2017-2018学年高一数学高分特训专题必修2人教A版 第3章直线的方程及位置关系 Word版含答案

精品文档一、直线的倾斜角和斜率A．如何求直线的倾斜角和斜率1.设直线 l 过坐标原点O，它的倾斜角为，如将 l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线 l1，那么4直线 l1的倾斜角为。

2.将直线 l : y2x 2 向右平移3个单位，向上平移 2 个单位得到直线l1，则l1的方程为。

B．三点共线问题3.已知 a 0 ，若平面内三点A(1, a), B (2, a 2 ), C (3, a 3 ) 共线，则 a。

4.若三点 A (2, 2), B ( a,0), C (0, b )( ab11。

0) 共线，则ba5.已知三点 A (1,1), B (3,3), C (4,5)，求证：三点在同一直线上。

（分别用：距离公式法、斜率公式法、直线方程证明）C．直线斜率的取值范围6.已知两点 A(3,4), B(3,2)，过点 P(2,1) 的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。

7.直线 ax y20 与连接 A ( 3,1), B (1, 4) 的线段相交，则 a 的取值范围是。

8.已知矩形 ABCD中， A (4, 4), D (5, 7)，中心 E 在第一象限内且与y轴的距离为 1 个单位。

动点yP( x, y) 沿矩形一边BC 运动，求的取值范围。

二、直线的方程A．各种形式的直线方程点斜式y y1 k( x x1 )斜截式截距式x y1一般式a by kx b两点式y y1x x1y2y1x2x1Ax By C0 （ A2B20 ）（讨论：能否适用于垂直x 轴或y轴及过原点的直线）1.直线 l 过点M (2,1)，且分别与 x, y 轴的正半轴交于A, B 两点，O为坐标原点，当AOB 的面积最小时，求直线 l 的方程。

2.已知两直线 l1 : a1 x b1 y 10 和 l 2 : a2 x b2 y 10的交点为 P(2,3)，则过两点Q1 ( a1 , b1 ), Q 2 ( a2 , b2 ) 的直线方程是。

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(三) 直线与方程（时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．在直角坐标系中，直线错误!x－y－3＝0的倾斜角是（)A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】直线的斜率k＝错误!,倾斜角为60°。

【答案】B2．若A(－2,3），B（3，－2），C错误!三点共线，则m的值为（）A.错误!B．－错误!C．－2 D．2【解析】由错误!＝错误!,得m＝错误!.【答案】A3．如果AB〈0,BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】Ax＋By＋C＝0可化为y＝－错误!x－错误!，由AB<0,BC<0，得－错误!>0，－错误!>0，故直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限,不经过第四象限．【答案】D4．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是（) A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!【解析】5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.由平行线间的距离公式可得d＝错误!＝错误!.【答案】C5．直线l1:（3－a）x＋(2a－1)y＋7＝0与直线l2：（2a＋1)x＋（a＋5）y－6＝0互相垂直，则a的值是（）A．－错误!B。

