广东省惠州市2018届高三第三次调研考试理科数学答案

2018届广东省六校第三次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合yxyxM,|),{(=为实数，且}222=+yx，yxyxN,|),{(=为实数，且}2=+yx，则NM I的元素个数为( )A．0 B．1 C．2 D．32.设等差数列{}n a的前n项和为n S，若30953==SS，,则=++987aaa( )A．63 B．45 C．36 D．273.若变量yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥--≤3412yxyxy，则yxz53+=的取值范围是( )A．[)∞+，3 B．[]3,8- C．(]9,∞- D．[]9,8-4.函数xxxy sin||ln1||ln1⋅+-=的部分图象大致为( )A． B．C. D．5.设函数()()ϕ+=xxf3cos，其中常数ϕ满足0<ϕ<π-.若函数)(')()(xfxfxg+=（其中)('xf是函数)(xf的导数）是偶函数，则ϕ等于( )A．3π- B．π-65C.6π- D．32π-6.执行下面的程序框图，如果输入的kba,,分别为1，2，3，输出的815=M,那么，判断框中应填入的条件为( )A ．k n <B ．k n ≥ C.1+<k n D ．1+≤k n7.已知()()()()()nn ni b i b i b i b i +-+++-++-++-=+-2222122100Λi n ,2≥（为虚数单位），又数列{}n a 满足：当1=n 时，21-=a ；当2≥n ，n a 为()222i b +-的虚部，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n a 2的前n 项和为n S ，则=2018S ( )A ．20182017 B ．20172018 C.20184035 D ．201740338.如图，在同一个平面内，三个单位向量OC OB OA ,,满足条件：OA 与OC 的夹角为α，且7tan =α，OB 与OC 与的夹角为45°.若()R n m OB n OA m OC ∈+=,，则n m +的值为( )A ．3B ．223C.23 D ．22 9.四面体ABC S -中，三组对棱的长分别相等，依次为x ，，45，则x 的取值范围是( )A ．()412，B ．()93，C. ()413， D ．()92， 10.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的篮球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( ) A ．42种 B ．36种 C.72种 D ．46种11.已知点F 为双曲线()0,1:2222>=-b a by a x E 的右焦点，直线)0(>=k kx y 与E 交于N M ,两点，若NF MF ⊥,设β=∠MNF ,且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈β612，，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．[]62,2+ B ．[]13,2+ C. []62,2+ D ．[]13,2+12.已知()()2211,,y x B y x A 、是函数()x x x f ln =与()2xkx g =图象的两个不同的交点，则()21x x f +的取值范围是( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ln 2e e B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e e e 1,2ln 2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10， D ．⎪⎭⎫⎝⎛0,2ln 2e e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则()⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3112dx x x f ． 14.已知函数()x b x a x f cos sin -=，若⎪⎭⎫⎝⎛+π=⎪⎭⎫⎝⎛-πx f x f 44，则函数13++=b ax y 恒过定点． 15.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为．16.若函数()x f 的图象上存在不同的两点()()2211,,,y x B y x A ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数()x f 是“柯西函数”.给出下列函数：①()()30ln <<=x x x f ； ②()()01>+=x xx x f ； ③()822+=x x f ； ④()822-=x x f . 其中是“柯西函数”的为（填上所有正确答案的序号）．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足*∈-=N n n S T n n ,22.(Ⅰ)求321,,a a a 的值； (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式.18.某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：份，N n ∈）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望； (ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？19如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是平行四边形，︒=∠==120,1BAD BC AB ，2==PC PB ,F E PA ,,2=分别是PD AD ,的中点.(Ⅰ)证明：平面⊥EFC 平面PBC ； (Ⅱ)求二面角P BC A --的余弦值.20.已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，21A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点点()1,2-P 满足121=⋅PA . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点N M 、，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 21.