正弦公式和余弦公式

1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式

重点分析：

本节课的重点是两角和与差的正弦与余弦公式，二倍角公式．两角和与差的正弦与余弦公式是本章的重要内容，是后继内容二倍角公式，三角函数式化简等问题的解决有着重要的支持作用．通过本节课的学习，培养学生的观察能力，灵活运用公式的能力．

难点是余弦公式的推导和两角和与差的正弦与余弦公式的灵活运用．

突破难点的方法：

讲清公式的特点．比如cos()coscossinsin；引导学生观察时先整体后局部：余弦乘余弦+正弦乘正弦，先后，注意正负符号是相反的．可以让学生自己总结出相应的口诀来概括两角和与差的正弦与余弦公式，既体现了公式的本质特征，又朗朗上口，便于学生记忆．

灵活运用公式方面主要是让学生从正反两个方面加深学生对公式的理解和认识．

余弦公式的推导过程中先复习单位圆和数量积的相关知识，通过几何画板动态演示．给学生以直观的认识．

涟源市工贸职业中专数学组刘伟生

第1章 三角公式及应用（教案） 【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二）

【教学目标】

知识目标：

理解两角和与差的正切公式，了解二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．

能力目标：

学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．

【教学重点】

本节课的教学重点是二倍角公式．

【教学难点】

难点是公式的推导和运用．

【教学设计】

考虑到学生继续学习的需求，介绍两角和与差的正切公式。例7是应用两角和正切公式的基本题目．例8的两道题目，对学生来说是比较困难的，但是这两道题目是非常关键的．要以他们为载体，提升学生的数学思维能力．对例8（2），要引导学生思考，将两个地方的1用tan45替换，就可以利用两角和正切公式了．本例题所使用的方法，在三角式变形中经常使用．

明确二倍角的概念．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．二倍角余弦公式的三种形式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．例9中，要想利用正弦二倍角公式，必须首先求出余弦函数值．求cos2时，使用的公式有利用同角三角函数关系、利用cos和利用sin的三类公式可供选择．选用公式2cos212sin的主要原因是考虑到sin是已知量．例10中，讨论2角的范围是因为利用同角三角函数关系求sin2时需要开方．旨在让学生熟悉：只要具备二倍角关系，就可以使用公式．教材在求sin4时，利用了升幂公式，由讨论2角的范围来决定开方取正号还是负号．虽然这里就是实际上使用半角公式，但是教材与大纲中，都没有引入半角公式的要求，因此，不补充半角公式，只作为二倍角余弦变形的应用来介绍．例11是三角证明题．证明的基本思路是将角用半角来表示，再进行三角式的化简．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟) 涟源市工贸职业中专数学组刘伟生

正弦、余弦的诱导公式

【重点难点解析】

1.把握诱导公式的导出，关键要搞清180°+α，-α，180°-α，360°-α的终边与α的终边的关系.

2.关于诱导公式的使用条件应注意把α看做锐角，即它无论是否为锐角，公式都是成立的.

【命题趋势分析】

在历届高考试题中，本节内容一般以选择题、填空题形式出现，属基本题，比较容易；本部分内容经常结合到其它知识中去进行综合应用

核心知识

【基础知识精讲】

诱导公式：k·360°+α(k∈Z),-α,180°±α,360°-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看作锐角时(无论α是什么角，都“看作”锐角，如cos(180°+110°)=-cos110°)原函数值相应象限的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.

利用上述五组诱导公式，可以把任意角的三角函数值化为锐角三角函数值，其一般步骤为：

任意负角的三角函数 相应正角的三角函数 0°～360°角的三角函数 锐角三角函数 三角函数值，亦可概括为“负角化正角”→ “大角化小角”→“查表求值”. 通过诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，培养学生化归思想的应用意识.通过利用单位圆推导诱导公式，培养学生运用数形结合的数学思想化抽象为直观的意识.

典型例题

例1 求值tan(- )sin(- π)-cos tan .

分析 训练学生正确运用诱导公式求任意角三角函数值能力，直接运用诱导公式.

解：原式=tan sin -cos tan

=tan(4π+ )sin(14π+ )-cos(6π+ )tan(9π+ )

=tan sin -cos tan

=tan(2π- )sin(π+ )-sin

=tan sin - = · - =0

评析 本例难点在正确的运用和多次运用诱导公式，着重训练学生恒等变形能力.

例2 (1)求证tan(π+α)=tanα；

(2)化简 .

分析 利用公式二和商数关系即可使(1)获证.(2)可用诱导公式及(1)化简，亦可将tan(π+α)化为 后再化简.

第 1 页 共 5 页 六个公式之间的逻辑关系coscos()sinsin()tantan课题 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

1．注意到)(，由公式C(α+β).，可以推出：

以上公式即为两角和的余弦公式，简记为C(α+β). sinsincoscos)cos(

2．由C(α+β).和C(α+β).及诱导公式（五）和诱导公式（六），可以推出两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

3．推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,利用同角三角函数关系式，化弦为切得到两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).

tan(α+β)=,tantan1tantan

tan(α-β)= .tantan1tantan

总结：

☆ C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式

☆ 等。灵活运用，如注意角的变换及公式的)2()2(2),()(2;)(

☆ 理解这6个公式的逻辑联系：

例1：化简求值：

(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；

(2)sinx＋π3＋2sinx－π3－3cos2π3－x；

(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.

第 2 页 共 5 页 解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin()14°＋16°＝sin 30°＝12.

(2)原式＝sin xcosπ3＋cos xsinπ3＋2sin xcosπ3－2cos xsinπ3－3cos2π3cos x－3sin2π3sin x ＝3sin xcosπ3－cos