比单休问题复杂。这不仅因为，当拉子之问具有相互作用时，多拉子体系的薛定译方程一般无法求解，通常只能借助各种近似方法，按体来的各种不同性质以及和实比较时要求的绮确度，求近似解。而且还因为，多杜子体系，特All 是全同拉子休余，还具有新的单拉子休系所没有的特性。而这些特性又要求发展一些断的处理方法，比方二次量子化方法，等等。
另外还要指出，本章的内容不同于量子统计物理学。本章只限于讨论温度为零的情况，只讨论真空平均值或者纯量子态的平均值，不涉及系综平均值，不涉及温度。 本章将先讨论全同拉子的一般特性，然后讨论两个确单的多拉子休来一一氮分子和氮原子的问题，介绍海特(Heitler 卜伦敦(London)理论，托马斯(Thomas )-费米f Fermi)方法。再进一步讨论研究全同拉子体系最重要的表象一一杠子数表象，介绍二次量子化方法。以及自洽场理论，哈特利(Hart ree)一福克(Fock)近似，巴T (Bardeen)-库柏(Cooper)--许瑞弗(Schriffer )超导理论，玻戈留博夫(Bogoiiubov)-华拉ti (Valatin )u,v 正则变换方法，这是非微扰理论中最重要的方法之一。另外，还将介绍超流理论和近似二次量子化方法。本章的许多理论和方法、即使现在，仍然在许多领域中有重要的实月价值。
9.1全同粒子的性质
我们称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内案固有属性完全相同的粒子为全同杜子。例如所有的电子是全同粒子，所有质子是全同粒子，但质子和电子不是全同粒子。 全同粒子的最重要的特点是:在同样的物理条件下，它们的行为完全相同。因而用一个全同粒子代换另一个粒子，不引起物理状态的变化。
在经典力学中，即使是全同粒子，也总是可以区分的。因为我们总可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。在量子力学中，由于波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠。在两个波重叠在一起的区域，无法区分哪个是第一个粒子的波，哪个是第二个粒子的波。也就是说，无法区分哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。因此，全同粒子在量子力学中是不可区分的。我们不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
从全同性原理出发，可以推知.由全同粒子组成的体系具有下述性质: (1)全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。
讨论一个由N 个全同粒子组成的体系，第i 个粒子的全部变量用i q 表示，i q 包括坐标、
自旋等等，体系的哈密顿算符是),,,,,,,,(ˆ1t q q q q H n
j i ，由于全同粒子不可区分性，将两个粒子
i
和]互换，体系的哈密顿算符保持不变:
),,,,,,,,(1t q q q q H n j i =),,,,,,,,(1t q q q q H n i j (9. 1 .1)
(9.1.1)式表示哈密顿算符具有交换不变性。全同粒子体系的薛定愕方程是
=∂∂t
t q q q q i n j i )
,,,,,,(1
ϕ
),,,,,,,,(1t q q q q H n j i ),,,,,,,,(1t q q q q n j i ϕ （9.1.2）
(2)交换算符ij
P ˆ 引入交换算符ij
P ˆ表示将第i 个粒子和第j 个粒子相互交换的运算： ij P ˆ),,,,,,,,(1t q q q q n j i ϕ=),,,,,,,,(1t q q q q n
i j ϕ (9.1.3)
ϕ是任意波函数，由H
ˆ的交换不变性得： ij P ˆ),,,,,,,,(ˆ1t q q q q H n
j i ),,,,,,,,(1t q q q q n j i ϕ= ),,,,,,,,(ˆ1t q q q q H n
j i ij P ˆ),,,,,,,,(1t q q q q n j i ϕ （9.1.4） 0]ˆ,ˆ[=H P ij
(9.1.5) 交换算符ij P ˆ与H ˆ对易。另外，将交换算符ij
P ˆ作用于薛定谔方程上，得 ϕϕϕij
ij ij P H H P t
i P ˆˆˆˆˆ==∂∂ （9.1.6） （9.1.6）式表示，若ϕ是薛定谔方程的解，则ϕij
P ˆ也是薛定谔方程的解。有 ϕij P =λϕ （9.1.7） (9. 1. 7)式也是交换算符的本征方程。为求出交换算符的本征值λ，利用
ϕϕλϕ==22ˆij
P (9. 1 .8) 得 12
=λ ，1±=λ 即
ϕij P = ϕ (9. 1. 9) （N j i ,,2,1 =≠）
ϕij P =ϕ- (9.1，10) (9. 1.9)式表示，两粒子互换时波函数不变，ϕ是j i q q ,交换的对称函数。(9. 1. 10)式表示，两粒子互换时波函数反号, ϕ是j i q q ,交换的反对称函数。由此得出，全同粒子所组成的体
系的状态只能用交换对称的波函数或交换反对称的波函数描述。ij
P ˆ是守恒量，它的本征值是1±。
(3)全同粒子体系波函数的对称性不随时间变化而变化。的确，若t=0时波函数)
0(=t ϕ
是对称波函数)0(s ϕ,则由于H ˆ交换对称，因此s H ϕ对称，由薛定谔方程(9. 1.2)式可见，
t
∂∂ϕ
也对称。将ϕ（t ）按t 展开到一级， dt t
t t s 0|)0()(=∂∂+
=ϕ
ϕϕ (9.1.11) 由(9.1. 11)式得)(t ϕ交换对称，因为右端两项都是对称波函数。按这样的办法重复论证，可以证明以后任何时刻的波函数都是对称波函数。同理，如果)0(=t ϕ是反对称波函数)0(A ϕ则H )0(A ϕ也是反对称波函数，
t
∂∂ϕ
反对称，)(t ϕ反对称。这就证明了描述全同粒子体系波函数的对称性不随时间的改变而改变。 (4)玻色子和费米子。
实验证明，由电子、质子、中子这些自旋为2/ 的粒子以及其他自旋为2/ 的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系，它的波函数是反对称的。这些自旋为2/ 奇数倍的粒子称为费米子。在量子统计中，由费米子组成的体系服从费米一狄拉克统计。 实验还证明，由光子，介子等自旋为 的偶数倍的粒子组成的 全同粒子体系，它的波函数是对称的。这些自旋为 偶数倍的粒子称为玻色子。在量子统计中，由玻色子组成的体系服从玻色一爱因 斯坦统计。
(5)全同粒子体系的波函数，泡利原理。 先讨论由两个全同粒子组成的体系。在不考虑粒子之间相互作用的条件下，两粒子体系的哈密顿算符是
)(ˆ)(ˆˆ2010q H q H H += (9.1.12) 0ˆH 是每个粒子的哈密顿算符，因为是全同粒子，所以两个粒子的 哈密顿算符相同。0
ˆH 的本征方程是 )()()(1110q q q H i i i ϕεϕ= (9.1.13) )()()(2220q q q H j j j ϕεϕ= （9.1.14） 当第一个粒子处在i 态，第二个粒子处在j 态时，体系的能量是
j i E εε+= (9.1 .15) 体系的波函数是
)()(),(2121q q q q j i ϕϕϕ= (9.1.16)
),(21q q ϕ满足
H
ˆ),(21q q ϕ=E ),(21q q ϕ (9.1.17)
如果将第一个粒子和第二个粒子互换，使第一个粒子处在j 态,第二个粒子处在i 态，则体系
的能量仍由(9.1.15)式表示。但波函数是
