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极值存在的第二充分条件是bai当一阶du导数等于0，而二阶导数大于0时，zhi为极小值点。
当一阶导数等于dao0，而二阶导数小于0时，为极大值点。
具体证明过程如下。
证明：因为对于函数y=f(x)。
设f(x)一阶可导，且y'=f'(x)，二阶可导，且y''=f''(x)。
且当x=x0时，f'(x0)=0。
那么当f''(x0)＞0时，而f''(x0)=lim(x→x0⁺)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)=f''(x0)=lim(x→x0⁻)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)＞0。
当x→x0⁺时，x-x0＜0，那么f'(x)-f'(x0)＜0，即f'(x)＜0。
当x→x0⁻时，x-x0＞0，那么f'(x)-f'(x0)＞0，即f'(x)＞0。
那么可得x＞x0时，f'(x)＜0，则函数f(x)为减函数，x＜x0时，f'(x)＞0，则函数f(x)为增函数，所以可得f(x)在x=x0处取得极小值。
同理可证明函数y=f(x)，当x=x0时，f'(x0)=0，f''(x0)＜0时，f(x)在x=x0处取得极大值。
扩展资料：1、二阶导数的性质（1）判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。
当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。
当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。
（2）函数凹凸性。
设f(x)在[ab]上连续，在（ab)内具有一阶和二阶导数，那么，若在（ab)内f''(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的。
若在（ab)内f’‘(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的。
判断极值点偏移二阶的方法1. 引言1.1 简介极值点偏移是数学中一个重要的问题，通过寻找极值点来确定函数的最大值或最小值。
在实际应用中，我们经常需要对函数进行优化，找到它的极值点。
在寻找极值点时，通常会用到二阶方法来提高搜索的精确度和效率。
二阶方法是一种通过利用函数的二阶导数信息来找到极值点的优化方法。
在二阶方法中，常见的有梯度下降方法和牛顿法。
梯度下降方法是一种基于函数梯度信息的迭代优化算法，它通过不断迭代更新参数来最小化目标函数。
而牛顿法是一种更高级的二阶优化方法，它不仅利用函数的梯度信息，还利用函数的二阶导数信息来确定搜索方向。
牛顿法相比于梯度下降方法具有更快的收敛速度和更高的精度，在一些复杂的优化问题中表现更为出色。
在接下来的正文中，我们将详细介绍梯度下降方法和牛顿法的原理及优劣势，并探讨如何改进这些方法以更好地应对极值点偏移问题。
通过对二阶方法的深入研究，我们可以更好地理解和解决实际问题中的极值点偏移现象。
1.2 问题提出极值点偏移是在数学和计算机科学领域中经常遇到的问题。
当我们需要优化一个函数时，我们通常会寻找这个函数的极值点。
极值点是函数的局部最小值或最大值，通过找到极值点可以帮助我们找到函数的最优解。
在实际应用中，极值点可能会受到多种因素的影响而发生偏移，这就给函数优化带来了困难。
问题提出：我们如何判断极值点偏移，并采取有效的方法进行修正？在现实世界中，我们常常面临函数复杂、多变的情况，极值点偏移可能由于局部最优解导致无法达到全局最优解，也可能由于函数的形状和数据的噪声导致偏移。
我们需要一种能够快速而准确地判断极值点偏移的方法，并能够通过一定的优化手段来修正偏移，从而得到更好的优化结果。
在本文中，我们将讨论关于判断极值点偏移的问题，并介绍二阶方法在解决这一问题中的应用。
通过深入探讨不同的优化算法和改进方法，我们将为解决极值点偏移问题提供更多的思路和启发。
2. 正文2.1 梯度下降方法梯度下降方法是一种常用的优化算法，用于找到函数的极值点。
2.6.2函数的极值（讲义+典型例题+小练）函数的极值与其导数的关系：1.①极值的定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x <（或0()()f x f x >，则称0()f x 为函数的一个极大（或小）值，0x 为极大（或极小）值点。
②可导数()f x 在极值点．．．0x 处的导数为0（即0'()0f x =），但函数()f x 在某点0x 处的导数为0，并不一定函数()f x 在该处取得极值（如3()f x x =在00x =处的导数为0，但()f x 没有极值）。
③求极值的步骤： 第一步：求导数'()f x ；第二步：求方程'()0f x =的所有实根；第三步：列表考察在每个根0x 附近，从左到右，导数'()f x 的符号如何变化， 若'()f x 的符号由正变负，则0()f x 是极大值； 若'()f x 的符号由负变正，则0()f x 是极小值；若'()f x 的符号不变，则0()f x 不是极值，0x 不是极值点。
例：1．函数()1f x x x=+的极大值点为（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．不存在【答案】B 【解析】 【分析】求导，令导数等于0，然后判断导数符号可得，或者根据对勾函数图象可解. 【详解】 令221(1)(1)()10x x f x x x -+'=-==，得1x =±， 因为1x <-时，()0f x '>，10x -<<时，()0f x '<，所以1x =-时()f x 有极大值； 当01x <<时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，所以1x =时()f x 有极小值.故选：B2．函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极小值点为1x ，4xB ．()f x 的极大值点为2xC ．()f x '有唯一的极小值D ．函数()f x 在(),a b 上的极值点的个数为2 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象直接判断即可. 