2017中考复习题型一 规律探索题(针对演练)

备战2017中考系列：数学2年中考1年模拟第七篇专题复习篇☞解读考点知识点名师点晴规律类型1．数字猜想型在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2．数式规律型通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3．图形规律型图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合．4．数形结合猜想型首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系．5．动态规律型要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．☞考点归纳归纳1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较，从而发现题中蕴涵的数量关系，通过猜想，再通过计算解决问题．【例1】（2016北京市）百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19991220”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“2350”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为．归纳2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．【例2】（2016云南省）有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是112⨯；第二个数是123⨯；第三个数是134⨯；…对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于2 (2)n n+．（1）经过探究，我们发现：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯；设这列数的第5个数为a，那么1156a>-，1156a=-，1156a<-，哪个正确？请你直接写出正确的结论；（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n 个数与第（n +1）个数的和等于2(2)n n +”； （3）设M 表示211，212，213，…，212016，这2016个数的和，即22221111...1232016M =++++，求证：2016403120172016M <<．归纳 3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点，要注意数形结合．【例3】（2016四川省达州市）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（ ）A ．25B ．33C ．34D ．50归纳 4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形，发现图形的变化方式，用好数形结合思想解决问题．【例4】（2016广东省梅州市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A（32，0），B （0，2），则点B 2016的坐标为 ．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律，明确发生变化的与没有发生变化的量，从而逐步发现规律．【例5】（2016广西梧州市）如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A n（n为正整数）点时，则A n的坐标是．☞2年中考【2016年题组】一、选择题1．（2016四川省内江市）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是（）A ．20151()2B ．20161()2 C ．20163()3 D ．20153()32．（2016四川省凉山州）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（ ）A ．第504个正方形的左下角B ．第504个正方形的右下角C ．第505个正方形的左上角D ．第505个正方形的右下角3．（2016山东省临沂市）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n 个图形中小正方形的个数是（ ）A ．2n +1B ．21n -C ．22n n + D ．5n ﹣24．（2016山东省日照市）一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：6=2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）=（1+2）×（1+3）=12；12=223⨯，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）=（1+2+22）×（1+3）=28； 36=2223⨯，则36的所有正约数之和（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）=（1+2+22）×（1+3+32）=91．参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（）A．420B．434C．450D．4655．（2016河南省）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（））A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（2，0）D．（0，26．（2016湖北省荆州市）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A．671B．672C．673D．6747．（2016福建省南平市）如图，已知直线l：y=2x，分别过x轴上的点A1（1，0）、A2（2，0）、…、A n（n，0），作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、…、B n，将△OA1B1，四边形A1A2B2B1、…、四边形A n﹣1A n B n B n的面积依次记为S1、S2、…、S n，则S n=（）﹣1A．n2B．2n+1C．2n D．2n﹣18．（2016贵州省六盘水市）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n的度数为（）A ．702nB ．1702n +C ．1702n -D ．2702n + 9．（2016湖南省娄底市）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH 4，乙烷的化学式是C 2H 6，丙烷的化学式是C 3H 8，…，设碳原子的数目为n （n 为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）A ．C n H 2n +2B ．C n H 2n C ．C n H 2n ﹣2D ．C n H n +310．（2016湖南省邵阳市）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（ ）A ．21y n =+B ．2n y n =+C ．12n y n +=+D ．21n y n =++11．（2016青海省）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为（ ）A ．61()2 B ．71()2 C ．62(2 D ．72()212．（2016重庆市）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．64B．77C．80D．8513．（2016重庆市）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A．43B．45C．51D．5314．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（）A．71B．78C．85D．8915．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2．﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（）A ．（4，0）B ．（5，0）C ．（4，0）或（﹣4，0）D ．（5，0）或（﹣5，0）二、填空题16．（2016云南省曲靖市）等腰三角形ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A （﹣6，0），点B 在原点，CA =CB =5，把等腰三角形ABC 沿x 轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C 的横坐标是 ．17．（2016四川省内江市）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有 个小圆．（用含n 的代数式表示）18．（2016四川省资阳市）设一列数中相邻的三个数依次为m 、n 、p ，且满足p =m 2﹣n ，若这列数为﹣1，3，﹣2，a ，﹣7，b …，则b = ．19．（2016山东省东营市）在求2345678133333333++++++++的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S =2345678133333333++++++++①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S =23456789333333333++++++++②，②﹣①得，3S ﹣S =931-，即2S =931-，所以S =9312-．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出23420161...m m m m m++++++的值？如能求出，其正确答案是．20．（2016山东省德州市）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为．21．（2016山东省枣庄市）一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1=12，a n=111na--（n≥2，且n为整数），则a2016= ．22．（2016山东省泰安市）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．23．（2016山东省济宁市）按一定规律排列的一列数：12，1，1，□，311，1113，1317，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为．24．（2016山东省滨州市）观察下列式子：1×3+1=22；7×9+1=28；26；25×27+1=280；79×81+1=2…可猜想第2016个式子为．25．（2016山东省潍坊市）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n C n C n﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是．26．（2016山东省聊城市）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是．27．（2016山东省菏泽市）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m= ．28．（2016山西省）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．29．（2016新疆）如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为 ．30．（2016广西南宁市）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第 层． 31．（2016广西百色市）观察下列各式的规律：22()()a b a b a b -+=- 2233()()a b a ab b a b -++=- 322344()()a b a a b ab b a b -+++=-…可得到2016201520152016()(...)a b aa b ab b -++++= ．32．（2016广西贵港市）已知a 1=1tt+，a 2=111a -，a 3=211a -，…，a n +1=11n a -（n 为正整数，且t ≠0，1），则a2016= （用含有t的代数式表示）．33．（2016广西钦州市）如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是．34．（2016河北省）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°．当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=__ ___°．……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=___ ____°．[来源：学35．（2016江苏省徐州市）如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为．36．（2016浙江省宁波市）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需根火柴棒．37．（2016湖北省咸宁市）用m根火柴恰好可拼成如图1所示的a个等边三角形或如图2所示的b个正六边形，则ba=_______________．39．（2016贵州省安顺市）观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是（用含n的式子表示）40．（2016贵州省铜仁市）如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要个铜币．41．（2016湖北省鄂州市）如图，直线l：43y x=-，点A1坐标为（﹣3，0）．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为．42．（2016湖北省黄石市）观察下列等式：第1个等式：11 12a=+=21-，第2个等式：2a=123+=32-，第3个等式：31 32a=+=23-，第4个等式：4125a=+=52-，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：na= ；（2）123...na a a a++++= ．43．（2016湖南省益阳市）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是枚．44．