创新设计全国通用高考数学二轮复习小题综合限时练三理
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2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（三）理
(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5 B.－3 C.1＋4i
D.1－4i
解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A
2.已知集合M ＝{y |y ＝4－x 2
}，N ＝{x |y ＝ln(x 2
－2x )}，则( ) A.M ⊂N B.N ⊂M C.M ∩N ＝∅
D.M ∪N ≠R
解析 M ＝[0，2]，N ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以M ∩N ＝∅.故选C. 答案 C
3.在－20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( ) A.200 B.100 C.90
D.70
解析 S ＝10（－20＋40）2＝100.故选B.
答案 B
4.我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率π的近似值.如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落到正方形内的豆子数为m ，则圆周率π的估算值是( ) A.n m
B.2n m
C.3n
m
D.
2m n
解析 设圆的半径为r ，则P ＝m n ＝（2r ）2πr 2
，得π＝2n
m
.故选B. 答案 B
5.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C
的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)
D.(2，＋∞)
解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b a
＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D
6.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2
x ＋a
的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋
f (－4)＝1，则a 等于( )
A.－1
B.1
C.2
D.4
解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2
x ＋a
，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，
a ＝2.
答案 C
7.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6，则ω
的一个可能值是( ) A.1
2 B.35 C.34
D.32
解析 由函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34.
由f ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6，得5π6＞π2ω，ω＞35，所以35＜ω≤34.故选C.
答案 C
8.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
43π＋83
3
B.
43π
3
＋8 3 C.43π＋83
3
D.43π＋8 3
解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：
V ＝13Sh ＝
2π＋43×23＝43π＋83
3
. 答案 A
9.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝1
3，则△ABC
面积的最大值为( ) A.2 B. 2 C.12 D. 3
解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2
－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，
所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×22
3＝ 2.故选B.
答案 B
10.设函数f (x )＝e x
＋1，g (x )＝ln(x －1).若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( ) A.2
2 B. 2 C.32
2
D.2 2
解析 f (x )＝e x ＋1与g (x )＝ln(x －1)的图象关于直线y ＝x 对称，平移直线y ＝x 使其分
别与这两个函数的图象相切.由f ′(x )＝e x
＝1得，x ＝0.切点坐标为(0，2)，其到直线y ＝x 的距离为2，故|PQ |的最小值为2 2.故选D. 答案 D
11.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，
A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为
B ，若FA →
＝(2－1)AB →
，则此双曲线
的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2
D. 5
解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b a
x ②，联立①②， 解得交点B ⎝
⎛⎭
⎪
⎫ac c －a ，bc c －a ，
由FA →＝(2－1)AB →
，得c ＝(2－1)ac c －a
，c ＝2a ，e ＝ 2.
答案 A
12.已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧1－|x |， （x ≤1），
x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是
( ) A.[－2，2] B.[－2，2]∪[4，＋∞) C.[－2，2＋2]
D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)
解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.
由x 2
－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.
再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.已知x ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5
展开式中的常数项为20，其中a ＞0，则a ＝________.
解析 T r ＋1＝C r
5x ·x 5－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫a x r ＝a r C r
5x 6－32r .
由⎩⎪⎨⎪⎧6－32r ＝0，a r C r 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，a 4＝4，因为a ＞0，所以a ＝ 2.
答案
2
14.实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤－2，y ≥1，x ＋y ≤4，
则x 2＋y
2xy
的取值范围是________.
解析 x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x .令k ＝y
x
，则k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由图形可
知13≤k ≤1，根据函数y ＝1k ＋k 的单调性得2≤k ≤10
3
. 答案 ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤2，103
15.设a 、b 是单位向量，其夹角为θ.若|t a ＋b |的最小值为1
2，其中t ∈R ，则θ＝________.
解析 因为t ∈R ，所以|t a ＋b |2
＝t 2
＋2t cos θ＋1＝(t ＋cos θ)2
＋1－cos 2
θ≥1－cos
2
θ＝1
4
.
得cos θ＝±32⇒θ＝π6或5π6
. 答案
π6或5π6
16.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足
x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2，则x n ＝________.
解析 设xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2＝k ，则a n ＝log x n k ⇒1a n ＝log k x n ，同理1a n ＋1＝log k x n ＋1，
1
a n ＋2
＝log k x n ＋2，因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n ＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2
n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1
＝3n
.
答案 3
n。
