数学中考一轮复习学案 第11节 一次函数的应用（含解析）

一次函数的应用辅导教案课前热身1．如图，直线y=ax+b过点A（0，3）和点B（﹣5，0），则方程ax+b=0的解是（）A．x=3 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=﹣5 2. 如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x≥ax+5的解集为3. 一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为米4. 黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．遗漏分析知识精讲【基础知识重温】一、一次函数和一元一次方程的关系一次函数y ＝kx ＋b 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx ＋b ＝0的 ；若从图象上来看，则可看做函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点的 ，即为方程kx ＋b ＝0的解．二、一次函数和一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为类似ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y ＝ax ＋b 的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y ＝ax ＋b 的值何时大(小)于0时，只要求出不等式ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0的解集即可．①如图1，一次函数b kx y +=的图象与x 轴交于点（x 0，0）．当它在x 轴上方的部分时，对应不等式为 ，其解为 ；当它在x 轴下方的部分时，对应不等式为 ，其解为 .② 如图2，一次函数111b x k y +=与222b x k y +=的图象交点的横坐标为x 0．当222b x k y +=的图象在111b x k y +=上方的部分时，对应不等式图1x 0y=kx+b y x y 2=k 2x+b 2图2x 0y 1=k 1x+b 1y x为 ，其解为 ；当222b x k y +=的图象在111b x k y +=下方的部分时，对应不等式为 ，其解为 .二、一次函数的实际应用(1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看 分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．(2)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是 等等．四、例题分析题型一、两条直线平行或相交【例1】（2016湖南株洲）已知A 、B 、C 、D 是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB ≌△COD ．设直线AB 的表达式为y 1=k 1x+b 1，直线CD 的表达式为y 2=k 2x+b 2，则k 1k 2= ．【趁热打铁】1.直线y=-2x+m 与直线y=2x-1的交点在第四象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞-1B ．m ＜1C ．-1＜m ＜1D ．-1≤m≤12. 如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b 的图象交于点P （2，4），则关于x 的方程kx+3=﹣x+b 的解是 ．题型二、一次函数与一元一次不等式【例2】（2016山东东营）如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P（3，5），则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_____________．【趁热打铁】1. 如图，函数y=3x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为．2. 如上题图，函数y=kx（k≠0）和y=ax+4（a≠0）的图象相交于点A（2，3），则不等式kx＞ax+4的解集为．题型三、方案设计【例3】（2016山东临沂）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱？【趁热打铁】黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．题型四、分段函数【例4】（2016新疆生产建设兵团）暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．（1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？（2）求线段AB对应的函数解析式；（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？【趁热打铁】一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：（1）甲乙两地之间的距离为千米；（2）求快车和慢车的速度；（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【趁热打铁】我市为创建“国家级森林城市”政府将对江边一处废弃荒地进行绿化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共6000棵，且甲种树苗不得多于乙种树苗，．某承包商以26万元的报价中标承包了这项工程．根据调查及相关资料表明：移栽一棵树苗的平均费用为8元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如表：品种购买价（元/棵）成活率甲20 90%乙32 95%设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．请根据以上信息解答下列问题：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；（2）承包商要获得不低于中标价16%的利润，应如何选购树苗？（3）政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93%，否则承包商出资补载；若成活率达到94%以上（含94%），则城府另给予工程款总额6%的奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？五、牛刀小试1、直线y=kx+3经过点A （2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（ ）A ．x≤3B ．x≥3C ．x≥﹣3D ．x≤02、明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S （单位：m 2）与工作时间t （单位：h ）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ）A ．300m 2B ．150m 2C ．330m 2D ．450m 23、已知直线l 1：y=﹣3x+b 与直线l 2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组的解是（ ） A ． B ． C ． D ． 4、周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y（km ）与小芳离家时间x （h ）的函数图象．（1）小芳骑车的速度为 km/h ，H 点坐标 ．（2）小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？