《参数方程与普通方程的互化》教学案3

《参数方程和普通方程的互化》导学案31. 了解参数方程化为普通方程的意义.2 •理解参数方程与普通方程的互相转化与应用.课标解读3 .掌握参数方程化为普通方程的方法知识梳理参数方程与普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式•一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程,|x= f t求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数i y= g t方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致.思考探究普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同课堂互动|x= a+1 cos 0 ,例题1在方程y= »+ t sin 0, （a，b为正常数）中，(1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?非零常数时，利用平方关系消参数0，化成普通方程，进而判定曲线形状.x = a + t cos 0 ,①【自主解答】方程*(a , b 是正常数)，|y = b + t sin 0 ,②(1) ①x sin 0 —②x cos 0 得x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0.■/ cos 0、sin 0不同时为零， •••方程表示一条直线.(2) ( i )当t 为非零常数时，即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆.(ii)当t = 0时，表示点(a , b ).1•消去参数的常用方法将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形•另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e —x )22x —x 21 — k2 2k 2-(e -e )=4,("+ E=1 等.2•把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线.将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状:x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n );|y = 2s in 0r44x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2( 0为参数)；|y = 1 — 2sin 0 cos 02 2x — a③2+④得—cos 0，—sin0 . 2y — b2■=1, ④「X —a I t原方程组为\¥（a , b 为大于零的常数，1为参数）•x = 1 — 2sin 22 0 ,• x — y = 0. 2T 0W sin 2 0 W 1, • f w 1 — ^sin 22 0 W 1.2 21 一所以方程x — y = 0（2W x W 1）表示一条线段.⑶ T x = |(t + p),由 x =a (t +1),2 a 21两边平方可得x = -（t + 2 +严）①b 1由y = 2（t — 1）两边平方可得 2 b 2 2 1y 2= 7( t 2— 2+右)②2 211x y①xp —②x 亡并化简，得——2= 1(a , b 为大于 a b a b1t +1【解】x= 2cosy = 2sin两式平方相加，得x 2+ y 2= 4.T O W 0 W n ,• — 2W x < 2,0 W y < 2.所以方程的曲线表示圆心为（0,0），半径为2的圆的上半部分. （2）由彳f・ 4 c 4小x = sin 0 + cos 0 ,I I2 2y = 1 — 2sin 0 cos 0 ,x= 1 — 2sin 2 得 y = 1 — 2si n 22 0 cos 0 ,20 cos 0 ,即』| y = 1 — 2sin 22 0 ,••• t >0 时，x € [a , +) , t <0 时，x € ( —a.a ] •0的常数），这就是所求的曲线方程,【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解【思路探究】 联想sin 2 B+ cos 2 0 = 1可得参数方程.x — 1y + 2【自主解答】 设 =cos 0 ,= sin 0 ,x = 1 + 3cos 0 ,则^( 0为参数)，即为所求的参数方程.y = — 2 + 5sin 0 ,1•将圆的普通方程化为参数方程 (1) 圆x 2 + y 2 = r 2的参数方程为x = r cos 0 (0为参数);y = r sin 0222x= a + r cos 0(2) 圆(x — a ) + (y — b ) = r 的参数方程为*」 (0为参数).y = b + r si n 02.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x = f (t ),再计算y = g (t )),并且要保 证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过 x = f (t ),y = g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x , y 的取值范围保持一致.设y = tx (t 为参数)，则圆x 2+ y 2—4y = 0的参数方程是 _______________4tx= 1 + t 2利用参数思想解题例题3 已知x 、y 满足x 2 + (y — 1) 2= 1,求:(1) 3 x + 4y 的最大值和最小值；例题2曲线的普通方程为 x-1 3 y+2 51，写出它的参数方程.【解析】 把 y = tx 代入 x 2+ y 2— 4y = 0 得 x = +孑,4t2,4t (t 为参数).【答案】4t 2y= 1+2・(t 为参数)•••参数方程为1 + t4t 2 1 + t 2.(2) ( x—3)2+ (y+ 3)2的最大值和最小值.【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解rAx = cos 0 ,【自主解答】 由圆的普通方程 X 1 2 3+ (y — 1)2= 1得圆的参数方程为＜y = 1 + sin 0 ,(0 € [0,2 n )).(1)3 x + 4y = 3cos 0 + 4sin0 + 4=4+ 5sin( 0+0 ),3其中tan 0 = 4,且0的终边过点(4,3)-—5W 5sin( 0 + 0 ) w 5,••• — 1w 4+ 5sin( 0 + 0 ) w 9,••• 3x + 4y 的最大值为9,最小值为一1.2 2(2)( x — 3) + (y + 3)=26 + 8sin 0 — 6cos 0=26 + 10sin( 0 + 0 )・ 其中 tan 0 = — ^, 且0的终边过点(4 , — 3).••• — 10w 10sin( 0 + 0 ) w 10,•- 16w 26+ 10sin( 0 + 0 ) w 36所以(x — 3)2 + (y + 3)2的最大值为36,最小值为16.1 参数思想是解决数学问题的重要思想， 在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用, 它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁.通过参数 0，间接建立曲线上任意一 点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程.