（2016湖南省衡阳市）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为．45．（2016甘肃省天水市）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n= ．46．（2016甘肃省白银市）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…第n 个三角形数记为x n ，则x n +x n +1=．47．（2016福建省泉州市）找出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为 ．48．（2016福建省龙岩市）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1+S 2+S 3+…+S 10= ．49．（2016贵州省黔西南州）阅读材料并解决问题： 求2320141222 (2)+++++的值，令S =2320141222 (2)+++++等式两边同时乘以2，则2S =2320142015222...22+++++两式相减：得2S ﹣S =201521-所以，S =22015﹣1依据以上计算方法，计算2320151333 (3)+++++= ．50．（2016辽宁省丹东市）观察下列数据：﹣2，52，103-，174，265-，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是 ．51．（2016辽宁省抚顺市）如图，△A 1A 2A 3，△A 4A 5A 5，△A 7A 8A 9，…，△A 3n ﹣2A 3n ﹣1A 3n （n 为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n ，顶点A 3，A 6，A 9，…，A 3n 均在y 轴上，点O 是所有等边三角形的中心，则点A 2016的坐标为 ．52．（2016辽宁省葫芦岛市）如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线12y x=于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和12y x=于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A n B n C n的面积为．（用含正整数n的代数式表示）53．（2016青海省）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的x= ，一般地，用含有m，n的代数式表示y，即y= ．54．（2016黑龙江省大庆市）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．55．（2016黑龙江省绥化市）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= ．56．（2016黑龙江省龙东地区）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．三、解答题57．（2016安徽）（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（）+（2n﹣1）+…+5+3+1= ．58．（2016江苏省无锡市）如图1是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮框．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框A B上，A2、A3…、A n与B2、B3、…B n A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、A n B nC nD n，OEFG围成，其中A1、G、B1在22分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、C n和D2、D3…D n分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF 于H1，FH1=H1H2=d，C1D1、C2D2、C3D3、C n D n依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边C n D n与点E 间的距离应不超过d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥A n C n．（1）求d的值；（2）问：C n D n与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？【2015年题组】1．（2015绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（）A．14 B．15 C．16 D．172．（2015十堰）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（）A．222B．280C．286D．2923．（2015荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）4．（2015包头）观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A．2531B．3635C．47D．62635．（2015重庆市）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．21 B．24 C．27 D．306．（2015泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135B．170C．209D．2527．（2015重庆市）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依次规律，图⑩中黑色正方形的个数是（）A ．32B ．29C ．28D ．268．（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）A ．160B ．161C ．162D ．1639．（2015贺州）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（ ）A ．0B ．3C ．4D ．810．（2015宜宾）如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ ）A ．231πB ．210πC ．190πD ．171π11．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ） A ．201421）（ B ．201521）（ C ．201533）（ D ．201433）（12．（2015庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n +1B 2n +1（n 是正整数）的顶点A 2n +1的坐标是（ ）A ．（4n ﹣1，3）B ．（2n ﹣1，3）C ．（4n +1，3）D ．（2n +1，3）13．（2015宁德）如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3…都在x 轴上，点B 1，B 2，B 3…都在直线y x =上，△OA 1B 1，△B 1A 1A 2，△B 2B 1A 2，△B 2A 2A 3，△B 3B 2A 3…都是等腰直角三角形，且OA 1=1，则点B 2015的坐标是（ ）A ．（20142，20142）B ．（20152，20152）C ．（20142，20152）D ．（20152，20142）14．（2015河南省）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ）A ．（2014，0）B ．（2015，﹣1）C ．（2015，1）D ．（2016，0）15．（2015张家界）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：5323+=，119733++=，1917151343+++=，…按此规律，若3m 分裂后其中有一个奇数是2015，则m 的值是（ ）A ．46B ．45C ．44D ．4316．（2015邵阳）如图，在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）A ．2015πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π17．（2015威海）如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切，正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A 10B 10C 10D 10E 10F 10的边长为（ ）A ．92432B 813C ．9812 D 813 18．（2015日照）观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++；33223()33a b a a b ab b +=+++；4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是（ ）A ．36B ．45C ．55D ．6619．（2015宁波）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 2处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为h 1；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为h 2015，到BC 的距离记为h 2015．若h 1=1，则h 2015的值为（ ） A ．201521B ．201421C ．2015211- D ．2014212-20．（2015常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是 （请用文字语言表达）．21．（2015淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行，第b 列，则a +b = ．22．（2015雅安）若1m ，2m ，…，2015m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若122015...m m m +++=1525，222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=，则1m ，2m ，…，2015m 中为2的个数是 ．23．（2015桂林）如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n 行有 个点．24．（2015梧州）如图是由等圆组成的一组图，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去，则第⑥个图由 个圆组成．25．（2015百色）观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示）26．（2015北海）如图，直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P 1，P 2，P 3，…，P n ﹣1，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T 1，T 2，T 3，…，T n ﹣1，用S 1，S 2，S 3，…，S n ﹣1分别表示Rt △T 1OP 1，Rt △T 2P 1P 2，…，Rt △T n ﹣1P n ﹣2P n ﹣1的面积，则当n =2015时，S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1= ．27．（2015南宁）如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿x 轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A 1，第二次将点A 1向右移动6个单位长度到达点A 2，第三次将点A 2向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点A n ，如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ．28．（2015常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m 最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为 ． 29．（2015株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为12b S a =+-，孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是 ．30．（2015内江）填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．31．（2015南平）定义：底与腰的比是512-的等腰三角形叫做黄金等腰三角形． 如图，已知△ABC 中，AB =BC ，∠C =36°，BA 1平分∠ABC 交AC 于A 1．（1）2AB =AA 1•A C ；（2）探究：△ABC 是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC =1）（3）应用：已知AC =a ，作A 1B 1∥AB 交BC 于B 1，B 1A 2平分∠A 1B 1C 交AC 于A 2，作A 2B 2∥AB 交B 2，B 2A 3平分∠A 2B 2C 交AC 于A 3，作A 3B 3∥AB 交BC 于B 3，…，依此规律操作下去，用含a ，n 的代数式表示A n ﹣1A n ．（n 为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）32．（2015六盘水）毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：请在答题卡上写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n 层各个图形的几何点数．33．（2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x ≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．☞1年模拟一、选择题1．（2016届安徽省“合肥十校”联考）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2…，第n 个三角数记为a n ，则a n +a n +1=（ ）A ．2n n +B ．21n n ++C ．22n n +D ．221n n ++2．（2016广东省深圳市盐田区中考二模）如图，经过点A 1（1，0）作x 轴的垂线与直线l ：3y x =相交于点B 1，以O 为圆心，OB 1为半径画弧与x 轴相交于点A 2；经过点A 2作x 轴的垂线与直线l 相交于点B 2，以O 为圆心、OB 2为半径画弧与x 轴相交于点A 3；…依此类推，点A 5的坐标是（ ）A ．（8，0）B ．（12，0）C ．（16，0）D ．（32，0）二、填空题3．（2016北京市延庆县中考一模）下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了()n a b +（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：7()a b +的展开式共有 项，第二项的系数是 ，()na b +的展开式共有 项，各项的系数和是 ．4．（2016广东省梅州市中考冲刺）如图，观察图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+…+8n （n 是正整数）的结果是．5．（2016广东省汕头市濠江区中考一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作第1个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第2个正方形A 2B 2C 2C 1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是 ．。