人教A 版高中数学必修2 第3章 直线与方程 汇编目录人教A 版必修2试题：学业质量标准检测3 Word 版含解析第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．(2016～2017·烟台高一检测)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为导学号 09024647( A ) A ．3B ．－3C ．33D ．－33[解析] 直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.故选A ．2．若过两点A (4，y )、B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于导学号 09024648( C ) A ．－32 B ．32C ．－1D ．1[解析] ∵直线的倾斜角为45°， ∴直线的斜率k ＝tan45°＝1， ＝－3－y 2－4＝1，∴y ＝－1. 3．(2016·肥城高一检测)若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 的值为导学号 09024649( A )A ．12B ．－12C ．－2D ．2[解析] 由已知得，k AB ＝k AC ， ∴－2－33－(－2)＝m －312－(－2)，解得m ＝12.[点评] 若k AB ＝k BC ，则A ，B ，C 三点共线；若AB 与BC 的斜率都不存在(即A 、B 、C 三点横坐标相同)，则A 、B 、C 三点共线．4．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为导学号 09024650( B )A ．1B ．3C ．233D ．－ 3[解析] ∵tan α＝33，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴k ＝tan2α＝ 3.故选B ．5．如下图，已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则导学号 09024651( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 [解析] 可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解．设直线l 1、l 2、l 3的倾斜角分别是α1、α2、α3，由图可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k 1<0<k 3<k 2.6．设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为导学号 09024652( D )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° [解析] 根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α<135°，l 1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 故选D ．7．经过两点A (2,1)、B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是导学号 09024653( C ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＞1或m ＜－1 [解析] 设直线l 的倾斜角为α，则k AB ＝m 2－11－2＝tan α＞0.∴1－m 2＞0，解得－1＜m ＜1.8．已知点A (1,3)、B (－2，－1)．若过点P (2,1)的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是导学号 09024654( D )A ．k ≥12 B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12[解析] 过点P (2,1)的直线可以看作绕P (2,1)进行旋转运动，通过画图可求得k 的取值范围．由已知直线l 恒过定点P (2,1)，如图．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，∵k P A ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.[点评] 在同一坐标系中，直线向右上方倾斜时，k >0； 向左上方倾斜时，k <0；在y 轴右侧，各直线交点最右边逆时针方向，k 依次增大． 二、填空题9．设P 为x 轴上的一点，A (－3,8)、B (2,14)，若P A 的斜率是PB 的斜率的两倍，则点P 的坐标为__(－5,0)__.导学号 09024655[解析] 设P (x,0)为满足题意的点，则k P A ＝8－3－x ，k PB ＝142－x ，于是8－3－x ＝2×142－x，解得x ＝－5. 10．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是__[0,2]__.导学号 09024656 [解析] 如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2.故直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．三、解答题11．在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：导学号 09024657(1)直线l 1过原点，斜率为1；(2)直线l 2过点(3,0)，斜率为－23；(3)直线l 3过点(－3,0)，斜率为23；(4)直线l 4过点(3,1)斜率不存在． [解析] 如图所示．12．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.导学号09024658(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．[解析]如图，由题意可知，直线P A的斜率k P A＝4－0－3－1＝－1，直线PB的斜率k PB＝2－03－1＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与P A的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线P A 的倾斜角是135°，故α的取值范围是45°≤α≤135°.第三章 3.1 3.1.2一、选择题 1．(2016·临沧高一检测)直线l 1、l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是导学号 09024675( D )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直[解析] 设方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1x 2＝－1. ∴直线l 1、l 2的斜率k 1k 2＝－1， 故l 1与l 2垂直． 2．(2016·盐城高一检测)已知直线l 的倾斜角为20°，直线l 1∥l ，直线l 2⊥l ，则直线l 1与l 2的倾斜角分别是导学号 09024676( C )A ．20°，20°B ．70°，70°C ．20°，110°D ．110°，20°[解析] ∵l 1∥l ，∴直线l 1与l 的倾斜角相等， ∴直线l 1的倾斜角为20°， 又∵l 2⊥l ，∴直线l 2的倾斜角为110°. 3．满足下列条件的直线l 1与l 2，其中l 1∥l 2的是导学号 09024677( B )①l 1的斜率为2，l 2过点A (1,2)、B (4,8)；②l 1经过点P (3,3)、Q (－5,3)，l 2平行于x 轴，但不经过P 点； ③l 1经过点M (－1,0)、N (－5，－2)，l 2经过点R (－4，3)、S (0,5)． A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③[解析] k AB ＝8－24－1＝2，∴l 1与l 2平行或重合，故①不正确，排除A 、C 、D ，故选B ． 4．若过点A (2，－2)、B (5,0)的直线与过点P (2m,1)、Q (－1，m )的直线平行，则m 的值为导学号 09024678( B )A ．－1B ．17C ．2D ．12[解析] k AB ＝0－(－2)5－2＝23，∴k PQ ＝m －1－1－2m ＝23，解得m ＝17.5．已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有导学号 09024679( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个[解析] ∵由条件知过A (1,1)，B (1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB ⊥CD ，∴k CD ＝0，即2－mn ＋3＝0，得m ＝2，n ≠－3，∴点(m ，n )有无数个．6．以A (－1,1)、B (2，－1)、C (1,4)为顶点的三角形是导学号 09024680( C ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形[解析] k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32.∴k AB ·k AC ＝－23×32＝－1，∴AB ⊥AC ，故选C ．7．