求最值问题的几种方法

求最值问题的五种方法
求最值问题是多种数学模型中的经典概念，可以应用于科学研究、工程
设计和经济管理等领域，具有重要的现实意义。

通常，有五种方法可以解决
求最值问题，即解析法、穷举法、单纯形法、回归法和数值方法。

首先，解析法是指根据问题的函数关系或其它变量的规律，以求解一次
高阶算式或一组方程组的方法来解决求最值问题，它是对问题进行分析求解，速度较快，但它的适用范围较窄，只适用于问题的算式表达既简单又复杂的
情况。

其次，穷举法是一种采用暴力枚举方式搜索全部可能解以解决问题的方法。

它有利于深入了解问题，适用性较广，但缺点是计算量较大，容易出现
数量级爆炸，效率较低。

第三，单纯形法是指使用单纯形法对求最值问题进行分析求解，能够有
效获得求最值问题的解，同时它也能用来求解约束优化问题，简单易操作，
但需要注意的是，得到的解可能不是最优解。

第四，回归法是指使用统计学中的回归分析方法来重建散点数据，以寻
求最优的函数。

回归法的优势在于能够得到较好的拟合性能，它能够清楚的
表达模型之间的统计关系，并且能够根据数据自动学习模型，但是其缺点是
可能出现较多的陷阱，作出决策时要非常小心。

