[学习资料]高考高中复习数学第二章数列2.3等比数列名师导航学案

听课随笔2.3等比数列 第1课时【学习导航】知识网络学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）⑵ 隐含：任一项00≠≠q a n 且 ⑶______________时，{a n }为常数列. 2.等比数列的通项公式： ⑴ ______________________ ⑵1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠3．既是等差又是等比数列的数列：_______． 4.等比中项的定义：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.且2G ac =5．证明数列{}n a 为等比数列： ⑴定义：证明1n na a +=常数； ⑵中项性质：212121n n n n n n n a a a a a a a +++++==或； 【精典范例】【例1】判断下列数列是否为等比数列： （１）１，１，１，１，１；（２）０，１，２，４，８； （３）1，21-，41，81-，161.【解】【例2】求出下列等比数列中的未知项： （１）２，ａ，８； （２）－４，ｂ，ｃ，21． 【解】【例3】在等比数列{a n }中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６； （２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ． 【解】【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列． 【解】听课随笔追踪训练一1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：（1）２，６，１８，５４，…； （2）7，314，928，;,2756（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…； （4）5，15+c ，125+c ， ,513+c .2. 数列m ,m ,m ,…m , ( ) A. 一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列，不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{1+n na a }na n 这四个数列中，是等比数列的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数. 【解】【例6】已知数列｛a n ｝满足：lg a n ＝3n ＋5，试用定义证明｛a n ｝是等比数列. 【证明】【点评】 若｛a n ｝是等差数列，b n ＝b an 可以证明数列｛b n ｝为等比数列，反之若｛a n ｝为等比数列且a n ＞0，则可证明｛lg a n ｝为等差数列. 追踪训练二 1．在等比数列｛a n ｝中，a 3·a 4·a 5＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 9·a 10·a 11的值等于( ) A.48 B.72 C.144 D.192 2．在等比数列中，已知首项为89，末项为31,公比为32，则项数n 等于___ __. 3．已知等比数列{a n }的公比q =－31,则86427531a a a a a a a a ++++++=___ ___.4．已知数列｛a n ｝为等比数列，(1)若a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25， 求a 3＋a 5.(2)a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .。

高中数学第二章数列2-3等比数列同步导学案新人教B版必修5考纲要求1、理解等比数列的概念2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及性质3、并能利用有关知识解决相应问题B案（基础回归）1、如果—1，a，b，c，—9成等比数列，那么A、b=3，ac=9B、b=—3，ac=9C、b=3，ac=—9D、b=—3，ac=—92、在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为A、2B、3C、4D、83、在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数）且前n项和Sn=3n+k，则k等于A、—1B、1C、0D、24、在等比数列{an}中，a8=10，则a3·a13= 。

5、已知an=2an—1（n≥2），a1=1，cn=，则{cn}的前n项和Sn=1。

2an6、已知等比数列{an}中，前10项的和S10=10，前20项的和S20=30，则S30= 。

C 案（典型例题分析）题型一、等比数列的基本量例1：等比数列{an}中，Sn 为前n 项和，若S3+ S6=2S9，求q 的值。

二、等比数列的证明例2：设数列{an}中，a1=1，Sn+1=4an+2，bn=an+1—2an （1）求证：数列{bn}为等比数列。

（2）求数列{bn}的前n 项和Tn 。

引申2：已知数列{an}中a1=1且满足an+1=2an+1求{an}的通项公式。

三．等比数列的综合应用例3：已知a1=2，点（an ，an+1）在函数f （x ）=x2+2x 的图象上。

其中n=1，2，3……（1）证明数列{lg （1+an ）}是等比数列。

（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）……（1+an ）求Tn 。

当堂检测：1、已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，且S3=3a1，则数列{an}的公比q 的值为 。

2、（1）例题2中如果Cn=nna 2 求证：{cn}为等差数列（2）求{an}的通项公式。

A 案 必做题：1、在等比数列{an}中，a3·a4·a5=3，a6·a7·a8=24，则a9·a10·a11的值等于 A 、48 B 、72C 、145D 、1922、等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}是 A 、递增数列 B 、递减数列C 、常数列D 、无法确定增减性3、等比数列{an}中，a7a11=6，a4+a14=5，则=1020a a A 、 B 、3223C 、或D 、—或—322332234、正项等比数列{an}中，a5a6=81，则log3a1+log3a2+……+log3a10= A 、5 B 、10C 、20D 、405、正项等比数列{an}中，a1=3，S3=21，则a3+a4+a5= A 、33 B 、72C 、84D 、1896、三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数为 。