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)、(6，y )，且l 1⊥l 2，则y ＝导学号 09024681( D )A ．2B ．－2C ．4D ．1 [解析] ∵l 1⊥l 2且k 1不存在，∴k 2＝0， ∴y ＝1.故选D ．8．已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是导学号 09024682( B )A ．19B ．194C ．5D ．4[解析] 由于A 、B 、C 、O 四点共圆，所以AB ⊥BC ，∴4－03－2·4－y 3－0＝－1，∴y ＝194.故选B ． 二、填空题9．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝__2__；若l 1∥l 2，则b ＝__－98__.导学号 09024683[解析] 当l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，∴－b2＝－1.∴b ＝2.当l 1∥l 2时，k 1＝k 2，∴Δ＝(－3)2＋4×2b ＝0.∴b ＝－98.10．经过点P (－2，－1)和点Q (3，a )的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a ＝__4__.导学号 09024684 [解析] 由题意，得tan45°＝a ＋13＋2，解得a ＝4. 三、解答题11．已知在▱ABCD 中，A (1,2)、B (5,0)、C (3,4).导学号 09024685 (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？[解析] (1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝6.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．12．△ABC 的顶点A (5，－1)、B (1,1)、C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值.导学号 09024686 [解析] (1)若∠A ＝90°，则AB ⊥AC ，k AB ·k AC ＝－1，k AB ＝1＋11－5＝－12，k AC ＝m ＋12－5＝－m ＋13.∴－12×(－m ＋13)＝－1，∴m ＝－7.(2)若∠B ＝90°，则BA ⊥BC ，k BA ·k BC ＝－1，k BC ＝m －12－1＝m －1，k BA ＝－12，∴(m －1)×(－12)＝1，∴m ＝3.(3)若∠C ＝90°，则CA ⊥CB ，k CA ·k CB ＝－1，k CA ＝m ＋12－5＝－m ＋13，k CB ＝m －12－1＝m －1，k CA ·k CB ＝－1，∴(－m ＋13)×(m －1)＝－1，∴m 2＝4，∴m ＝±2.综上所述，m ＝－2,2，－7,3.13．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )、B (5，－1)、C (4,2)、D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形.导学号 09024687[解析] (1)如图，当∠A ＝∠D ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB .∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1. (2)如图，当∠A ＝∠B ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ，∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝2－(－1)4－5，n ＋1m －5·2－(－1)4－5＝－1，解得m ＝165、n ＝－85.综上所述，m ＝2、n ＝－1或m ＝165、n ＝－85.第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是导学号 09024703( D ) A ．a ＝－7，b ＝－7B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7[解析] 令x ＝0，得y ＝－7，即b ＝－7，令y ＝0，得x ＝－72，即a ＝－72.2．若直线y ＝－12ax －12与直线y ＝3x －2垂直，则a 的值为导学号 09024704( D )A ．－3B ．3C ．－23D ．23[解析] 由题意，得－12a ×3＝－1，∴a ＝23.3．(2016大同高一检测)与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为导学号 09024705( D )A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋44．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于导学号 09024706( B ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2. 所以a ＝2－a ，解得a ＝1.5．y ＝a |x |(a <0)的图象可能是导学号 09024707( D )[解析] ∵a <0，∴y ≤0，其图象在x 轴下方，故选D ． 6．(2016·天水高一检测)直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有导学号 09024708( B )A ．k >0，b >0B ．k >0，b <0C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0[解析] 如图，由图可知，k >0，b <0.7．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是导学号 09024709( B )[解析] 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距是1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距是1a>0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距是1a <0，则直线y ＝ax ＋1a过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．8．(2016～2017合肥高一检测)下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π2，则其方程为x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确的个数为导学号 09024711( B ) A ．1 B ．2C ．3D ．4[解析] ①④不正确，②③正确，故选B ． 二、填空题9．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝__－2__，b ＝__－2__.导学号 09024712[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝k ＋b 0＝－k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝－2.10．(2016·杭州高一检测)直线l 1与直线l 2：y ＝3x ＋1平行，又直线l 1过点(3,5)，则直线l 1的方程为__y＝3x －4__.导学号 09024713[解析] ∵直线l 2的斜率k 2＝3，l 1与l 2平行． ∴直线l 1的斜率k 1＝3. 又直线l 1过点(3,5)，∴l 1的方程为y －5＝3(x －3)，即y ＝3x －4. 三、解答题11．(2016～2017·福州高一检测)直线l 过点P (2，－3)且与过点M (－1,2)，N (5,2)的直线垂直，求直线l 的方程.导学号 09024714[解析] 过M ，N 两点的直线斜率k ＝0， ∴直线l 与直线MN 垂直， ∴直线l 的斜率不存在． 又直线l 过点P (2，－3)， ∴直线l 的方程为x ＝2.12．已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程.导学号 09024715(1)过点P (3，－4)； (2)在x 轴上截距为－2； (3)在y 轴上截距为3.[解析] 直线y ＝－33x ＋5的斜率k ＝tan α＝－33，∴α＝150°，故所求直线l 的倾斜角为30°，斜率k ′＝33.(1)过点P (3，－4)，由点斜式方程得：y ＋4＝33(x －3)，∴y ＝33x －3－4.(2)在x 轴截距为－2，即直线l 过点(－2,0)，由点斜式方程得：y －0＝33(x ＋2)，∴y ＝33x ＋233.(3)在y 轴上截距为3，由斜截式方程得y ＝33x ＋3.13．求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线l 的方程.导学号 09024716[解析] 由直线l 与直线y ＝43x ＋53垂直，可设直线l 的方程为y ＝－34x ＋b ，则直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为x 0＝43b ，y 0＝b .