它是研究解析几何问题的重要工具.2 运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于 与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用， 选择时间为参数.3 (1)解决与圆有关的最大值和最小值问题， 函数的最大值和最小值问题. (2)注意运用三角恒等式求最值：a sin 0 +b cos 0 = , a 2 + b 2sin( 0+0 ).决.2=(cos 0 — 3) + (sin 0 + 4)常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常常常设圆的参数方程， 然后转化为求三角b其中tan 0 =-（a z 0），且0的终边过点（a , b ）.a若本例条件不变，如何求 缶的取值范围?k =凹=3 +前0x + 1 1 + cos 0/• sin 0 — k cos 0 = k —3即钉 1 + k sin( 0 + 0 ) = k — 3.( © 由 tan 0 = — k 确定)k 一 3sin( 0 + 0 ) = ----------- 2k — 3依题意，得I —” k 』w 1, •••(-门2w 4, 解得 k 》3. 所以缶的取值范围是［|，+m ）.）课堂练习l|x= 2 + sin 5 01 .将参数方程 2（ 0为参数）化为普通方程为（）|y = sin 0C. y = x — 2(2 w x w 3) D . y = x + 2(0 < y w 1)【解析】 消去sin 20，得x = 2 + y ,2又 0w sin【答案】4x= t 1【解】 由于 =cos 0 ,y = 1 + sin 0,( 0C [0'2 n ))，2.把方程 xy = 1化为以t 为参数的参数方程是（） x = sin t A. 5 y = t —B. 1 y= sin tA. y = x — 2B . y = x + 20 w 1,.・.2w x w 3.x = cos t1y = -------cos t,=tan t1 y= ta n t【答案】 D【答案】 D数），若以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为【解析】 消去a 得圆的方程为x 2 + (y — 2)2= 4. 2 20 代入得(p cos 0 ) + ( p sin 0 — 2) = 4,整理得 p4sin 0 .【答案】p = 4sin 0课后练习（时间40分钟，满分60分）x = |sin 0 |1 .曲线（0为参数）的方程等价于（ ）y = cos 0C.<3.圆 x 2 + (y + 1) =2的参数方程为（）x = 2cos 0y = 1 + 2si n 00为参数）B. *X = ^J2cos 0 y = 1 + 2sin（0为参数）x = 2cos 0叫=—1 + 2sin（0为参数）x = ^/2cos 0 y = —1 + *.』2si n（0为参数）【解析】 由x = 2cos0 , y + 1= 2sin 0知参数方程为x = ^2cos 0 ,y =— 1 + 2sin 0 .（0为参数）.故选D.4. （2013 •郑州模拟）在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为x = 2cos a , y = 2 + 2si n a（a 为参将 x =p cos 0 , y =p sin、选择题（每小题5分,20分)2C . x = 1 -1x = cos 0D. i y = sin 2 0【答案】3sin 0 + cos 0 = 2sin( 0+^6),故x + . 3y 的最大值为2.故选B. 【答案】 B二、填空题（每小题5分，共10分）x = 3+ cos 0 ,5.曲线/（ 0为参数）上的点到原点的最大距离为y = — 4 + sin 0 ,A. x =1 — y 2C. y =±1 — x 2D .【解析】 由x = |sin B . y = 1 —x 20 | 得 O w x w 1;由 y = cos 得—K y w 1.故选A.【答案】 A 2. 参数方程= 3t + 2yd -1,（0w t w 5）表示的曲线是A. 线段 •双曲线的一支 C. 圆弧.射线【解析】消去t , 得 x — 3y — 5 =0.•/ 0w t w 5,【答案】 A3.能化为普通方程x 2 + y — 1 = 0的参数方程为（x = sin t A. i 2 y = cos tB. x = tan © 4y = 1 一 tan ©【解析】 排除A D,只有B 符合.4. 右x , y 满足x 2 + y 2= 1，则x + 3y 的最大值为 A. C.【解析】由于圆x 2+ y 2= 1的参数方程为x = cos y = sin（0 为参数），则 x +'：；：；： 3y =【解析】 设Mx , y )是曲线 上任意一点,y =— 4+ sin 03 + cos~02+ — 4+ sin 0 2= 26 + 6cos 0 — 8sin 0 --------- -- ------------------ 3=\ '26 + [1 ]] 0 + $ ( $ 由 tan $= — 确定)当sin （ 0 + $ ） = 1时，|OM 取最大值6.【答案】 66. （2013 •重庆高考）在直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建 ,，一十 亠,，一、十,,，亠八,,,,, x = t 2, ,、 立极坐标系.若极坐标方程为 p cos 0 = 4的直线与曲线 3（t 为参数）相交于A ,i y =t B 两点，贝U | AB = _______ . 【解析】由P c os 0 = 4，知 x = 4. 又严t 2,• x 3= y 2(x >0). y =t ，x = 4,x= 4, x = 4, 由3 2 得* 或* x = y , y = 8y = — 8 •••I AB = 1—1 2+ 屮 2= 16.【答案】 16三、解答题（每小题10分，共30分）通方程.— 1 2 1【解】 由x = t —一两边平方得x = t + - — 2,1 1 y又 y = 3(t + f )，则 t +1 = 3(y 》6).代入 x 2= t +1 — 2,得 x 2 = y — 2.2• 3x — y + 6 = 0( y >6).故曲线C 的普通方程为3x 2— y + 6= 0(y >6).8.已知P (x , y )是圆x + y — 2y = 0上的动点.(1)求2x + y 的取值范围；x = 3+ cos 0 （t 为参数，t >0） •求曲线C 的普7.已知曲线C 的参数方程为 y = t +⑵若X+ y + O0恒成立，求实数c的取值范围.【解】方程X2+ y2— 2y = 0变形为x2+ (y —1) 2= 1.「•1 — W2 x+ y w 1 +、..:5.(2)若x+ y + O0 恒成立，即c>— (cos 0 + sin 0 + 1)对一切0 € R恒成立.一(cos 0 + sin 0 + 1)的最大值是i'2 —1.•••当且仅当O 2—1时，x + y+ c>0恒成立.9. (2012 •福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M N的极坐标分别为(2,0),(学，寺)，圆C的参数"x = 2 + 2cos 0 ,方程为(0为参数).①设P为线段MN勺中点，求直线OP的平面直角坐标方程;②判断直线I与圆C的位置关系.【解】①由题意知，M N的平面直角坐标分别为(2,0) , (0 ,l上两点M N的平面直角坐标分别为(2,0) , (0 , —),所以直线l的平面直角坐标方程为x+ 3y —2 = 0.又圆C的圆心坐标为(2 , —3)，半径为r = 2,|2 一3 一2| 3圆心到直线I的距离d= _2—= 2<r,故直线l与圆C相交.2x + y—1 = 0,知x € R, y w 1.其参数方程为X = cos 0 ,为参数).乎).又P为线段MN 的中点，从而点P的平面直角坐标为(1 , ，故直线OP的平面直角坐标方程为②因为直线所以直线y = 1 + sin 0 .。