精心整理2017年各地市中考规律探索归纳探究题汇总1．在一列数：a1，a2，a3，…，a n中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（）A.1B.3C.7D.9【来源】2017年中考真题精品解析数学（江苏扬州卷）精编word版（解析版）【答案】B【解析】依题意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，……周期为6，2017÷6=336…1，所以a2017=a1=3，故选B．【点睛】本题考查了数字变化类的规律型问题，然后根据所求得的数字发现规律.2A.180B.182C.184D.186【来源】四川省自贡市初2017【答案】C【解析】二、三、四格.等于等于第二、四格数据的积；所以1113m+=⨯故应选C..探寻规律要认真观察、仔细思3．3．4颗星星，第21颗星星，.....按此规律排列下去，第⑨个图A.116B.144【来源】【答案】B第4个图形为：4×5+2+3+4+5，∴第⑨个图形中的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144．故选B．考点：规律型：图形的变化类．4．（2017重庆，第10题，4分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（）A.73B.81C.91D.109【来源】2017年初中毕业升学考试（重庆A卷）数学（带解析）【答案】C【解析】试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；…，第n 个图形中菱形的个数为：n 2+n+1； 第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91． 故选C ．考点：图形的变化规律.5．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧12PP ，23P P ，34P P ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结12P P ，23P P ，34P P ，…得到螺旋折线（如图），已知点1P （0，1），2P （1-，0），3P （0，1-），则该折线上的点9P 的坐标为（）A ．（6-，24）B ．（6-，25）C ．（5-，24）D ．（5-，25） （第10 所以P 9故选B ．61），从点A 经过一次跳马变换可以到达点2）， A ．13B 过了320+1）÷7×考点：17A ．180B ．182C ．184D ．186【来源】2017年初中毕业升学考试（四川自贡卷）数学（带解析） 【答案】C. 【解析】试题解析：由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9， 可得最后一个三个数分别为：11，13，15， ∵3×5﹣1=14，； 5×7﹣3=32； 7×9﹣5=58；∴m=13×15﹣11=184． 故选C ．考点：数字规律.8．如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（） A.2017πB.2034πC.3024πD.3026π【来源】2017年初中毕业升学考试（四川达州卷）数学（带解析） 【答案】D【解析】解：∵AB =4，BC =3，∴AC =BD =5．转动一次A 的路线长是：904180π⨯=2π，转动第二次的路线长是：905180π⨯=52π，转动第三次的路线长是：903180π⨯=32π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环．故顶点A 转动四次经过的路线长为：52π+32π+2π=6π．∵2017÷4=504…1，∴顶点A 9．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为（）A ．n 3B ．n 6 C.63+n D ．33+n【来源】2017【答案】D ． 【解析】试题解析：∵第一个图需棋子3+3=6； 第二个图需棋子3×2+3=9； 第三个图需棋子3×3+3=12； …∴第n故选：D ．10．a 的值为( ) A.23B.75 C.77D.139【来源】 【答案】B1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23a=11+64=75，故选B ．11．（2017中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（ ） A.121B.362C.364D.729【来源】2017年初中毕业升学考试（山东德州卷）数学（带解析） 【答案】C【解析】试题分析：①图1，0×3+1=1； ②图2,1×3+1=4； ③图3,4×3+1=13； ④图4,13×3+1=40； ⑤图5,40×3+1=121； ⑥图6,121×3+1=364； 故选C考点:探索规律12．按照一定规律排列的n个数：-2，4，-8，16，-32，64，…．若最后三个数的和为768，则n为（）A．9B．10C．11D．12【来源】2017年初中毕业升学考试（湖北武汉卷）数学（带解析）【答案】A.【解析】试题解析：设后3个的数和为：（-1）n+1×2n-1+（-1）n+2×2n+（-1）n+3×2n+1=768，当n为偶数：整理得出：-5×（-2）n-1=768，则求不出整数，当n为奇数：整理得出：3×2n-1=768，解得：n=9．故选A.考点：数字变化规律.13．（2017贵州省黔东南州，第10题，4如南宋数学家杨辉（约13世纪）所着的（a+b）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算（a+b）20A.2017B.2016C.191D.190【来源】2017【答案】D【解析】试题解析：找规律发现（a+b）3（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n∴（a+b）20故选D．14．“d”的个数，若第n个图形中“d”的个数是78A．11B．【来源】【答案】B【解析】第四个图形有1+2+3+4=10个○，……第n个图形有1+2+3+……+n=(1)2n n+个○，故(1)2n n+=78，解得n=12或n=-13（舍去）.故选：B考点：规律探索15．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB 边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是()A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5【来源】2017年初中毕业升学考试（河北卷）数学（带解析）【答案】C.【解析】试题分析：在第一次旋转中BM=1，在第二次旋转中BM=1，在第三次旋转中BM的长从11，在第四次旋转中BM的长从1，在第五次旋转中BM1-变化到1，在第六次旋转中BM=1，故答案选C.16上的点A处，1点出发，沿着射线A O2…按【来源】【答案】A【解析】故选：A17，表示a1=aA．32B．【来源】2017年初中毕业升学考试（湖北十堰卷）数学（带解析）【答案】D.【解析】试题分析：由a1=a7+3（a8+a9）+a10知要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，取a8=2、a9=4，根据a5=a8+a9=6，则a7、a10中不能有6，据此对于a7、a8，分别取8、10、12检验可得．∵a1=a2+a3=a4+a5+a5+a6=a7+a8+a8+a9+a8+a9+a9+a10=a7+3（a8+a9）+a10，∴要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，取a8=2、a9=4，∵a5=a8+a9=6，则a7、a10中不能有6，若a7=8、a10=10，则a4=10=a10，不符合题意，舍去；若a7=10、a10=8，则a4=12、a6=4+8=12，不符合题意，舍去；若a7=10、a10=12，则a4=10+2=12、a6=4+12=16、a2=12+6=18、a3=6+16=22、a1=18+22=40，符合题意；综上，a1的最小值为40，故选：D．考点：数字的变化类18．刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第______个．【来源】2017年中考真题精品解析数学（湖南娄底卷） 【答案】2017．【解析】解：由图可知：第1个图形的火柴棒根数为6； 第2个图形的火柴棒根数为11； 第3个图形的火柴棒根数为16； …由该搭建方式可得出规律：图形标号每增加1，火柴棒的个数增加5，所以可以得出规律：搭第n 个图形需要火柴根数为：6+5（n ﹣1）=5n +1，令5n +1=10086，解得：n =2017． 故答案为：2017．点睛：本题考查了图形的变化类问题，遍规律求解即可．19．19．如图，第一个图形中有1按此规律，第n 个图形中有______个点．【来源】2017【答案】()1312n -．【解析】如图，第一个图形中有1按此规律，第n 个图形中有12（3n -1）个点，【点睛】20．201、3、6、10、15、21、…叫做6是第三个三角形数，…，依此类推，第100【来源】 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，… ∴a n a 100=()10010012+=5050，故答案为：5050．点睛：本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n =1+2+…+n =()12n n +”．21．如图，Rt△OA 0A 1在平面直角坐标系内，∠OA 0A 1=90°，∠A 0OA 1=30°，以OA 1为直角边向外作Rt△OA 1A 2，使∠OA 1A 2=90°，∠A 1OA 2=30°，以OA 2为直角边向外作Rt△OA 2A 3，使∠OA 2A 3=90°，∠A 2OA 3=30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA 3A 4，Rt△OA 4A 5，…，Rt△OA 2016A 2017，若点A 0（1，0），则点A 2017的横坐标为______．【来源】山东省济南市槐荫区2018届九年级上学期期中考试数学试题【答案】2016⎝⎭．【解析】由已知可得OA 1OA 2=23⎛ ⎝⎭，OA 3=33⎛ ⎝⎭，……，由此可得OA 2017=20173⎛ ⎝⎭，360°÷30°=12，2017÷12=168…3，由些可知OA 2017所在的射线与OA 1所在射线重合，所以点A 2017的横坐标为：OA 2017×cos30°=2017⎝⎭2016⎝⎭，故答案为：20163⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查规律性问题，解题的关键是能根据已知条件先求出一些相关的量，从中发现规律.22．如图，等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥A 1C 2C 3=D 1C 1，连接D 1C 3，以C 2C 3为边作等边△A 2C 2C 3；作C 2D 2⊥A 2D 2C 4=D 2C 2，连接D 2C 4，以C 3C 4为边作等边△A 3C 3C 4；…且点A 1△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4，…，△A n C n C n +1【来源】2017【答案】1212n n --．【解析】解：∵等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥12△A 1C 1C 2的周长=12，∴△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4112n -，∴△A 1C 1C 2，22212n -12n -故答案为：1212n n --．灵活运用所学知识，属于中考常考题型．23三角：【来源】 【答案】1a 5+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+1b 5． 故答案为：点睛：本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系是解题的关键．24．如图，把n 个长为1的正方形拼接成一排，求得71tan ,31tan ,1tan 321=∠=∠=∠C BA C BA C BA ，计算=∠C BA 4tan ，……，按此规律，写出=∠C BA n tan （用含n 的代数式表示）． 【来源】2017年初中毕业升学考试（浙江舟山卷）数学（带解析）【答案】113,211n n -+.【解析】试题分析：如图，过点C 作CE ⊥A 4B 于E ，易得∠A 4BC=∠BA 4A 1，故tan ∠A 4BC=tan ∠BA 4A 1=14，在Rt △BCE 中，由tan ∠A 4BC=14，得BE=4CE ，而BC=1，则，，而A 4=所以A 4E=A 4，在Rt △A 4EC 中，tan ∠BA 4C=4113CE A E =；根据前面的规律，不能得出tan ∠BA 1C=1101⨯+，tan ∠BA 2C 1211⨯+，tan ∠BA 3C=1321⨯+，tan ∠BA 4C=1431⨯+，则可得规律tan ∠BA n C=211(1)11n n n n =⨯-+-+.故答案为;考点：解直角三角形.25．如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A 1B 1O ，；翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为【来源】2017【答案】（5；13463（+896）3π.