第二章 《数列（复习）》1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系；3. 能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a .【知识链接】（复习教材P 28 ～P 69，找出疑惑之处）(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．【学习过程】※ 学习探究1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3． 求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．5. 数列求和主要：（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；（5）裂项相消，如111(1)1n n n n =-++. ※ 典型例题例1在数列{}n a 中，1a ＝1，n ≥2时，n a 、n S 、n S －12成等比数列. （1）求234,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式.例2已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意正整数n ，均有3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋯⋯+=，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2004的值．※ 动手试试练 1. 等差数列{}n a 的首项为,a 公差为d ；等差数列{}n b 的首项为,b 公差为e . 如果(1)n n n c a b n =+≥，且124,8.c c == 求数列{}n c 的通项公式.练2. 如图，作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前n 个内切圆的面积和.练3. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去回了5个伙伴; 第2天， 6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.A. 55986B. 46656C. 216D. 36【学习反思】※ 学习小结1. 数列的有关概念和公式；2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.※ 知识拓展数列前n 项和重要公式：2222(1)(21)1236n n n n +++++=； 3332112[(1)]2n n n ++=+※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 集合{}*21,,60M m m n n N m ==-∈<的元素个数是（ ）.A. 59B. 31C. 30D. 292. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（ ）.A ．648B ．832C ．1168D ．19443. 设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是（ ）.A. 1B. 2C. 4D. 84. 已知等差数列245,4,3, (77)的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为 . 5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是1. 观察下面的数阵， 容易看出， 第n 行最右边的数是2n ， 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …2. 选菜问题：学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20% 改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30% 改选A 种菜. 用,n n a b 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数，如果1300,a = 求10a .。

高中数学 第二章《数列》复习课导学案 大纲人教版一、学习目标：1．掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其几何意义．2．系统运用数列知识解决有关问题．二、预习指导：1．数列数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n n ，数列的前n 项和： n n a a a a S ++++= 321． 2．等差数列⑴等差数列的判定方法:①定义法；②等差中项法．⑵等差数列的通项公式：=n a ．⑶等差数列的前n 项和： n S = ． ⑷等差数列的性质：①等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有=n a ．②对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则 ．③若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成数列．3．等比数列⑴等比数列的判定方法：①定义法；②等比中项法．⑵等比数列的通项公式：=n a ．⑶等比数列的前n 项和：n S = ；当1=q 时，n S ．⑷等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则=n a ．②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则 ．③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成数列4．数列求和常用方法：三、预习检查1．等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则2349a a a a =____________． 2．已知{}n a 是等差数列，1010a ，其前10项和7010=S ，其公差________d ．3．已知数列的前n 项和29n S n n ，则其通项公式________n a ；若它的第k 项满足58k a ，则=k ____________．4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 的公比为____________．5．求数列1111,4,7,248前10项的和． 三、例题：例1 在等比数列{}n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a += .分析：以等比数列的首项1a 和公比q 为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使运算简化.变式 已知等比数列{}n a 中前8项的和308=S ，前16项的和15016=S ，求20S . 例2 已知数列{}n a 满足121+=+n n a a ，且11=a ，（1）证明数列{}1+n a 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.变式 已知数列{}n a 的前n 项和满足n a S n n +-=，且211=a ， （1）证明数列{}1-n a 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .练习：1．数列{}n a 是等比数列，15,a a 是方程2540x x -+=的根，则3a = ． 2．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则数列{}n a 的通项公式为 ．3．数列{}n a 的通项公式是n a =，则它的前10项的和10S = ． 4．数列{}n a 的前n 项的和278n S n n =-，则5a = ．5．在等比数列{}n a 中, 12166,128n n a a a a -+==,且前n 项的和为126n S =,求n q 及公比四、课外作业：做P60页的复习题。

§2.3.1等比数列的概念 第 1 5 课时一、学习目标（1）明确等比数列的定义，初步掌握等比数列的通项公式；（2）会解决知道n q a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题；（3）培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识。

二、学法指导1．等比数列必须是从第2项起，每一项与它前一项的比是同一个常数。

若从第3或第4项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，则不能断定这个数列是等比数列。

2．类比思想的应用三、课前预习1．如果一个数列从 起，每一项与它前一项的 等于 ，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示。

