(5)几种常见的平面变换(4)

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文档 4.3 平面坐标系中几种常见变换

4．3.1平面直角坐标系中的平移变换

课标解读 1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．

2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.

1．平移

在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移，若以向量a表示移动的方向和长度，也称图形F按向量a平移．

2．平移变换公式

设P(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点P′(x′，y′)，则(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)或

x＋h＝x′，y＋k＝y′.

1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？

【提示】 步骤：(1)设平移前曲线上一点P的坐标为(x，y)，平移后的曲线上对应点P′的坐标为(x′，y′)； 实用标准文案

文档 (2)写出变换公式 x′＝x＋h，y′＝y＋k，并转化为 x＝x′－h，y＝y′－k；

(3)利用上述公式将原方程中的x，y代换；

(4)按习惯，将所得方程中的x′，y′分别替换为x，y，即得所求曲线的方程．

2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？

【提示】 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．

其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.

平移变换公式的应用

点M(8，－10)按a平移后的对应点M′的坐标为(－7,4)，求a.

【自主解答】 由平移公式得 －7＝8＋h，4＝－10＋k，

解得 h＝－15，k＝14，即a＝(－15,14)．

把点A(－2,1)按a＝(3,2)平移，求对应点A′的坐标(x′，y′)．

【解】 由平移公式得

 x′＝－2＋3＝1，y′＝1＋2＝3，即对应点A′的坐标(1,3)．

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1 / 7 2．2.3 反射变换

1．反射变换矩阵和反射变换

像1 00 －1，－1 0 0 1，－1 0 0 －1这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．

2．线性变换

二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况．

[对应学生用书P11]

点在反射变换作用下的象

[例1] (1)矩阵－1 0 0 1将点A(2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换．

(2)矩阵0 11 0将点A(2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换．

[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换．

[精解详析]

(1)因为－1 0 0 125＝－2 5，

即点A(2,5)经过变换后变为点A′(－2,5)，它们关于y轴对称，

所以该变换为关于y轴对称的反射变换(如图1)．

2 / 7 (2)因为0 11 027＝72，即点A(2,7)经过变换后变为点A′(7,2)，它们关于y＝x对称，

所以该变换为关于直线y＝x对称的反射变换(如图2)．

(1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变换矩阵：－1

0 0 －1表示关于原点对称的反射变换矩阵，1 00 －1表示关于x轴对称的反射变换矩阵，－1 0 0 1表示关于y轴对称的反射变换矩阵，0 11 0表示关于直线y＝x对称的反射变换矩阵， 0 －1－1 0表示关于直线y＝－x对称的反射变换矩阵．

1 0yx2.2几种常见的平面变换

投影变换

三维目标

1.知识与技能

掌握投影变换的矩阵表示与几何意义

2.过程与方法

通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示.

3.情感、态度与价值观

将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。

教学重点

投影变换

教学难点

投影变换矩阵

教学过程

一、情境设置

如果把正午的太阳光近似看做垂直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根，而它们的正视图可以用右图来表示，在右图中，树木投影前后可以看做一个平面几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？

二、学生活动

对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到x轴上时，横坐标保持，纵坐标变化为0，特殊地，x轴上的点原地不动.因此，垂直投影前后可以看做一个几何变换T，并且有

T：0''xyxyx

故变换T对应的矩阵为M＝0001

三、建构数学 2 yx121-0.5BB'AA'yx像0101，0001这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称之为投影变换矩阵，相应的投影称做投影变换.

说明：投影变换虽然是映射，但不是一一映射.

四、数学运用

例5研究矩阵0101所确定的变换.

解：对于平面上的向量yx，有

xxyx0101，

因此，矩阵0101使得平面上的点的横坐标不变，而纵坐标变为与横坐标相等，该变换将平面内的点沿垂直于x轴方向投影到直线y＝x上，如图所示.

例6 研究线段AB在矩阵21212121作用下变换得到的图形，其中A(0,0),B(1,2).

解：因为

000021212121，21212121212121，

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 1 4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换

同步测控

我夯基，我达标

1.已知同一直线上三点A、B、C，其中B是AC中点，若向着x轴按照伸缩系数k＝2进行伸缩变换后，对于它们的对应点A′、B′、C′有以下说法：①仍在同一直线上；②不在同一直线上；③B′是A′C′的中点；④B′是A′C′的三等分点；⑤A′、B′、C′有可能重合．其中正确的说法是( )

A．② B．①③ C．①④ D．⑤

解析：由于在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变，所以②不在同一直线上不正确；根据教材中的例2可知B′仍是A′C′的中点．故选B．

答案：B

2.在同一平面坐标系中，经过伸缩变换yyxx3,5后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C的方程为( )

A.25x2+36y2=0 B.9x2+100y2=0 C.10x+24y=0 D.09825222yx

解析：将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．

将yyxx3.5直接代入2x′2+8y′2＝０，得2×(5x)2+8×(3y)2＝０，即25x2+36y2＝０为所求曲线C的方程.

答案：Ａ

3.直线y=x按伸缩系数k＝2向着y轴进行伸缩变换后的方程为_______________

解析：设P(x,y)是变换前直线上的点，P′(x′,y′)是变换后曲线上的点，由题意,知,,2yyxx即.,2yyxx代入y=x中，得2xy.所以直线y=x经过伸缩变换后的方程为y=21x．

答案：y=21x

4.直线y=21x按照伸缩系数k＝2向着x轴进行伸缩变换后的方程为___________