【解析】试题解析：如图，作B 3E ⊥x 轴于E ，考点：点的坐标.26．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BAC ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠=，……按此规律，写出tan n BA C ∠=（用含n 的代数式表示）． 【来源】2017年初中毕业升学考试（浙江嘉兴卷）数学（带解析） 【答案】113，211n n -+. 【解析】试题解析：作CH⊥BA 4于H ，由勾股定理得，BA 4A 4，△BA4C的面积=4-2-32=12，∴1212，解得，则A417，∴tan∠BA4C=4CHA H=113，1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，∴tan∠BAnC=211n n-+.考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.27．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…C1、C2、C3…在x【来源】【答案】（2【解析】试题分析：（0，1），即OA1=1，∵四边形C1OA1B1是正方形，∴OC1=OA1=11，2），同理A3的坐标为（3，4），…An，12n-）．28．设△如图1AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=13如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=16；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=110；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n E n F n，其面积S=．【来源】2017年初中毕业升学考试（山东淄博卷）数学（带解析）【答案】2(1)(2)n n++．【解析】试题分析：如图所示，连接D 1E 1，D 2E 2，D 3E 3，∵图1中，D 1，E 1是△ABC 两边的中点，∴D 1E 1∥AB ，D 1E 1=AB ，∴△CD 1E 1∽△CBA ，且11111DE DE B F A B==12，∴S △CD1E1=14S △ABC =14，∵E 1是BC 的中点，∴S △BD1E1=S △CD1E1=14，∴S △D1E1F1=13S △BD1E1=13×14=112，∴S 1=S △CD1E1+S △D1E1F1=14+112=13，同理可得： 图2中，S 2=S △CD2E2+S △D2E2F2=11918+=16，图3中，S 3=S △CD3E3+S △D3E3F3=131680+=110，以此类推，将AC ，BC边（n+1）等分，得到四边形CD n E n F n ，其面积S n =22111(1)(1)11n n n n +⨯⨯++++=2(1)(2)n n ++，故答11121233,412A B C A B B S S ==30．在平面直角坐标系中，点(,)P x y 经过某种变换后得到点(1,2)P y x '-++，我们把点(1,2)P y x '-++叫做点(,)P x y 的终结点．已知点1P 的终结点为1P ，点2P 的终结点为2P ，点3P 的终结点为4P ，这样依次得到1234n P P P P P L L 、、、、、，若点1P 的坐标为(2,0)，则点P 2017的坐标为． 【来源】2017年初中毕业升学考试（内蒙古赤峰卷）数学（带解析）【答案】（2，0）. 【解析】试题分析：求得点P 2、P 3、P 4、P 5的值，即可发现其中规律，即可解题． ∵P 1（2，0），则P 2（1，4），P 3（﹣3，3），P 4（﹣2，﹣1），P 5（2，0）， ∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，∵2017=2016+1=4×504+1，∴P 2017坐标与P 1点重合， 故答案为（2，0）．考点：规律型：点的坐标.31．如图，点(1A 上，过点1A 作111A B l ⊥交直线于点1B ，11A B 为边在11OA B ∆外侧作等边三角形111A B C ，再过点1C 作221A B l ⊥，分别交直线1l 和2l 于22,A B 两点，以22A B 为边在22OA B ∆外侧作等边三角形222,A B C 按此规律进行下去，则第n 个等边三角形n n nA B C 的面积为__________.（用含n 的代数式表示）【来源】2017年初中毕业升学考试（辽宁营口卷）数学（带解析）A 1B 1的A 2B 2的A n B nC n 的∵点A 在Rt ∴A 1B 1∵△A 1∴OA 2∴第n考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；探索规律.32．已知12345357911,,,,,25101726a a a a a =-==-==-，则8a =．【来源】2017年初中毕业升学考试（湖南郴州卷）数学（带解析）【答案】1765.【解析】试题分析：由题意给出的5个数可知：a n =221(1)1nn n +-+,所以当n=8时，a 8=1765.考点：数字规律问题.33．如图，有一条折线A 1B 1A 2B 2A 3B 3A 4B 4…，它是由过A 1（0，0），B 1（2，2），A 2（4，0）组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y =kx +2与此折线恰有2n （n ≥1，且为整数）个交点，则k 的值为______．【来源】2017年初中毕业升学考试（湖南常德卷）数学（带解析）【答案】12n-．【解析】试题分析：∵A 1（0，0），A 2（4，0），A 3（8，0），A 4（12，0），…，∴A n （4n ﹣4，0）． ∵直线y=kx+2与此折线恰有2n （n≥1，且为整数）个交点，∴点A n+1（4n ，0）在直线y=kx+2上，∴0=4nk+2，解得：k=．故答案为：．34．如图，边长为4的正六边形ABCDEF ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转n 次，每次旋转 60，当=n 【来源】2017【答案】（2，【解析】试题分析：2017×60°÷360°=336…11次时点A 作FH ⊥x轴，，∴F （2，.35……．（写出最简计算结果即可）n=2时，结果为：22213=+；n=3时，结果为：33314=+；所以第n 个式子的结果为：1n n +．故答案为：1nn +．考点：规律型：数字的变化类． 36．如图6，在66´的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则a c ?．【来源】2017年初中毕业升学考试（湖北恩施卷）数学（带解析） 【答案】2．【解析】试题分析：对各个小宫格编号如下：先看己：已经有了数字3、5、6，缺少1、2、4；观察发现：4不能在第四列，2不能在第五列，而2不能在第六列；所以2只能在第六行第四列，即a=2；则b 和c 有一个是1，有一个是4，不确定，如下：观察上图发现：第四列已经有数字2、3、4、6，缺少1和5，由于5不能在第二行，所以5在第四行，那么1在第二行；如下：再看乙部分：已经有了数字1、2、3，缺少数字4、5、6，观察上图发现：5不能在第六列，所以5在第五列的第一行；4和6在第六列的第一行和第二行，不确定， 分两种情况：①当4在第一行时，6在第二行；那么第二行第二列就是4，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、4、5，缺少数字2、6，观察上图发现：2不能在第三列，所以2在第二列，则6在第三列的第一行，如下：观察上图可知：第三列少1和4，4观察上图可知：第五行缺少1和2，1不能在第1c=1，所以b=4，如下：观察上图可知：第六列缺少1和2，1 再看戊部分：已经有了数字2、3、4、51在第二列，则6在第一列，如下：观察上图可知：第一列缺少3和4，4 观察上图可知：第二列缺少5和6，5 观察上图可知：第三行第五列少6所以，a=2，c=1，ac=2；②当6在第一行，42在第2列，c=4，b=1所以6在第四行，则3在第三行，如下： 所以2在第三行，则1在第四行，如下： 综上所述：37．（20172的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三【来源】【答案】2112n ．【解析】试题分析：记原来三角形的面积为s ，第一个小三角形的面积为s 1，第二个小三角形的面积为s 2，…， ∵s 1=?s=?s ，s 2=?s=?s ，s 3=?s ，…… ∴s n =?s=??2?2=.考点：1.三角形中位线定理；2.等腰直角三角形．38．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y 轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形20172018OA A ，则点2017A 的坐标为．【来源】2017年初中毕业升学考试（黑龙江齐齐哈尔卷）数学（带解析）【答案】【解析】2为直角∴OA 1=1，∵A 1、A 22017÷∴点A 2017∵OA 2017=∴点A 2017399【来源】【答案】【解析】第2第3…第n 个图形中三角形的个数是1+4（n ﹣1）=4n ﹣3， 当n=2017时，4n ﹣3=8065 考点：图形的变化类40．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=x+2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3，…在直线l 上，点B 1，B 2，B 3，…在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n ﹣1B n 顶点B n 的横坐标为． 【来源】2017年初中毕业升学考试（贵州安顺卷）数学（带解析） 【答案】2n+1﹣2． 【解析】试题解析：由题意得OA=OA 1=2， ∴OB 1=OA 1=2，B 1B 2=B 1A 2=4，B 2A 3=B 2B 3=8，∴B 1（2，0），B 2（6，0），B 3（14，0）…， 2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，… ∴B n 的横坐标为2n+1﹣2． 考点：点的坐标． 41．41．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．【来源】2017年初中毕业升学考试（广西四市卷）数学（带解析） 【答案】（6053，2）．【解析】试题分析：第一次P 1（5，2），第二次P 2（5，1），第三次P 3（7，1），第四次P 4（10，2），第五次P 5（14，2），…发现点P42（1（2（3(1)(2x x +-帮助， 【来源】【答案】（【解析】试题分析：432【来源】【答案】【解析】试题解析：∵第1个图形的周长为2+3=5， 第2个图形的周长为2+3×2=8， 第3个图形的周长为2+3×3=11， …∴第2017个图形的周长为2+3×2017=6053 考点：图形的变化规律.44．44．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为______个． 【来源】2017年初中毕业升学考试（山东潍坊卷）数学（带解析） 【答案】9n +3．【解析】试题分析：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…，∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．故答案为：9n+3．考点：规律型：图形的变化类45．某广场用同一种如图所示的地砖拼图案.第一次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3的图案，第四次拼成形如图4的图案……按照只有的规律进行下去，第n次拼成的图案用地砖块.…第n46角形A11B2，过点A2作A2B3的横坐标是与1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An 的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标，故答案为：．考点：1、一次函数图象上点的坐标特征，2、等边三角形的性质47．观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，① ①×2得2S=2+22+23+…+211，②? ②﹣①得 S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017=．【来源】2017年初中毕业升学考试（贵州毕节卷）数学（带解析）【答案】2018312-.【解析】试题分析：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018故答案为：2018312-．考点：规律型：数字的变化类． 48．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9【来源】【答案】【解析】个点， …第n 3(1)2n n +个点； 当n=9故答案为：135．考点：规律型：图形的变化类49．[探究函数4y x x =+的图象与性质]（1）函数4y x x=+的自变量x 的取值范围是；（2）下列四个函数图象中函数4y x x=+的图象大致是；（3）对于函数4y x x=+，求当0x >时，y 的取值范围.请将下列的求解过程补充完整. 解：∵0x >∴()2224y xx=+=+=+∵2≥∴y ≥. [拓展运用]（4）若函数259x x y x-+=，则y 的取值范围.【来源】四川省自贡市初2017【答案】（1）0x ≠；（2）C ；（3）4，4；（4）y ≥【解析】试题分析：本题的⑴量的取值范围.本题的⑵问结合第⑴问中的0x ≠的大致取值范围，即可得到函数的大致图象.本题的第⑶”应填写“常数”部分，再根据配方情况可以得到当当x >95y x x=+-的形式，再按⑶故填：x （2）x ≠0x <时，y 所以函数4y x x=+的图象只在直角坐标系的（3）∵∴y x =+故分别填：44，；（4）∵0x >（这里隐含有y 首先是正数）∴2222599551x x y xx x -+==-+=+-=+∵2≥∴1y ≥.50．（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程2520x x -+=，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A （0，1），B （5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D （请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m （30c +=（a ≠0，24b ac -（4）实际上，（3系时，点P （m 1，n 1），Q （m 2，n 2【来源】2017【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3，B （﹣b a ，c D 即可；（2）过点B ，进而得出，即是方程的实数根；（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；（4）先设方程的根为x ，根据三角形相似可得，进而得到，再根据，可得，最后比较系数可得m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间的关系． 