最后，数值方法是指利用数值计算技术，通过迭代的方式寻找函数取得
最值的方法。

它的优势在于十分适用于大规模的求解，它也支持多种求最值
方法，可以处理许多强约束优化问题，但缺点是它的计算量较大，时间消耗
比较大。

以上就是解决求最值问题常用的五种方法，它们各有利弊，依据各自的
特点，在不同环境下可以有选择性的使用，以达到最优求解效果。

最值问题的试题种类和解题方法
最值问题是指寻找一组数据中的最大值或最小值的问题。

根据问题的不同，最值问题可以分为以下几种类型：
1.一维最大值/最小值问题：给定数组或序列，求其中的最大
值或最小值。

解题方法：遍历数组或序列，逐个比较元素大小，记录当前的最大值或最小值。

2.多维最大值/最小值问题：给定二维、三维或更高维的矩阵、图像等，求其中的最大值或最小值。

解题方法：根据矩阵或图像的特点，例如行列数、像素值等，使用嵌套循环遍历全部元素，逐个比较记录最大值或最小值。

3.带约束条件的最大值/最小值问题：给定一组数据及约束条件，求满足约束条件下的最大值或最小值。

解题方法：将约束条件纳入考虑范围，使用相应的算法，例如动态规划、贪心算法等。

4.最值距离问题：给定一组数据，求其中最大值与最小值之间
的差距。

解题方法：求出最大值与最小值，进行相减操作。

5.最值概率问题：给定概率分布、事件等，求最大概率或最小
概率。

解题方法：根据概率计算公式，计算概率值，并与已有的最大概率或最小概率进行比较。

以上仅是最值问题的一部分，实际上最值问题还包括了很多其他方面的问题。

解决最值问题的方法也具有多样性，需要根据具体问题的特点选择合适的解题方法。

一般来说，通过遍历、比较和记录的方式可以解决绝大部分最值问题。

备考指南最值问题是高考试题中常见的考点之一.此类问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样，在解题过程中若找不到恰当的方法，就会因为复杂冗繁的计算量而浪费大量的时间，甚至得不到正确的答案.如何选择合适的方法，如何灵活运用各个模块的知识，是解答最值问题所需要重点考虑的事情.本文举了四个典型的例题，并对其进行了分析、探究，总结出解答最值问题的技巧，供同学们参考.一、用函数的单调性求最值在求解最值问题时，我们通常可将目标式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，利用函数的单调性来求解最值.在解题时，需根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值.例1.设a 为实数，求x 2+||x -a +1的最小值.解：设f ()x =x 2+||x -a +1，(1)若x ≤a ，则f ()x =æèöøx -122+a +34，①当a <12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上单调递减，可知函数在(]-∞,a 上的最小值为f ()a =a 2+1；②当a ≥12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上的最小值为f æèöø12=34+a ，且f æèöø12≤f ()a .（2）若x >a ，则f ()x =æèöøx +122-a +34.①当a ≤-12时，则函数f ()x 在éëöø-12,+∞上单调递增，在éëöøa ,-12上单调递减，所以函数在[)a ,+∞上的最小值为f æèöø-12=34-a ，且f æèöø-12≤f ()a ；②当a >-12时，则函数f ()x 在[)a ,+∞上的最小值为f ()a =a 2+1.综上可得，当a ≤-12时，f ()x min =34-a ；当-12<a≤12时，f ()x min =a 2+1；当a >12时，f ()x min =a +34.将目标式看作二次函数式，便可根据x 与a 的大小关系，以及a 与函数对称轴-12的大小关系，确定二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性确定函数的最值.在解题时，需运用运动和变化的观点，构建关于变量、自变量的集合，通过类比、联想、转化的方式构造合适的函数.二、用基本不等式求最值基本不等式a +b 2≥ab ()a >0，b >0主要用于求函数的最值及证明不等式.在运用基本不等式求最值时，需把握“一正”“二定”“三相等”三个条件，重点关注或配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.例2.求y =x +4x的值域.解：①当x >0时，x +4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，②当x <0时，()-x +æèöø-4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，所以x +4x ≤-4，故y =x +4x的值域是(]-∞,-4∪[)4,+∞.由于x 的取值不确定，而运用基本不等式的条件是各式均为正值，于是将x 分为x >0和x <0两种情况，分别运用基本不等式来求最值.三、利用线性规划思想求最值线性规划思想是指求线性约束条件下，目标函数的极值.运用线性规划思想求最值的基本步骤是：①根据题意建立数学模型，并作出可行域；②建立目标函数；③利用图形求出目标函数的最值.例3.已知ìíîïïx -y +2≥0，x +y -4≥0，2x -y -5≤0，求z =x 2+y 2-10y +25的最小值.解：作出可行域，如图中阴影部分所示.将直线x -y +2=0、x +y -4=0、2x -y -5=0两两联立可求出三个顶点的坐标A ()1,3、B ()3,1、C ()7,9，51备考指南而z =x 2+y 2-10y +25=x 2+()y -52表示可行域内任一点()x ,y 到定点M ()0,5的距离的平方，过M 作直线AC易知垂足N 在线段AC 上，则z 的最小值为||MN 2，由点到直线的距离公式可得||MN =，故z 的最小值为||MN 2=92.我们将不等式组看作线性约束条件，画出可行域，便可将问题看作线性规划问题，结合图形寻找到目标函数取得最小值的点，即可利用线性规划思想求得问题的答案.四、利用代数式的几何意义求最值大部分的代数式都有几何意义，如y =x 2表示的是一条抛物线，y =x 表示的是一条直线，y =1x表示的是两条双曲线，等等.在求最值时，可先挖掘代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过寻找图形中的临界情形，如相切、相交等情形，确定目标式的最值.例4.已知x ，y 满足x 225+y 29=1，求()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最值.解：由方程x 225+y29=1易知，该曲线为椭圆，设P ()x ,y 为椭圆上的一点，B (2，2)，则a =5，b =3，c =4，右焦点A (4,0)，左焦点F 1(-4,0)，而||PA +||PB =()x -42+y 2+()x -22+()y -22，根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PA |=10，则|PA |=10-|PF 1|，|PA |＋|PB |=10-|PF 1|+|PB |，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质，可得10-|F 1B |≤|PF 1|-|PB |≤10+|F 1B |，又F 1B =210，故10-210≤|PA |+|PB |≤10+210.当且仅当P ，B ，A 共线时等号成立，故()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最大值是10+210，最小值是10-210.解答此题，需将方程x 225+y 29=1看作椭圆，P 看作椭圆上的一个动点，那么目标式表示的是线段||PA +||PB ，问题就变为求两线段和的最大值、最小值.挖掘题目中代数式的几何意义，将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质以及相关定理、公式即可解题.当然，求最值的方法还有很多，如导数法、转化法等.这就要求让同学们运用发散思维，去寻求、总结更多的解答最值问题的方法.（作者单位：安徽省临泉第二中学）（上接34页）三、引导学生关注时事，点评其中的人与事“文章合为时而著”，在写作教学中，我们要引导学生关注时事，多思考，多评论，让他们走进社会生活，理性地表达自己的观点。