2．思考等比数列与等差数列的联系与区别课堂探究等比数列的概念☆问题情境：（1）“一尺之锤，日取其半，万世不竭。

”（2）“细胞分裂”探究：1．什么是等比数列？探究：2．等比数列的通项公式：若等比数列}{n a 的首项为1a ，公比是q ，则11-=n n q a a （推导） 注：（1）一个等比数列可以由首项和公比来唯一确定。

)0(≠q（2）在n q a a n ,,,1四个基本量中，“知三求一”数学运用：例1：判断下列数列是否为等比数列：（1）1，1，1，1； （2）0，1，2，4，8；（3）11111,,,,24816-- .例2：求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a （2）.21,,,4c b -例3：（1）在等比数列{}n a 中，是否有211n n n a a a -+=⋅（2n ≥）？ （2）在数列{}n a 中，对于任意的正整数n （2n ≥），都有211n n n a a a -+=⋅，那么数列{}n a 一定是等比数列吗？．例4：在等比数列{}n a 中，（1）已知13a =，2q =-，求6a ；（2）已知320a =，6160a =，求n a ．（3）983是等比数列Λ,3,3,3,121147中的第几项？四、巩固训练（一）当堂练习（47页书后练习）（二）（补充选做）1、等比数列}{n a 中，8,1842==a a ，则________1=a ，公比.________=q2、将100,50,20加上相同的常数，使它们成等比数列，则其公比为_________________五、反思总结。