教学流程：
情景引入 精讲例题 学生板演 当堂练习
情景引入：
解析：
可以通过消去参数而参数方程得到普通方程，普通方程通过引入参数转化参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。
例题讲解：
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；
练习、将下列参数方程化为普通方程：
课后反思：把参数方程化为普通方程是学生必须掌握的基本方法。从第一节课情况来看，学生的观察能力还需提高。
讲练结合
当堂掌握
教学
后记
媒体设计思路：
激发兴趣是推动学生学习的动力。现代信息技术以其本身特有的新颖性、趣味性等特点，对激发学生学习兴趣有着不可估量的优势，利用信息技术与学科融合教学的关键是创设情境，激发学生学习兴趣，从而调动学生的学习积极性、主动性、创造性。在课前教学准备中，我按照学生的认知规律设计脚本，在情景中激发兴趣，帮助学生认知，引发学生真实的情感体验，培养学生的认知能力。
例2,参数方程
表示（）
备用例题
例3、曲线的参数方程 化为普通方程。
例4、把曲线 化为普通方程，并说明它表示什么曲线。
练习 课后 P25-26
小结：1入法 2、利用三角或代数恒等式消参
2、普通方程化为参数方程一般不唯一
3、在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。
课题
参数方程和普通方程的互化
执笔人
洪林
编写日期
6.15
执行人
洪林
执行日期
6.19
三维
教学
目标
1、了解参数方程与普通方程之间的联系与区别，掌握它们的互化法则。
2、能应用代入法和代数或三角恒等变形将参数方程化为普通方程