【详解】由图像可知，()f x 的极小值点为5x ，极大值点为3x ，故A ，B 选项错误；1x ，4x 为()f x '的极小值点，故C 错误；由极值点的概念知函数()f x 在(),a b 上的极值点是3x ，5x ，个数为2，D 正确； 故选：D.3．已知函数()21x x x f x e ++=，则()f x 的极小值为___________.【答案】1 【解析】 【分析】根据导数判断函数的单调性，进而求得极小值. 【详解】由()21x x x f x e ++=，得()()()()()222111x x x x x e x x e x x f x e e +-++--'==， 令()0f x '=，解得0x =或1x =，故函数()f x 在(),0∞-，()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增， 故函数()f x 在0x =时取极小值()01f =， 故答案为：1.4．已知函数322()(23)f x x ax a x a =+-++，a R ∈. (1)若2a =-时，求：函数()f x 的极值；(2)若曲线()y f x =在1x =-处的切线与直线20x y -=平行，求：实数a 的值. 【答案】(1)极大值11227，极小值4 (2)12a =-【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，令()0f x '=，即可得到x 、()'f x 与()f x 的关系表，从而求出函数的极值；（2）求出函数的导函数，再根据()12f '-=得到方程，解得即可； (1)解：因为2a =-， 则32()24f x x x x =-++，所以()()2()341311f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，解得121,13x x ==.x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1()1,+∞()'f x+-+()f x单调递增极大值 单调递减 极小值 单调递增当13x =时，()f x 取极大值，32111111224333327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即函数的极大值为11227，当1x =时，()f x 取极小值，()14f =，即函数的极小值为4； (2)解：因为()()32223f x x ax a x a =+-++，所以()()23223f x x ax a '=+-+，因为直线20x y -=的斜率2k =，即()()()22312123a a =⨯-+⨯--+， 解得12a =-.举一反三1．已知函数()ln xf x x=，则（ ） A ．函数()f x 的极大值为1e，无极小值B ．函数()f x 的极小值为1e，无极大值C ．函数()f x 的极大值为0，无极小值D ．函数()f x 的极小值为0，无极大值【答案】A 【解析】 【分析】利用导数来求得()f x 的极值. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'21ln xf x x -=， ()f x 在()()()'0,e ,0,f x f x >递增；在()()()'e,,0,f x f x +∞<递减， 所以()f x 的极大值为()1e ef =，没有极小值.故选：A2．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0,]m 有且仅有2个极值点，则 m 的取值范围是（ ） A ．47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．47,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．710,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．710,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的性质，结合余弦型函数的性质、极值的定义进行求解即可. 【详解】由()()'sin cos 0()6662f x x f x x x k k Z πππππ⎛⎫⎛⎫=+⇒=+=⇒+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3x k k Z ππ⇒=+∈，因为()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0,]m 有且仅有2个极值点，所以令0,1,2k =，解得47,,333πππ，因此有4733m ππ≤<， 故选：A3．已知函数()2e xx af x -=，1x =是函数()f x 的一个极值点，则=a ______． 【答案】无解 【解析】 【分析】根据极值点处的导函数值为零，然后再检验极值点是否存在即可求解. 【详解】因为()2e x x a f x -=，则()2e 2x x x x af +-+'=，由于1x =是函数()f x 的一个极值点，所以()221101e xaf a -+'==⇒=-+，当1a =-时，()221(1)0e 2e x x x x x f x ----=+'=≤，因此函数()f x 在R 上单调递减，函数()f x 无极值，故不存在满足条件的a 值. 故答案为：无解4．设函数()322f x x x x =+--.(1)求()f x 在2x =-处的切线方程； (2)求()f x 的极小值点和极大值点. 【答案】(1)7100x y -+=；(2)极大值点1x =-，极小值点13x =.【解析】 【分析】（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；（2）利用导数研究f (x )的单调性，判断函数的极值点即可． (1)函数32()2f x x x x =+--，函数的导数为2()321f x x x '=+-．(2)12417f '-=--=，(2)84224f -=-++-=-，()f x 在2x =-处的切线方程：47(2)y x +=+，即7100x y -+=．(2)令()0f x '=，23210x x +-=，解得113x =，21x =-．