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可逆矩阵公式

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矩阵的逆

矩阵的逆
第二章
矩
阵
第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 第三节 矩阵的逆 第四节 矩阵的秩
第三节 矩阵的逆
本节主要内容: 本节主要内容: 一. 可逆矩阵与逆矩阵 二. 可逆矩阵的判别 三. 矩阵的初等变换 四. 用初等行变换求逆矩阵 五. 小结
一.可逆矩阵与逆矩阵
1. 定义
对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵 B , 使得
1 2 −2 r2 − 2r1 0 −7 6 → r3 + 2r1 0 3 −3
1 0 0 −2 1 0 2 0 1
1 2 −2 r2 + 2r3 0 −1 0 → 0 3 −3
1 0 0 2 1 2 2 0 1
A23 = 2,
A33 = −2 .
6 −4 2 A* = −3 −6 5 2 2 −2
所以 A−1
3 −2 2 6 −4 1 * A 1 5 3 = = −3 −6 5 = − −3 det A 2 2 2 2 2 −2 1 1 −1
A1 A2 ⋯ Am 也可逆 且 (A A ⋯A )−1 = A−1⋯A−1A−1 也可逆, 1 2 m m 2 1
性质5 性质 若矩阵 A 可逆 则 AT也可逆 且 可逆, 也可逆,
(AT)−1 = (A−1 )T
性质6 性质 若矩阵 A 可逆 则 det( A−1 ) = (det A)−1 可逆, 说明 若矩阵 ,B ,C 满足 若矩阵A 满足AB=AC, 且A可逆 则 可逆, 可逆 AB=AC
1 2 3 −3 −4 可逆 = 0 −3 −4= = 4≠ 0, 所以 A可逆 . 1 0 0 1 0
1 2 ∵ A11 = = −3, 3 3 2 1 A13 = = 5, 1 3 2 2 A12 = − = −4, 1 3

高等代数3-3矩阵的逆

高等代数3-3矩阵的逆

... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2

可 逆 矩 阵

可 逆 矩 阵
解 由A2-A+E=O可得A-A2=E，利用矩阵乘法运算法则可得 A-A2=A（E-A）=（E-A）A=E 由定义2-11可知A可逆，且A-1=E-A.
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．

第3节 可逆矩阵

第3节 可逆矩阵

1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0

1.5 可逆矩阵

1.5 可逆矩阵
AB BA E
AC CA E
于是 B B E B ( AC ) ( B A )C EC C
例1
a1 0 A 0
0 a2 0
... ...
...
a1 0 0
a1 1 0 0
则称A为非奇异的. A非奇异 A奇异
A 0
A 0
满足 AB E 4.推论 设A,B为n 阶矩阵, 1 1 ( 或 B A ). 则矩阵A，B均可逆, 且 A B
证明矩阵可逆时仅需验证AB E
三、逆矩阵的求法
A
1

1 A
A 11 1 A 12 * A A A1 n
1
1
AXB C X A CB
( 8 ) 有关 A 的结论：
*
1 当 A 0时, 有A
0
1

1 A
A

A AA

1
2 (A )
0
0
* 1
(A )
1 *
1 A
A;

3 若A，B同阶可逆，则( AB ) B A
4
0
A


n1
A
.
1
E A A A
2
k 1
.
证明
E A E A A 2 A 3 ... A k 1
2 3 k 1
E A A A ... A
E A
k
A ( E A A A ... A
2 3
k 1
)
E
设n阶矩阵A满足 A 3 A 6 E O,

§1.5可逆矩阵

§1.5可逆矩阵

1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
A21 A22 A23
求A 1
2.公式法：
A
1
1 * A A
1 1 0 0 1 1 2, 0 1 3
5 3 1 1 * 1 1 A A 3 3 1 . A 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้1
作业：P40 18, 19（1），21，22
三、简单的矩阵方程
其中，A，B，C已知 当A，B可逆时，它们有唯一解 ：
(1) AX B ( 2) XA B ( 3) AXB C
X BA X A CB
X A1 B
1
1
1
例 3 若 A BA C , 求 B ,
1.定义法：
AB I .
A
1
2.公式法：
1 * A . A
AA A A AI 三.
课堂习题
2 1 1. 4 3
1
1


2 0 0 2. 0 3 0 0 0 1
A
1
1 * A . A
3.初等变换法：
2.1节学习
例 1 若方阵 A 可逆，试证 A*也可逆，并求(A*)-1.
A0 解 A* A A I 又 A可逆，
1 两边同除 A，得A A I A
*
1 得 A 可逆，( A ) A. A
*
* 1
1.定义法：
AB I .
例 2 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 I 0, 证明
注 1 逆矩阵是一种对称的相互关系；
注 2 逆矩阵是唯一的；

逆矩阵的行列式等于行列式的倒数_数学公式

逆矩阵的行列式等于行列式的倒数_数学公式逆矩阵的行列式等于行列式的倒数因为AB=BA=E(单位阵),B是A的逆矩阵,所以|AB|=|BA|=1。

当A是方阵时,|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,有|B|=1/|A|。

所以逆矩阵的行列式等于行列式的倒数。

逆矩阵的性质1、可逆矩阵A的逆矩阵A??的逆矩阵为A。

即(A??)??=A2、如果矩阵A可逆，那么(kA)??=A??/k3、如果矩阵A和B都是可逆矩阵，那么(AB)??=B??A??4、如果矩阵A可逆，那么(A?)??=(A??)?5、如果矩阵A可逆，那么(A?)??=(A??)?6、如果矩阵A是可逆矩阵，那么|A??|=|A|??可逆矩阵的定义及其证明方法可逆矩阵是线性代数中的一个矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个n 阶方阵A，若存在一n阶方阵B，使得AB=BA=In(或AB=In、BA=In任满足一个)，其中In为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆阵，记作A^(-1)。