试题解析：（1）如图所示，点D 即为所求；（2）如图所示，过点B 作BD⊥x 轴于点D ，根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，∴，∴，∴m（5﹣m ）=2，∴，∴m 是方程的实数根；（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得：A （0，1），B（﹣，）或A （0，），B （﹣，c ）等；，根据三角形相似可得，上式，即，∴比较系数可得= ()2132435(2)n n ⨯⨯⨯+=111111111(1 (23243512)n n n -+-+-+-+-++=111113(1)(2)2(2)2(1)(1221222(1)(2)n n n n n n n n ++-+-++--=⨯++++=2354(1)(2)n n n n +++.52．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（,a b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：()()()()253251372i i i i -++=++-+=+()()()21212221213i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：3i =_________，4i =___________；（2）计算：()()134i i +⨯-；（3）计算：232017i i i i ++++.【来源】2017年初中毕业升学考试（湖南张家界卷）数学（带解析）【答案】（1）﹣i ，1；（2）7﹣i ；（3）i ．【解析】试题分析：（1）把i 2=﹣1代入求出即可；（2（3试题解析：（1）i 3=i 2i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2故答案为：﹣i ，1；（2）（1+i ）×（3﹣4i ）=3﹣4i+3i ﹣4i 2=3﹣i+4=7﹣i ；（3）i+i 2+i 32017=i ﹣1﹣=i ． 53．我们知道，(n n ++=223n +++结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1，即21；第2行两个圆圈中数的和为22+，即22n ，即2n .这样，该三角形数阵中共有(1)2n n +个【规律探究】将桑拿教学数阵经两次旋转可得如图所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第1n -行的第一个圆圈中的数分别为1n -，2，n ），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：22223(123)n ++++=.因此，2222123n ++++=. 【解决问题】 根据以上发现，计算222212320171232017++++++++的结果为.【来源】2017年初中毕业升学考试（安徽卷）数学（带解析）【答案】21n +()()1212n n n ++?()()11216n n n ++1345 【解析】试题分析：先利用转化的而思想来探究2222123n ++++=()()11216n n n ++；再利用公式解决问题. 试题解析：21n +2222123n ++++=()()11216n n n ++1345 222212320171232017++++++++=12017(20171)(220171)116(220171)40351345(12017)3320172⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+=⨯=+⨯ 考点：探究问题、解决问题的能力.。

规律探索专题1.如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 上．（3分）（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3分） （3）“2007”在哪条射线上？（3分）2.根据以下10个乘积，回答问：1129⨯ 1228⨯ 1327⨯ 1426⨯ 1525⨯ 1624⨯ 1723⨯ 1822⨯1921⨯ 2020⨯（1）试将以上各乘积分别写成一个“22-”（两数平方差）的形式，并将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（2）若乘积的两个因数分别用字母a b ，表示（a b ，为正数），请观察给出ab 与a b +的关系式．（不要求证明）（3）若用11a b ，22a b ，，n n a b 表示n 个乘积，其中1a ，2a ，3n a a ，，，123n b b b b ，，，，为正数．请根据（1）中乘积的大小顺序猜测出一个一般结论．（不要求证明）3.图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n +++++=． 图１ 图2 图3 图4如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我2层 1层 …… n 层们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．4.如图，在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(10)，，将线段0OP 按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 按逆时针方向旋转45，长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，，n OP （n 为正整数）（1）求点6P 的坐标； （2）求56POP △的面积；（3）我们规定：把点()n n n P x y ，（0123n =，，，，） 的横坐标n x 、纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标()nn xy ，称之为点n P 的“绝对坐标”．根据图中点n P 的分布规律，请你猜想点n P 的“绝对坐标”，并写出来．5.阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问：123100?++++=经过研究，这个问的一般性结论是123++12n n +=(1)n +，其中n 是正整数．现在我们来研究一个类似的问：1223(1)?n n ⨯+⨯+++=观察下面三个特殊的等式5P()()()112123012312323412331343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯将这三个等式的两边分别相加，可以得到112233434520.3⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯=读完这段材料，请你思考后回答： （１）1223100101⨯+⨯++⨯=（２）1223(1)n n ⨯+⨯+++=（３）123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯++++= （只需写出结果，不必写中间的过程）6.在数学活动中，小明为了求2341111122222n +++++的值（结果用n 表示）． 设计如图6－1所示的几何图形．（１）请你利用这个几何图形求2341111122222n+++++的值为 ． （２）请你利用图6－2，再设计一个能求2341111122222n+++++的值的几何图形．7.观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：图6－1图6－2（2）通过猜想，写出与n 个图形相对应的等式．8.在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：235222⨯=，347222⨯=，268222⨯=，⇒…222m n m n +⨯=， ⇒…m n m n a a a +=·（m n ，都是正整数）． 我们亦知：221331+<+，222332+<+，223333+<+，224334+<+，…．（1）请你根据上面的材料归纳出(00)a b c a b c >>>，，，之间的一个数学关系式； （2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m 克糖水里含有n 克糖，再加入k 克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”；（3）如图，在Rt ABC △中，90()C CB a CA b AD BE c a b ∠=====>，，，．能否根据这个图形提炼出与（1）中同样的关系式？并给予证明．9.如图，在Rt ABC △中，90C =∠，12BC AC ==，，把边长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中，请回答下列问： （1）按要求填表① 401413⨯+=⨯-； ②411423⨯+=⨯-； 421433⨯+=⨯-； ③ ④⑤_________________；_________________；ABE（2）n n ；（3）若m n p q ，，，是正整数，且m n p q x x x x =，试判断m n p q ，，，的关系．10.已知Rt ABC △中，90ACB =∠，68AC BC ==，．（I ）如图①，若半径为1r 的1O 是Rt ABC △的内切圆，求1r ；（II ）如图②，若半径为2r 的两个等圆12O O ，外切，且1O 与AC AB ，相切，2O 与BC AB ，相切，求2r ；（III ）如图③，当n 是大于2的正整数时，若半径为n r 的n 个等圆1O ，2O ，…，n O 依次外切，且1O 与AC AB ，相切，n O 与BC AB ，相切，2O ，3O ，…，1n O -均与AB 边相切，求n r ．11.如图－1，图－2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O 处．（1）求图13－1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；（2）求图13－2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接写出答案）； （3）根据前面探索和图13－3，你能否将本推广到一般的正n 边形情况（n 为大于2的偶数）？若能，写出推广问和结论；若不能，请说明理由．B 图③B 图②B 图①F EE B C A12.两条平行直线上各有n 个点，用这n 对点按如下规则连接线段． ①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点； ②符合①要求的线段必须全部画出．图－1展示了当1n =时的情况，此时图中三角形的个数为0； 图－2展示了当2n =时的一种情况，此时图中三角形的个数为2．（1）当3n =时，请在图10－3中画出使三角形个数最少的图形．此时图中三角形的个数为____________．（5分）（2）试猜想当有n 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3分） （3）当2006n =时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（2分）一、猜想、探究 1.（1）“17”在射线OE 上．3分 （2）射线OA 上数字的排列规律：65n - 1分 射线OB 上数字的排列规律：64n - 2分 射线OC 上数字的排列规律：63n - 3分射线OD 上数字的排列规律：62n - 射线OE 上数字的排列规律：61n - 射线OF 上数字的排列规律：6n（图－1） 图－2 （图－3）（3）在六条射线上的数字规律中，只有632007n -=有整数解．解为335n =2分 “2007”在射线OC 上． 3分 2.解：（1）222222112920912282081327207⨯=-⨯=-⨯=-；；；221426206⨯=-； 221525205⨯=-；221624204⨯=-；222217232031822202⨯=-⨯=-；； 221921201⨯=-；222020200⨯=-．2分这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： 1129232813271426152516241723182219212020⨯<⨯<⨯<⨯<⨯<⨯<⨯<⨯<⨯<⨯4分（2）22a b ab +⎛⎫⎪⎝⎭≤7分 （注：①若40a b +=，则220400ab =≤．6分 ②2222a b a b ab +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6分）（3）若112233n n a b a b a b a b m +=+=+==+=，8分且11223n n n a b a b a b a b ----≥≥≥≥，则112233n n a b a b a b a b ≤≤≤≤，10分（注：若11223340n n a b a b a b a b +=+=+==+=8分且11223n n n a b a b a b a b ----≥≥≥≥，则112233n n a b a b a b a b ≤≤≤≤． 9分）3.解：（1）67．2分（2）图4中所有圆圈中共有12(121)12312782+++++==个数， 其中23个负数，1个0，54个正数，4分 ∴图4中所有圆圈中各数的绝对值之和|23||22||1|01254=-+-++-+++++(12323)(12354)27614851761=+++++++++=+=． 6分4.（1）根据旋转规律，点6P 落在y 轴的负半轴，而点n P 到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为66(02)P ，，即6(064)P ，． 