已知函数()()221x a e x x f x --=，其中R a ∈. (Ⅰ)函数()x f 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由；(Ⅱ)求最大的整数a ，使得对任意()+∞∈∈,0,21x R x ，不等式()()221212x x x f x x f ->--+恒成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧α=α+=sin cos t y t m x （t 为参数，π<α≤0），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θ=ρcos 4，射线4,44π+ϕ=θ⎪⎭⎫ ⎝⎛π<ϕ<π-ϕ=θ，4π-ϕ=θ分别与曲线C 交于C B A 、、三点（不包括极点O ）. (Ⅰ)求证：OA OC OB 2=+；(Ⅱ)当12π=ϕ时，若C B 、两点在直线l 上，求m 与α的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()a x a x x f 222-+-+=. (Ⅰ)若()31<f ，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若不等式()2≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.2018 届广东省六校第三次联考理科数学参考答案一、选择题1-5: BADAA 6-10: CCBCA 11、12：DD 二、填空题13.3ln 14.()31，15. 23224++ 16.① ④ 三、解答题17.解：(Ⅰ)∵12111-==S T S ,111a S ==，∴11=a . ∵422221-==+S T S S ,∴42=a . ∵9233321-==++S T S S S ,∴103=a .(Ⅱ)∵Λ22n S T n n -=①，()21112--=--x S T n n …②，∴①-②得，()2122≥+-=n n a S n n ，∵112211+⨯-=a S ， ∴()1122≥+-=n n a S n n …③，32211+-=--n a S n n …④， ③-④得，()2221≥+=-n a a n n ， )2(221+=+-n n a a .∵321=+a ，∴{}2+n a 是首项3公比2的等比数列，1232-⨯=+n n a ， 故2231-⨯=-n n a .18.解：(Ⅰ)当日需求量16≥n 时，利润80=y ， 当日需求量16<n 时，利润649)16(45-=--=n n n y ，所以y 关于n 的函数解析式为()N n n n n y ∈⎩⎨⎧≥<-=16,8016,649.(Ⅱ)(i)X 可能的取值为62，71，80，并且()()2.071,1.062====X P X P ,()7.080==X P .X 的分布列为：X 62 71 80 P0.10.20.7X 的数学期望为()4.767.0802.0711.062=⨯+⨯+⨯=X E 元.(ii)若小店一天购进17份食品，Y 表示当天的利润（单位：元），那么Y 的分布列为Y58 67 76 85 P0.10.20.160.54Y 的数学期望为()26.7754.08516.0762.0671.058=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E 元.由以上的计算结果可以看出，()()Y E X E <,即购进 17 份食品时的平均利润大于购进 16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进 17 份. 19.解法一：(Ⅰ)取BC 中点G ，连AC AG PG ,,,∵PC PB =,∴BC PG ⊥, ∵ABCD 是平行四边形，1==BC AB ,120=∠BAD ,∴60=∠ABC ,∴ABC ∆是等边三角形，∴BC AG ⊥,∵G PG AG =I ,∴⊥BC 平面PAG ,∴PA BC ⊥. ∵F E ,分别是PD AD , 的中点,∴PA EF //,AG EC //, ∴EF BC ⊥,EC BC ⊥,∵E EC EF =I ,∴⊥BC 平面EFC , ∵⊂BC 平面PBC ,∴平面⊥EFC 平面PBC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC AG BC PG ⊥⊥,, ∴PGA ∠是二面角P BC A --的平面角. ∵2,23,27412===-=PA AG PG , 在PAG ∆中，根据余弦定理得,7212cos 222=⋅-+=∠AG PG PA AG PG PGA ,∴二面角P BC A --的余弦值为721-. 解法二：(Ⅰ)∵ABCD 是平行四边形，1==BC AB ,120=∠BAD ，∴60=∠ADC ,∴ADC ∆是等边三角形，∵E 是AD 的中点， ∴AD CE ⊥,∵BC AD //, ∴BC CE ⊥.分别以CB CE ,的方向为x 轴、y 轴的正方向，C 为坐标原点， 如图建立空间直角坐标系. 则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,21,23,0,0,23,0,0,0A E C ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,23D ,设()z y x P ,,2==PC PB 4=PA ,解得1,21,23==-=z y x ， ∴可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1,21,23P , ∵F 是PD 的中点，∴⎪⎭⎫⎝⎛21,0,0F ,∵0=•,∴CF CB ⊥,∵BC CE ⊥, C CF CE =I ,∴⊥BC 平面EFC ,∵⊂BC 平面PBC ,∴平面⊥EFC 平面PBC .(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()0,1,0=CB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,23,设z y x ,,=是平面PBC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=•==•021230z y x y ， 令2-=x ，则)3,0,2(--=n ， 又)1,0,0(=m 是平面ABC 的法向量， ∴721,cos -=•<nm ，∴二面角P BC A --的余弦值为721-. 注：直接设点()z F ，，00，或者说⊥CF 平面ABCD ,AD PA ⊥，酌情扣分. 20.解：(Ⅰ)依题意，()0,1a A -、()0,2a A ，()12-，P ， ∴()22151,2)1,2a a a PA -=-⋅--=⋅（, 由121=⋅PA ,0>a ,得2=a ，∵23==a c e ， ∴1,3222=-==c a b c ，故椭圆C 的方程为1422=+y x . (Ⅱ)假设存在满足条件的点()0,t Q .当直线l 与x 轴垂直时， 它与椭圆只有一个交点，不满足题意.因此直线l 的斜率k 存在，设)2(1:-=+x k y l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+14)2(122y x x k y ，消y 得 ()()01616816412222=+++-+k k x k kx k ，设()()2211,,y x N y x M 、，则22212221411616,41816kkk x x k k k x x ++=++=+， ∵()()()()()()t x t x t x k kx t x k kx tx yt x y k k QN QM -----+---=-+-=+21122122111212 ()()()()()()()2222212121212824284122122t k t k t t k t t x x t x x t k x x kt k x kx +-+-+-=++-+++++-=， ∴要使对任意实数QN QM k k k +,为定值，则只有2=t ，此时，1=+QN QM k k . 