数列求和与数列的综合应用

1 教育学院第_____期 学员 _______班教案

课 题 《数列求和及综合应用》

授课时间 80min 执 教 人 沈荣春

教材和学情分析

教材分析 《数列》一章是高考数学中的重中之重，高考中主要注重等差、等比数列的求和公式；对非等差、非等比数列求和的考察；以递推关系为背景，考察数列的通项及前n项和；数列与不等式、函数、数学归纳法的交汇。

学生分析 数列求和及综合应用是难度比较大的一节，学生对构造新数列比较难理解，因此在授课过程中要注重几种求通项、求和方法的归纳总结。

教学目标 1、 知识与技能：掌握等差数列、等比数列的前n项和的公式及其求导过程，会运用前n项和公式解决问题。

2、 过程与方法:通过等差数列、等比数列的前n项和公式的推导，使学生掌握“非等差、非等比“数列求和的几种常见方法，体验特殊到一般的研究方法。

3、 情感态度与价值观：通过问题的提出，激发学生的探索欲和创新精神，并能从实际情形中运用数列知识解决实际问题。

教学重点 1、 掌握等差数列、等比数列的前n项和的公式，会运用前n项和公式解决问题；

教学难点 等差数列、等比数列的前n项和公式的推导方法及应用；非等差、非等比数列求和的几种常见方法的应用。

教具准备 粉笔、黑板刷、ppt

教学主要过程和内容

教学流程 教学内容 学生活动 教具使用 教学用时 目标检核

2 引人入胜 1、世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

右图为示意图

2、高斯的故事：

高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：

1＋2＋3＋„+100＝？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋„„＋（50＋51）＝101×50＝5050.

数列求和、数列的综合应用练习题

1.数列20,,2,,2101akaak共十项，且其和为240，则101aaak的值为 （ ）

A.31 B.120 C.130 D.185

2. 已知正数等差数列}{na的前20项的和为100，那么147aa的最大值是 （ ）

A.25 B.50 C.100 D.不存在

3. 设函数xxfmlog)(（0m，且1m），数列}{na的公比是m的等比数列，若8)(200931aaaf，则)()()(220102221afafaf的值等于 （ ）

A.-1974 B.-1990 C.2022 D.2042

4. 设等差数列}{na的公差0d，又921,,aaa成等比数列，则1042931aaaaaa .

5. 已知二次函数xxxf23)(2，数列}{na的前n项和为ns，点（nsn,）（*n）在函数)(xfy的图像上.

（1）球数列}{na的通项公式；

（2）设13nnnaab，nT是数列}{nb的前n项和，求使20mTn对所有*n都成立的最小正整数m.

6.（2014广东湛江模拟）已知数列}{na各项均为正，其前n项和为ns，且满足

2)1(4nnaS.

（1）求}{na的通项公式；

（2）设11nnnaab，求数列}{nb的前n项和nT及nT的最小值.

7. （2014安徽，18，12分）数列}{na满足)1()1(,111nnannaann，*n.

龙源期刊网

数列求和

作者：赵攀峰

来源：《数学金刊·高中版》2011年第11期

数列求和是数列的重要部分，也是高考的重点与难点之一．数列求和的基本思想是根据通项特点，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的变形，采用并项、裂项等方法．

数列求和的重点：错位相减法与裂项相消法

数列求和的难点：数列的求和需要一定的技巧，要求有较高的构造能力与运算能力，在处理数列不等式的时候，能进行合理有效的放缩．

1． 数列求和的基本思路：注意观察数列的特点和规律，分析数列通项公式的结构，运用转化、化归的方法解题．

2． 数列求和的基本策略：（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比数列求和；（2）利用错位相减法求和时，若公比是参数（字母），则应对参数加以讨论；（3）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差或系数之积与原通项公式相等．

在数列｛an｝中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值，且a7=2，a9=3，a98=4，则此数列｛an｝的前100项的和S100=________．

思索 由an+an+1+an+2为定值，得出数列为周期数列，再求和．

破解 由an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3，所以an=an+3，所以数列｛an｝是以3为周期的周期数列，a1=a7=2，a2=a98=4，a3=a9=3，所以an+an+1+an+2=9，S100=33×9+a1=299．

已知正项数列｛an｝满足对一切n∈N?鄢，有a+a+…+a=S，其中Sn=a1+a2+…+an． 龙源期刊网

专题04 数列求和及综合应用

【要点提炼】

1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）6.

2.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系为an＝S1 （n＝1），Sn－Sn－1 （n≥2）.

(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误.

3.数列求和

(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.

(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.

(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如canan＋1(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.

温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.

4.数列与函数、不等式的交汇

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.

考点一 数列求和及综合应用

考向一 an与Sn的关系问题

【典例1】 设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝bn＋1TnTn＋1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值. 解 (1)因为an＝5Sn＋1，n∈N*，

所以an＋1＝5Sn＋1＋1，

两式相减，得an＋1＝－14an，

又当n＝1时，a1＝5a1＋1，知a1＝－14，