第4章 4.1 4.1.2 指数函数的性质与图像-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册课

二次函数)0(2acbxaxy的图像和性质

教学目标 知识与技能 能通过配方把二次函数)0(2acbxaxy化成2)(hxay+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；会用公式确定)0(2acbxaxy对称轴和顶点坐标。

过程与方法 让学生经历探索二次函数)0(2acbxaxy的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数)0(2acbxaxy的性质。

情感态度与价值观 使学生了解已知与未知、特殊与一般的辩证关系；培养学生的创造型思维，突出体现辩证唯物主义观点。

重点 用描点法画出二次函数)0(2acbxaxy的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标

难点 理解二次函数)0(2acbxaxy的性质以及它的对称轴，顶点坐标

教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型 新授课

教学准备 小黑板

教学流程 教师活动 学生活动 二次备课

一、自主学习 1、知识回顾

说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：

⑴3235312xy

⑵1.22.17.02xy

⑶2010152xy

⑷4321412xy

用配方法把下列函数化为khxay2的形式：

⑴542xxy

⑵ xxy2412 回忆

2、出示学习目标

能通过配方把二次函数)0(2acbxaxy化成2)(hxay+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；会用公式确定)0(2acbxaxy对称轴和顶点坐标。 明确目标

出示自学提纲

⑴用配方法将函数542xxy写成khxay2的形式。根据顶点式确定抛物线开口方向向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。

4.4 幂函数

学习目标

1.通过具体问题,了解幂函数的概念.

2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=𝑥12,y=x-1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.

3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.

自主预习

1.一般地,幂函数的表达式为 ,其特征是以幂的 为自变量,

为常数.

2.幂函数的图像及性质

(1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=𝑥12,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点 ,在(0,+∞)上都有定义.

(2)当α>0时,幂函数图像过点 ,且在第一象限内单调 ;当01时,图像 .

(3)若α<0,则幂函数图像过点 ,并且在第一象限内单调 ,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限逼近x轴.

(4)当α为奇数时,幂函数图像关于 对称;当α为偶数时,幂函数图像关于

对称.

(5)幂函数在第 象限无图像.

课堂探究

例1 (1)下列函数:

①y=x3;②y=(12)𝑥;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a>1).其中幂函数的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

(2)已知y=(m2+2m-2)𝑥𝑥 2-2+2n-3是幂函数,求m,n的值.

跟踪训练1 (1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点(12,√22),则k+α等于( ) A.12 B.1 C.32 D.2

(2)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于 ( )

A.2 B.1 C.12 D.0

例2 比较下列各题中两个值的大小.

(1)2.31.1和2.51.1;(2)(𝑥2+2)-13和2-13.

1

4.1.2 指数函数的性质与图像

必备知识基础练

1.(2021安徽泗县第一中学高二月考)已知函数f(x)=4ax+1的图像恒过定点P,则点P的坐标是( )

A.(-1,0) B.(1,0)

C.(-1,4) D.(1,4)

答案C

解析令x+1=0,则x=-1,此时f(-1)=4,所以函数的图像恒过(-1,4),即点P的坐标是(-1,4).故选C.

2.已知函数f(x)={4𝑥,𝑥>0,𝑓(𝑥+1)-1,𝑥<0,则f(-12)+f(12)=(

)

A.3 B.5 C.32

D.52

答案A

解析∵f(-12)=f(12)-1=412-1=1,f(12)=412=2,∴f(-12)+f(12)=1+2=3.

3.(2021黑龙江哈尔滨第三十二中学校高二期末)若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图像经过第二、三、四象限,则一定有( )

A.00 B.a>1且b>0

C.01且b<0

答案C

解析如图所示,图像与y轴的交点在y轴的负半轴上,即a0+b-1<0,且0

4.(2021北京清华附中高一期末)若0.3x>0.3y>1,则 ( )

A.x>y>0 B.y>x>0

C.x

答案C

解析令f(t)=0.3t,∵0<0.3<1,

∴f(t)为R上的减函数,

由已知得f(x)>f(y)>1=f(0),∴x

5.已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1),其图像经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为 ,f(x)在定义域上是

函数(单调性).

答案7 减 2

解析由已知得{𝑎-1+𝑏=5,𝑎0+𝑏=4,解得{𝑎=12,𝑏=3,所以f(x)=12x+3,所以f(-2)=12-2+3=4+3=7.

由f(x)解析式知,f(x)在R上为减函数.

6.若指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值等于3a,则a= .

1

考 前 必 背

一、根式与分数指数幂

1.根式的性质

(1)(√𝑎𝑛)n=a(n>1,且n∈N*).

(2)√𝑎𝑛𝑛={𝑎,𝑛为奇数,|𝑎|={𝑎,𝑎≥0,-𝑎,𝑎<0,n为偶数.

2.分数指数幂

(1)正分数指数幂:𝑎𝑚𝑛=(√𝑎𝑛)m=√𝑎𝑚𝑛a>0,m,n∈N*,且𝑚𝑛是既约分数.

(2)负分数指数幂:𝑎-𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛=1√𝑎𝑚𝑛a>0,m,n∈N*,且𝑚𝑛是既约分数.

规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

3.有理数指数幂的运算法则

(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q).

(2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q).

(3)(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q).

二、指数函数

1.指数函数的概念

一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.

2.指数函数的性质与图象 2

函数 y=ax(a>0且a≠1)

a>1 0

图象

定义域 R

值域 (0,+∞)

奇偶性 非奇非偶函数

定点 过定点(0,1),即x=0时,y=1

函数值

的变化 当x<0时,0

当x>0时,y>1 当x<0时,y>1;

当x>0时,0

单调性 增函数 减函数

注:指数函数y=ax与y=a-x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称.

三、对数

1.对数的概念与运算

(1)对数的概念

在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数.

(2)对数式与指数式的互化:ab=N⇔b=logaN(a>0且a≠1).

特别地,loga1=0,logaa=1,𝑎log𝑎N=N,logaab=b(a>0且a≠1).

(3)运算法则

如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么loga(MN)=logaM+logaN;