（3）相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地（彼此交流时间忽略不计），求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？31x y b kx y +=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=-⎩12x y =⎧⎨=⎩12x y =-⎧⎨=-⎩12x y =-⎧⎨=⎩5、随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？6、为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．巩固练习1. 如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（）A．x=2 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=﹣32. 甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（）①甲车的速度为50km/h②乙车用了3h到达B城③甲车出发4h时，乙车追上甲车④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km．A．1个B．2个C．3个D．4个3.两直线l1：y=2x-1，l2：y=x+1的交点坐标为（）A．（-2，3）B．（2，-3）C．（-2，-3）D．（2，3）4. 若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．-3，-2，-1，0 B．-2，-1，0，1 C．-1，0，1，2 D．0，1，2，3 5.一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．小红根据图象得出下列结论：①l1描述的是无月租费的收费方式；②l2描述的是有月租费的收费方式；③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36.如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（）A．x＞0 B．x＞-3 C．x＞2 D．-3＜x＜2课堂小结强化提升1. 一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示．根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=6的解为．2. 如图，函数y=kx（k≠0）和y=ax+4（a≠0）的图象相交于点A（1，3），则不等式kx＞ax+4的解集为．3.一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达后用了半小时卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍．货车离甲地的距离y（千米）关于时间x（小时）的函数图象如图所示．则a= （小时）．4.一次函数y=ax+b （a ，b 都是常数）的图象过点P （-2，1），与x 轴相交于A（-3，0），则根据图象可得关于x 的不等式组0≤ax+b ＜-12x 的解集为 ．课后作业1.（本题满分10分）某校准备组织师生共60人，从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动，动车票价格如下表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）若师生均购买二等座票，则共需1020元．（1）参加活动的教师有_________人，学生有___________人；（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元．①求关于的函数关系式；②若购买一、二等座票全部费用不多于1032元，则提早前往的教师最多只能多少人？运行区间成人票价（元/张） 学生票价（元/张） 出发站终点站 一等座 二等座 二等座 南靖 厦门 26 22 16 x y y x2. 如图，过点A （2，0）的两条直线， 分别交 y 轴于B ，C ，其中点B 在原点上方，点C 在原点下方，已知AB=.（1）求点B 的坐标；（2）若△ABC 的面积为4，求的解析式.3. （本题满分10分）某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可达100万元．由于该产品供不应求，公司计划于3月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额y （万元）与月份x （月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（5月及以后每月的销售额都相同），而经销成本p （万元）与销售额y （万元）之间函数关系的图象图2中线段AB 所示．1l 2l 132l（1）求经销成本p （万元）与销售额y （万元）之间的函数关系式；（2）分别求该公司3月，4月的利润；（3）问：把3月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元？（利润=销售额﹣经销成本）4.（本题满分10分）小李是某服装厂的一名工人，负责加工A ，B 两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A 型服装1件可得20元，加工B 型服装1件可得12元.已知小李每天可加工A 型服装4件或B 型服装8件，设他每月加工A 型服装的时间为x 天，月收入为y 元.(1) 求y 与x 的函数关系式；(2) 根据服装厂要求，小李每月加工A 型服装数量应不少于B 型服装数量的，那么他的月收入最高能达到多少元？355. （本题满分10分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为米/分；（4）求A、C两点之间的距离；（5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米．。

2021年中考数学总复习第11课时一次函数的应用第11课时一次函数的应用第11课时┃ 一次函数的应用考点聚焦考点1 一次函数的应用利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： (1)观察图象，获取有效信息； (2)对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； (3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用考点2方案决策问题“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能符合题目要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量要求最大或最小，一般利用这个最值解决问题. [注意] 通过实际问题列出一次函数关系，然后根据一次函数的性质解决问题，往往同时考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，注意分清函数、方程、不等式的异同.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用归类探究探究一利用一次函数进行方案选择命题角度： 1. 求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值； 2.利用一次函数进行方案选择.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用例1 [2021· 山西] 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图11-1所示： (1)填空：甲种收费方式的函数解析式是________;乙种收费方式的函数解析式是________. (2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案，选择哪种印刷方式较合算？