2.3.2 等比数列的前n 项和1．理解等比数列的前n 项和公式的推导过程．2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能用它解决有关等比数列问题．(1)在求等比数列{a n }的前n 项和公式时，应分q ＝1和q ≠1两种情况，若题目中没有指明，切不可忘记对q ＝1这一情形的讨论．(2)等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量，即a 1，a n ，q ，n ，S n ，通常已知其中三个量可求另外两个量，这一方法简称为“知三求二”．【做一做1－1】在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )． A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2【做一做1－2】在等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )． A ．81 B ．120 C ．168 D ．1922．等比数列前n 项和的常用性质性质(1)：在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则依次每k 项的和构成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S2k ，S 4k －S 3k ，…成等比数列，其公比为________．性质(2)：在等比数列{a n }中，若项数为2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝____. 性质(3)：数列{a n }是公比为q 的等比数列，则S m ＋n ＝S n ＋__________.【做一做2】已知等比数列{a n }，S n 是其前n 项和，且S 3＝7，S 6＝63，则S 9＝________.一、错位相减法的实质及应用剖析：(1)用错位相减法求等比数列前n 项和的实质是把等式两边同乘等比数列的公比q ，得一新的等式，错位相减求出S n －qS n ，这样可以消去大量的“中间项”，从而能求出S n .当q ＝1时，S n ＝na 1，当q ≠1时，S n ＝a 1－a 1q n1－q.这是分段函数的形式，分段的界限是q ＝1.(2)对于形如{x n ·y n }的数列的和，其中{x n }为等差数列，{y n }为等比数列，也可以用错位相减法求和．错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题．(3)利用这种方法时，要注意对公比的分类讨论．二、等比数列的前n 项和公式的推导(首项为a 1，公比q ≠1)剖析：除了书上用到的错位相减法之外，还有以下方法可以求等比数列的前n 项和． (1)等比性质法 ∵a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a na n －1＝q ， ∴a 2＋a 3＋a 4＋…＋a na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q ，解得S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n 1－q. (2)裂项相消法S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝(a 11－q －a 1q 1－q )＋(a 1q 1－q －a 1q 21－q)＋(a 1q 21－q －a 1q 31－q )＋…＋(a 1q n －11－q －a 1q n 1－q )＝a 11－q －a 1q n 1－q ＝a 11－q n1－q. (3)拆项法S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2＋a 1q n －1－a 1q n －1)，∴S n ＝a 1＋q (S n －a 1q n －1) ＝a 1＋q (S n －a n )．解得S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q.三、教材中的“？”例2中，有别的解法吗？将这个数列的前8项倒过来排，试一试．剖析：∵S 8＝27＋26＋25＋…＋2＋1， ∴S 8＝1＋2＋22＋…＋26＋27＝1·1－281－2＝28－1＝255.此题说明了在一个等比数列{a n }中，若为有限项，如a 1，a 2，…，a n ，则a n ，a n －1，…，a 2，a 1也是等比数列，其公比为原数列公比的倒数．题型一 等比数列的前n 项和公式的应用 【例1】在等比数列{a n }中，(1)已知a 1＝3，q ＝2，求a 6，S 6；(2)已知a 1＝－1，a 4＝64，求q 和S 4； (3)已知a 3＝32，S 3＝92，求a 1，q .分析：在等比数列的前n 项和公式中有五个基本量a 1，a n ，q ，n ，S n ，只要已知任意三个，就可以求出其他两个．反思：在等比数列{a n }中，首项a 1与公比q 是两个最基本的元素；有关等比数列的问题，均可化成关于a 1，q 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)利用等比数列的有关性质；(3)注意在使用等比数列前n 项和公式时，要考虑q 是否等于1.题型二 等比数列的前n 项和的性质的应用【例2】在各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 10＝10，S 20＝30，求S 30.分析：可以利用解方程组解决，也可以利用等比数列的前n 项和的性质来解决．反思：由于等比数列中，无论是通项公式还是前n 项和公式，均与q 的若干次幂有关，所以在解决等比数列问题时，经常出现高次方程，为达到降幂的目的，在解方程组时经常利用两式相除，达到整体消元的目的．题型三 某些特殊数列的求和【例3】(1)已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n＋n ，求该数列的前n 项和S n；(2)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ·2n，求该数列的前n 项和S n .分析：(1)所给数列虽然不是等差数列或等比数列，但在求该数列的前n 项和时可以把a n 看成一个等比数列和一个等差数列的和的形式，分别求和，再相加．(2)写出数列的前n 项和，注意其与等比数列形式类似，考虑用推导等比数列求和公式的方法来求其前n 项和．反思：(1)分组求和法适用于某些特殊数列的求和，这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式；(2)错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n 项和．题型四 等比数列前n 项和的实际应用【例4】为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景观协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层……依此类推，到第十层恰好将大理石用完，问共需大理石多少块？每层各用大理石多少块？分析：设出共用大理石的块数，即可求出各层大理石的使用块数，通过观察，此即为一等比数列，通过等比数列求和，求出总块数，再求出每层用的块数．反思：对于实际问题，可以采用设出未知量的方法使之具体化．通过对前几项的探求，寻找其为等比数列的本质，再通过等比数列求和公式来求解．题型五 易错辨析【例5】已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n，n 为奇数，n ，n 为偶数，试求其前n 项和．错解：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n ) ＝21－4n21－4＋n2×2＋n 2n2－12×2＝13·2n ＋1＋n 24＋n 2－23. 