又因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以S ＝12|x 0||y 0|＝24，即12|43b ||b |＝24，b 2＝36， 解得b ＝6，或b ＝－6.故所求的直线方程为y ＝－34x ＋6，或y ＝－34x －6.第三章 3.2 3.2.2一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为导学号 09024735( B )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5.2．已知点M (1，－2)、N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是导学号 09024736( C )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 [解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN 的垂直平分线上，所以1＋m 4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，则有导学号 09024737( B )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.4．已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为导学号 09024738( A )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.5．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为导学号 09024739( D ) A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51 008－2，得b ＝2 017.6．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图象可能是图中的哪一个导学号 09024740( B )[解析] 直线x m －yn＝1化为y ＝n m x －n ，直线x n －ym＝1化为y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ．7．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线y ＝2x 和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P (0，10a )，则直线AB 的方程为导学号 09024741( C )A ．y ＝－34x ＋5B ．y ＝34x －5C ．y ＝34x ＋5D ．y ＝－34x －5[解析] 依题意，a ＝2，P (0,5)．设A (x 0,2x 0)、B (－2y 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2y 0＝02x 0＋y 0＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4y 0＝2，所以A (4,8)、B (－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB 的方程是y －82－8＝x －4－4－4，即y ＝34x ＋5，选C ．8．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有导学号 09024742( B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 [解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)．令y ＝0得x ＝3＋4kk，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B ． 二、填空题9．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝__32__.导学号 09024743[解析] 解法一：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.解法二：M 、N 、P 三点共线， ∴4－(2m －1)－3＋1＝4－(－1)－3－2，解得m ＝32.10．(2016～2017·衡水高一检测)已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为__6x －y ＋12＝0__.导学号 09024744[解析] 设l ：y ＝6x ＋b ，令y ＝0得x ＝－b 6.由条件知b ＋⎝⎛⎭⎫－b6＝10，∴b ＝12. ∴直线l 方程为y ＝6x ＋12.解法2：设直线l ：x a ＋y b ＝1，变形为y ＝－ba x ＋b .由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝6，a ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，a ＝－2.∴直线l 方程为x －2＋y12＝1.即6x －y ＋12＝0.三、解答题11．求分别满足下列条件的直线l 的方程：导学号 09024745 (1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[解析] (1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是 y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1.(3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b .当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋yb ＝1；∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b＝1.又∵|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1a ＝±b，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7. 当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .12．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0).导学号 09024746 (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程；(2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)， 即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0.(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)，∴直线DM 方程为y －25－2＝x －(－4)－1－(－4)，即x －y ＋6＝0.13．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.导学号 09024747[解析] 容易求得抛物线与x 轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A (－3,0)、B (1,0)，由已知，设M (a ，b )、N (0，n )，根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．按A 、B 、M 、N 两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况： ①若以AB 为对角线，可得a ＋0＝－3＋1，解得a ＝－2； ②若以AN 为对角线，可得a ＋1＝－3＋0，解得a ＝－4； ③若以BN 为对角线，可得a ＋(－3)＝1＋0，解得a ＝4. 因为点M 在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M (－2,3)或M (－4，－5)或M (4，－21)．第三章 3.2 3.2.3A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·南安一中高一检测)直线x －y ＋2＝0的倾斜角是导学号 09024768( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90 [解析] 由x －y ＋2＝0，得y ＝x ＋2. 其斜率为1，倾斜角为45°. 2．(2016·葫芦岛高一检测)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的值为导学号 09024769( A )A ．－12B ．12C ．2D ．－2[解析] ∵l 1∥l 2，∴1×(－1)－2m ＝0，∴m ＝－12.3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是导学号 09024770( D )A ．34，－12B ．13，12C ．34，－2D ．43，－2[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y －2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分别是43，－2.4．