2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1第3章 3.1.1 空间向量及其线性运算

3．1.2 共面向量定理

[对应学生用书P50]

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题．

问题1：AB、AD、11AC可以移到一个平面内吗？

提示：可以，因为AC＝11AC，三个向量可移到平面ABCD内．

问题2：1AA，AC，1AC三个向量的位置关系？

提示：三个向量都在平面ACC1A1内．

问题3：1BB、1CC、1DD三个向量是什么关系？

提示：相等．

1．共面向量

一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量．

2．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.

1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．

2．向量共面不具有传递性．

3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．

[对应学生用书P51]

向量共面的判定

[例1] 给出以下命题：

①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；

②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；

③若存在有序实数组(x，y)使得OP＝xOA＋yOB，则O、P、A、B四点共面；

④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；

⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．

其中正确命题的序号是________．

[思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．

[精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的；

②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；

③正确：因为OP、OA、OB共面，

∴O、P、A、B四点共面；

④错：没有强调零向量；

⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．

[答案] ③

[一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．

第3章 空间向量与立体几何

3．1 空间向量及其运算

一、学习内容、要求及建议

二、预习指导

1．预习目标

(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；

(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；

(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；

(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤．

(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质 知识、方法 要求 学习建议

空间向量的概念 了解 空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同．可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类比进行理解﹒

空间向量共线、共面的充分必要条件 理解 共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同．

空间向量的加法、减法及数乘运算 理解 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．利用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律﹒

空间向量的坐标表示 理解 空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广．

空间向量的数量积 理解 掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式．

空间向量的共线与垂直 理解 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． ABCOMNG和计算方法及运算律．

(8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题．

2．预习提纲

(1)回顾平面向量的相关知识：

①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的?

3．1.4 空间向量的坐标表示

[对应学生用书P56]

空间向量的坐标表示

在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.

问题1：用i，j，k表示AC，1AD.

提示：AC＝i＋j，1AD＝j＋k.

问题2：若1AC＝xi＋yj＋zk，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？

提示：∵1AC＝i＋j＋k，

∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．

在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).

空间向量的坐标运算

一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 0003 N.

问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？

提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．

问题2：巨石受到的合力有多大？

提示：|F|＝5 000 N.

1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.

2．空间向量平行的坐标表示为

a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．

3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．

1．确定空间向量的坐标的方法：

3.1.1空间向量的线性运算

一、选择题

1．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则D1B→等于( )

A．a＋b＋c

B．a＋b＋c

C．a－b－c

D．－a＋b＋c

[答案] C

[解析] D1B→＝D1A1→＋A1A→＋AB→

＝－b＋(－c)＋a＝a－b－c.故选C

2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，向量AB′→、AD′→、BD→是( )

A．有相同起点的向量 B．是等长的向量

C．是共面向量 D．是不共面向量

[答案] C

[解析] ∵AB1→－AD1→＝D1B1→＝BD→，∴共面．故选C.

3．如图所示在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1→的共有( )

(1)(AB→＋BC→)＋CC1→

(2)(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→

(3)(AB→＋BB1→)＋B1C1→

(4)(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→.

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

[答案] D

[解析] 代入检验知选D.

4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有以下等式，其中不正确的是( )

A.D1B→＝D1D→＋D1A1→＋D1C1→

B.D1B→＝D1C1→＋B1B→＋CB→

C.D1B→＝D1A1→＋A1B→＋A1A→ D.D1B→＝D1C1→＋C1D→＋DB→

[答案] C

[解析] D1A1→＋A1B→＋A1A→＝D1B→＋A1A→≠D1B→.

故选C.

5．如图所示的空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则MG→－AB→＋AD→等于( )

A.32DB→ B．3MG→

C．3GM→ D．2MG→

[答案] B

[解析] MG→－AB→＋AD→＝MG→＋BD→＝MG→＋2MG→

＝3MG→.

6．平行六面体ABCD－A1B1C1D中，O为BD1与AC1的交点，下列说法正确的是( )