当113x -<<时，可得()0f x '<，即()f x 的单调递减区间1(1,)3-，1x <-或13x >，可得()0f x '>，∴函数单调递增区间(,1)-∞-，1(3，)∞+．()f x ∴的极大值点1x =-，极小值点13x =． 5．设a ∈R ，函数()()()322112132x a a x x x a f =-+++.(1)若函数()()()0f x g x x x'=≠为奇函数，求实数a 的值；(2)若函数()f x 在2x =处取得极小值，求实数a 的值. 【答案】(1)12-(2)1 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，根据奇函数的概念得到210a --=，即可求出结果；（2）利用导数求出函数的单调区间，进而求出极小值点，可得12a +=，即可求出结果. (1)由已知，得()()2221f x x a x a a '=-+++，()()221f x a ag x x a x x '+==+--，0x ≠，∵()()()0f x g x x x'=≠为奇函数，∵0x ∀≠，()()0g x g x -+=，即210a --=，∵12a =-；(2)()()()()22211f x x a x a a x a x a '=-+++=--+⎡⎤⎣⎦，当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表： x(),a -∞a(),1a a +1a +()1,a ∞++()f x '+-+()f x极大值极小值∵12a +=，∵1a =.巩固提升一、单选题1．已知函数()sin f x x ax =+在3x π=处取得极值，则=a （ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处导函数为零可求解. 【详解】因为()sin f x x ax =+，则()cos f x x a '=+，由题意可知1()cos 0332f a a ππ'=+=⇒=-.经检验满足题意故选：B2．已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间(1,1)-上，函数()f x 是增函数B ．在区间(3,2)-上，函数()f x 是减函数C ．2-为函数()f x 的极小值点D ．2为函数()f x 的极大值点【答案】D【分析】根据导函数与原函数的关系可求解. 【详解】对于A ，在区间(1,0)-，()0f x '<，故A 不正确； 对于B ，在区间(3,2)--，()0f x '>，故B 不正确；对于C 、D ，由图可知()f x 在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且(2)0f '=，所以2-为函数()f x 的极大值点，故C 不正确，D 正确. 故选：D3．已知函数()3221f x x x x =-+-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极小值为2-B ．()f x 的极大值为2327-C ．()f x 在区间1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在区间(),0-∞上单调递减【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值. 【详解】因为()3221f x x x x =-+-，所以()2341f x x x '=-+，令()0f x '>，得1x >或13x <；令()0f x '<，得113x <<；所以()f x 在区间()1,+∞，1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在13x =处有极大值，极大值为123327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；在1x =处有极小值，极小值为()11f =-. 故选：B.4．函数32()f x x ax bx =-+在1x =处有极值为4，则-a b 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．6 D ．6-【答案】B【分析】根据函数在1x =处有极值为4，由()01f '=，(1)4f =求解. 【详解】因为函数32()f x x ax bx =-+， 所以2()32f x x ax b '=-+，所以(1)320f a b '=-+=，(1)14f a b =-+=， 解得a =6,b =9，-a b =-3，故选：B5．已知三次函数()3221()(41)152723f x x m x m m x =--+--+在定义域R 上无极值点，则m的取值范围是（ ） A ．(,2)(4,)-∞+∞ B ．(,2][4,)-∞+∞ C ．[]2,4 D ．()2,4【答案】C 【解析】 【分析】求得()'f x ，结合0∆≤来求得m 的取值范围.【详解】22()2(41)1527f x x m x m m '=--+--，()f x 在定义域R 上无极值点，()'0f x ∴≥在R 上恒成立，即22(41)--+x m x 215270--≥m m 在R 上恒成立，()(()()()222Δ44141527)4684240m m m m m m m ∴=----=-+=--≤， 解得24m ≤≤. 故选：C6．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π4x =对称，π04f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上恰有3个极大值点，则ω的值等于（ ）A ．1B ．3C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得ω的值. 【详解】 依题意π0,2ωϕ><， ()f x 的图象关于π4x =对称，π04f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上恰有3个极大值点，所以12πππ42ππ42π3πk k T T ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎪-+=⎨⎪<⎪⎪≥⎩，其中12,Z k k ∈，所以()12πππ22π2ππ32k k ωω⎧=-+⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，()122146k k ωω⎧=-+⎨<≤⎩ ， 所以5ω=. 