3分（2）由已知可得， 01121n n P OP POP P OP -△∽△∽∽△， 4分设111()P x y ，，则12sin 452y ==01112P OP S ∴=⨯=△6分又6132OP OP = 560123210241P OP P OP S S ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△，5610242P OP S =⨯=△ 8分 （3）由意知，0OP 旋转8次之后回到x 轴正半轴，在这8次中，点n P 分别落在坐标象限的平分线上或x 轴或y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点n P 的坐标可分三类情况：令旋转次数为n9分①当8n k =或84n k =+时（其中k 为自然数），点n P 落在x 轴上，此时，点n P 的绝对坐标为(20)n ，； 10分②当81n k =+或83n k =+或85n k =+或87n k =+时（其中k 为自然数），点n P 落在各象限的平分线上，此时，点nP 的绝对坐标为222n n ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭2，2，即(2n n -- 11分③当82n k =+或86n k =+时（其中k 为自然数），点n P 落在y 轴上，此时，点n P 的绝对坐标为(02)n ，． 12分 5.解：（１）343400（或11001011023⨯⨯⨯）（２）1(1)(2)3n n n ++（３）1(1)(2)(3)4n n n n +++6.解：（１）112n -． （２）如图1－1或如图1－２或如图1－3或如图1－4等，图形正确． 7.解：（1）④431443⨯+=⨯-； ⑤441453⨯+=⨯-． （2）4(1)143n n -+=-． 8.（1）解：a b c ，，的数学关系式是b b caa c+<+． （2）解：因为n n k m m k+<+，说明原来糖水中糖的质量分数nm 小于加入k 克糖后糖水中糖的质量分数n km k++，所以糖水更甜了． （3）证法一：在Rt ABC △和Rt DEC △中，tan tan b b cABC DEC a a c+∠=∠=+，． 过A 点作AF CE ∥，交ED 于F 点，则DAF DCE △∽△．ABE图1G12 212312图1－11221241231241231221212 212312 图1－2 图1－3 图1－412DC DAEC FA∴=． DC DA AC EB BC EC =+<+=，DA AF ∴<．而DA EB =，AF EB ∴>．如图1，过A 点作AG ED ∥，则AG 必与EB 的延长线交于G 点，DEC AGC ABC ∴∠=∠>∠．tan tan DEC ABC ∴∠>∠． b c ba c a+∴>+． 另证一：用图2与上面同理说明，对应给分．另证二：同证法一，知AF AD BE >=，且AF BE ∥， 故AB 与FE 的延长线的交点G 必 在BE 的下方（图3）．DEC EBG ABC ∴∠>∠=∠． tan tan DEC ABC ∴∠>∠．b c ba c a+∴>+．AG ABE图29.（1）2483927，，（2）23n⎛⎫⎪⎝⎭．（3）m n p q x x x x =22223333m n p q⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2233m np q++⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．m n pq ∴+=+． 10.解：（I ）在Rt ABC △中，9068ACB AC BC ===，，∠， ∴10AB =．如图，设与Rt ABC △的边AB BC CA ，，分别切于点D E F ，，，连接111111O D O E O F AO BO CO ，，，，，．于是，111O D AB O E BC O F AC ⊥⊥⊥，，，111111322AO C S AC O F AC r r ===△， 111111422BO C S BC O E BC r r ===△， 111111522AO B S AB O D AB r r ===△， 1242ABC S AC BC ==△． 又111ABC AO C BO C AO B S S S S =++△△△△，∴11124345r r r =++．∴12r =．B（II ）如图，连接121212AO BO CO CO O O ，，，，，则122132AO C S AC r r ==△， 222142BO C S BC r r ==△． 等圆12O O ，外切，∴1222O O r =，且12O O AB ∥．过点C 作CM AB ⊥于点M ，交12O O 于点N ，则245AC BC CM AB ==， 22245CN CM r r =-=-． ∴12122212425CO O S O O CN r r ⎛⎫==- ⎪⎝⎭△， ∴1222221(210)(5)2AO O B S r r r r =+=+梯形． 121212ABC AO C BO C CO O AO O B S S S S S =+++梯形△△△△，∴222222242434(5)5r r r r r r ⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭．解得2107r =． （III ）如图，连接111n n n AO BO CO CO O O ，，，，，则1132AO C n n S AC r r ==△， 142n BO C n n S BC r r ==△． 等圆12n O O O ，，，依次外切，且均与AB 边相切，∴12n O O O ，，，均在直线1n O O 上，且1n O O AB ∥， ∴1(2)222(1)n n n n O O n r r n r =-+=-．过点C 作CH AB ⊥于点H ，交1n O O 于点K ，B MBH则242455n CH CK r ==-，． ∴11124(1)25n CO O n n n S O O CK n r r ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭△， 11[2(1)10][(1)5]2n n n n n AO O B S n r r n r r =-+=-+梯形．111n n n ABC AO C BO C CO O AO O B S S S S S =+++梯形△△△△，∴242434(1)[(1)5]5n n n n n n r r n r r n r r ⎛⎫=++--+-+ ⎪⎝⎭．解得1023n r n =+． 11.解：（1）方法一：连结OA OB ，，过点O 作OM AB ⊥，垂足为M ． 点O 是正方形ABCD 外接圆圆心，OA OB ∴=．正方形ABCD ，12OM AB ∴=，14ABO ABCD S S ∴=正方形△． 90AOB ∠=，45OAF OBE ∴∠=∠=．又90A OC ''∠=，90AOF A OB A OB BOE ''∠+∠=∠+∠=，AOF BOE ∴∠=∠．AOF BOE ∴△≌△． AOF BOE S S ∴=△△．∴重叠部分面积14BOF BOE BOF AOF ABO ABCD S S S S S S =+=+==正方形△△△△△． 34ABCD S S ∴=阴影正方形． ∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1:3．方法二：过正方形ABCD 的外接圆圆心O 分别作OM AB ON BC ⊥⊥，，垂足分别为M N ，． 正方形ABCD ，AB BC ∴=，12OM ON AB ∴==．90ABC ∠=，∴四边形MBNO 为矩形．OM ON =，∴四边形MBNO 为正方形． 14MBNO ABCD S S ∴=正方形正方形． 90FOE ∠=，90FOM MOE MOE EON ∴∠+∠=∠+∠=． FOM EON ∴∠=∠．FOM EON ∴△≌△．FOM EON S S ∴=△△．∴重叠部分面积14FOM EON MBNO ABCD MBEO MBEO S S S S S S =+=+==△△正方形正方形四边形四边形． 34ABCD S S ∴=阴影正方形． ∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1:3．方法二：过正方形ABCD 的外接圆圆心O 分别作OM AB ON BC ⊥⊥，，垂足分别为M N ，． 正方形ABCD ，AB BC ∴=，12OM ON AB ∴==．90ABC ∠=，∴四边形MBNO 为矩形． OM ON =，∴四边形MBNO 为正方形．14MBNO ABCD S S ∴=正方形正方形．90FOE ∠=，90FOM MOE MOE EON ∴∠+∠=∠+∠=．FOM EON ∴∠+∠．FOM EON ∴∠∠△≌△． FOM EON S S ∴=△△．∴重叠部分面积14FOM EON MBNO ABCD MBEO MBEO S S S S S S =+=+==△△正方形正方形四边形四边形． 34ABCD S S ∴=阴影正方形． ∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1:3．（2）1:2；（3）两个相同的正n （n 为大于2的偶数）边形，其中一个正n 边形的顶点在另一个正n 边形的外接圆圆心O 处，求两个正n 边形重叠部分面积与阴影部分面积之比．答案为(2)(2)n n -+：． 12. （1）4（2）当有n 对点时，最少可以画()21n -个三角形． （3）()2200614010⨯-=个．答：当2006n =时，最少可以画4010个三角形．。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。

规律探索-中考数学重难点题型专题汇总图形规律1.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．2.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．3.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．4.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．5.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．Y Y-=（）6.观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用n Y表示，则94A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．8.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A．()202020202,2-B．()202120212,2C．()202020202,2⨯D．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=3222-⨯-，()2020202020212,2A ∴，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．9.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n 个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n 个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．10.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．11.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．12.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是32=n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：1255,22n n +-==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．13.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，第n个图形中的黑色圆点的个数为()1 2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=161，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有12019190 2⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n-．15.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，拼成第n 个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．16.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n=()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n=()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．17.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形ABCDEF，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OB OA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F 2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）606255(，【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DC OA BC =，∵DC=1，BC=2，∴OB OA =12，故答案为：12．（2过C 作CM⊥y 轴于M，过M 1作M 1N⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x 轴．根据勾股定理易证得BD ==CM=OA=5，DM=OB=AN=5，∴C（5），∵AF=3，M 1F=BC=2，∴AM 1=AF-M 1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM 1（AAS），∴NM 1=OA=255，∵NM 1∥FN 1，∴1111251553M N AM FN AF FN ==，，∴FN 1=655，∴AN 1=355，∴ON 1=OA+AN 1=253555555+=，∴F（555，655），同理，F 1（857555，F 2（55，），F 3（1459555，），F 4（17510555，），…F 2019），即（【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键18.如图，正方形1ABCB 中，AB =，AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】20203【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =，∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A∴111=2=2(3AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=33133⨯=，∴2112=23A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020332(33-⨯=,故答案为：2020)3.