高中数学最值问题12种高中数学最值问题是指在一定条件下，找出某个函数的最大值和最小值的问题。

这些问题需要通过一定的方法来求解，涉及到导数、不等式、二次函数、三角函数等数学知识。

下面我们将介绍12种高中数学最值问题的解法和相关概念。

1.函数的最大值和最小值：函数的最大值和最小值是指函数的各个值中最大和最小的值。

一元函数的最大值和最小值通常可以通过求解导数为0的点来获得。

多元函数的最大值和最小值可能需要使用拉格朗日乘数法等方法。

2.二次函数的最值：二次函数的最值可以通过求解顶点坐标来获得。

二次函数的最大值发生在开口向下的情况下，最小值发生在开口向上的情况下。

3.三角函数的最值：三角函数的最值可以通过研究函数的周期性和对称性来获得。

一般情况下，三角函数的最值为1和-1。

4.不等式的最值：不等式的最值是指不等式的解集中最大和最小的值。

不等式的最值可以通过求解方程来获得。

需要注意确定不等式边界的方式。

5.绝对值函数的最值：绝对值函数的最值可以通过研究函数的分段性质来获得。

需要考虑绝对值函数的参数取值范围。

6.对数函数的最值：对数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。

对数函数的最大值和最小值通常发生在底数小于1的情况下。

7.指数函数的最值：指数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。

指数函数的最大值和最小值通常发生在指数大于1的情况下。

8.等式的最值：等式的最值是指满足等式的变量的最大和最小的值。

等式的最值通常可以通过求解方程组来获得，在求解过程中需要注意排除无解的情况。

9.不定积分的最值：不定积分的最值可以通过求导和临界点的方式来获得。

需要注意确定积分的上下界。

10.定积分的最值：定积分的最值可以通过函数在积分区间上的最值来获得。

需要注意确定积分的上下界和积分变量的取值范围。

11.矩形面积的最值：矩形面积的最值可以通过求解矩形的边长和面积关系来获得。

需要注意确定矩形的条件和限制条件。

12.三角形面积的最值：三角形面积的最值可以通过求解三角形的边长和高的关系来获得。

本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。

例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。

解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。

2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。

即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。

例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。

解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。

因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。

三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。

例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。

解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。

四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。

求最值的方法在数学和实际生活中，我们经常会遇到求最值的问题，比如求函数的最大值最小值，求某个物体的最佳尺寸，求最优的方案等等。

那么，如何有效地求出这些最值呢？本文将介绍几种常见的求最值的方法，希望能够帮助大家更好地解决这类问题。

一、导数法。

在数学中，我们经常使用导数来求函数的最值。

具体来说，对于函数f(x)，我们可以通过求解f'(x)=0的方程来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断这些驻点是极大值还是极小值，从而得到函数的最值点。

导数法的优点是在数学中应用广泛，可以求解各种类型的函数的最值问题。

但是，对于一些复杂的函数，求导的过程可能会比较繁琐，需要一定的数学功底和技巧。

二、拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法是一种用于求解带约束条件的最值问题的方法。

具体来说，对于函数f(x,y)在约束条件g(x,y)=c下的最值问题，我们可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-c)，然后通过求解L对x、y和λ的偏导数为0的方程组来找到最值点。

拉格朗日乘数法的优点是可以很好地处理带约束条件的最值问题，适用范围广泛。

但是，对于多变量函数，求解偏导数为0的方程组可能比较复杂，需要一定的数学技巧和计算能力。

三、穷举法。

在实际生活中，有时候我们无法通过数学方法精确地求解最值问题，这时可以考虑使用穷举法。

具体来说，我们可以列举出所有可能的解，然后逐一计算它们的函数值，最终找到最大值或最小值。

穷举法的优点是简单直观，适用范围广泛。

但是，对于复杂的问题，穷举法可能会耗费大量的时间和精力，不适合大规模的最值求解问题。

四、优化算法。

除了上述方法外，还有一些专门用于求解最值问题的优化算法，比如梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等。