故选：C 二、多选题7．已知函数f （x ）=（x -a ）（x -3）2，当x =3时，f （x ）有极大值，则a 的取值可以是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】ABC 【解析】 【分析】求得导数函数()(3)(332),f x x x a '=---只需3233a+>即可满足题意. 【详解】2()()(3),f x x a x =--∴22()(3)()(3)(3)(332),f x x x a x x x a '=---=--+-令 ()0f x '=，则3x =或323ax +=， 当3233a +>时，即3a >时，()f x 在(),3-∞单调递增，323,3a +⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，32,3a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，此时，当x =3时，f （x ）有极大值， 则a 的取值可以是4,5,6. 故选：ABC.8．已知函数()e xxf x =，下列说法正确的有（ ） A ．312ef ⎛⎫⎪⎭= ⎝B ．()f x 只有一个零点C ．()f x 有两个零点D ．()f x 有一个极大值点【答案】BD 【解析】 【分析】根据解析式得出32f ⎛⎫⎪⎝⎭；由()0f x =判断BC ；由导数判断D.【详解】332233322e 2e f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误；()0,0e xx f x x ===，即函数()f x 只有一个零点，故B 正确，C 错误；1()e x xf x -'=，()01f x x '>⇒<，()01f x x '<⇒>，即函数()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即()f x 有一个极大值点，故D 正确；故选：BD 三、填空题9．已知函数2()exx x af x +-=在1x =处取得极值，则()f x 的极小值___________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出导函数，由极值点确定参数a 的值，再根据导数与单调性的关系得极值． 【详解】21()e xx x a f x -+++'=， ()f x 在1x =处取得极值，则1(1)0ea f +'==，1a =-， 21()e xx x f x ++=，2(1)()e e x xx x x x f x -+--'==， 0x <或1x >时，()0f x '<，01x <<时，()0f x '>，()f x 在(,0)-∞和(1,)+∞上递减，在(0,1)上递增，因此0x =时，()f x 取得极小值0001(0)1e f ++==， 故答案为：110．若函数f (x )＝x 3＋mx 2＋x ＋1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是_____. 【答案】3,3⎡-⎣【解析】 【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m 的取值范围. 【详解】f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋1.由题意得Δ＝4m 2－12≤0，解得33m ≤，即实数m 的取值范围是3,3⎡-⎣.故答案为：3,3⎡-⎣四、解答题11．已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调增区间和极值． 【答案】(1)12a =-，2b =-(2)函数的单调递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数的极大值是249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，函数的极小值是12-.【解析】 【分析】（1）利用导数与极值点的关系，求得,a b 后，再检验；（2）首先求c ，再利用导数和函数单调性，极值的关系，即可求解. (1)()232f x x ax b '=++，由条件可知()10f '=和203f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，即32044033a b a b ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：12a =-，2b =-，所以()32122f x x x x c =--+， 检验：()()()232132f x x x x x '=--=-+x2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 23-2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1()1,+∞f x+-+()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增经检验1x =与23x =-时，都取得极值，满足条件，所以12a =-，2b =-；(2)()1311222f c -=--++=，解得：1c =，所以()321212f x x x x =--+()()()232132f x x x x x '=--=-+x2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 23-2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1()1,+∞f x+0 -+()f x单调递增极大值4927单调递减极小值12-单调递增有表可知，函数的单调递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数的极大值是249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，函数的极小值是12-.12．