图11-1考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用解：(1) y甲=0.1 x+6,y乙=0.12 x. (2) 由题意，得当y甲>y乙时，0.1 x+6>0.12 x,解得x<300 ; 当y甲=y乙时，0.1 x+6=0.12 x,解得x=300 ; 当y甲<y乙时，0.1x+6<0.12 x,解得x>300. ∴当100 ≤x<300 时，选择乙种印刷方式较合算；当x=300 时，甲、乙两种印刷方式一样合算；当300 <x≤450 时，选择甲种印刷方式较合算.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用解析 (1) 设甲种收费方式的函数解析式为 y =kx+b, 甲乙种收费方式的函数解析式为 y乙=k1x,直接运用待定系数法就可以求出结论； (2) 由(1)中的函数解析式分三种情况进行讨论，当 y甲>y乙时，当y甲=y乙时，当y甲<y乙时分别求出x的取值范围，就可以得出选择方式. 方法点析一次函数的方案决策题，一般都是利用自变量的取值不同，得出不同方案，并根据自变量的取值范围确定出最佳方案.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用探究二利用一次函数解决分段函数问题命题角度： 1.利用一次函数解决个税收取问题； 2.利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用例2 [2021· 湖州] 已知某市2021年企业用水量x(吨)与该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图11-2. (1)当x≥50时，求y关于x的函数解析式； (2)若某企业2021年10月份的水费为620元，求该企业2021年10月份的用水量； (3)为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2021年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2021年收费标准收取水费外，超过80吨的部分每吨另加收 x 元污水处理费.若20某企业2021年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量.图11-2考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用解：(1) 设y关于x的函数解析式为y=kx+b. ∵直线y=kx+b经过点(50 ,200 ),(60 ,260 ), 50 k+b=200 , k=6, ∴ 解得 60k+b=260 , b=-100.∴y关于x的函数解析式是 y=6x-100. (2) 由图可知，当y=620 时，x>50, ∴6x-100 =620 ,解得 x=120. 答：该企业2021 年10 月份的用水量为 120 吨. x (3) 由题意得 6x-100 + (x-80) =600 , 20 化简得x2+40 x-14000 =0. 解得x1=100 ,x2=-140( 不合题意，舍去). 答：这个企业 2021 年3月份的用水量是 100 吨.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用(1) 设y关于 x的函数解析式为 y=kx+b,代入(50, 200),(60,260)两点求得函数解析式即可； (2)把y=620代入(1)中函数解析式求得答案即可； (3)利用水费+污水处理费=600元，列出方程解决问题.解析方法点析此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数是解决问题的关键，一般应从如下几方面入手： (1)寻找分段函数的分界点；(2)针对每一段函数关系，求解相应的函数解析式；(3)利用条件求未知问题.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用探究三利用一次函数的增减性解决最值应用问题命题角度：利用一次函数的增减性求最值的应用问题.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用例3 [2021· 孝感] 我市荸荠喜获丰收，某生产基地收获荸荠 40吨.经市场调查，可采用批发、零售、加工销售三种销售方式，这三种销售方式每吨荸荠的利润如下表：销售方式批发零售加工销售利润(百元/吨) 12 22 30 设按计划全部售出后的总利润为y(百元),其中批发量为x 吨，且加工销售量为15吨. (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用解：(1)依题意可知零售量为 (25 -x)吨，则y=12 x+22(25 -x)+30 ×15 , ∴y=-10 x+1000 (0≤x≤25). x≥0, (2)依题意，有 25 -x≥0, 解得5≤x≤25. 25 -x≤4x, ∵-10<0 ,∴y随x的增大而减小. ∴当x=5时，y有最大值，且y最大值 =950 (百元). ∴最大利润为 950 百元.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用回归教材“分段函数”模型应用广教材母题―― 人教版八下 P109 T13 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始 4min 内只进水不出水，在随后的 8 y(单位：L)与 min 内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量时间x(单位： min )之间的关系如图 11-3所示. (1)当0≤x≤4时，求y关于x的函数解析式；(2)当4<x≤12时，求y关于x的函数解析式； (3)每分进水、出水各多少升？图11-3考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用解：(1)y=5x(0≤x≤4). 5 (2)y= x+15(4< x≤12). 4 (3)由y=5x,知每分进水 5 L. 30 -20 15 由5- 12 -4 = 4 (L),知每分出水15 L. 4考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用[点析] (1)分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式也不相同.在解决实际问题时，要特别注意相应自变量的变化范围.(2)数形结合寻找有用信息是求分段函数解析式的常用方法.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用中考预测五一节期间，申老师一家自驾游去了离家170 千米的某地，如图11-4是他们离家的距离y(单位：千米)与汽车行驶时间x(单位：时)之间的函数图象. (1)求他们出发半小时时，离家多少千米； (2)求出AB段图象的函数解析式； (3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？图11-4考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用解：(1) 设OA段图象的函数解析式为y=kx. ∵当x=1.5 时，y=90 ,∴1.5 k=90 ,解得k=60. ∴y=60 x(0≤x≤1.5), ∴当x=0.5时，y=60×0.5=30. 故他们出发半小时时，离家30千米.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用(2) 设AB段图象的函数解析式为y=k′x+b. ∵点A(1.5,90),B(2.5,170)在线段AB 上， 1.5k′+b=90, ∴ 2.5k′+b=170, k′=80, 解得b=-30,∴y=80x-30(1.5≤x≤2.5). (3)∵当x=2时，y=80×2-30=130, ∴170-130=40(千米). 故他们出发2小时时，离目的地还有40千米.考点聚焦归类探究回归教材第11课时┃ 一次函数的应用解析 (1) 先运用待定系数法求出 OA所对应的函数解析式，再将x =0.5代入，求出y的值即可； (2)设AB段图象的函数解析式为y=k′x+b,将A,B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解； (3)先将x=2代入AB段图象的函数解析式，求出对应的y值，再用170减去y值即可求解.考点聚焦归类探究回归教材感谢您的阅读，祝您生活愉快。