故在x 轴上存在点()0,2Q ,使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值1. 21.解：(Ⅰ)由于ax xe x f x-=)('. 假设函数()x f 的图象与x 轴相切于点()0,t ，则有⎩⎨⎧==0)('0)(t f t f ，即()⎪⎩⎪⎨⎧=-=--0'02'12at te t a e t . 显然0',0>=≠a e t 代入方程()02'12=--t a e t 中得，0222=+-t t . ∵04<-=∆，∴无解．故无论a 取何值，函数()x f 的图象都不能与x 轴相切. (Ⅱ)依题意，()()()()21212121x x x x x x f x x f +-->--+()()()()21212121x x x x f x x x x f -+->+++⇔恒成立.设()x x f x g +=)(，则上式等价于()()2121x x g x x g ->+，要使()()2121x x g x x g ->+ 对任意()+∞∈∈,0,21x R x 恒成立，即使()()x x a e x x g x +--=221在R 上单调递增， ∴01)('≥+-=ax xe x g x在R 上恒成立.则1,01)1('+≤≥+-=e a a e g ，∴0)('≥x g 在R 上成立的必要条件是：1+≤e a . 下面证明：当3=a 时，013≥+-x xe x 恒成立.设()1--=x e x h x，则1)('-=xe x h ，当0<x 时，0)('<x h ，当0>x 时，0)('>x h ，∴0)0()(min ==h x h ，即1,+≥∈∀x e R x x.那么，当0≥x 时，()011213,222≥-=+-≥+-+≥x x x x xe x x xe x x ；当0<x 时，0)13(13,1>+-=+-<xe x x xe e x x x ，∴013≥+-x xe x 恒成立. 因此，a 的最大整数值为 3.22.解：(Ⅰ)证明：依题意，ϕ=cos 4OA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=4cos 4,4cos 4OC OB ，则OA OC OB 2cos 244cos 44cos 4=ϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ϕ+⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=+. (Ⅱ)当12π=ϕ时，C B 、两点的极坐标分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π63232，，，，化直角坐标为()()3331-，，，C B . 经过点C B 、的直线方程为()23--=x y ， 又直线l 经过点()0,m ，倾斜角为α，故32,2π=α=m . 23.解：(Ⅰ)∵()31<f ，∴321<-+a a ， ①当0≤a 时，得32,3)21(-><-+-a a a ，∴032≤<-a ； ②当210<<a 时，得2,3)21(-><-+a a a ，∴210<<a ； ③当21≥a 时，得34,3)21(<<--a a a ，∴3421<≤a . 综上所述，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-3432，. (Ⅱ)∵()a x a x x f 2122-+-+=，根据绝对值的几何意义知，当21ax -=时，()x f 的值最小,∴221≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f ，即2251>-a， 解得56>a 或52-<a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,5652,Y .。

广东惠州2019高三第三次（1月）调研考试-数学理（扫描版）惠州市2018届高三第三次调研考试 数学〔理科〕试题参考答案及评分标准【一】选择题：本大题考查差不多知识和差不多运算、共8小题，每题5分，总分值40分、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C A B B 1、【解析】()313i13i i =3+ii -=-、应选D 、2、【解析】26304(23)(46)(23)x x p q ⨯+=⇒=-⇒+=-+-=-=，，，、应选B 、3、【解析】01a =或或1-、应选D 、4、【解析】由设()f x x α=，图象过点1(2得12111()()222αα==⇒=， 12441log (2)log 24f ==、应选A 、5、【解析】22221111x ymx ny m n+=⇒+=，1100m n m n>>⇔<<，即p q ⇔、应选C 、6、【解析】甲中位数为19，甲中位数为13、应选A 、7、【解析】最优解为min ( 2.5 2.5)15z --⇒=-，、应选B 、8、【解析】2(1)(21)(21)n n n a a n n ++=--++，取19n =，5，及2610n =，，， 结果相加可得121234111278S a a a a a a =++++++=、应选B 、【二】填空题：本大题查差不多知识和差不多运算，表达选择性、共7小题，每题5分，总分值30分、其中14~15题是选做题，考生只能选做一题、 9、710、311、2219x y -=12、④13、(]12，1415、39、【解析】1212721712n nn S n -===-⇒=-、答案：7、10、【解析】511614921483n k n k n k n k ==⇒==⇒==⇒==，，，，、答案：3、 11、【解析】抛线线2y =的焦点22)10a b ⇒+=0、31e a b ==⇒=⇒=、答案：2219x y -=、12、【解析】m n ，均为直线，其中m n ，平行α，m n ，能够相交也能够异面，故①不正确； m ⊥α，n ⊥α那么同垂直于一个平面的两条直线平行；④正确、答案④、 13、【解析】2112022a a +-≤⇒≤，x a a -是增函数，因此1a > 12a ⇒<≤、答案：12a <≤、〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕 14、【解析】∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA ，∴60AOB ∠=，∴120POD ∠=，在△POD 中由余弦定理，得：2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠ =1414()72+-⨯-=、 解析2：过点D 作DE ⊥PC 垂足为E ，∵120POD ∠=， ∴60DOB ∠=， 可得12OE =，DE =，在Rt PED ∆中， ∴PD ===、15、【解析】A 、B 的极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，那么12ABCSOA OBsin AOB =∠= 134326sin π⨯⨯⨯=〔其中O 为极点〕、答案3、 【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、 16、〔本小题总分值12分〕〔1〕解：∵()()sin