已知函数32()f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值.(1)求a ，b 的值； (2)求函数()f x 的单调区间. 【答案】(1)12a =-，2b =-(2)单调增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞；单调减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据极值点以及根与系数关系列方程组，解方程组求得,a b . （2）结合导数求得()f x 的单调区间. (1)()'232f x x ax b =++，依题意221133,222133a a b b ⎧-+=-⎪⎪⇒=-=-⎨⎪-⨯=⎪⎩.验证满足题意 (2)由（1）得()()()'232132f x x x x x =--=-+，所以()f x 在区间()()()'2,,1,,0,3f x f x ⎛⎫-∞-+∞> ⎪⎝⎭递增，在区间()()'2,1,0,3f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭递减.即()f x 的单调增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞；单调减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
极值21．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )答案 C 解析 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x <b 时f (x )－g (x )>f (a )－g (a )，∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．2．设函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 的定义域为 .，令其分子为 ，在区间 上有两个零点，故，解得，故选B.3．已知函数（其中 为自然对数底数）在 处取得极小值，则 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】由，得 ．当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ． ∴ 在 上为减函数，在 上为增函数，则 在 =1取得极小值； 当 时，令 ，得 =1或 ，为使 在 =1取得极小值， 则有 ，∴ ．综上可得：4.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，52)B ．[2，52)C ．(2，103)D ．[2，103)【解析】若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．5．已知等差数列 的前 项和为，则 的极大值为（ ） A ．B ．3C ．D ．2【答案】A 【解析】由于等差数列前 项和公式中，常数项为 ，故， ，故函数在上递增，在上单调递减，故当 时取得极大值为.6．函数 的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由函数f （x ）＝x 3+2ax 2+3bx +c ，求导f ′（x ）＝3x 2+4ax +3b ， f （x ）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内， 由3x 2+4ax +3b ＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，即 ＜ ＞ ＞，令z ＝2a ﹣b ，∴转化为在约束条件为 ＜ ＞ ＞时，求z ＝2a ﹣b 的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），目标函数转化为z ＝2a ﹣b ，由图可知，z 在A （，0）处取得最大值，在（，0）处取得最小值，因为可行域不包含边界，∴z ＝2a ﹣b 的取值范围（，）．故选：B ．7．若函数 恰有三个极值点，则 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题可知，当 时，令，可化为，令，则，则函数 在上单调递增，在 上单调递减， 的图象如图所示，所以当 ，即时， 有两个不同的解；当 ，令 ，，解得 ，综上，.8．若曲线 与 存在公共切线，则实数 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． - ， D ． - 【答案】C 【解析】设曲线的切点坐标为 ，该切线方程为 ，切点为 ，该切线方程为，利用待定系数法得到，得到 ，构造函数计算导函数，得到 在 递增，在递减，故 最大值为 ，所以 ，故选C 。
9．若函数的图像与 轴有三个不同的交点，则实数 的取值范围是___．【答案】（- ，）【解析】 ，所以当 和 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，极大值，极小值 ，的图像与 轴有三个不同的交点，所以，得10．已知 ，函数 ，若 存在极小值点m ，且 ， ，则______．【答案】【解析】，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，的极小值点，．由，得，，解得．．故答案为．11．对于三次函数，有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程=0有实数解，则称点为函数的“拐点”。