这些算法通常适用于复杂的非线性、非凸函数的最值求解问题，能够在较短的时间内找到较好的解。

优化算法的优点是适用范围广泛，可以处理各种类型的最值问题。

但是，对于一些特定的问题，算法的选择和参数调整可能会比较困难，需要一定的专业知识和经验。

巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。

分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。

原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。

x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。

由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。

x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。

解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。

求最值问题的6种解法
最值问题是指在一组给定的值中，找出最大值或最小值的问题。

以下是六种常见的解决最值问题的方法：
1. 线性搜索：遍历给定的值，通过比较每个值与当前最值的大小来更新最值。

这种方法简单直接，但效率较低，适用于数据量较小的情况。

2. 排序法：将给定的值进行排序，然后取第一个或最后一个值作为最值。

这种方法的时间复杂度主要依赖于排序算法，适用于需要找到多个最值的情况。

3. 分治法：将给定的值划分成多个子问题，递归地求解每个子问题的最值，然后将子问题的最值合并得到整体的最值。

这种方法适用于问题可以分解成若干小规模相同结构的子问题的情况。

4. 动态规划：根据问题的特点，定义状态和状态转移方程，利用动态规划的思想求解最值问题。

动态规划通常需要使用一个表格来记录中间结果，以减少重复计算。

这种方法适用于问题具有最优子结构和重叠子问题性质的情况。

5. 贪心法：根据局部最优的选择策略，逐步构建全局最优解。

贪心法通常不保证得到全局最优解，但在一些特定问题上表现良好，并且具有较高的执行效率。

6. 深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）：对于给定的值构成的图或树结构，通过搜索遍历所有可能的路径或状态，
找到满足最值条件的路径或状态。

这种方法适用于问题可以抽象成图或树结构的情况。

根据具体问题的特点，选择合适的解法可以提高求解最值问题的效率和准确性。

求最值的16种方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在日常生活和工作中，我们经常会遇到需要求最值的问题，比如找出最大的数值、最小的数值或者最优的解决方案。

有些时候，在求最值的过程中，我们可以通过简单的比较得出结果，但有时候需要一些专门的方法和技巧来解决问题。

本文将介绍16种常见的求最值的方法，希望对大家有所帮助。

一、直接比较法直接比较法是最简单的一种求最值的方法，即通过逐一比较每个元素，找出最大值或最小值。

这种方法适用于小规模的数据和简单的比较需求，代码实现简单易懂，但效率较低。

二、排序法排序法是一种常见的求最值方法，通过对数据进行排序，可以很容易地找到最大值或最小值。

排序的复杂度通常为O(nlog(n))，适用于中等规模的数据。

三、遍历法四、分治法分治法是一种高效的求最值方法，将数据集分成若干个子问题，递归地求解子问题，最后合并得到最值。

这种方法通常用于大规模数据的求解，具有较高的效率。

五、动态规划法动态规划法是一种求解优化问题的经典方法，通过定义状态转移方程和递推关系，逐步求解问题的最优解。

这种方法适用于复杂的问题，如背包问题、最长公共子序列等。

六、贪心算法贪心算法是一种求最值的常用方法，通过每一步选择局部最优解，并最终达到全局最优解。

这种方法通常适用于局部最优解能直接推导到全局最优解的场景。

七、分支界限法分支界限法是一种搜索最优解的方法，通过逐步扩展搜索树，剪枝不满足条件的分支，从而快速找到最值。

这种方法适用于带约束条件的最优解问题。

动态规划法是一种通过子问题的解来求解原问题的方法，通常适用于规模较小且具有重叠子问题的情况。

九、蒙特卡罗法蒙特卡罗法是一种通过大量的随机模拟来求解问题的方法，通过估计解的概率分布来找出最值。

十、模拟退火法模拟退火法是一种基于物理学原理的求解最优解的方法，通过模拟金属退火过程，寻找全局最优解。

十一、遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的求解方法，通过选择、交叉和变异等操作，不断优化解的质量。