九年级数学一轮复习导学案 一次函数的应用☆学习目标:1.通过解决实际生活中的问题，学会建模的数学思想2.通过函数模型，学会用分类讨论的数学思想解决一次函数中的最值问题。

☆复习回顾： 1.一次函数的定义2.一次函数的图像和性质3.一次函数与一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组的联系4.求一次函数解析式的方法及步骤☆基础热身：1.已知P1(1，y1)，P2(2，y2)是一次函数y= -2x+1的图象上的两点，则y1_____y2.( )A.<B.=C.>D.不确定2.（河南）如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，6），则不等式2x ＜ax+4的解集为（ ）A. x ＜ 32 B. x ＜3 C. x ＞ 32 D. x ＞3☆知识类型梳理► 类型之一 利用一次函数进行方案选择 命题角度：1.求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大或最小值；2.利用一次函数进行方案选择．案例分析1：（连云港10分）某医药公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择．方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元； 方式二：使用快递公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元；(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式； (2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？[解析]方法小结：► 类型之二 利用一次函数解决实际生活问题 命题角度：1. 利用一次函数解决利润问题；2. 利用分类讨论的数学思想解决一次函数的最值问题．案例分析2：（2014河南省变式，10分）某商店销售10台A 型和20台B 型冰箱的利润为4000元，销售20台新飞和10台海尔冰箱的利润为3500元.（1）求每台A 型冰箱和B 型冰箱的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的冰箱共80台，其中B 型冰箱的进货量不超过A 型冰箱的3倍.设购进A 型冰箱x 台，这80台冰箱的销售总利润为y 元.①求y 关于x 的函数关系式；②该商店购进A 型、B 型冰箱各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A 型冰箱出厂价下调m （0<m<100）元，且限定商店最多购进A 型冰箱60台.若商店保持两种冰箱的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台冰箱销售总利润最大的进货方案.[解析]方法小结：☆课堂练习： [2015义乌] 周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图13－2是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．☆作业：1. （2015浙江省丽水市，22，10分）甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如图所示．（1）求甲行走的速度；（2）在坐标系中，补画s关于t的函数图象的其余部分；（3）问甲、乙两人何时相距360米？2.（2015山东临沂，24，9分）新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送。

专项训练一次函数的最值应用一、一次函数最值问题的基本模型1.如果n≤x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值，当x＝m时，y有最大值.当x＝n时，y有最大值，当x＝m时，y有最小值.2.如果x≥n，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值；当x＝n时，y有最大值.3.如果x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝m时，y有最大值；当x＝n时，y有最小值.4.如果n＜x＜m，x取值不定，那么y＝kx＋b既没有最大值也没有最小值.但是，如果x 取特殊值（如x取整数值），可参照前述三条求最值.二、一次函数最值应用的步骤1.审题，求一次函数的解析式；3.根据题意确定自变量的取值范围；4.结合增减性和自变量的取值范围确定函数的最值.类型一实际应用中直接求最值1.为迎接国庆节的到来，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍各种奖品的单价如下表所示如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元.（1）求与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少，最少是多少元？2.某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其他原料充足.求该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题:（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.4.我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如表所示:购买苹果数x（千克）不超过50千克的部分超过50千克的部分每千克价格（元）10 8（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？（2）若小刚购买苹果x千克，用去了y元分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？5.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元.（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？类型二方案设计中的最值6.煤炭是陕西省的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划.某煤矿现有1000吨要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如表（表中运费栏“元/t·km”表示每吨煤炭运送一千米所需的费用）:（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费.7.某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回.经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.8.年初，武汉暴发新冠疫情，“一方有难，八方支援”，某地为助力武汉抗疫，紧急募集到一批物资运往武汉的A，B两县，用载重量为16吨的大货车8辆和载重量10吨的小货车10辆恰好一次性运完这批物资.