f x x ϕ=+，……………………………………2分∴函数()f x 的最小正周期为2π、……………………………………3分∵函数2sin 244y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………5分又sin y x =的图像的对称轴为2x k ππ=+〔k ∈Z 〕，………………………………6分 令242x k ππϕπ++=+，将6x π=代入，得12k πϕπ=-〔k ∈Z 〕、 ∵0ϕπ<<，∴1112πϕ=、……………………………………7分 〔2〕解：2211()sin()sin()cos )3431242f ππππααααα-==-+=+=+， (9)分113sin cos 1sin 2sin 2244αααα+=⇒+=⇒=-………12分17、〔本小题总分值12分〕〔1〕解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，因此10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=、…………………………1分 解得0.03a =、………………………………………………………………………2分 〔2〕解：依照频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=、……3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本可能总体的思想，可可能该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人、………………………………………5分 〔3〕解：成绩在[)4050，分数段内的人数为400.052⨯=人，………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，……………………………………7分假设从这6名学生中随机抽取2人，那么总的取法有2615C =…………………9分假如两名学生的数学成绩都在[)4050，分数段内或都在[]90100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.假如一个成绩在[)4050，分数段内，另一个成绩在[]90100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10、…………………10分那么所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为22247C C +=……11分因此所求概率为()715P M =、……………………………………………………………………13分 18、〔本小题总分值14分〕〔1〕证明：如图，连接1D B ，依题意有：在长方形11A ADD 中，11AD AA ==，1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D ED E AD B AD AB A ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭四边形平面又平面平面、………4分〔2〕解：AC ==/21AE AB ==，ECcos 2AEC ∠==-，sin AEC ⇒∠=、∴111222AECS ∆=⨯=，……………6分 11111326D AECV -=⨯⨯=、1AD ==1D C ==1sin D AC ⇒∠==、∴11322A DC S ∆==、设点E 到平面1ACD 的距离为d ，∴11131326D AEC E AD CV V d --==⨯=13d ⇒=、 EDCABABCDF 045∴点E 到平面1ACD 的距离为13、…………………………………………………8分〔3〕解：过D 作DF EC ⊥交EC 于F ，连接1D F 、由三垂线定理可知，1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角、∴14DFD π∠=，12D DF π∠=，111D D DF =⇒=、………………………10分1sin 26DF DCF DCF DC π∠==⇒∠=，∴3BCF π∠=、……………………12分∴tan 3BEBE BCπ=⇒=2AE AB BE =-=故2AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为4π、……………………………14分19、〔本小题总分值14分〕 解：〔1〕()113f a ==Q ，()13x f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()1113a f c c =-=-，()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-， ()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.又数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a ca ===-=--，因此1c =； 又公比2113a q a ==，因此12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭*n N ∈；……………………2分1n n S S --==Q ()2n ≥又0n b >0>，1=；数列构成一个首相为1公差为1()111n n=+-⨯=，2n S n =当2n ≥，()221121n n n b S S n n n -=-=--=-；又其满足11b c ==，21n b n ∴=-(*n N ∈)；………………………………5分〔2〕11(21)33n nn n c b n ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此123n nR c c c c =++++L12331111135(21)3333n R n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ①2341111111135(23)(21)333333nn n R n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ②①式减②式得：234121111112(21)3333333n n n R n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ……7分化简：2111113321122(1)12(21)133333313n n nn n R n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-……9分 因此所求113n nn R +=-…………………………………………10分〔3〕12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K ……12分11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭；……13分u.c.o.m 由1000212009n n T n =>+得10009n >，满足10002009n T >的最小正整数为112.