最值问题的几种常见解法一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322⋅-=+的最大值和最小值． 解析：34)322(32+--=xy ，当01≤≤-x 时，1221≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，34max=y ． 二、判别式法 形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=(1a 、2a 不同时为0),将其转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，从而求出函数的值域或参数的值. 例：在20π≤≤x 条件下，求2)sin 1()sin 1(sin x x x y +-=的最大值． 解析：设x t sin =，因0(∈x ，)2π，故 10≤≤t ，则2)1()1(t t t y +-= 即 0)12()1(2=+-++y t y t y因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2≥+--=∆y y y 即 81≤y 将81=y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以81max =y 注意：因0≥∆仅为方程0)12()1(2=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将81=y 代入方程中检验，看等号是否可取． 三、换元法(一)局部换元法 例：已知20≤≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2122-++=a a t y 当2=t 时，2122max ++=a a y ；当a t -=时，)1(212min -=a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例1：已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值．解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 211()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，21max =u ． 例2：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则max 1S +min 1S =____ 解析：令αcos S x =，αsin S y =，则5sin cos 54=-ααS Sααα2sin 2545cos sin 545-=-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，13102545min =+=y ． 所以 58101310311min max =+=+S S ．四、三角函数有界法①对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x②形如：a b tan ),sin(cos sin 22=++=+=ϕϕ其中kx b a kx b kx a y 例：求函数x x y 2cos 22sin -=的最值． 解析：1)42sin(212cos 2sin cos 22sin 2--=--=-=πx x x x x y 因为 1|)42sin(|≤-πx ，故 当1)42sin(=-πx 时，12max -=y ；当1)42sin(-=-πx 时，12min --=y ．五、单调性法(一)利用若干次“≥”(或“≤”)求函数的最值例：求函数xx y cos 1sin 1+=在0(，)2π内的最小值． 解析：222sin 22cos sin 2cos sin cos sin cos 1sin 1≥=≥+=+=x x x x x x x x x y 当4π=x 时，x x cos sin =，12sin =x ．上式中的两个 “≥”中的等号同时成立，所以22≥y 是 “精确的”不等式．因而 22min =y另：此题还可用换元x x t cos sin +=以及函数单调性来判断(二)形如xb a x y +=的函数的最值 (1) 0>a ，0>b 时，函数在-∞(，ab -］内递增，在ab -[，)0内递减， 在0(，ab ］内递减，在ab [，)∞+内递增．(2) 0<a ，0<b 时，函数在-∞(，ab -］内递减，在ab -[，)0内递增， 在0(，ab ］内递增，在ab [，)∞+内递减．(3) 0<a ，0>b 时，函数在-∞(，)0内递减，在0(，)∞+内递减．(4) 0>a ，0<b 时，函数在-∞(，)0内递增，在0(，)∞+内递增． 例：求函数xx x y sin 1cos sin 22+-=的最大值． 解析：y )1sin 2()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+=x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤<t ，函数tt y 2-+=在0(，)∞+内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ．六、数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．例24：求函数6cos 31sin 4--=x x y 的最值． 解析：将函数式变形为)2(cos 3)41(sin 4--=x x y ，只需求函数2cos 41sin --=x x u 的最值．把u 看成两点2(A ，)41，x B (cos ，)sin x 连线的斜率，(B 即为单位圆上的点)， 则当直线AB 为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．设过A 点的单位圆的切线方程为)2(41-=-x k y ，即 0241=-+-k y kx ． 则圆心到切线的距离为11|241|2=+-k k ，解得：431=k ，1252-=k ．从而函数 最大值为14334max =⨯=y ；最小值为95)125(34min -=-⨯=y ． 七、利用二次函数的性质例25：设0>x ，0≥y 且212=+y x ，求当x 、y 为何值时，)148(log 231++=y xy u 取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值． 解析：由212=+y x ，得y x 221-= )1412(log ]14)221(8[log 231231++-=++-=∴y y y y y u 由0>x ，0≥y 且212=+y x 可得410<≤y ，从而34141212≤++-≤y y (当0=y 时左边取“=”号，61=y 时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即 当61=x 、61=y 时，)34(log 31min =u ；当21=x 、0=y 时，0max =u ．。