判断矩阵可逆的方法通常有:(1)定义法，即:若存在矩阵B,使得AB=E，则A可逆;(2)利用矩阵可逆的判别条件，即:若|A|≠0，则A可逆。

若矩阵A可逆，求A的逆矩阵通常有如下几种方法:(1)定义法，与A之积为单位矩阵的矩阵即A的逆矩阵;(2)伴随矩阵法,A-=ATA" (该方法运算量大，一般不适用于阶数较高的矩阵求逆矩阵);(3)初等变换法，即(A : E)→(E :A-1);可逆矩阵的性质定理1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一回的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。

记作(A-1)-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。

即AB=O(或BA=O)，则B=O，AB=AC(或BA=CA)，则B=C。

6、两个答可逆矩阵的乘积依然可逆。

可逆矩阵的概念


The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
2) Q A = a1a2 L an ,
可逆. ∴ 当 ai ≠ 0 ( i = 1,2,L , n) 时，A可逆. 可逆 且由于
− a1 1 1 a1 −1 1 a2 a2 =E = O O O −1 an 1 an − a1 1 − −1 a2 1 ∴ A = . O − an 1
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
四、矩阵方程
1. 线性方程组 .
a11 x1 + L + a1n xn = b1 LLLLLLLLL an1 x1 + L + ann xn = bn
(1)
x1 b1 x2 b2 令 A = (aij )n×n , X = M , B= M x b n n
A −1
( ) 1 d −b = ad − bc ( − c a )
.
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
0 3 3 练习 已知 A = 1 1 0 , AB = A + 2 B, 求矩阵B． 求矩阵 ． −1 2 3
解：由 AB = A + 2 B ，得 ( A − 2 E ) B = A ，又
1 −1 3 3 −1 ∴ A − 2 E 可逆，且 ( A − 2 E ) = −1 1 3 可逆， 2 1 1 −1 0 3 3 −1 ∴ B = ( A − 2 E ) A = −1 2 3 1 1 0

2.2 逆矩阵


一般地， 二阶方阵 a11 A a21
a12 a22
当 A a11a22 a12a21 0 时，其逆阵为
a22 1 A a11a22 a12a21 a12
1
a21 . a11
例2
解 则
1 A . 3 由伴随矩阵与逆矩阵的关系，有 A A A1 ,
一、可逆矩阵的概念与性质
定义 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，使得 AB = BA = E . 则称A是可逆阵（非奇异阵） ，称B 为 A 的逆矩阵 ， 记作 B A1 . 例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
AA A A A E . 定理1（伴随矩阵的性质）
定理2 矩阵 A 可逆充分必要条件是 A 0, 且
1 * 当 A 0 时， A A . A
1
用伴随矩阵法求逆矩阵的步骤： * ; (3)由公式A1 1 A*得到A1 ; ( 求 A ; (2)计算 A 1) A 推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆. 且 A、B 互为逆矩阵.
（1）AX=B; （2）XA=B; （3）AXB=C ;
当未知阵X左边和右边的矩阵都可逆时，可以求出 矩阵方程唯一的解： （1）X=A-1B; （2）X=BA-1; （3）X=A-1CB-1;
例3 (解矩阵方程)
求 A+ B .
2 1 1 设 A 2 6 4 , AB A B , 2 1 3
a12 a22 ... an 2
... a1 n ... a2 n 中元素 a 的 ij ... ... ann
An1 An 2 称为 A 的伴随矩阵. ... Ann

3_1可逆矩阵


A−1称为 A 的可逆矩阵或逆阵 可逆矩阵或逆阵. 则矩阵
Page 2
二、逆矩阵的概念和性质
定义 使得 对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，
AB = BA = E ,
逆矩阵. 则说矩阵 A 可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵 是可逆的，
A的逆矩阵记作 A的逆矩阵记作 A−1 .
2 1 A11 = = 2, 4 3 2 1 A12 = − = − 3, 3 3
Page 15
同理可得
A13 = 2, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
A31 = −4, A32 = 5, A33 = −2,
得
故
6 − 4 2 ∗ A = − 3 − 6 5 , 2 2 − 2
−1
证明
∵ AA −1 = E
∴ A A −1 = 1
因此 A = A .
−1
Page 14
−1
三、逆矩阵的求法
1 2 3 求方阵 A = 2 2 1 的逆矩阵. 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3
Hale Waihona Puke 例2= 2 ≠ 0, ∴ A−1存在. 解 ∵ A=2 2 1 3 4 3
A−1
A− E =E 得A( A − E ) = 2 E ⇒ A 2
A− E ⇒ A = 1 ⇒ A ≠ 0, 故 A 可逆 . 2
Page 24
1 ∴ A = ( A − E ). 2
−1
又由A − A − 2 E = 0
2
⇒ ( A + 2 E )( A − 3 E ) + 4 E = 0
1 ( A + 2 E ) − ( A − 3 E ) = E ⇒ 4
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