…………14分20、〔本小题总分值14分〕 解：〔1〕由题设知，20)A，)1F ，………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ，…………………………3分解得62=a 、 因此椭圆M的方程为126:22=+y x M 、…………………………………………………………4分 〔2〕方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，那么()()NPNF NP NE PF PE -⋅-=⋅………………………………………………6分()()NF NP NF NP=--⋅-…………………………………………7分2221NP NF NP =-=-、………………………………………………………………8分从而求⋅的最大值转化为求2NP的最大值、……………………………………9分因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00P x y ，，………………………………………10分因此1262020=+y x ，即202036y x -=、………………………………………………11分 因为点()2,0N ，因此()()121222020202++-=-+=y y x 、…………………12分因为0y ⎡∈⎣，因此当10-=y 时，2取得最大值12、…………………13分 因此⋅的最大值为11、…………………………………………………………14分 方法2：设点112200()(),()E x y F x y P x y ，，，，， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，因此2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩………………………………………6分因此10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--…………………………………7分10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-、………………………………………9分因为点E 在圆N 上，因此2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-、………………10分因为点P 在椭圆M 上，因此2200162x y +=，即220063x y =-、…………………………11分 因此PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++、……………………………………12分因为0[y ∈，因此当01y =-时，()min11PE PF⋅=、………………………14分方法3：①假设直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………6分 由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x 、……………………………………………7分因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00P x y ，，因此1262020=+y x ，即202036y x -=、……………………………………………8分因此002PE x y ⎛⎫=-⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭…………………………………9分因此11)1(21)2(1)2(112020********++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x PF PE 、 ……………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，因此当10-=y 时，⋅取得最大值11、……………11分②假设直线EF 的斜率不存在，如今EF 的方程为0x =，由220(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =、 不妨设，()03E ，，()01F ，、…………………………………………12分因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00P x y ，，因此1262020=+y x ，即202036y x -=、 因此()003PE x y =--，，()001PF x y =--，、因此2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++、因为0y ⎡∈⎣，因此当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11、……………13分综上可知，⋅的最大值为11、…………………………………………14分 21、〔本小题总分值14分〕 解：〔1〕22()2221af x x x a ax '=+--+()()222144221x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+、……1分 因为2x =为()f x 的极值点，因此()20f '=、…………………………………2分即22041aa a -=+，解得0a =、…………………………………………3分又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为的极值点成立、……………4分〔2〕因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，因此()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦'=≥+在区间[)3,+∞上恒成立、 (5)分①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，因此()[3)f x +∞在，上为增函数，故0=a 符合题意、…………………………………………6分 ②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能0a >，因此222(14)(42)0[3)ax a x a x +--+≥∈+∞对，上恒成立、……………………7分 令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-，…………8分因为0a >因此1114a -<，从而()0[3)g x ≥+∞在，上恒成立，只要(3)0g ≥即可，因为()3g =24610a a -++≥，解得3344a -+≤≤、……………………………………9分因为0a >，因此0a <≤、综上所述，a的取值范围为304⎡⎢⎣⎦，、……………………………10分〔3〕假设12a =-时，方程3(1)(1)+3x b f x x--=可化为，x b x x x =-+--)1()1(ln 2、 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0+∞，上有解，即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域、………………………………11分以下给出两种求函数()g x 值域的方法：方法1：因为()()2ln g x x x x x =+-，令2()ln (0)h x x x x x =+->，那么xx x x x x