错因分析：这里数列的通项a n 是关于n 的分段函数，当n 为奇数或为偶数时对应不同的法则，因此求和必须对项数n 进行分类讨论．1在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为( )．A ．2－128B ．2－129C ．2－1210 D ．2－1211 2等比数列的前n 项和S n ＝k ·3n＋1，则k 的值为( )．A ．全体实数B ．－1C ．1D ．33某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )．A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8C ．ap [(1＋p )7－(1＋p )] D ．a p[(1＋p )8－(1＋p )]4已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 1a 5＝16，则S 5＝________. 5在等比数列{a n }中，S n ＝65，n ＝4，q ＝23，则a 1＝________.6在等比数列{a n }中，S 3＝4，S 6＝36，求a n . 答案：基础知识·梳理1．na 1 a 1(1－q n )1－q na 1 a 1－a n q1－q【做一做1－1】A 由题意，知q ≠1，故有S 5＝44＝a 1(1－q 5)1－q，将q ＝－2代入解得a 1＝4.【做一做1－2】B 由a 5＝a 2·q 3，得q 3＝2439＝27，∴q ＝3，从而a 1＝3.∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3×(1－34)1－3＝120.2．q k (q ≠－1) q q n·S m 【做一做2】511 典型例题·领悟【例1】解：(1)a 6＝a 1q 5＝3×25＝96.S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝3(1－26)1－2＝189.(2)∵a 4＝a 1q 3，∴64＝－q 3.∴q ＝－4，∴S 4＝a 1－a 4q 1－q ＝－1－64×(－4)1－(－4)＝51.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，①②②÷①，得1＋q ＋q2q2＝3， ∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，a 1＝32；当q ＝－12时，a 1＝6.【例2】解：解法一：设{a n }的公比为q ，显然q ≠1.由已知条件可列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧10＝a 1(1－q 10)1－q，30＝a 1(1－q20)1－q，两式作商，得1＋q 10＝3，∴q 10＝2.∴S 30＝a 1(1－q 30)1－q＝a 1(1－q 10)1－q(1＋q 10＋q 20)＝10×(1＋2＋4)＝70.解法二：由性质S m ＋n ＝S n ＋q n·S m ，得S 20＝S 10＋q 10S 10，即30＝10＋10q 10，∴q 10＝2.∴S 30＝S 20＋q 20S 10＝30＋40＝70.解法三：运用性质S m 1－q m ＝S n1－qn (q ≠±1)．由已知条件S 10＝10，S 20＝30，易得q ≠±1，∴S 101－q 10＝S 201－q 20，即101－q 10＝301－q20.∴q 10＝2. 又S 101－q 10＝S 301－q30，解得S 30＝70. 解法四：运用性质S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k ，…成等比数列．∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，而S 10＝10，S 20＝30，∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(30－10)2＝10×(S 30－30)．∴S 30＝70. 【例3】解：(1)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(2n＋n )＝(2＋22＋23＋ (2))＋(1＋2＋3＋…n )＝2(1－2n)1－2＋(1＋n )n2 ＝2n ＋1－2＋(n ＋1)n 2.(2)∵S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴S n ＝n .2n ＋1－(2＋22＋23＋ (2))＝n ·2n ＋1－2(1－2n)1－2＝n ·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1＋2.【例4】解：设共用大理石x 块，则各层用大理石块数分别为第一层：x 2＋1＝x ＋22；第二层：x －x ＋222＋1＝x ＋24；第三层：x －x ＋22－x ＋242＋1＝x ＋28；……第十层：x －x ＋22－x ＋24－…－x ＋2292＋1＝x ＋2210.所以从第一层到第十层所用大理石的块数构成首项为x ＋22，公比为12，项数为10的等比数列，故x ＝x ＋22＋x ＋24＋…＋x ＋2210，解得x ＝2 046.答：共用去大理石2 046块，各层分别为1 024,512,256,128,64,32,16,8,4,2块． 【例5】正解：(1)当n 为奇数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n )＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n －1)＝2(1－4n ＋12)1－4＋n －12×2＋n －12(n －12－1)2×2＝13·2n ＋2＋n 24－1112. (2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n )＝2(1－4n 2)1－4＋n 2×2＋n 2(n2－1)2×2＝13·2n ＋1＋n 24＋n 2－23. 随堂练习·巩固1．B 设其公比为q ，∵a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝18.∴q ＝12.∴S 10＝1×(1－1210)1－12＝2－129.2．B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3k ＋1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝k ·3n －k ·3n －1＝2k ·3n－1.令3k ＋1＝2k 得k ＝－1.3．D 2005年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )7,2006年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )6，依此类推，则2011年存入的a 元到2012年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2012年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a (1＋p )[1－(1＋p )7]1－(1＋p )＝a p[(1＋p )8－(1＋p )]．4．315．27 S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝a 1[1－(23)4]1－23＝65，解得a 1＝27.6．解：∵S 33≠S 66，∴q ≠1.∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝4，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝36.两式相除，得1＋q 3＝9，∴q ＝2.将q ＝2代入S 3＝4，得a 1＝47.∴a n ＝47·2n －1＝2n ＋17.。