若点是函数，的“拐点”也是函数图像上的点，则当时，函数的函数值为_____．【答案】2【解析】函数，，因为是函数，的“拐点”，且是函数图象上的点，所以，即解得，，所以，当时，函数的函数值为，故答案为2.12．已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求的取值范围.【解析】（1）依题意，故.因为，故.故所求切线方程为，即.（2）令，得.设，问题等价于函数与的图像在区间上有两个交点.，令，得.，以及的变化情况如下表：易知，.结合图像可知解得，故的取值范围为. 13．已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）当是的极值点时，求的值并求此时的单调区间；（Ⅱ）若，证明：时，.【解析】(Ⅰ)函数的定义域为，且，设，由题意，得，且此时，，则，故在单调递增，又，∴时，时，即在递减，递增.综上，当是的极值点时，a，且此时在递减，递增.(Ⅱ)当时，，设，，当时，对恒成立，故在单调递增，又，∴对恒成立，即，时，得证.14．已知函数，.（1）求的极值点；（2）若函数在区间内无零点，求的取值范围.【解析】（1），当时，，则在上单调递增，无极值点；当时，时，在上单调递减，在上单调递增.有极小值点，无极大值点.（2），，，则.当时，，则在上单调递增，，所以无零点，满足条件；当时，，则在上单调递减，，所以无零点，满足条件；当时，存在，使得，即时，，单调递减；时，，单调递增.又，，，故在上一定存在零点，不符合条件.15．设函数，已知曲线在点处的切线与直垂直.（1）求的值；（2）求函数的极值点.【解析】（1）由题意知，，，解得.（2）函数，定义域为，，则，令，，，则，①当时，，有，即，所以在区间，上单调递减，故函数在区间，上无极值点；②当时，，令，有，，，当，时，，即，得在，上递减，当，时，，即，得在，上递增，当，时，，即，得在，上递减，此时有一个极小值点为，有一个极大值点为.③当时，，令，有，，当，时，，即，得在，上递增，当，时，，即，得在，上递减，此时有唯一的极大值点为.综上可知，当时，函数有一个极小值点为，有一个极大值点为；当时，函数在区间，上无极值点；当时，函数有唯一的极大值点为，无极小值点.16．已知函数．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若，讨论函数的极值点的个数．【解析】（1）因为，所以，，所以，所以函数在点处的切线方程为：，即。
（2）可化为：，所以=，当时，时，，时，，此时存在一个极值点；当时，则，时，，时，，时，，此时存在两个极值点，,当时，，时，，时，，此时没有极值点。
当时，，时，，时，，时，，此时存在两个极值点及,综上所述：当或，存在两个极值点；当时，存在一个极值点；当时，没有极值点. 17．已知函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）当时，求证：时，；（Ⅱ）当时，计论函数的极值点个数.【解析】(Ⅰ)由，易知，设，则，当时，，又∴时，，时，，即在递减，递增；所以当时，得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当时，当且仅当在处取得极小值，无极大值，故此时极值点个数为1；当时，易知在递减，递增，所以，又设，其中，则对恒成立，所以单调递减，（当且仅当时取等号），所以当时，即在单调递增，故此时极值点个数为0；当时，，在递增，又，所以当时，当时，即总在处取得极小值；又当且时，，所以存在唯一使得，且当时，当时，则在处取得极大值；故此时极值点个数为2；综上，时，的极值点个数为0；时，的极值点个数为2；时的极值点个数为1.18．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数．（1）若函数在，上无极值点，求的取值范围；（2）求证：对任意实数，在函数的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当时，若函数的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问；这样的平行切线共有几组？请说明理由．【解析】（1）由函数，得，由，得，或，因函数在上无极值点，所以或，解得或.（2）由（1）知，令，则，所以，即对任意实数，总有两个不同的实数根，所以不论为何值，函数在两点，处的切线平行设这两条切线方程为分别为和，若两切线重合，则,即，即，而=，化简得，此时，与矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数，函数的图象总存在两条切线相互平行（3）当时，，由（2）知时，两切线平行.设, ,不妨设，过点的切线方程为所以，两条平行线间的距离，化简得，令，则，即，即，显然为一解，有两个异于的正根，所以这样的有3解，而，所以有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组19．设函数f(x)＝x－1x－a ln x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1＋1x2－ax＝x2－ax＋1x2.令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x1＝a－a2－42，x2＝a＋a2－42.当0＜x＜x1时，f′(x)＞0，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x＞x2时，f′(x)＞0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，(x1，x2)上单调递减．(2)由(1)知，a＞2.因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋x1－x2x1x2－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝f x1－f x2x1－x2＝1＋1x1x2－a·ln x1－ln x2x1－x2.又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a·ln x1－ln x2x1－x2.若存在a，使得k＝2－a，则ln x1－ln x2x1－x2＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.由x1x2＝1得x2－1x2－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)再由(1)知，函数h(t)＝t－1t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2＞1，所以x2－1x2－2ln x2＞1－11－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.。