h )1)(12(211)(-+=-+='，………………………………12分因此当01,()0x h x '<<>时，从而()(01)h x 在，上为增函数，当1()0x h x '><时，，从而),1()(+∞在x h 上为减函数，………………13分 因此()(1)0h x h ≤=、而0x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0、………………………………………14分 方法2：因为()()2ln g x x x x x =+-，因此2321ln )(x x x x g -++='、设2()ln 123p x x x x =++-，那么21621()26x x p x x x x--'=+-=-、当0x <<时，()0p x '>，因此()p x在(0上单调递增；当x >()0p x '<，因此()p x在)+∞上单调递减；因为()10p =，故必有106p ⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭，又22441233210p e e e e ⎛⎫=-++-<-< ⎪⎝⎭，因此必存在实数02116x e ∈(，使得0'()0g x =，00()0x x g x '∴<<<当时，，因此()0()0g x x 在，上单调递减； 当01()0x x g x '<<>时，，因此()0(),1g x x 在上单调递增； 当()1'()0()1x g x g x ><+∞时，，所以在，上单调递减；又因为)41(ln )(ln ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g ，当10ln 04x x →+<时，，那么()0g x <，又(1)0g =、 因此当1x =时，b 取得最大值0、…………………………………………14分。

惠州市高三第三次调研考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图1中阴影部分所表示的集合为( )（A ）{0,1,2} （B ）{0,1} （C ）{1,2} （D ）{1} （2）设函数R x x f y ∈=),(,“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）充要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）执行如右图2所示的程序框图, 则输出的结果为( ) （A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）11（4）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )（A ） 3 （B ） 2 （C ）2 （D ）3 （5）⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )（A ）－20 （B ）－5 （C ）5 （D ）20（6）某四棱锥的三视图如图3所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )（A ）1 （B ） 2 （C ） 3（D ）2图1图3（7）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）正三角形（D ）等腰直角三角形（8）函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) （A ）34 （B ）1 （C ）32（D ）2 （9）已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )（A ）3 （B ）2 （C ）－2 （D ）－3 （10）函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为()（A ） （B ） （C ） （D ）（11）如图4是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为P A ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD . 其中正确的有( )（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（12）已知函数21()(,g x a xx e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）21[1,2]e + （B ）2[1,2]e - （C ）221[2,2]e e +-（D ）2[2,)e -+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018高三数学（理）第三次联考试题（广东省六校附答案）2018届广东省六校第三次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】由题意得圆的圆心到直线的距离为，故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以的元素个数为1．选B． 2. 设等差数列的前项和为，若，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．∴ ．选A． 3. 若变量满足约束条件，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，由题意得点A的坐标为（3,0），∴ ．当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，由，解得，故点B的坐标为，∴ ．综上可得，故的取值范围是．选D． 4. 函数的部分图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，由得，则函数的定义域为．∵ ，∴函数为奇函数，排除D．又，且，故可排除B．，且，故可排除C．选A． 5. 设函数，其中常数满足．若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得，∵函数为偶函数，∴ ．又，∴ ．选A． 6. 执行下面的程序框图，如果输入的分别为1，2，3，输出的 ,那么，判断框中应填入的条件为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依次执行程序框图中的程序，可得：① ，满足条件，继续运行；② ，满足条件，继续运行；③ ，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填，即．选C． 7. 已知（，为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为的虚部．若数列的前项和为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得，∴当时，，又，故当时，，∴当时，．∴ ．选C． 8. 如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若，则的值为( ) A. 3 B. C.D. 【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由知为锐角，且，故，．∴点B,C的坐标为，∴ ．