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值为导学号 09024771( D ) A ．1B ．－13C ．－23D ．－2[解析] 由题意，得(－a2)×(－1)＝－1，a ＝－2.5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是导学号 09024772( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 解法一：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.解法二：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0.6．直线l ：(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒过定点导学号 09024773( B )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(1,1)[解析] 由(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0，得k (x －y －2)＋x ＋y ＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1. ∴直线l 过定点(1，－1)． 二、填空题7．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为__2或－3__.导学号 09024774[解析] 若m ＝－1，则l 1的斜率不存在，l 2的斜率为13，此时l 1与l 2不平行；若m ≠－1，则l 1的斜率为k 1＝－2m ＋1，l 2的斜率为k 2＝－m 3.因为l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即－2m ＋1＝－m3，解得m ＝2或－3.经检验均符合题意．8．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫32，＋∞__.导学号 09024775[解析] 直线方程可化为y ＝(3－2t )x －6，∴3－2t ≤0，∴t ≥32.三、解答题9．求与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 的方程.导学号 09024776 [解析] 解法一：由题意知：可设l 的方程为3x －4y ＋m ＝0，则l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－m 3，m4.由－m 3＋m4＝1知，m ＝－12.∴直线l 的方程为：3x －4y －12＝0.解法二：设直线方程为x a ＋yb ＝1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－b a ＝34.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3.∴直线l 的方程为：x 4＋y－3＝1.即3x －4y －12＝0.10．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定实数m 的值.导学号 09024777(1)l 在x 轴上的截距为－3； (2)斜率为1.[解析] (1)令y ＝0，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0 ①2m －6m 2－2m －3＝－3 ② 由①得m ≠3且m ≠－1；由②得3m 2－4m －15＝0，解得m ＝3或m ＝－53.综上所述，m ＝－53(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0 ③－(m 2－2m －3)2m 2＋m －1＝1 ④，由③得m ≠－1且m ≠12，解④得m ＝－1或43，∴m ＝43.B 级 素养提升一、选择题1．(2016～2017·西宁高一检测)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为导学号 09024778( D )A ．1B ．－1C ．－2或1D ．－1或2[解析] 在方程ax ＋y －2－a ＝0中，令x ＝0得y ＝2＋a ，令y ＝0得，x ＝a ＋2a(a ≠0)．∴2＋a ＝a ＋2a，∴a ＝－2或1.当a ＝－2时，l 的斜率k ＝2； 当a ＝1时，l 的斜率k ＝－1. 故选D ．2．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是导学号 09024779( D ) A ．12abB ．12|ab |C ．12abD ．12|ab |[解析] ∵ab ≠0，∴令y ＝0，得x ＝1a，令x ＝0，得y ＝1b，∴三角形的面积S ＝12·1|a |·1|b |＝12|ab |.3．方程y ＝k (x ＋4)表示导学号 09024780( C )A ．过点(－4,0)的一切直线B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且不平行于x 轴的一切直线[解析] 方程y ＝k (x ＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C ．4．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是导学号 09024781( D ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ≠－1D ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1[解析] 根据两直线平行可得m 1＝1m，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，n ≠－1；m ＝－1时，n ≠1.二、填空题5．(2016～2017·合肥高一检测)已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为__3x ＋4y ±24＝0__.导学号 09024782[解析] 设直线l 方程为3x ＋4y ＋b ＝0，令x ＝0得y ＝－b4；令y ＝0得x ＝－b3.由条件知12·⎪⎪⎪⎪－b 4·⎪⎪⎪⎪－b 3＝24. 解之得b ＝±24.∴直线l 方程为3x ＋y ±24＝0.6．若直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1在y 轴上截距等于1，则实数m 的值__3__.导学号 09024783 [解析] 直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1的方程可化为(m ＋1)x ＋(m ＋1)(m －2)y ＝m ＋1，由题意知m ＋1≠0，(m －2)y ＝1，由题意得1m －2＝1，∴m ＝3.C 级 能力拔高 1．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.导学号 09024784(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．[解析] (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，所以l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －35.要使l 经过第一、三、四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0－a －35<0，解得a >3.2．求满足下列条件的直线方程.导学号 09024785(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍；(2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.[解析] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋18，所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－38，则所求直线的斜率k ＝2×(－38)＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(2)设直线与x 轴的交点为(a,0)，因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12， 解得a ＝±3，所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y4＝1，即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0.第三章 3.3 3.3.1 3.3.2A 级 基础巩固一、选择题1．点M (1,2)关于y 轴的对称点N 到原点的距离为导学号 09024804( C ) A ．2 B ．1 C ．5 D ．5[解析] N (－1,2)，|ON |＝(－1)2＋22＝ 5.故选C ．2．已知A (2,1)、B (－1，b )，|AB |＝5，则b 等于导学号 09024805( C )A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－1或－3[解析] 由两点间的距离公式知|AB |＝(－1－2)2＋(b －1)2＝b 2－2b ＋10， 由5＝b 2－2b ＋10， 解得b ＝－3或b ＝5. 