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第二十五章概率初步复习总结【课标要求】标要求【知识梳理】1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<12．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：①理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算。
②实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算。
要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率。
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算。
如，利用计算器产生随机数来模拟实验。
综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率。
这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算。
3．你知道概率有哪些应用吗？通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。
【能力训练】一、填空题：1．一个口袋中装有4个白球，2个红球，6个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是白球的概率是。
2．若1000张奖券中有200张可以中奖，则从中任抽1张能中奖的概率为______。
章末小结※教学目标※ 【知识与技能】掌握本章重要知识点，会求事件的概率，能用概率的知识解决实际问题. 【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决生活中的概率问题，培养学生的分析问题和解决问题的能力.【情感态度】在用本章知识解决具体问题的过程中，进一步增强数学的应用意识，感受数学的应用价值，激发学习兴趣. 【教学重点】本章知识结构梳理及其应用. 【教学难点】利用概率知识解决实际问题. ※教学过程※ 一、整体把握 二、加深理解1.通过实例，体会随机事件与确定事件的意义，并能估计随机事件发生可能性的大小.2.结合具体情境了解概率的意义，会用列举法（列表法和树状图法）求一些随机事件发生的概率.P (A )=nm（n 是事件发生的所有的结果，m 是满足条件的结果）. 3.对于事件发生的结果是不是有限个，或每种可能的结果发生的可能性不同的事件，我们可以通过大量重复试验时的频率估计事件发生的概率. 三、复习新知例1 一张圆桌旁有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B ,C ,D 三人随机坐在其他三个座位上，求A 与B 不相邻的概率.分析：按题意，可列举出各种可能的结果，再一次计算A 与B 不相邻的概率.解：按顺时针方向依次对B ,C ,D 进行排位，如下: 三个座位被B ,C ,D 三人随机坐的可能性共有6种，由图可知：P (A 与B 不相邻)=62=31. 例2 有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B ，分别被分成4等份，3等份，并在每份内均标有数字，如图所示：王洋和刘飞同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A 与B ；②两个转盘停止后，将两个指针所指的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．若和为0，则王洋获胜；若和不为0，则刘飞获胜.问：（1）用树状图求王洋获胜的概率；（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 解：（1）由题意可画树状图为:A ： 0 1 2 3B ：0 -1 -2 0 -1 -2 0 -1 -2 0 -1 -2 和：0，-1，-2 1，0，-1 2，1， 0 3， 2，1这个游戏有12种等可能的结果，其中和为0的有三种.∴王洋获胜的概率为31 124=.（2）这个游戏不公平.∵王洋获胜的概率为14，刘飞获胜的概率为34.∴游戏对双方不公平.例3 一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色外没有任何区别.（1）小王通过大量反复试验（每次取一个球，放回后搅匀再取第二个）发现，取出黑球的频率稳定在14左右，请你估计袋中黑球的个数.（2）若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取一个球，取出红球的概率是多少？分析：利用频率估计概率，建立方程.解：（1）设黑球的个数为x个，则1204x=，解得5x=.所以袋中黑球的个数为5个.（2）小王取出的第一个球是白球，剩下19个球中有6个红球.∴P(红球)619 =.四、巩固练习1.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，是一个“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形两直角边分别是2和4，小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（）A.12B.14C.15D.1102.如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1,1,2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这是，某个扇形会恰好停止在指针所指的位置，并相应得到这个扇形扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当作指向右边的扇形）.