求最值的方法【导言】在很多问题中，我们需要求最大值或最小值，比如优化问题、最优化问题或计算机视觉中的物体检测问题等。

而经典的求最值方法主要有枚举法、贪心算法、分治法、动态规划和深度优先搜索等。

本文将对这些方法进行详细的介绍，并结合实际例子进行说明。

【正文】一、枚举法枚举法是一种最基础的求最值方法。

它的求解思路是，对问题中所有可能的情况进行遍历，并得出最优解。

由于枚举法的过程中会穷尽所有情况，所以它具有很高的准确性。

但由于它的计算复杂度很高，因此只适用于问题空间较小的情况。

代码示例：```int maxSubArray(vector<int>& nums) {int res = nums[0], sum = 0;for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {sum = max(sum + nums[i], nums[i]);res = max(res, sum);}return res;}```二、贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的求最值方法。

贪心策略简单来说就是，每一步都选择当下最优的解。

贪心算法通常能够得到局部最优解，在一定条件下能够得到全局最优解。

由于它只考虑了当前的最优解，因此不能保证在所有情况下都能够得到最优解。

```struct Item{int value;int weight;};bool cmp(const Item &w1, const Item &w2){double r1 = (double)w1.value / w1.weight;double r2 = (double)w2.value / w2.weight;return r1 > r2;}double fractionalKnapsack(int N, std::vector<Item> &items, int W){std::sort(items.begin(), items.end(), cmp);return res;}```三、分治法分治法是一种递归求解问题的方法。

一个最值问题的三种解法最优解是某一特定方法能够在有限的资源内获得最佳结果。

一个最优解问题，通常需要求解给定条件下，最大或最小化某种函数。

一个最优解问题的解法有多种，本文将介绍三种常用的方法，分别是动态规划、贪心算法和遗传算法。

一、动态规划动态规划是一种最优化解决方案，它利用拆解子问题的技术，来计算一个复杂问题的最终结果。

它的特点在于将原问题拆解成若干规模更小的连续子问题，然后逐一解决，从而求出最终的最优解。

它的优点是可以把复杂问题分解成若干简单问题，易于理解和求解，每一步只需要解决一个子问题，每一步完成后都能获得此步最优解。

二、贪心算法贪心算法是搜索策略的一种，它旨在从当前状态出发，找出最优解。

贪心算法的基本思想是在每一步中找到当前最佳（最优）解，从而获得最终的全局最优解。

贪心算法比动态规划更加简单，可以用更少的计算量获得最优解，只需要在每一步求解中做出最佳选择，最终就能得到一个最优解。

但是，贪心算法并不一定能得到最优解，需要合适的算法设计和技巧。

三、遗传算法遗传算法是一种基于自然选择原理的模拟算法，它可以用来求解最优化问题。

遗传算法以自然界中的基因进化为基础，它可以作为一种基于总体的搜索算法，来求解复杂的全局最优解。

遗传算法的优点在于可以快速简易的搜索全局最优解，即使在搜索空间中的解很少或巨大时依然可以快速准确的搜索出最优解。

综上所述，最优解问题可以采用动态规划、贪心算法和遗传算法等三种方法解决。

每种方法都有其优点和缺点，应根据实际情况选择最合适的解决方案。

同时，任何一种方法都要结合个人特点和经验，以此提高解决问题的效率。

借助这三种方法，找出一个最优解是可能的，但也要根据实际情况，根据问题的特点和资源限制，挑选最合适的方法，按照一定的算法步骤，结合个人的实际情况和经验，最终得以获得最优解。

高中求最值的方法总结三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一。

以下是小编整理的高中求最值的方法总结,欢迎大家前来查阅。

高中求最值的方法总结篇1方法一：利用单调性求最值学习导数以后，为讨论函数的性质开发了前所未有的前景，这不只局限于基本初等函数，凡是由几个或多个基本初等函数加减乘除而得到的新函数都可以用导数作为工具讨论函数单调性，这需要熟练掌握求导公式及求导法则，以及函数单调性与导函数符号之间的关系，还有利用导数如何求得函数的极值与最值。