3．经过两点A (－2,5)、B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点的坐标是导学号 09024806( A )A ．(－13，0)B ．(－3,0)C ．(13，0)D ．(3,0)[解析] 过点A (－2,5)和B (1，－4)的直线方程为3x ＋y ＋1＝0，故它与x 轴的交点的坐标为(－13，0)．4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于导学号 09024807( B ) A ．－2B ．－12C ．2D ．12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0，得交点(－1，－2)，代入x ＋ky ＝0得k ＝－12，故选B ．5．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标为导学号 09024808( A )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－2)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5) [解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7.6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于导学号 09024809( C ) A ．5 B ．42 C ．25 D ．210[解析] 设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝(0－4)2＋(－2－0)2＝20＝2 5. 二、填空题7．已知A (1，－1)、B (a,3)、C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝__12__.导学号 09024810[解析](a －1)2＋(3＋1)2＝(4－a )2＋(5－3)2，解得a ＝12.8．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a ＋2)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0不相交，则实数a ＝__－2或－23__.导学号 09024811[解析] 由题意，得(a ＋2)(2a ＋3)－(1－a )(a ＋2)＝0，解得a ＝－2或－23.9．(2016～2017·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.导学号 09024812[解析] 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0，令y ＝0，x ＝－c 2，令x ＝0，y ＝c ，所以12⎪⎪⎪⎪c ·⎝⎛⎭⎫－c 2＝9，解得c ＝±6，故所求直线方程为2x －y ±6＝0.解法2：设所求直线方程为x a ＋yb＝1.变形得bx ＋ay －ab ＝0.由条件知⎩⎨⎧b 2＝a －1①12|ab |＝9②由①得b ＝－2a 代入②得a 2＝9， ∴a ＝±3.当a ＝3时，b ＝－6，当a ＝－3时，b ＝6， ∴所求直线方程为2x －y ±6＝0. 三、解答题10．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围.导学号 09024813[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝02x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝m ＋13y ＝8m －13.∴交点M 的坐标为(m ＋13，8m －13)．∵交点M 在第四象限，∴⎩⎨⎧m ＋13>08m －13<0，解得－1<m <18.∴m 的取值范围是(－1，18)．B 级 素养提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是导学号 09024814( C ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2)D ．210，(1，－2)[解析] |AB |＝(－4－2)2＋(1－3)2＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的范围是导学号 09024815( B ) A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[解析] 根据两点间的距离公式|PQ |＝(m －1)2＋(1－2m )2＝5m 2－6m ＋2＞10，∴5m 2－6m －8＞0，∴m ＜－45或m ＞2.3．(2016～2017·宿州高一检测)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是导学号09024816( B )[解析] l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，由图A 中l 1知，－b >0，与l 2中－b <0矛盾，排除A ；同理排除D ．在图C 中，由l 1知－b <0，与l 2中，－b >0矛盾，排除C ．选B ．4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为导学号 09024817( B )A ．24B ．20C ．0D ．－4[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20. 二、填空题5．已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是__－32<a <2__.导学号 09024818[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋12x ＋3y ＝a ，得⎩⎨⎧x ＝2a ＋37y ＝a －27.交点在第四象限，所以⎩⎨⎧2a ＋37>0a －27<0，解得－32<a <2.6．已知点A (5,2a －1)、B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是__12__.导学号 09024819[解析] 由题意得|AB |＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2(a －12)2＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．C 级 能力拔高1．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程.导学号 09024820[解析] 解法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0－2x 0＋(2－y 0)－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4y 0＝2， ∴k AP ＝1－20＋4＝－14，故所求直线l 的方程为：y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0.解法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1x －3y ＋10＝0，得N (73k －1，10k －13k －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12x ＋y －8＝0，得M (7k ＋2，8k ＋2k ＋2)．∵M 、N 的中点为P (0,1)则有： 12(73k －1＋7k ＋2)＝0，解得∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.2．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长.导学号 09024821[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ， 所以C (5,0)、D (5,3)、A (0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ， 所以k AC ·k DM ＝－1， 即3－00－5·3－05－x＝－1. 所以x ＝3.2，即|BM |＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得|DM |＝(5－3.2)2＋(3－0)2＝3345.第三章 3.3 3.3.3 3.3.4A 级 基础巩固一、选择题1．两直线3x ＋4y －2＝0与6x ＋8y －5＝0的距离等于导学号 09024839( C ) A ．3B ．7C ．110D ．12[解析] 在3x ＋4y －2＝0上取一点(0，12)，其到6x ＋8y －5＝0的距离即为两平行线间的距离，d ＝|0＋8×12－5|62＋82＝110. 2．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,6)、B (－4,3)、C (2，－3)，则点A 到BC 边的距离为导学号 09024840( B )A ．92B ．922C ．255D ．