运往A，B两县的运费标准如表:（1）如果安排到A，B两县的货车都是9辆，设前往A县的大货车为x辆，前往A，B两县的总运费为y元，求出y与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，若运往A县的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.9.在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上的消毒液和防护口罩热销.某药店推出两种优惠方案，方案①:购买1瓶消毒液，赠送1个口罩，方案②:消毒液和口罩一律按9折优惠.消毒液每瓶定价40元，口罩每个定价5元小明需买4瓶消毒液和若干个口罩（不少于4个），设购买口罩x 个，用优惠方案①购买费用为y 1元，用优惠方案②购买费用为y 2元. （1）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式； （2）什么情况下选择方案②更优惠？（3）若要买4瓶消毒液和12个口罩，请你设计怎样购买最便宜.参考答案1.解:（1）w ＝ 12x ＋10(2x-10)＋5［50-x-(2x-10)]＝ 17x ＋200.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯≤--->--->->)102(105.1)]102(50[50)]102(50[01020x x x x x x x ，得10≤x ＜20.∴自变量的取值范围是10≤x ＜20，且x 为整数；（2）w ＝17x ＋200，∵k ＝17＞0，∴w 随x 的增大而增大，减小而减小. ∵1≤0x ＜20，当x ＝10时，有w 最小值，最小值为w ＝17×10＋200＝370. 2.解: （1） y ＝0.3x ＋0.4（2500-x ）＝-0.1x ＋1000， 因此y 与x 之间的函数表达式为:y ＝-0.1x ＋1 000；⎧≤-+1000)2500(5.025.0x x又∵k ＝-0.1＜0，∴y 随x 的减小而增大. ∴当x ＝1000时， y 最大，此时2500-x ＝1500， 因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大.3，解:（1）设y 甲＝k 1x ，根据题意得:5k 1＝100，解得:k 1＝20.∴у甲＝20x. 设y 乙＝k 2x ＋100，根据题意得:20k 2＋100＝300，解:k 2＝10. ∴y 乙＝ 10x ＋100；（2）①y 甲＜y 乙，即20x ＜10x-100，解得:x ＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y 甲＝y 乙，即20x ＝10x-100，解得:x ＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲＞y 乙，即 20x ＞10x ＋100，解得:x ＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.4，解:（1）由表格可得，40×10＝400（元）， 答:小刚购买苹果40千克，应付400元； （2）由题意可得，当0≤x ≤50时， y 与x 的关系式是y ＝10x ，当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝10×50—8（x-50）＝8x ＋100， 即当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝8x ＋100；（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为:8×80-100＝740（元），分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为:40×10×2＝800（元），800—740＝60（元），答:小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40 千克）所付的费用少60元.5.解:（1）依题意得:y ＝4x ＋3（50-x ） ＝x ＋150；（2）依题意得:⎩⎨⎧≤-+≤-+，②，①17)50(4.03.019)50(2.05.0x x x x解不等式①得:x ≤30，解不等式②得:x ≥28， ∴不等式组的解集为28≤x ≤30.∵y ＝x ＋150， y 是随2的增大而增大，且28≤x ≤30，∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，y 最小＝28＋150＝1786，解:（1）若运往A 厂x 吨，则运往B 厂为（1000-x ）吨. 依题意得:y ＝200×0.45x ＋150×a ×（1000-x ）＝90x-150ax ＋ 150000a ＝（90-150a ）x ＋ 150000a ，依题意得⎩⎨⎧≤-≤8001000600x x ，解得200≤x ≤600.故函数关系式为y ＝（90-150a ）x ＋150000a ， （200≤x ≤600） ； （2）当0＜a ＜0.6时，90-150a ＞0，∴当x ＝200时，y 最小＝（90-150a ）×200＋150000a ＝120000a ＋18000. 此时，1000-x ＝1000-200＝800.当a ＞0.6时，90-150a ＜0，又因为运往A 厂总吨数不超过600吨， ∴当x ＝600时，y 最小＝（90-150a ）×600＋150000a ＝60000a ＋54000. 此时，1000-x ＝1000-600＝400.当a ＝0.6时，y ＝90000,答:当0＜a ＜0.6时，运往A 厂200吨， B 厂800吨时，总运费最低，最低运费（120000a ＋18000）元.当a ＞0.6时，运往A 厂600吨，B 厂400吨时，总运费最低，最低运费（60000a ＋54000）元.当a ＝0.6时，运费90000元.7.解:（1）由题意可得，y ＝400x ＋320（8-x ）＝80x ＋2560. 即y 与x 的函数关系式为y ＝80x ＋2560；（2）由题意可得，45x ＋35（8-x ）≥340，解得，x ≥6， ∵y ＝80x ＋2560，∴k ＝80，y 随x 的增大而增大. ∴当x ＝6时， y 取得最小值，此时y ＝3040，8-x ＝2.答:最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元.8.解:（1）设前往A 县的大货车为z 辆，则前往A 县的小货车为（9-x ）辆；前往B 县的大货车为（8-x ）辆，前往B 县的小货车为（1＋x ）辆，根据题意得：y ＝1080x ＋750（9-x ）＋120（8-x ）＋950（1＋x ）＝80x ＋17300 （0≤x ≤8）； （2）由题意得，16x ＋10（9-x ）≥120，解得x ≥5. 又∵0≤x ≤8，∴5≤x ≤8且为整数.∵y ＝80x ＋17300，且80＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，最小值为y ＝80×5＋17300＝17700.货车前往B县.最少运费为17700元.9.解:（1）由题意得:y1＝40×4＋5（x-4）＝5x＋140；y2＝40×0.9×4＋5×0.9x＝4.5x＋144；（2）当y1＞y2时，5x＋140＞4.5x＋144，解得x＞8，答:当x＞8时，选择方案②更优惠；（3）方案①:y1＝5×12＋140＝220（元）；方案②:y2＝4.5×12＋144＝198（元）；方案③:先按方案①买4瓶消毒液，送4个口罩，剩下8个口罩按方案②购买，总价为:40×4＋5×0.9×8＝196（元），∵200＞198＞196，∴方案③最省钱.答:购买4瓶消毒液和12个口罩用方案③最优惠.。