例1 已知函数，当x∈[-2，2]时，函数f(x)的图象总在直线y=a-e2的上方，求实数a的取值范围。

分析：此题属于恒成立问题，恒成立问题大都转化为最值问题。

解：原问题等价于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。

令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原问题等价于a 下面利用导数讨论g(x)的最小值，求导可得g'(x)=x(1-ex)。

当x∈[-2，0]时，g'(x)≤0，从而g(x)在[-2，0]上单调递减;当x∈(0，2]时，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也单调递减。

所以g(x)在[-2，2]上单调递减，从而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)评注：本题是求参数的取值范围问题，利用等价转化的思想可化为不等式恒成立问题，进而化为最值问题，再借助于导数讨论函数的单调性求出的最值。

其实高中阶段接触到的最值问题大都可以运用单调性法求得最值。

方法二：利用不等式求最值掌握和灵活运用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意考虑利用不等式求最值的条件限制。

例2 若x∈R，且0 分析：本题可以运用单调性法求最值，但是较麻烦，下面介绍一种新的方法。

最值问题的常用解法最值问题指的是在给定的一组数据中寻找出最大值或最小值的问题。

这种问题在实际生活中非常常见，例如寻找最高的山峰、最长的河流、最快的车辆等等。

在计算机科学中，最值问题被广泛应用于算法设计和优化中。

解决最值问题的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的解法。

1.穷举法：穷举法是最简单直观的解决最值问题的方法。

其思路是通过逐个比较数据元素的大小，找出最大或最小的元素。

穷举法的优点是实现简单，适用于规模较小的问题。

但当问题规模较大时，穷举法的效率往往较低。

2.顺序查找法：顺序查找法是穷举法的一种改进，它通过遍历列表中的元素，逐个与当前最值进行比较。

如果找到较大（或较小）的元素，则更新最值。

顺序查找法的思想简单，但效率相对较低，特别是当数据量很大时。

3.二分查找法：二分查找法是一种高效的查找方法，适用于有序列表。

其基本思想是，通过比较目标值与列表的中间元素的大小关系，将搜索范围缩小一半。

如果目标值较小，则继续在前半部分进行二分查找；如果目标值较大，则在后半部分进行二分查找。

通过不断缩小搜索范围，最终找到最值。

4.动态规划法：动态规划法是一种递推求解最优解的方法。

它将原问题分解为若干个子问题，然后通过求解子问题的最优解，得到原问题的最优解。

在解决最值问题时，可以设计一个状态数组来记录当前最优解，然后根据状态转移方程进行递推求解。

动态规划法通常适用于具有最优子结构和重叠子问题特点的问题。

5.分治法：分治法也是一种将问题分解为子问题的方法。

它将原问题分解为若干个规模较小但结构与原问题相似的子问题，并分别求解这些子问题的最值。

最后将子问题的最值整合起来，得到原问题的最值。

分治法通常通过递归实现，适用于问题可以被分解为独立子问题的情况。

6.贪心法：贪心法是一种通过每一步的局部最优选择来求解整体最优解的方法。

它不考虑后续步骤的影响，只关注当前可以获得的最好结果。

贪心法通常适用于问题具有贪心选择性质的情况，即局部最优选择可以导致全局最优解。

最值问题的几种解法常见类型和方法介绍如下:一、 构造函数法最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解决往往离不开函数。

【例1】已知：ｘ、ｙ、ｚ为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x那么ｘ2＋ｙ2＋ｚ2的最小值是多少？解：设ｗ＝ｘ2＋ｙ2＋ｚ2由已知：⎩⎨⎧-=-=x y xz 54 代入ｗ中得：ｗ＝３ｘ２－18ｘ＋41＝3（ｘ－3）2＋14故当ｘ＝3时，ｗ取最小值14。

