人教版九年级数学上册 一元二次方程的解法 讲义

一元二次方程的解法

一元二次方程解法：直接开方法配方法因式分解法公式法

知识点一、直接开方法

例1、用直接开方法解下列方程

(1)x2=16 (2)2x2=16 （3）3x2+1=28 (4)(x-1)2=16 (5)2(x-1)2+2=100

直接开方法步骤总结：

①常数移去右边

②二次项系数化为1

③用“整体法”直接开方

④解出来答案通常都有两个，别漏了哟～

思考：是不是所有一元二次方程都有解呢？方程x2+1=0或(x+3)2+1=0该怎么解呢？

1、用直接开方法解下列方程

(1)(1+x)2=81 （2）2(1-x)2=162 (3)100(1+x)2=144 （4）3(x+9)2-81=0

2、当a________时，方程(x-1)2-a=0有实根,这时实根是________________；当a____________时，方程无实根

直接开方法不是万能的，例如x2+2x=3就不能单独依赖它解出来，那么还有什么其他解法呢？

知识点二、配方法

后来人们发现，“直接开方法”并不能解决所有的一元二次方程。例如x2+2x=3就不能直接开方

于是到了大约公元前480年，我们中国人就开始使用另一种方法“配方法”来解一元二次方程，连《九章算术》中都有记载。

配成“完全平方公式”的方法叫做配方法，而且它是一元二次方程单元测验的重点，同学们一定要打起十二分精神听讲！

例1、解方程：x2+2x=3 例2、解方程：x2-6x+2=0 例3、解方程：2x2+8x=24

例4、解方程：3x2-6x-5=0 例5、2x2+3x-6=0

配方法步骤总结：

①常数移去右边

②二次项系数化为1

③配成完全平方公式 （核心步骤：加上一次项系数一半的平方）

④用“整体法”直接开方

⑤求解

思考：上述配方的题目都是“方程”，如果不是方程，有可能配方吗？

例6、求证：无论k取何值，式子248kk恒大于0

例7、已知代数式22m8m50，求证：不论m为任何实数，该代数式一定大于0

1、用配方法解下列方程：

（1）025122＝＋＋xx （2）1042＝＋xx （3）1162＝－xx

（4）0422＝－－xx （5）01762＝＋－xx （6）0152xx

（7）52342＝－xx （8）xx2452－＝ （9）xx91852＝－

2、配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为( )

_______,21xxA．(x＋1)2＝6 B．(x－1)2＝6 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9

3、用配方法解方程x2＋4x＝3，配方正确的是（ ）

A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝4 C．(x＋2)2＝7 D．(x＋1)2＝4

4、用配方法解方程0642xx，则___6___42xx，所以

5、如果4122xmx是一个完全平方式，则m 。

6、若a，b，c是△ABC的三条边，且a2－6a＋b2－10c＋c2＝8b－50，判断此三角形的形状．

课堂练习

知识点三、因式分解法

因式分解是我们以前学过的知识，因式分解法主要包括以下几种：

①提公因式法

②套完全平方公式、平方差公式

③十字相乘法

我们先来看第①、第②两种方法

例1、用因式分解法解下列方程：

(1) x2-3x=0 (2) 3x(x-1)=2-2x (3)(2x+3)2=4(2x+3)

(4)2(x-3)2=x2-9 (5)9x2+6x+1=0

1、解方程

（1）x2-14x=0 （2）2(x+5)2=x2-25 （3）45)45(＋＝＋xxx

2、方程2x(x-3)+5(3-x)=0的根是( )

A.x=25 B.x=3 C.x1=25,x2=3 D.x=-25

3、关于x的一元二次方程0322mmxmx有一个根为零，那m的值等于

十字相乘法步骤：

①左边两数相乘等于二次项，右边两数相乘等于常数项

②交叉相乘，再相加，必须等于一次项

③横写因式

例2、用十字相乘法解下列方程

(1)x2+6x-7=0 (2)x2＋4x－5＝0 (3)x2-2x-15=0

(4)6x2-7x-5=0 (5)a2-9ab+14b2=0 (6)x2-3xy+2y2=0

注意：用“十字相乘法”解一元二次方程时，等号右边必须等于___

4、用十字相乘法解下列方程

（1）x2+2x-8=0 （2）x2+x-6=0 （3）x2-x=20

（4）2x2-5x-12=0 （5）6x2-13x+5=0 （6）3a2-7a-6=0

（7）5x2+6x-8=0 （8）2x2+3x+1=0

例5、已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）的两个实数根都是整数，求正整数m的值

知识点四、公式法

思考：如何解方程2933102xx

公元820年，阿拉伯数学家花剌子模找到了一元二次方程的通解

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有解，则这个解2bxa

其中Δ=b2-4ac也叫做“根的判别式”，读作“delta”

这个公式是怎么推导出来的呢？有兴趣的同学可以看看下列推导过程，但是由于时间关系，课堂上就不详细讲了

求证：如果一元二次方

程ax2+bx+c=0(a≠0)有解，则这个解242bbacxa

证： 222222222220()()224()2442242axbxcaxbxcbcxxaabbcbxxaaaabbacxaabbacxaabbacxa

例1、用公式法解方程：2933102xx 例2、用公式法解方程：22330xx

例3、用公式法解方程：4x2+5x=-1 例4、用公式法解方程：14)3)(23(＋＝＋＋xxx

1、用公式法解下列方程：

（1）2x2-4x-1=0 （2）-3x2+4x+1=0 (3) 01252＝－＋xx

（4）x2+5x=3 （5）2325xx＝＋ （6）1)53)(2(＝－－xx

2、把方程(2x-1)(3x+2)=x2 +2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是（ ）

A、5 、-4 B、5 、1 C、5、4 D、1、-4

3、若关于x的方程2x2-3x+c = 0的一个根是1，则另一个根是

4、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 、 和 、 。

5、（整体法）若1-244xx=9,则x2的值是（ ）.

A.4 B.-2 C.4或-2 D. ±3

6、（整体法）若8)2)((baba，则ba=

7、（整体法）如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b的值是

8、一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长是（ ）

A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确