2020年中考数学——一次函数及其应用考题感知与试做1.如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A .乙前4 s 行驶的路程为48 mB .在0到8 s 内甲的速度每秒增加4 m /sC .两车到第3 s 时行驶的路程相等D .在4至8 s 内甲的速度都大于乙的速度2.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若点C ⎝⎛⎭⎫32，32，则该一次函数的表达式为 .中考考点梳理一次函数及其图象和性质1.一次函数及正比例函数的概念用自变量的一次整式表示的函数的关系式，称为一次函数.一次函数通常可以表示为y ＝kx ＋b 的形式，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx （常数k ≠0）叫做正比例函数.【温馨提示】正比例函数是一种特殊的一次函数.正比例函数是一次函数，反之不一定成立；定义中k ≠0是非常重要的条件，若k ＝0，则函数就成为y ＝b （b 为常数），此函数图象是平行于x 轴（包括x 轴）的直线，不是一次函数.2.一次函数的图象和性质一次函数 y ＝kx ＋b （k ≠0）k 、b符号 k ＞0 k ＜0 b ＞0 b ＜0 b ＝0 b ＞0 b ＜0 b ＝0图象经过象限经过第一、二、三象限经过第 象限 经过第一、三象限 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限经过第 象限增减性 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而与坐标轴 的交点与x 轴的交点坐标为 ， 与y 轴的交点坐标为3.一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象向上或向下平移m （m>0）个单位的解析式为y ＝kx ＋（b±m ）；向左或向右平移m 个单位的解析式为y ＝k （x±m ）＋b.一次函数表达式的确定4.求一次函数表达式的常用方法是 ，具体步骤： （1）设出待求函数表达式y ＝kx ＋b （k ≠0）；（2）将题中条件（图象上点的坐标）代入表达式y ＝kx ＋b ，得到含有待定系数k 、b 的方程（组）； （3）解方程（组）求出待定系数k 、b 的值；（4）将所求待定系数的值代入所设函数表达式中.一次函数与方程（组），不等式的关系5.一次函数与方程（组）的关系（“数形结合”思想）（1）一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，且k ≠0）可转化为二元一次方程kx －y ＋b ＝0； （2）一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标 是方程kx ＋b ＝0的解；（3）一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝k 1x ＋b 1图象交点的横、纵坐标值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝k 1x ＋b 1的解.6.一次函数与不等式的关系（“数形结合”思想）（1）如图①，函数y ＝kx ＋b 中，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＞0的解集，对应的函数图象为位于x 轴上方的部分，即x ＜a ；当函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＜0的解集，对应的函数图象为位于x 轴下方的部分，即x ＞a.（2）两个一次函数可将平面分成四部分，比较两函数交点左右两边图象上下位置来判断不等式的解集，即k 1x ＋b 1＞k 2x ＋b 2的解集为x ＞a ；k 1x ＋b 1＜k 2x ＋b 2的解集为x ＜a （如图②）.【温馨提示】灵活运用“数形结合”思想，不忘代数解法.一次函数的实际应用7.利用一次函数解决实际问题的一般步骤 （1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程（组）与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义； （6）作答. 8.方案最值问题对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过 列不等式 ，求解出某一个事物的 取值范围 ，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案.1.（2019·沈阳中考）已知一次函数y ＝（k ＋1）x ＋b 的图象如图所示，则k 的取值范围是（ ） A .k ＜0 B .k ＜－1 C .k ＜1 D .k ＞－12.若一个正比例函数的图象经过A （3，－6）、B （m ，－4）两点，则m 的值为（ ） A .2 B .8 C .－2 D .－8（第1题图） （第3题图）3.如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的表达式是（ ）A .y ＝2x ＋3B .y ＝x －3C .y ＝2x －3D .y ＝－x ＋34.如图，正比例函数y 1＝k 1x 和一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象相交于点A （2，1）.当x<2时，y 1 y 2.（填“>”或“<”）中考典题精讲精练一次函数的图象及性质【典例1】已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k 、b 的取值情况为（ ）A .k ＞1，b ＜0B .k ＞1，b ＞0C .k ＞0，b ＞0D .k ＞0，b ＜0一次函数表达式的确定及与方程（组）、不等式的关系【典例2】已知函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与y 轴交点的纵坐标为－2，且当x ＝2时，y ＝1，那么这个函数的表达式为 .【典例3】如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图象交y 轴于点A （0，3），则不等式－2x ＋b ＞0的解集为（ ）A .x ＞32 B .x ＞3C .x ＜32 D .x ＜3一次函数的实际应用【典例4】甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A 地出发前往B 地.甲出发1 h 后，乙出发.设甲与A 地相距y 甲（km ），乙与A 地相距y 乙（km ），甲离开A 地的时间为x （h ），y 甲、y 乙与x 之间的函数图象如图所示.（1）甲的速度是 km /h ；（2）当1≤x ≤5时，求y 乙关于x 的函数表达式；（3）当乙与A 地相距240 km 时，甲与A 地相距 km .一次函数的综合应用 【典例5】如图，把Rt △ABC 放在平面直角坐标系上，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为 cm 2.1.（2019·广安中考）一次函数y ＝2x －3的图象经过的象限是（ ） A .一、二、三 B .二、三、四 C .一、三、四 D .一、二、四2.（2019·成都中考）已知一次函数y＝（k－3）x＋1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 .3.（2019·通辽中考）如图，直线y＝kx＋b（k≠0）经过点（－1，3），则不等式kx＋b≥3的解集为（）A.x＞－1B.x＜－1C.x≥3D.x≥－14.若函数y＝2x＋b（b为常数）的图象经过点（1，5），则b的值为.5.（2019·大连中考）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条路上的A、B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时间x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数图象，则a－b＝ .6.（2019·山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）.