（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数字相同，则称两人“不谋而合”.用列表法（或树状图法）求两人“不谋而合”的概率.答案：1.C2.解：（1）13；（2）列表如下：小宇小静1 -1-21 （1,1）（-1，1）（-2，1）-1 （1，-1）（-1，-1）（-2，-1）-2 （1，-2）（-1，-2）（-2，-2）共9种等可能的结果，其中数字相同的结果有3种，故其概率为13. 五、归纳小结本堂课你对本章内容有一个全面的了解与掌握吗？你有哪些疑问？※布置作业※从教材复习题25中选取.※教学反思※本节课一方面对全章知识进行系统归纳与总结后，提升学生的整体观念，另一方面是对前面新课学习的回顾.本节课重点复习了用列举法求概率、用频率估计概率.通过实际问题的解答，提高学生分析问题的能力，增强了用数学的意识.同时学生通过本节课的复习，掌握运用概率知识的一些基本方法和步骤.。
九年级上册微型课36 概率初步的小结与复习一、内容和内容解析1．内容对本章内容进行梳理总结、建立知识体系，综合应用本章知识解决问题．2．内容解析本章在小学了解了随机现象发生的可能性基础上，进一步学习事件的概率，主要内容包括：随机事件和概率的有关概念，用列举法（包括列表法和画树状图法）求简单随机试验中事件的概率，利用频率估计概率．由以上分析，可以确定本节课的教学重点是：复习概率的相关知识，建立本章的知识结构．二、目标和目标解析1．目标（1）通过对事件的分类、概率的意义以及计算随机事件概率的方法等相关内容的梳理，形成本章的知识体系．（2）通过回顾用列举法求概率、用频率估计概率，进一步认识随机现象，感受随机现象的特点，发展随机观念．2．目标解析达成目标（1）的标志是：掌握本章的重点知识，能建立本章学习知识图．达成目标（2）的标志是：能够解决一些简单的问题．三、教学问题诊断分析学生在前面具体内容的学习中已经应用本章所学知识，这就要学生在复习课中既要对所学的知识能够重新回忆出来，又要在原有的基础上进行知识的建构，建立起不同知识之间的内在联系，从而建立起本章的知识结构，形成知识体系．由以上分析，本节课的教学难点是：本章知识体系的建构．四、教学过程设计1．梳理知识活动 1 师生共同回顾本章知识学习流程．追问回顾方程学习的过程．师生活动：教师引导学生一起完成本章知识学习流程图以及方程学习的过程．设计意图：回顾学习流程，完成对知识的梳理．2．例题讲解例1在下列事件中，必然事件有_______；不可能事件有______；随机事件有______．（1）任意一个五边形的外角和等于 540°；（2）投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次；（3）367 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日；（4）正月十五雪打灯．追问什么是必然事件、不可能事件、随机事件？你能举例说明吗？师生活动：学生先独立思考并完成此题，师生一起回顾什么是必然事件、不可能事件和随机事件．设计意图：通过本例题，复习事件的分类，以及如何判定事件的类型．例2下列说法中错误的是( )．（A）必然事件发生的概率是1（B）不可能事件发生的概率是0（C）随机事件可能发生也可能不发生（D）概率很小的时间不可能发生追问什么是概率？师生活动：学生先独立思考并完成此题，师生一起回顾事件的概率的意义，以及确定性事件和不可能事件的概率．设计意图：通过本例题，复习事件的概率的意义．例3在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母，求下列事件的概率；（1）字母为“h”；（2）字母为“a”；（3）字母为元音字母；（4）字母为辅音字母．追问如何求简单随机事件的概率？师生活动：学生先独立思考并完成此题，师生一起回顾求简单随机事件的概率的方法．设计意图：通过本例题，复习求简单随机事件的概率的方法．例4同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数的和小于5 的概率．追问在什么条件下，可以通过列举法得到随机事件的概率？师生活动：学生先独立思考并完成此题，师生一起回顾列表法求简单随机事件概率的一般过程．设计意图：通过本例题，复习列表法求概率的过程．例5把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀，从三堆图片中随机各抽一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率．师生活动：学生先独立思考并完成此题，师生一起回顾画树状图求概率的一般过程．设计意图：通过本例题，复习画树状图求概率的过程．例6某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：转动转盘的次数n100 150 200 500 800 1000落在“铅笔”的次数m68 111 136 345 546 701落在“铅笔”的频率m n（1）计算并完成表格；（2）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？（精确到0.01）追问如何用频率估计概率？师生活动：学生先独立思考并完成此题，师生一起回顾用频率估计概率的过程．设计意图：通过本例题，复习用频率估计概率的一般过程，并正确理解频率和概率．3．巩固练习练习 1袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球、c个黄球，则任意摸出一个球是红球的概率是_______________．师生活动：学生独立完成，同学讲解作答过程．