又，∴ ，∴ ，解得，∴ ．选B． 9. 四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥 (如图所示)，其中．设长方体的三条棱长分别为，则有．（1）由② ③得，又，∴，解得．（2）由② ③得，又，∴ ，解得．综上可得．故的取值范围是．选C．点睛：由于长方体的特殊性，因此解题时构造长方体中的四面体是解答本题的关键，借助几何模型使得解题过程顺利完成，这也是解答立体几何问题的常用方法． 10. 从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( ) A. 42种 B. 36种 C. 72种 D. 46种【答案】A 【解析】分以下几种情况：①取出的两球同色，有3种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有种不同的方法，故不同的放法有种．②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法，由于球不同，所以取球的方法数为种；取球后将两球放在袋子中的方法数有种，所以不同的放法有种．综上可得不同的放法有42种．选A． 11. 已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连．由于四边形为矩形，故．在中，，由双曲线的定义可得，∴ ．∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．即双曲线的离心率的取值范围是．选D．点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 12. 已知是函数与图象的两个不同的交点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得，设，则，∴当时函数单调递减，当时函数单调递增，故．设，则，∴ 在上单调递增，∴ ，∴ ．∴ ，∴ ∵ ，故，且在上单调递减，∴ ，即．由，得，故在上单调递增．∴ ．设，可得函数在上单调递减，∴ ，即，又，∴ ，∴ ，即，∴ ，∴ ．综上可得，即所求范围为．选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，则 __________．【答案】 , 【解析】由定积分的运算性质可得．∵函数是定义在上的奇函数，∴ ．又．∴ ．答案： 14. 已知函数，若，则函数的图象恒过定点___．【答案】【解析】∵ ，∴函数图象的对称轴为，∴ ，即，∴ ．在中，令，则．∴函数的图象恒过定点．答案：15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为__________．【答案】【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥．∵正方体的棱长为2，∴ , ∴ ，∴该几何体的表面积为．答案： 16. 若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：① ；② ；③ ；④ . 其中是“柯西函数”的为___．（填上所有正确答案的序号）【答案】① ④ 【解析】设，由向量的数量积的可得，当且仅当向量共线（三点共线）时等号成立．故的最大值为0时，当且仅当三点共线时成立．所以函数是“柯西函数”等价于函数的图象上存在不同的两点，使得三点共线．对于①，函数图象上不存在满足题意的点；对于②，函数图象上存在满足题意的点；对于③，函数图象上存在满足题意的点；对于④，函数图象不存在满足题意的点．图① 图② 图③ 图④ 故函数① ④是“柯西函数”．答案：① ④ 点睛：（1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口．（2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分. 17. 设数列的前项和为，数列的前项和为，满足. (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式. 【答案】(Ⅰ) ，，；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：(Ⅰ)在中，分别令可得到，然后可得到的值．(Ⅱ)先由得到，再由可得，故可得，因此得到数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．试题解析：（Ⅰ）∵ ，，∴ ；∵ ，∴ ；∵ ，∴ ．（Ⅱ）∵ … ① ，∴ …②，∴①-②得，，又也满足上式，∴ …③ ，∴ …④，③-④得，∴ ．又，∴数列是首项为3，公比为的等比数列．∴ ，∴ ．点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是．在应用此结论解题时要注意：若当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示． 18. 某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理. (Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望； (ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 分和两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求．(Ⅱ)(i) 由题意知的所有可能的取值为62，71，80，分别求出相应的概率可得分布列和期望； (ii)由题意得小店一天购进17份食品时，利润的所有可能取值为58，67,76,85，分别求得概率后可得的分布列和期望，比较的大小可得选择的结论．试题解析：（Ⅰ）当日需求量时，利润，当日需求量时，利润，所以关于的函数解析式为．（Ⅱ）（i）由题意知的所有可能的取值为62，71，80，并且，，．∴ 的分布列为： X 62 71 80 P 0．1 0．2 0．7∴ 元．（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为 Y 58 67 76 85 P 0．1 0．2 0．16 0．54∴ 的数学期望为元．由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．∴所以小店应选择一天购进17份． 19. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论．（Ⅱ）运用几何法和坐标法两种方法求解，利用坐标法求解时，在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上，通过图形判断出二面角的大小，最后才能得到结论．试题解析：解法一：（Ⅰ）取中点，连，∵ ，∴ ，∵ 是平行四边形，，，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，∵ ，∴ 平面，∴ . ∵ 分别是的中点，∴ ∥ ，∥ ，∴ ，，∵ ，∴ 平面，∵ 平面，∴平面平面 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴ 是二面角的平面角. , ，，在中，根据余弦定理得，∴二面角的余弦值为．解法二：（Ⅰ）∵ 是平行四边形，，，∴ ，∴ 是等边三角形，∵ 是的中点，∴ ，∵ ∥ ，∴ . 