第3课时 参数方程和普通方程的互化[核心必知]参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．[问题思考]1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用． 2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的吗？提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一个．根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)（x －1）23＋（y －2）25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方法，解答本题只需将已知的变量x 代入方程，求出y 即可．(1)将x ＝3cos θ＋1代入（x －1）23＋（y －2）25＝1得：y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数) 这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．(1)求曲线的参数方程，首先要注意参数的选取，一般来说，选择参数时应注意以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x ，y 的相互关系比较明显，容易引出方程．(2)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．1．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12，y ＝t －12B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1cos tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1tan t 解析：选D 由xy ＝1得x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，而A 中x ∈[0，＋∞)，B 中x ∈[－1，1]，C 中x ∈[－1，1]，只有D 选项中x 、y 的取值范围与方程xy ＝1中x 、y 的取值范围相对应．分别在下列两种情况下，把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ化为普通方程：(1)θ为参数，t 为常数； (2)t 为参数，θ为常数．[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法，解答本题需要分清谁为参数，谁为常数，然后想办法消掉参数．(1)当t ＝0时，y ＝0，x ＝cos θ，即|x |≤1，且y ＝0； 当t ≠0时，cos θ＝x 12（e t ＋e －t ），sin θ＝y12（e t －e －t ），而sin 2θ＋cos 2θ＝1， 即x 214（e t ＋e －t ）2＋y 214（e t －e －t ）2＝1.(2)当θ＝k π，k ∈Z 时，y ＝0，x ＝±12(e t ＋e －t)，即|x |≥1，且y ＝0；当θ＝k π＋π2，k ∈Z 时，x ＝0，y ＝±12(e t －e －t)，即x ＝0； 当θ≠k π2，k ∈Z 时， 得⎩⎪⎨⎪⎧e t＋e－t＝2x cos θ，e t －e－t ＝2y sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧2e t＝2x cos θ＋2y sin θ，2e －t＝2x cos θ－2y sin θ. 得2e t·2e －t＝(2x cos θ＋2y sin θ)(2x cos θ－2y sin θ)， 即x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1.(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么可以利用⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4消参．(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2．已知某曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (3，1)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意可知有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝3at 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，a ＝1，∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2. 由第一个方程得t ＝x －12代入第二个方程得y ＝(x －12)2，即(x －1)2＝4y 为所求.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线x －2y －7＝0距离的最小值．[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法以及点到直线的距离的求法．解答本题需要先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决问题．(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．M到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5sin (φ－θ)－13|(φ为锐角且tan φ＝43)． 从而当sin (φ－θ)＝1时，d 取得最小值855.(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键． (2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题的转折点．3．已知方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)． (1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．解：(1)证明：将方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)∴图象为抛物线设其顶点为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，消去θ得顶点轨迹是椭圆x 216＋y 29＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0， 消去x ，得y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0.弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ， 当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.曲线的参数方程化为普通方程是解决参数方程问题的根本方法，也是高考命题的重点内容，它体现了转化与化归的数学思想．湖北高考中，以射线(极坐标方程)与曲线(参数方程)相交为背景设置问题，是高考命题的一个新亮点．[考题印证](湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝（t －1）2，(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，射线的极坐标方程及联立方程解方程组的解题思想．[解析] 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π4，转化为直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线为y ＝(x －2)2，联立上述两个方程得x 2－5x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝5，故线段AB 的中点坐标为(52，52)．答案：(52，52)一、选择题1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：选C 化为普通方程：y ＝x －2，但是x ∈[2，3]，y ∈[0，1]．2．下列在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12C ．(2，3)D ．(1，3)解析：选B 化为普通方程：y 2＝1＋x (－1≤x ≤1)， 当x ＝－34时，y ＝±12.3．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆 D ．射线解析：选D 消去参数得：x －3y －5＝0，且x ≥2，故是射线．4．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为 ( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而由⎩⎪⎨⎪⎧t ≥01－t ≥0得0≤t ≤1，从而0≤x ≤1，0≤y ≤2.二、填空题5．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 为参数，t ≠0)，则它的普通方程为________．解析：1－x ＝1t ，t ＝11－x ，而y ＝1－t 2，即y ＝1－(11－x )2＝x （x －2）（x －1）2(x ≠1)． 答案：y ＝x （x －2）（x －1）2(x ≠1)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y ＝2（e t －e －t）(t 为参数)的普通方程为________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y 2＝e t －e －t，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝2e t ，x －y 2＝2e －t，⇒(x ＋y 2)(x －y 2)＝4.答案：x 24－y 216＝1(x ≥2)7．若点(x ，y )在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：法一：由题可知，x 2＋y 2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－ 16sin θ＝29＋20cos (θ＋φ)(tan φ＝43)，当cos (θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，它表示圆．令t ＝x 2＋y 2，则t 可看做圆上的点到点(0，0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，t min ＝()（0－3）2＋（0＋4）2－22＝9，所以x 2＋y 2的最小值为9. 答案：98．点(x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则yx 的取值范围是________．解析：曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ是以(－2，0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1.设yx＝k ， ∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值． ∴|－2k |k 2＋1＝1，k 2＝13. ∴y x的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 三、解答题9．化下列参数方程为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t1＋t，y ＝2t 1＋t(t ∈R 且t ≠－1)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ＋1tan θ，y ＝1cos θ＋1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z .解：(1)变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋21＋t，y ＝2－21＋t .∴x ≠－1，y ≠2， ∴x ＋y ＝1(x ≠－1)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1sin θcos θ， ①y ＝sin θ＋cos θsin θ·cos θ. ②②式平方结合①得y 2＝x 2＋2x ， 又x ＝tan θ＋1tan θ知|x |≥2，所以方程为(x ＋1)2－y 2＝1(|x |≥2)．10．求直线x ＋y ＝2被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)截得的弦长．解：将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α化为普通方程为x 2＋y 2＝9.圆心O 到直线的距离d ＝22＝2，∴弦长L ＝2R 2－d 2＝29－2＝27.所以直线x ＋y ＝2被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α截得的弦长为27.11．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，直线l 的方程是4x ＋3y －8＝0.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)在方程4x ＋3y －8＝0中， 令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2，0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0，1)，半径r ＝1，则|MC |＝ 5.所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1.。