4 3[解析] BC 边所在直线的方程为y －3－3－3＝x ＋42＋4，即x ＋y ＋1＝0；则d ＝|2×1＋6×1＋1|2＝922.3．若点A (－3，－4)、B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为导学号 09024841( C ) A ．79B ．－13C ．－79或－13D ．79或13[解析] 由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 4．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为导学号 09024842( C )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋y 0－5＝0|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝－1.5．已知点A (1,3)、B (3,1)、C (－1,0)，则△ABC 的面积等于导学号 09024843( C ) A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.6．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是导学号 09024844( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 方法1：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.方法2：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0.二、填空题7．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则l 1与l 2间的距离为__52或510__.导学号 09024845 [解析] ∵l 1∥l 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(k －3)×(－2)－2(k －3)(4－k )＝0(－2)×1－(4－k )×3≠0， 解得k ＝3或k ＝5.当k ＝3时，l 1：y ＝－1，l 2：y ＝32，此时l 1与l 2间的距离为52；当k ＝5时，l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0，此时l 1与l 2间的距离为|3－2|42＋(－2)2＝510.8．过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是__3x －y ＋10＝0__.导学号 09024846 [解析] 当原点与点A 的连线与过点A 的直线垂直时，距离最大．∵k OA ＝－13，∴所求直线的方程为y－1＝3(x ＋3)，即3x －y ＋10＝0.三、解答题9．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0和x ＋y ＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其它三边的方程.导学号 09024847[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝0. 即该正方形的中心为(－1,0)．所求正方形相邻两边方程3x －y ＋p ＝0和x ＋3y ＋q ＝0. ∵中心(－1,0)到四边距离相等， ∴|－3＋p |10＝610，|－1＋q |10＝610，解得p 1＝－3，p 2＝9和q 1＝－5，q 2＝7，∴所求方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0.10．已知三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0.求m 的值，使它分别满足以下条件：(1)l 1，l 2，l 3交于同一点；(2)l 1，l 2，l 3不能围成三角形.导学号 09024848[解析] (1)由4x ＋y －4＝0得y ＝－4x ＋4代入l 2，l 3的方程中分别得x 1＝－4m －4，x 2＝6m ＋31＋6m ，由－4m －4＝6m ＋36m ＋1，解得m ＝－1或23，经检验都符合题意．(2)首先由(1)知，当m ＝－1或23时，不能围成三角形；又kl 1＝－4，kl 2＝－m ，kl 3＝23m，若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；由于kl 2与kl 3异号，显然l 2与l 3不平行．综上知，m ＝－1，－16，23或4.B 级 素养提升一、选择题1．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为导学号 09024849( C ) A ．95 B ．185C ．3D ．6[解析] |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ |的最小值为3.2．(2016·潍坊高一检测)与直线l ：3x －4y －1＝0平行且到直线l 的距离为2的直线方程是导学号 09024850( A )A ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0B ．3x －4y －11＝0C ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0D ．3x －4y ＋9＝0[解析] 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意得|m －(－1)|32＋(－4)2＝2，解得m ＝9或－11.3．到两条直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：5x －12y ＋13＝0的距离相等的点P (x ，y )必定满足方程导学号 09024851( D )A ．x －4y ＋4＝0B ．7x ＋4y ＝0C ．x －4y ＋4＝0或4x －8y ＋9＝0D ．7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0[解析] 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得|3x －4y ＋5|32＋(－4)2＝|5x －12y ＋13|52＋(－12)2，即3x －4y ＋55＝±5x －12y ＋1313，化简得7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0. 4．(2016～2017山西吕梁汾阳四中期中)已知两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为导学号 09024852( D )A ．4B ．21313C ．51326D ．71020[解析] ∵两直线平行， ∴63＝m 1. ∴m ＝2. ∴两直线方程为6x ＋2y －6＝0和6x ＋2y ＋1＝0，其距离d ＝|－6－1|62＋22＝71020.故选D ． 二、填空题5．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是__8__.导学号 09024710[解析] x 2＋y 2表示直线上的点P (x ，y )到原点距离的平方，∵原点到直线x ＋y －4＝0的距离为|－4|2＝22，∴x 2＋y 2最小值为8.6．已知点A (1,1)、B (2,2)，点P 在直线y ＝12x 上，则当|P A |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标为__(95，910)__.导学号 09024853[解析] 设P (2t ，t )，则|P A |2＋|PB |2＝(2t －1)2＋(t －1)2＋(2t －2)2＋(t －2)2＝10t 2－18t ＋10＝10(t 2－95t ＋1)＝10(t －910)2＋1910，当t ＝910时，|P A |2＋|PB 2|取得最小值，即P (95，910)．C 级 能力拔高1．(2016～2017·嘉兴高一检测)在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2).导学号 09024854(1)求直线BC 的方程． (2)求直线AB 的方程．[解析] (1)设AD ⊥BC ，垂足为D ，则k AD ＝12，∴k BC ＝－2.∴BC 边所在直线方程为y －2＝－2(x －1)． 即2x ＋y －4＝0.(2)∵∠A 的平分线所在直线方程为y ＝0， ∴设A (a,0)．又点A 在直线AD 上，∴a －0＋1＝0， ∴a ＝－1. ∴A (－1,0)，∴直线AB 方程为：y ＝x ＋1.即x －y ＋1＝0.2．已知直线l 经过点A (2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程.导学号 09024855[解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －(3－t )＋1|2＝|t －(3－t )－1|2，解得t ＝32，∴M ⎝⎛⎭⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝32y ＝32.∴M ⎝⎛⎭⎫32，32.又l 过点A (2,4)，故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0. 解法三：由题意知直线l 的斜率必存在， 设l ：y －4＝k (x －2)，。