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第2课时等比数列前n项和的性质及应用1。

掌握等比数列前n项和的性质的应用.重点2。

掌握等差数列与等比数列的综合应用。

重点3.能用分组转化方法求数列的和。

重点、易错点［基础·初探］教材整理等比数列前n项和的性质阅读教材P51练习B第2题及习题2－3A第6题，完成下列问题.等比数列前n项和的性质性质一：若S n表示数列{a n}的前n项和,且S n＝Aq n－A（Aq≠0,q≠±1），则数列{a n｝是等比数列.性质二：若数列｛a n｝是公比为q的等比数列，则①S n＋m＝S n＋q n S m。

②在等比数列中，若项数为2n（n∈N＋），则错误!＝q。

③S n，S2n－S n，S3n－S2n成等比数列。

1。

下列说法正确的是________.（填序号)(1）等比数列｛a n}共2n项,其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2。

（2）已知等比数列{a n｝的前n项和S n＝a·3n－1－1，则a＝1。

（3)若数列{a n}为等比数列，则a1＋a2,a3＋a4，a5＋a6也成等比数列。

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等比数列教学过程 一、复习回顾师：前面我们已经学习了有关等差数列的有关知识，请一位同学来回答一下等差数列的定义的文字语言是什么？生：如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。

师：等差数列的定义的数学表达式是什么？ 生：*+∈=-N n d d a n )(a 1n 为常数 师：等差数列的通项公式是什么？ 生：d n a )1(a 1n -+= 二、新知探究（一）等比数列的定义 1.情境引入师:学完等差数列后，有学生问我:“老师，既然研究了差,我们是不是还要研究等和数列，等积数列，等商数列呢?我充满了好奇！”请问如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“和”都等于同一个常数，请同学们举例子. 生： 生：师：如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“积”都等于同一个常数,请同学们举例子。

生：生：师：如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“比”都等于同一个常数,请同学们举例子.生：生：问题5。

所谓的“等和数列”，“等积数列”,“等比数列”三者中,哪种更具有研究价值呢？生：生：我们的生活中“等比数列”的例子很多，如商品打折，银行存款等。

2.探究新知师：探究,类比等差数列定义同桌之间互相讨论，总结等比数列定义的文字语言。

2．3.1 等比数列的概念学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一 等比数列的概念思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点． ①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，….梳理 等比数列的概念和特点．(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的________一项的________都等于____________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)． (2)递推公式形式的定义：a n a n －1＝q (n >1)(或a n ＋1a n＝q ，n ∈N *)． (3)等比数列各项均________为0.知识点二 等比中项的概念思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？梳理 等差中项与等比中项的异同，对比如下表：类型一等比数列的判定例1 判断下列数列是不是等比数列．(1)0,1,2,4；(2)1,1,1,1；(3)0.1,0.01,0.001,0.000 1；(4)3，－33，9，－9 3.反思与感悟(1)等比数列任一项均不为0.(2)等比数列的公比可以是任意非零常数．跟踪训练1 根据下列条件，写出等比数列的前4项．(1)a1＝1，q＝2；(2)a1＝－1，q＝2；(3)a1＝1，q＝－2；(4)a1＝－1，q＝－2.类型二证明等比数列例2 已知数列{a n}满足a1＝78，且a n＋1＝12a n＋13，n∈N*.求证：{a n －23}是等比数列．反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． 跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列．1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3＝________.2．若等比数列的首项为4，公比为2，则这个数列的第6项为________． 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则公比q ＝________. 4．45和80的等比中项为________．1．等比数列的判断或证明 (1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．答案精析问题导学 知识点一思考 从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数． 梳理(1)二 前 比 同一个 公比 (3)不能 知识点二思考 设这个数为G .则G 2＝8G，G 2＝16，G ＝±4.所以这样的数有2个．题型探究例1 解 (1)10无意义，不是等比数列．(2)每项与前一项的比均为1，是等比数列．(3)0.010.1＝0.1，0.0010.01＝0.1，0.000 10.001＝0.1，是等比数列．(4)－333＝－3，9－33＝－3，－939＝－3，是等比数列．跟踪训练1 解 (1)a 1＝1，a 2＝a 1×2＝2，a 3＝a 2×2＝4，a 4＝a 3×2＝8. (2)a 1＝－1，a 2＝a 1×2＝－2，a 3＝a 2×2＝－4，a 4＝a 3×2＝－8. (3)a 1＝1，a 2＝a 1×(－2)＝－2，a 3＝a 2×(－2)＝4，a 4＝a 3×(－2)＝－8. (4)a 1＝－1，a 2＝a 1×(－2)＝2，a 3＝a 2×(－2)＝－4，a 4＝a 3×(－2)＝8. 例2 证明 ∵a n ＋1＝12a n ＋13.∴a n ＋1－23＝12a n ＋13－23＝12a n －13＝12(a n －23)，∵a 1－23＝78－23＝524≠0，∴a n ＋1－23a n －23＝12，n ∈N *，∴{a n －23}是公比为12的等比数列．跟踪训练2 (1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得，a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．当堂训练1．32 2.128 3.2 4.－60或60。