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.19.如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得134S =，2S =242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：∴3sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴1121133244A D BE A S D =⋅==，同理可得：2222133244S A D ==⨯=，2233233444S A D ==⨯=∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-==⋅；故答案为40382【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．20.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”是解题的关键．21.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究22.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．23.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）【分析】先求得△EF 1D 的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF 1F 2的面积，EF 2F 3的面积，…，EF n﹣1F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解析】∵AE＝DA，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，∵点F 2是CF 1的中点，∴△EF 1F 2的面积等于12，同理可得△EF n﹣1F n 的面积为12n−1，∵△BCF n 的面积为2×12n ÷2=12n ，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n =2﹣（1−12n ）=2n +12n ．故答案为：2n +12n ．。

2017年数学中考专题《规律探究问题》【题型概述】【题型特征】规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出，而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动，才能得到问题的结论.这类问题，因其独特的规律性和探究性，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.在近几年全国各地的中考试题中，不仅频频出现规律探究题，而且“花样百出”.常见的类型有:(1)数式规律型;(2)图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等.【解题策略】解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位里等)进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论).然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.(1)数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律，式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题，主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式，等式或者不等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是先写出代数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位里的数量关系)，找出各部分的特征，写出符合条件的格式.(2)图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.(3)坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.(4)数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力，解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”，还要有很强的“图形”意识.【真题精讲】类型一 数式规律型典例 1 (2016 ·山东枣庄)一列数123,,,a a a …满足条件：1111,(2,21n n a a n a -==≥- 且n 为整数)，则2016a = .【解析】:123411111,2,1,12121(1)212a a a a =====-==----… 可以发现:数列以1,2,12-循环出现，2 016÷3=672, 所以20161a =-.【全解】－11.(2016·湖北黄石)观察下列等式:第1个等式:11,a == 第2个等式:2a == 第3个等式: 32a ==-第4个等式:42a ==， 按上述规律，回答以下问题:(1)请写出第n 个等式: n a = ;(2)123n a a a a +++⋯+= .【考情小结】此类问题考查的知识点是单项式的知识.找代数式的变化规律，一般是由特殊到一般，得出一般规律.比如典例观察单项式的规律，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键. 类型二 图形变化规律型典例2 (2016·湖北咸宁)用m 根火柴恰好可拼成如图(1)所示的a 个等边三角形或如图(2)所示的b 个正六边形，则b a = .【解析】分别根据图(1)，求出拼成a 个等边三角形用的火柴数量，即m 与a 之间的关系，再根据图(2)找到b 与m 之间的等量关系，最后利用m 相同得出合的值. 观察图形得:由图(1)可知:一个等边三角形有3条边，两个等边三角形有3+2条边，12m a ∴=+,由图2可知:一个正六边形有6条边，两个正六边形有6+5条边，15m b ∴=+，1215a b ∴+=+，25b a ∴=. 故答案为:25 【全解】252. (2015·贵州安顺)如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中的基础图形个数为 (用含n 的式子表示).3. (2015·山东威海)如图，正六边形111111A B C D E F 的边长为2，正六边形222222A B C D E F 的外接圆与正六边形111111A B C D E F 的各边相切，正六边形333333A B C D E F 的外接圆与正六边形222222A B C D E F 的各边相切，…按这样的规律进行下去，101010101010A B C D E F 的边长为( ).A. 92432 C. 9812 4.( 2016·湖北荆州)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2 017个白色纸片，则n 的值为( ).A. 671B. 672C. 673D. 674【考情小结】(1)图形循环类问题，只要找到所求值在第几个循环，便可找出答案，一般难度不大;(2)图形的变化规律计算问题，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题，难度一般偏大，属于难题.类型三 坐标变化规律型典例 3 (2016·山东威海)如图，点1A 的坐标为(1,0),2A 在y 轴的正半轴上，且1230A A O ∠=︒，过点2A 作2312A A A A ⊥，垂足为2A ，交x 轴于点3A ;过点3A 作3423A A A A ⊥,垂足为3A ,交y 轴于点4A ;过点4A 作4534A A A A ⊥，垂足为4A ，交x 轴于点5A ;过点5A 作5645A A A A ⊥，垂足为5A ，交y 轴于点6A ；…按此规律进行下去，则点2016A 的纵坐标为 .【解析】123412345(1,0),,,0,0,,,0A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q …， ∴序号除以4整除的话在y 轴的负半轴上，余数是1在x 轴的正半轴上，余数是2在y 轴的正半轴上，余数是3在x 轴的负半轴上，20164504÷=Q ，2016A ∴在y 轴的负半轴上，纵坐标为2015(3)-.故答案为2015(3)-.【全解】2015(3)-5. (2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆123,,O O O ，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2 015秒时，点P 的坐标是( ).A. (2 014,0)B. (2 015，-1)C. (2 015,1)D. (2 016,0)6. ( 2015·山东潍坊)如图，已知正方形ABCD ，顶点(1,3),(1,1),(3,1)A B C .规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为( ).A.( -2 012,2)B.( -2 012，-2)C.( -2 013，-2 )D.( -2 013,2)【考情小结】此类题型主要考查点的坐标变化规律，解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.类型四 数形结合规律型典例 4 (2016·广东茂名)如图，在平面直角坐标系中，将ABO ∆绕点B 顺时针旋转到11A BO ∆的位置，使点A 的对应点1A 落在直线3y x =上，再将11A BO ∆绕点1A 顺时针旋转到112AB O ∆的位置，使点1O 的对应点2O 落在直线3y x =上，依次进行下去…，若点A 的坐标是(0,1)，点B 的坐标是3，则点8A 的横坐标是 .【解析】由题意点2A 的横坐标331)2， 点4A 的横坐标3(31)，点6A 的横坐标931)2， 点8A 的横坐标6(31). 故答案为636.【全解】67. (2015·江苏徐州)如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去…，第n 个正方形的边长为 .8. (2015·广西南宁)如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿x 轴做如下移动:第一次点A 向左移动3个单位长度到达点1A ，第二次从点1A 向右移动6个单位长度到达点2A ,第三次从点2A 向左移动9个单位长度到达点3A ，…，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到达点n A ，如果点n A 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 .9.(2015·重庆)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图(1)中有2个黑色正方形，图(2)中有5个黑色正方形，图(3)中有8个黑色正方形，图(4)中有11个黑色正方形，…，按此规律，图(10)中黑色正方形的个数是( ).A. 32B. 29C. 28D. 2610. (2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆123,,O O O ,…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是( )A. (2 014,0)B.(2 015，-1)C. (2 015,1)D. (2 016,0)11. (2014·四川内江)如图，已知1231,,,,n n A A A A A +⋯是x 轴上的点，且112OAA A == 23A A =…11n n A A +==,分别过点1231,,,,n n A A A A A +⋯作x 轴的垂线交直线2y x =于点1231,,,,n n B B B B B +⋯，连接1212231,,,,,n n n n A B B A B A A B B A ++⋯，依次相交于点123,,,,n P P P P ⋯，111222,,n n n A B P A B P A B P ∆∆∆的面积依次记为123,,,,n S S S S ⋯，则n S 为( ).A.121n n ++B. 31n n -C. 221n n - D. 221n n + 【考情小结】此类题主要考查坐标的变化规律.解决此类问题的关健是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.参考答案=12. 31n +3. D4. B5. B6. A7. 1n -8. 139. B 10. B 11. D【跟踪练习】1. (2016·四川广安)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了()(1,2,3,4n a b n +=…)的展开式的系数规律(按a 的次数由大到小的顺序):请依据上述规律，写出20162()x x -展开式中含2014x 项的系数是 .2. (2015·广东)观察下列一组数:13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 .3.(2015·湖北荆州)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组: (1)，(3,5,7)，(9,11,13,15,17)，(19,21,23,25,27,29,31)，……，现有等式(,)m A i j =表示正奇数m 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如7(2,3)A =，则2015A ( ).A.(31,50)B.(32,47)C. (33,46)D.(34,42)4. (2015·山东泰安)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的:根据此规律确定x 的值为( ).A. 135B. 170C. 209D. 2525. (2016·四川达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作;然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作;再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作;…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是( ).A. 25B. 33C. 34D. 506.