设计意图：加深对简单随机问题求概率的理解．练习 2两个同学玩“石头、剪刀、布”游戏，随机出手一次，平局的概率是_______________．师生活动：学生独立完成，并请同学板演作答过程．设计意图：加深对用列举法求概率的理解和应用．练习 3一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯．突然停电了，于是小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．求颜色搭配正确和颜色搭配错误的概率各是多少？师生活动：学生先独立思考并完成此题，师生一起回顾直接列举求概率的一般过程．设计意图：通过本例题，加深对直接列举求概率的过程的理解．4．小结归纳小结本章主要内容：（1）什么是随机事件？（2）用列举法求概率有哪些方法？（3）如何用频率估计概率？设计意图：通过具体问题的回顾与思考，加深对本章知识的理解，构建本章知识体系．5．当堂反馈一个批发商从某服装制造公司购进了50 包型号为L 的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中混进了型号为M 的衬衫．每包中混入的M 号衬衫数见下页表：一位零售商从50包中任意选取了一包，求下列事件的概率；（1）包中没有混入M 号衬衫；（2）保重混入M 号衬衫数超过10 ．设计意图：通过本题，考查用本章知识解决实际问题的能力．参考答案：（1）750，（2）350．6．作业布置教科书第152 页复习题25 第2题，第 3 题，第153页第8 题．说明：本课程结合了义务教育教科书数学九年级上册（人民教育出版社）第25 章小结与复习的内容，见教科书第151 页至第153 页．。
人教版初中数学九上-概率初步复习与小结
教学设计
磨坪中学（901）郭道虎
课标分析
在一、二学段，主要培养学生对事件发生的可能性大小的一个初步认识，且只限于定性的描述。
本学段（第三学段）的一项重要内容是随机观念的培养。
在统计中，可以通过抽样体会样本
及估计结果的随机性。
在概率中，一方面可以列举大量实际例子判断是不是随机现象感受随机性；
另一方面，在验证频率与概率之间关系的试验中，除了揭示大量重复试验中频率具有稳定性，还要让学生体会频率的随机性。
当然，必须注意的是，本学段的概率内容还处在一个比较初级的水平，主要是对概率意义的
理解和随机观念的培养，而随机观念的培养以及概率意义的理解是个长期的过程，需要贯穿统计与概率教学的始终，培养学生学习从定量的角度去刻画随机事件发生可能性的大小。
教材分析
本章概率初步在小学了解随机现象发生的可能性基础上，进一步学习事件的概率，主要内容包括，随机事件和概率的有关概率，用列举法（包括列表法和画树状图法）求简单随机事件的概
率，利用频率估计概率。
教材首先设置了三个问题，引入随机事件和概率的有关概念。
通过三个问题，一方面复习回顾小学已学习的概率知识，另一方面为本章后续学习随机事件发生可能性大小的定量刻画作好铺
垫。
紧接着用两个试验进行分析，找出共同点——可能出现的结果只有有限个种和各种结果出现
的可能性相等，归纳得出概率古典定义。
在次基础上，教材继续研究用列举的方法求概率，引出
用列举法（包括列表法和画树状图法）求简单随机事件的概率。
由于现实世界中存在着大量的随机现象，教材从另一个角度统计试验结果频率去研究一些随
机试验中事件的概率；此方法不受随机试验中结果种数有限和各种结果发生等可能的限制，适用的范围更广。
教材内容在编写上循序渐进，层层推进，重视了对学生随机观念的培养，注重了与实际生活紧密相连，强调结合实际，选取与生活联系密切的素材，这样，有助于学生从实际生活中发现概
率问题，运用所学知识解决问题。
学情分析
本课例设计是在第一、二段学习的基础上，进一步加强统计与概率知识的综合应用，设计时考虑到学生的接受程度和优秀学生的发展，在思维与综合应用能力方面体现一定的层次性。
教学目标
（一）学习目标：
1、理解随机事件的定义及概率的定义；
2、用列举法计算简单事件的发生概率，能够通过重复试验，用事件发生的频率估计概率；
3、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题．
（二）过程与方法：
引导学生经历在统计与概率复习中，整理数据，分析数据，解决问题，把实际问题转化为
数学问题的过程。
（三）情感态度与价值观：
引导学生感悟统计与概率在实际生活中的应用，增强学生应用数学的意识。
学习重点：复习概率的重点知识，构建本章知识结构．
教学难点：引导学生分析解决有关《概率初步》试题的思路，提高解题能力。
教学过程
一、复习知识，回顾方法：
问题 1
（1）举例说明什么是随机事件．
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
如：抛掷一枚质地均匀的硬
币，等；
（2）在什么条件下，可以通过列举法得到随机事件的概率？
（1）可能出现的结果只有有限个；
（2）各种结果出现的可能性相等。
（3）用列举法求概率有哪些具体的方法？它们各有什么特点？
列表法（两步试验），树状图法（两步及以上）；
（4）简述用频率估计概率的一般做
法．教材 143 页
（5）结合本章内容，说说你对概率的理解以及概率在实践中的作用．
①随机观念的培养—现实世界中，有许多现象可以预测结果，也有无法事先断定其结果；
② 概率意义的理解—从比值的角度给出概率的定义；从频率的角度理解概率的意义；
③ 联系实际，学以致用—实际生活中随机性问题，如用抽签等试验来解决公平性问题；“扫雷”游戏、“中奖”、估计鱼塘中的鱼、决策问题等，都是用概率的知识来解释实际问题；
单元知识结构图
现实生活中存在大量的随机事件
↓只涉及一步试验的随机事件发生的概率
随机事件发生的可能性有大小
↓列举法（理论计算）随机事件发生的可能性
（概率）
↓概率的应用用频率估计概率涉及两步或两步以上试验的随机事
件发生的的概率的计算
列表法、树状图法；