两条直线的交点坐标
两点间的距离
学习目标.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.掌握两点间距离公式并会应用．
知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系
思考直线上的点与其方程＋＋＝的解有什么样的关系？
答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．
思考已知两条直线与相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．
思考由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案()若方程组无解，则∥；
()若方程组有且只有一个解，则与相交；
()若方程组有无数解，则与重合．
梳理()两直线的交点
几何元素及关系代数表示
点(，)
直线：＋＋＝
点在直线上＋＋＝
直线与的交点是
()两直线的位置关系
方程组的解一组无数组无解直线与的公共点的个数一个无数个零个
直线与的位置关系相交重合平行
知识点二两点间的距离
已知平面上两点(，)，(，)．
思考当≠，＝时，＝？
答案＝－.
思考当＝，≠时，＝？
答案＝－.
思考当≠，≠时，＝？请简单说明理由．
答案如图，在△中，＝＋，所以＝.
即两点(，)，(，)间的距离＝.。

3．2 直线的方程（一）一、知识导学：1、探究直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式。

2、初步掌握求直线方程的方法和步骤。

说明时，其斜率为例1、已知直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，试讨论：（1）21//l l 的条件是什么？（2）21l l ⊥的条件是什么？例2、分别求满足下列条件的直线方程：（1）过点A （2，－1）且与直线13+=x y 垂直； （2）倾斜角为60º且在y 轴上的截距为3-。

例3、已知三角形的三个顶点A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．例4、已知直线l 过点P （4，5），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．例5、已知直线012=++ny mx 在x 轴、y 轴上的截距分别是－3和4，求,m n 。

四、练习：1、判断下列直线是否平行或垂直，并说明理由： （1）321:1+=x y l ，221:2-=x y l ； （2）335:1+=x y l ，x y l 53:2-=。

2、已知两直线2-=x y 和1)2(++=x a y 互相垂直，则实数a =_________。

3、已知两直线a x y 2+-=和()222+-=x a y 互相平行，则实数a =______。

4、经过点（1，1），且与直线72+=x y 平行的直线方程是___________。

5、经过点（0，－2），且与直线72+-=x y 垂直的直线方程是_________。

6、直线l '的方程是13+=x y ，直线l 的倾斜角是直线l '的倾斜角的2倍， 且l 过点P （1，－1），则直线l 的方程是__________________。

7、已知直线l 的斜率为－2，在x 轴和y 轴上的截距之和为12，求直线l 的方程．8、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式， 求出直线l 的斜率及它在x 轴与y 轴上的截距。