第1篇一、案例背景随着新课程改革的深入推进，高中数学教学越来越注重学生的实践能力和创新能力的培养。

为了提高学生的数学素养，激发学生的学习兴趣，我校数学教研组开展了一系列实践教学活动。

本文以“圆锥曲线中的参数方程与普通方程的互化”这一教学内容为例，探讨如何将数学知识与实践相结合，提高学生的数学实践能力。

二、案例目标1. 让学生掌握圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的创新意识和团队合作精神。

三、案例实施1. 教学内容：圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。

2. 教学方法：采用实践探究法、小组合作法、案例分析法等。

（1）实践探究法在课堂上，教师引导学生观察圆锥曲线的图像，思考如何将参数方程转化为普通方程。

教师提供一组参数方程，让学生通过观察、分析、比较，自主探究互化方法。

（2）小组合作法将学生分成若干小组，每组选择一个特定的圆锥曲线，运用所学知识进行互化。

在小组讨论中，学生相互交流、合作，共同解决问题。

（3）案例分析法教师提供一组实际案例，如设计曲线、工程应用等，让学生运用所学知识进行分析，提出解决方案。

3. 教学过程（1）导入教师展示一组圆锥曲线的图像，引导学生思考如何将参数方程转化为普通方程。

（2）实践探究教师提供一组参数方程，让学生自主探究互化方法。

在学生讨论的基础上，教师总结归纳互化方法。

（3）小组合作将学生分成若干小组，每组选择一个特定的圆锥曲线，运用所学知识进行互化。

在小组讨论中，学生相互交流、合作，共同解决问题。

（4）案例分析教师提供一组实际案例，让学生运用所学知识进行分析，提出解决方案。

（5）总结与反思教师引导学生总结本节课所学内容，并对学生的实践过程进行反思。

四、案例评价1. 学生方面通过本节课的学习，学生掌握了圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化方法，提高了运用数学知识解决实际问题的能力。

2. 教师方面教师通过实践探究、小组合作、案例分析等方法，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的创新意识和团队合作精神。