（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？7.（2019·乐山中考）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P（－1，a）.（1）求直线l1的解析式；（2）求四边形PAOC的面积.参考答案考题感知与试做1.（2019·中考）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ C ）A .乙前4 s 行驶的路程为48 mB .在0到8 s 内甲的速度每秒增加4 m /sC .两车到第3 s 时行驶的路程相等D .在4至8 s 内甲的速度都大于乙的速度2.（2018·中考）如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若点C ⎝⎛⎭⎫32，32.中考考点梳理一次函数及其图象和性质1.一次函数及正比例函数的概念用自变量的一次整式表示的函数的关系式，称为一次函数.一次函数通常可以表示为y ＝kx ＋b 的形式，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx （常数k ≠0）叫做正比例函数.【温馨提示】正比例函数是一种特殊的一次函数.正比例函数是一次函数，反之不一定成立；定义中k ≠0是非常重要的条件，若k ＝0，则函数就成为y ＝b （b 为常数），此函数图象是平行于x 轴（包括x 轴）的直线，不是一次函数.2.一次函数的图象和性质3.一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象向上或向下平移m （m>0）个单位的解析式为y ＝kx ＋（b±m ）；向左或向右平移m 个单位的解析式为y ＝k （x±m ）＋b.一次函数表达式的确定4.求一次函数表达式的常用方法是 待定系数法 ，具体步骤： （1）设出待求函数表达式y ＝kx ＋b （k ≠0）；（2）将题中条件（图象上点的坐标）代入表达式y ＝kx ＋b ，得到含有待定系数k 、b 的方程（组）；（3）解方程（组）求出待定系数k 、b 的值； （4）将所求待定系数的值代入所设函数表达式中.一次函数与方程（组），不等式的关系5.一次函数与方程（组）的关系（“数形结合”思想）（1）一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，且k ≠0）可转化为二元一次方程kx －y ＋b ＝0；（2）一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标 －bk是方程kx ＋b ＝0的解；（3）一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝k 1x ＋b 1图象交点的横、纵坐标值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝k 1x ＋b 1的解.6.一次函数与不等式的关系（“数形结合”思想） （1）如图①，函数y ＝kx ＋b 中，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＞0的解集，对应的函数图象为位于x 轴上方的部分，即x ＜a ；当函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＜0的解集，对应的函数图象为位于x 轴下方的部分，即x ＞a.（2）两个一次函数可将平面分成四部分，比较两函数交点左右两边图象上下位置来判断不等式的解集，即k 1x ＋b 1＞k 2x ＋b 2的解集为x ＞a ；k 1x ＋b 1＜k 2x ＋b 2的解集为x ＜a （如图②）.【温馨提示】灵活运用“数形结合”思想，不忘代数解法.一次函数的实际应用7.利用一次函数解决实际问题的一般步骤 （1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程（组）与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义； （6）作答. 8.方案最值问题对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过 列不等式 ，求解出某一个事物的 取值范围 ，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案.1.（2019·沈阳中考）已知一次函数y ＝（k ＋1）x ＋b 的图象如图所示，则k 的取值范围是BA .k ＜0B .k ＜－1C .k ＜1D .k ＞－12.若一个正比例函数的图象经过A （3，－6）、B （m ，－4）两点，则m 的值为（ A ） A .2 B .8 C .－2 D .－8（第1题图） （第3题图）3.（2014·宜宾中考）如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的表达式是（ D ）A .y ＝2x ＋3B .y ＝x －3C .y ＝2x －3D .y ＝－x ＋34.如图，正比例函数y 1＝k 1x 和一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象相交于点A （2，1）.当x<2时，y 1 ＜ y 2.（填“>”或“<”）中考典题精讲精练一次函数的图象及性质【典例1】已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k 、b 的取值情况为（ A ）A .k ＞1，b ＜0B .k ＞1，b ＞0C .k ＞0，b ＞0D .k ＞0，b ＜0【解析】一次函数y ＝kx ＋b －x ＝（k －1）x ＋b. ∵函数值y 随x 的增大而增大，∴k －1＞0，即k ＞1.又∵图象与x 轴的正半轴相交，∴图象与y 轴的负半轴相交.∴b ＜0.一次函数表达式的确定及与方程（组）、不等式的关系【典例2】已知函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与y 轴交点的纵坐标为－2，且当x ＝2时，y ＝1，那么这个函数的表达式为 y ＝32x －2 Ｗ.【解析】由题意知，函数图象过（0，－2）、（2，1）两点，并代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝1，b ＝－2.求解出k 、b 的值，即可确定出函数的表达式.【典例3】如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图象交y 轴于点A （0，3），则不等式－2x ＋b ＞0的解集为（ C ）A .x ＞32 B .x ＞3C .x ＜32D .x ＜3【解析】由题意可得一次函数图象与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，对应x 轴上方的函数图象的自变量x 的取值范围即为所求.一次函数的实际应用【典例4】甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A 地出发前往B 地.甲出发1 h 后，乙出发.设甲与A 地相距y 甲（km ），乙与A 地相距y 乙（km ），甲离开A 地的时间为x （h ），y 甲、y 乙与x 之间的函数图象如图所示.（1）甲的速度是 km /h ；（2）当1≤x ≤5时，求y 乙关于x 的函数表达式；（3）当乙与A 地相距240 km 时，甲与A 地相距 km . 【解析】（1）根据图象确定甲的路程与时间即可求出速度；（2）利用待定系数法求出y 乙关于x 的函数表达式即可；（3）求出乙距A 地240 km 时的时间，乘以甲的速度即可得出结果.【解答】解：（1）60；（2）当1≤x ≤5时，设y 乙关于x 的函数表达式为y 乙＝kx ＋b.∵点（1，0）、（5，360）在其图象上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝k ＋b ，360＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝90，b ＝－90. ∴y 乙＝90x －90（1≤x ≤5）； （3）220.