二、巩固练习：
问题 2
（ 1）下列事件是必然事件的是（）．
A ．掷两个质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为
B．抛一枚硬币，正面朝上；
C． 3 个人分成两组，一定有 2 个人分在一组；
D．打开电视，正在播放动画片；
6；
（ 2）下列事件中，属于不确定事件的有（）．
① 太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；
③ 掷一枚硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员；
A ．①②③
B ．①③④C．②③④ D ．①②④
（ 3）下列说法不正确的是（）．
A ．某种彩票中奖的概率是1/1000，买 1 000 张该种彩票一定会中奖；
B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查；
C．若甲组数据的标准差S 甲 =0.31，乙组数据的标准差S 乙 =0.25，则乙组数据比甲组数据稳定；
D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件；
问题 3
（ 1）小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12 页，其中语文 4 页、数学 2 页、英语 6 页，他随机地从讲义夹中抽出 1 页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为____．
（2）在一个不透明的摇奖箱内装有20 个形状、大小、质地等完全相同的小球，其中只有 5 个球标有中奖标志，则随机抽取一个小球中奖的概率是_____．
（3）如图是一个被等分成 6 个扇形，可自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止后，指针指
向红色区域的概率是_____．
问题 4
（1）如图所示是四张质地相同的卡片．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（2）①求随机抽取一张卡片，恰好得到数字 2 的概率；②小贝和小晶想用以上四张卡
若片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，
认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平。
2 2
3 6 游戏规则
随机抽取一张卡片，记下数字放后回，洗匀后再抽一张．若抽取的第一、第二张卡片上的数
字之和为偶数，则小贝胜；数字之和为奇数，则小晶胜．
解：（ 1）随机抽取一张卡片，卡片数字可能为 21、22、 3、6，共 4 种；这些数字出现的可能性
相等。
卡片数字为 2 有 2 种可能，因此
P（数字为2） =1/2；
（ 2）这个游戏不公平。
理由如下：
第 1 21 22 3 6
张
第 2 张
21 4 4 5 8
22 4 4 5 8
3 5 5 6 9
6 8 8 9 12
两张卡片数字之和有16 种结果 ,每种结果出现的可能性相等;
P（数字之和为偶）=5/8；
P（数字之和为偶）=3/8；
P（数字之和为偶）≠P（数字之和为奇），所以，游戏不公平。
如新游戏规则
随机抽取一张卡片，记下数字不放回，再抽一张．若抽取的第一、第二张卡片上的数字之和
为偶数，则小贝胜；数字之和为奇数，则小晶胜．
（方法不唯一，只要保证概率相等，游戏就公平）
问题 5
（1）从某玉米种子中抽取 6 批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数100 400 800 1 000 2 000 5 000
发芽种子粒数85 298 652 793 1 604 4 005
发芽频率0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为______（精确到0.1）．（2）一个口袋中有 3 个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其
中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，
摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程．小明共摸了100 次，其中
摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（）．
A ． 18 个B．15 个C． 12 个D． 10 个
20 次
（ 3）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共
通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的概率稳定在（）．A． 4 个B． 6 个C． 34 个40 个，除颜色外其他完全相同．小明15％左右，则口袋中红色球可能有D． 36 个
三、小结知识，梳理方法：
（1）在什么条件下，可以通过列举法得到随机事件的概率？
（2）用列举法求概率有哪些具体的方法？它们各有什么特点？
四、布置作业，课后反思。
教学设计反思：
本节课在教学过程中应用了“自主学习—动手实践—探究交流”的教学方法，教师注重发挥学生的主体作用，引导学生从基础知识到掌握知识结构图，逐步展示知识的形成过程，使学生的思维逐
步深入。
通过调动学生的主动性，实现课堂教学师生交往的有效化，促进每一个学生的充分发展，努
力提高课堂教学的效率。
同时，概率初步的知识非常丰富，一节课的复习是远远不够的，它不仅是一种概率，更是一
种思维方式，它是一堂复习课，更是一种延伸。
不妥之处，恳请专家老师批评指正。