二、构造三角形法【例4】函数106422+-++=x x x y 的最小值为A ．102+B ．113+C ．23D ．62 解：答案选Ｃ 分析：将原函数式化为22221)3(2+-++=x x y 可见ｙ可以看作是两个直角三角形的斜边的和，于是构造Rt △OAM, Rt △BCM,使OA=2,OM=x,BC=1,BM=3-x （如图），则∣ＡＭ∣＝222+x ，∣ＣＭ∣＝221)3(+-x Aｙ＝∣ＡＭ∣＋∣ＣＭ∣≥∣ＡＣ∣所以，当ＡＭＣ三点共线时，有x x -=312得ｘ＝2时ｙ最小＝23构造二次方程法：【例３】已知ｘ、ｙ为实数，且满足ｘ＋ｙ＋ｍ＝5，ｘｙ＋ｙｍ＋ｍｘ＝3，求实数ｍ的最大值。

解：由条件等式得：ｘ＋ｙ＝5－ｍ，ｘ·ｙ＝3－ｍ（ｘ＋ｙ）＝3－ｍ（５－ｍ）＝ｍ2－5ｍ＋3∴ｘ、ｙ是方程ｚ2－（5－ｍ）ｚ＋（ｍ2－5ｍ＋3）＝0的两个实数根，∴△＝〔－（5－ｍ）〕2－4（ｍ2－5ｍ＋3）≥0， 即3ｍ2－10ｍ－13≤0 解得：－1≤ｍ≤313∴ｍ的最大值是313 二、构造方差法【例４】已知：正实数ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ满足等式ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝8和ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2＋ｅ2＝16，求实数ｅ的最大值。

解：∵ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝8∴ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝8－ｅ∵ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2＋ｅ2＝16，∴ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2＝16－ｅ2而由ａ、ｂ、ｃ、ｄ组成的一组数据的方差∵ 方差Ｓ2≥0，∴04)8(1622≥---e e ∴64－4ｅ2－64＋16ｅ－ｅ2≥0∴5ｅ2－16ｅ≤0∴0≤ｅ≤516∴ｅ的最大值是516 三、巧取倒数法5】已知：ｘ＞0，求xx x x 44211+-++的最大值。

求函数最值的10种方法函数的最值是指函数在定义域内，取得的最大值和最小值。

确定函数的最值对于问题的解决非常重要，因此有很多方法可以找到函数的最值。

下面我将介绍十种常见的方法来求解函数的最值。

1. 图像法（Grpahical Method）：这是最常见的方法之一，通过绘制函数的图像来确定函数的最值。

找到函数的最高点和最低点，并确定定义域的范围以确定最值。

2. 导数法（Derivative Method）：使用导数的概念，通过求解函数的导数来确定函数的最值。

找到导数为零的点，并判断其是否为极值点，进而确定函数的最值。

注意，导数为零的点并不一定是函数的最值点，还需要判断其是极大值还是极小值。

3. 欧拉公式法（Euler’s Formula Method）：对于一些特殊的函数形式，如指数函数和三角函数，可以使用欧拉公式来求解函数的最值。

欧拉公式的核心思想是将函数用指数函数和三角函数的形式来表示，然后利用指数函数和三角函数的性质来确定最值。

4. 一阶必要条件法（First-order Necessary Condition Method）：根据一阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零。

通过求解函数的导数，找到导数为零的点，并判断是否为函数的最值点。

5. 二阶必要条件法（Second-order Necessary Condition Method）：根据二阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零，且二阶导数必须存在且不为零。

通过求解函数的导数和二阶导数，找到导数为零的点，然后判断其二阶导数的符号来确定函数的最值。

6. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）：用于求解带有约束条件的优化问题，可以将函数与约束条件一起构建为一个拉格朗日函数，然后通过求解拉格朗日函数的最值来确定函数的最值。

7. 线性规划法（Linear Programming Method）：适用于求解线性约束下的函数最值问题。