一次函数的综合应用【典例5】如图，把Rt △ABC 放在平面直角坐标系上，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为 16 cm 2.【解析】如图.∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，BC ＝5， ∴AC ＝4.∴A′C′＝4.∵点C′在直线y ＝2x －6上， ∴2x －6＝4，解得 x ＝5. 即OA′＝5.∴CC′＝5－1＝4.根据平行四边形面积的计算方法可求线段BC 扫过的面积.1.（2019·广安中考）一次函数y ＝2x －3的图象经过的象限是C A .一、二、三 B .二、三、四 C .一、三、四 D .一、二、四2.（2019·成都中考）已知一次函数y ＝（k －3）x ＋1的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是k ＜3.3.（2019·通辽中考）如图，直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过点（－1，3），则不等式kx ＋b ≥3的解集为DA .x ＞－1B .x ＜－1C .x ≥3D .x ≥－14.若函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象经过点（1，5），则b 的值为 3 Ｗ.5.（2019·大连中考）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条路上的A 、B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A 处后行走的路程y （单位：m ）与行走时间x （单位：min ）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m ）与甲行走时间x （单位：min ）的函数图象，则a －b ＝12.6.（2019·山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元. 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x 次，选择方式一的总费用为y 1（元），选择方式二的总费用为y 2（元）.（1）请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数表达式；（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？ 解：（1）当游泳次数为x 时，方式一费用为y 1＝30x ＋200，方式二的费用为y 2＝40x ； （2）由y 1＜y 2，得30x ＋200＜40x ，解得x ＞20， 当x ＞20时，选择方式一比方式二省钱.7.（2019·乐山中考）如图，已知过点B （1，0）的直线l 1与直线l 2：y ＝2x ＋4相交于点P （－1，a ）. （1）求直线l 1的解析式； （2）求四边形PAOC 的面积.解：（1）∵点P （－1，a ）在直线l 2：y ＝2x ＋4上， ∴2×（－1）＋4＝a ，即a ＝2， 则P 点的坐标为（－1，2）.设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0），代入B （1，0）、P （－1，2），得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－k ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1. ∴直线l 1的解析式为y ＝－x ＋1； （2）∵直线l 1与y 轴相交于点C ， ∴C 点的坐标为（0，1）.又∵直线l 2与x 轴相交于点A ， ∴A 点的坐标为（－2，0），则AB ＝3. ∵S 四边形PAOC ＝S △PAB －S △BOC ，∴S 四边形PAOC ＝12×3×2－12×1×1＝52.。

第11讲一次函数的应用一、知识要点（一）一次函数的应用的常见题型(1)根据实际问题中给出的数据列相应的函数表达式，解决实际问题；(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较；(3)结合实际问题的函数图象解决实际问题;(4)一次函数与几何图形结合的应用.（二）一般步骤：1、设定问题中的变量2、建立一次函数关系式3、确定自变量的取值范围4、利用函数性质解决问题5、作答二、经典回眸考点1 实际问题中的方案类问题例1 [2018·广州] 友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台,最近,该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售.方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.(1)当x=8时,应选择哪种方案,该公司购买费用最少?最少费用是多少元?(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.变式 (2018·湖州)“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80 t和100 t有机化肥；A，B两个果园分别需用110 t 和70 t有机化肥，两个仓库到A，B两个果园的路程如下表所示：考点2 实际问题中的行程类问题例题2 (2016·丽水)2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(km)与跑步时间t(min)之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3 km/min，用时35 min，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求图中a的值；(2)组委会在距离起点2.1 km处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次过点C到第二次过点C所用的时间为68 min.①求AB所在直线的函数表达式；②该运动员跑完赛程用时多少分钟？变式甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB的长为90 cm，甲的速度为2.5 cm/s.设运动时间为x(s)，甲、乙两点之间的距离为y (cm)，y与x 的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数表达式为(写出自变量的取值范围)．考点3 一次函数与几何图形结合的应用的面积是多少？是菱形，则点，四边形上一是的中点，是两点，轴分别交于轴与如图，直线例OAE OEDC AB D OB C B A y x x y ∆+=,433 3 变式 正方形 和 ，按如图所示方式放置，点A1，A2在直线y ＝x ＋1上，点C1，C2在x 轴上，已知点A1的坐标是(0,1)，则点B2的坐标为 ．三、课后作业1．（威海）甲、乙两辆摩托车同时从相距20km 的A ，B 两地出发，相向而行．图中l 1，l 2分别表示甲、乙两辆摩托车到A 地的距离s （km ）与行驶时间t （h ）的函数关系．则下列说法错误的是（ ）A ．乙摩托车的速度较快B ．经过0.3小时甲摩托车行驶到A ，B 两地的中点C ．经过0.25小时两摩托车相遇D ．当乙摩托车到达A 地时，甲摩托车距离A 地km2．（十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（ ）A ．加油前油箱中剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）的函数关系是y=-8t+25B ．途中加油21升C ．汽车加油后还可行驶4小时D ．汽车到达乙地时油箱中还余油6升。