( 2016·浙江宁波)下列图案是用长度相同的火柴棒按一规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需 根火柴棒.7. (2016·山东聊城)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形111OA B C 的两边在坐标轴上，以它的对角线1OB 为边作正方形122OB B C ，再以正方形122OB B C 的对角线2OB 为边作正方形233OB B C ，以此类推…、则正方形201520162016OB B C 的顶点2016B 的坐标是 .8. (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，将ABO V 绕点A 顺时针旋转到11ABC V 的位置，点B ，O 分别落在点1B ，1C 处，点1B 在x 轴上，再将11ABC V 绕点1B 顺时针旋转到12AB C V 的位置，点2C 在x 轴上，将12AB C V 绕点2C 顺时针旋转到222A B C V 的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去…，若点3(,0)2A ，(0,2)B ，则点2016B 的坐标为 .9.(2016·黑龙江)如图，等边三角形的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC V 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2 016次变换后，等边ABC V 的顶点C 的坐标为 .10. (2015·湖南衡阳)如图，112A B A V ，223A B A V ，334A B A V ，…，1n n n A B A +V ，都是等腰直角三角形.其中点1A ，2A ，…，n A 在x 轴上，点1B ，2B ，…，n B 在在直线y x =上.已知11OA =，则2015OA 的长为 .11. (2016·安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空:((2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空:135(21)n ++++-+…( )(21)531n +-++++=… .12.(2016·重庆)观察下列一组图形，其中图形(1)中共有2颗星，图形(2)中共有6颗星，图形(3)中共有11颗星，图形(4)中共有17颗星，…，按此规律，图形(8)中星星的颗数是( ).A.43B. 45C. 51D. 5313. (2016·重庆)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”，例如自然数12 321，从最高位到个位依次排出的一串数字是:1，2，3，2，1，从个位到高位数依次排出的一串数字仍是: 1，2，3，2，1，因此12 321是一个“和谐数”，再如22，545，3 883，345 543，…，都是“和谐数”.(1)请你直接写出3个四位“和谐数”;请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除?并说明理由;(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x (x ≤≤14，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数解析式.参考答案 1. 4032 2.10213. B4. C5. B6. 507. 1008(2,0)8. (6048,2)9.(1)- 10.2014211.(1) 24 2n (2)21n + 2221n n ++12. C13. (1)四位“和谐数”：1 221，1 331，1 111，6 666等任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下:设四位“和谐数”是abcd ，则满足:个位到最高位排列:,,,d c b a最高位到个位排列:,,,a b c d由题意，两组数据相同，则a d =，b c = 则1000100101111abcd a b c d +++= 10001001011a b b a +++= 1001110911011a b a b +==+为正整数. 所以四位“和谐数”abcd 能被11整数.又由于,,,a b c d 的任意性， 故任意四位“和谐数”都可以被11整除.11 (2)设能被11整除的三位“和谐数”为zyx ，则满足: 个位到最高位排列,,x y z最高位到个位排列,,z y x由题意，两组数据相同，则x z = 故10110zyx xyx x y ==+10110991122911111111zyx x y x y x y x y x y +++--===++为正整数. 故2y x =(x (x ≤≤14，x 为自然数).。

中考数学规律复习题（整理全-含答案）规律探索1⼀．选择题1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．72.把所有正奇数从⼩到⼤排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现⽤等式A M=（i，j）表⽰正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（）A．（45，77）B．（45，39）C．（32，46）D．（32，23）3.下表中的数字是按⼀定规律填写的，表中a的值应是．4.下列图形都是由同样⼤⼩的矩形按⼀定的规律组成，其中第（1）个图形的⾯积为2cm2，第（2）个图形的⾯积为8 cm2，第（3）个图形的⾯积为18 cm2，……，第（10）个图形的⾯积为（）A．196 cm2B．200 cm2C．216 cm2D．256 cm25．如图，动点P从（0，3）出发，沿所⽰的⽅向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射⾓等于⼊射⾓，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（）A、（1，4）B、（5，0）C、（6，4）D、（8，3）6．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是7．我们知道，⼀元⼆次⽅程12-=x 没有实数根，即不存在⼀个实数的平⽅等于-1，若我们规定⼀个新数“”，使其满⾜12-=i (即⽅程12-=x 有⼀个根为)，并且进⼀步规定: ⼀切实数可以与新数进⾏四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成⽴，于是有,1i i =12-=i ，,).1(23i i i i i -=-=?=.1)1()(2224=-==i i 从⽽对任意正整数n ，我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i那么，20132012432i i i i i i +++++的值为( ) A ．0 B ．1 C ．-1 D ． i 8．下列图形都是由同样⼤⼩的棋⼦按⼀定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋⼦，第②个图形⼀共有6颗棋⼦，第③个图形⼀共有16颗棋⼦，…，则第⑥个图形中棋⼦的颗数为（）A ．51B ．70C ．76D ．81 ⼆．填空题1．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为（⽤含n 的代数式表⽰）．2．如图，在直⾓坐标系中，已知点A （﹣3，0）、B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则3．如图，正⽅形ABCD 的边长为1，顺次连接正⽅形ABCD 四边的中点得到第⼀个正⽅形A 1B 1C 1D 1，由顺次连接正⽅形A 1B 1C 1D 1四边的中点得到第⼆个正⽅形A 2B 2C 2D 2…，以此类推，则第六个正⽅形A 6B 6C 6D 6周长是．图①图②图③···（第8题图）5．如图，古希腊⼈常⽤⼩⽯⼦在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是．6 ．如图，是⽤⽕柴棒拼成的图形，则第n个图形需根⽕柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是．8．如图12，⼀段抛物线：y＝－x(x －3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进⾏下去，直⾄得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_________．9.直线上有2013个点，我们进⾏如下操作：在每相邻两点间插⼊1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点.25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…………请猜测，第n个算式(n为正整数)应表⽰为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7⾏、第7列的数x是__ __．12、如下图，每⼀幅图中均含有若⼲个正⽅形，第①幅图中含有1个正⽅形；第②幅图中含有5个正⽅形；……按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有个正⽅形；13．将⼀些半径相同的⼩圆按如图所⽰的规律摆放：第1个图形有6个⼩圆，第2个图形有10个⼩圆，第3个图形有16个⼩圆，第4个图形有24个⼩圆， ……，依次规律，第6个图形有个⼩圆．14.已知⼀组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n 个数是． 15、我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bx (a ≠0) （1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a ＝__________；当顶点坐标为（m ，m ），m ≠0时，a 与m 之间的关系式是__________；（2）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y ＝kx (k ≠0)上，请⽤含k 的代数式表⽰b ；（3）现有⼀组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y ＝x 上，横坐标依次为1，2，…，n （为正整数，且n ≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂⾜记为B 1，B 2，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正⽅形A n B n C n D n ，若这组抛物线中有⼀条经过D n ，求所有满⾜条件的正⽅形边长．①②③16．如图，所有正三⾓形的⼀边平⾏于x 轴，⼀顶点在y 轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次⽤1A 、2A 、3A 、4A 、…表⽰，其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、…均相距⼀个单位，则顶点3A 的坐标是，22A 的坐标是．第16题图17．如图，已知直线l ：y=33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去，则点A 2013的坐标为．18、如图，在平⾯直⾓坐标系中，⼀动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的⽅向不断地移动，每移动⼀个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A4（2，0），… 那么点A 4n ＋1（n 为⾃然数）的坐标为（⽤n 表⽰）19．当⽩⾊⼩正⽅形个数n等于1，2，3…时，由⽩⾊⼩正⽅形和和⿊⾊⼩正⽅形组成的图形分别如图所⽰．则第n个图形中⽩⾊⼩正⽅形和⿊⾊⼩正⽅形的个数总和等于__________．（⽤n表⽰，n是正整数）20. （2013?衢州4分）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是．21.⼀组按规律排列的式⼦：ａ２，43a，65a,87a,….则第n个式⼦是________22.观察下⾯的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式⼦是．23.如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x 轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为．24.为庆祝“六?⼀”⼉童节，某幼⼉园举⾏⽤⽕柴棒摆“⾦鱼”⽐赛．如图所⽰：按照上⾯的规律，摆第（n）图，需⽤⽕柴棒的根数为．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、（n+1）2 2、（8052,0） 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、2 9、16097 10、[10(n-1)+5]2=100n(n-1)+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、（1）－1；a ＝－1m（或am ＋1＝0）（2）解：∵a ≠0 ∴y ＝ax 2＋bx＝a (x ＋2b a∴顶点坐标为（－2ba，－24b a ）∵顶点在直线y ＝kx 上∴k (－2ba)＝－24b a∵b ≠0 ∴b ＝2k（3）解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上∴可设A n 的坐标为（n ，n ），点D n 所在的抛物线顶点坐标为（t ，t ）由（1）（2）可得，点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正⽅形∴点D n 的坐标为（2n ，n ）∴－1t(2n )2＋2×2n ＝n ∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数，且t ≤12，n ≤12 ∴n ＝3，6或9∴满⾜条件的正⽅形边长为 3，6或916、（01），（－8，－8）. 17、()()201340260,40,2或（注：以上两答案任选⼀个都对）18、（2n ，1） 19、n 2+4n 20、20；21、221na n -（n 为正整数）22、-128a 8 23、（884736,0） 24、6n+2规律探索21、我们平常⽤的数是⼗进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表⽰⼗进制的数要⽤10个数码（⼜叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。