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，设，由，，可得，，，∴ ，∵ 是的中点，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，，∴ 平面，∵ 平面，∴平面平面 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．设是平面的法向量，由，得，令，则．又是平面的法向量，∴ ，由图形知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为 . 20. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2），定值为1. 【解析】试题分析： ....................................... ，根据此式的特点可得当时，为定值．试题解析：（Ⅰ）依题意得、，，∴ ，解得．∵ ，∴ ，∴ ，故椭圆的方程为．（Ⅱ）假设存在满足条件的点 . 当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. 因此直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设、，则，，∵ ，∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法． 21. 已知函数，其中．（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，不等式恒成立．【答案】（1）不能（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）假设函数的图象能与轴相切．设切点为，根据导数的几何意义得到关于的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为 ,设，则问题等价于对任意恒成立，故只需函数在R上单调递增，因此在R上恒成立即可，由可得，即为成立的必要条件，然后再证时，即可得到结论．试题解析：（Ⅰ）∵ ，∴ ．假设函数的图象与轴相切于点，则有，即．显然，将代入方程中可得．∵ ，∴方程无解．故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．（Ⅱ）由题意可得原不等式可化为，故不等式在R上恒成立．设，则上式等价于，要使对任意恒成立，只需函数在上单调递增，∴ 在上恒成立．则，解得，∴ 在上恒成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴ ，即．则当时，，；当时，，．∴ 恒成立．所以实数的最大整数值为3．点睛：（1）解决探索性问题时，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．（2）解答本题的关键是构造函数，将问题转化为函数单调递增的问题处理，然后转化为恒成立，可求得实数a的值．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，分别与曲线交于三点（不包括极点）. (Ⅰ)求证：；(Ⅱ)当时，若两点在直线上，求与的值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：(Ⅰ)由曲线C的极坐标方程可得点的极径，即得到，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据可求得点B,C的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC的直角坐标方程，结合方程可得与的值．试题解析：（Ⅰ）证明：依题意，，，，则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为， . 所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，． 23. 已知函数. (Ⅰ)若，求实数的取值范围；(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得的最小值为，由可得实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由可得，，①当时，不等式化为，解得，∴ ；② 当时，不等式化为，解得，∴ ；③ 当时，不等式化为，解得，∴ . 综上实数的取值范围是．（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．∵不等式恒成立，∴ ，即，解得或．∴ 实数的取值范围是 .。

第1页，总22页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………广东省惠州市2018-2019学年高三理数第三次调研考试试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 若 、 满足约束条件，则 的最大值为（ ）A . 2B . 6C . 7D . 82. 已知直线 过点，当直线 与圆 有两个交点时，其斜率 的取值范围为（ ）A .B .C .D .3. 已知集合 ，集合，则集合 （ ）A .B .C .D .4. 若复数 满足，则在复平面内， 所对应的点在（ ）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. 两个正数 、 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且，则双曲线的离心率 等于（ ）A .B .C .D .答案第2页，总22页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6. 已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于 轴对称，若，则实数 的值为（ ）A .B .C .D .7. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 ，这就是著名的“徽率”。

惠州市2018届高三第三次调研考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

j6XRBgdGCV 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

j6XRBgdGCV 一、选择题<本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）j6XRBgdGCV 1．复数313ii - 的共轭复数是< ） A ．3i -+ B ．3i --C ．3i +D ．3i -2．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则+p q 的值为< ）A ．5 D ．13 j6XRBgdGCV 3．已知集合{}11A =-，，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为< ） A ．{}1-B ．{}1C ．{}11-，D ．{}101-，，4．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则4log (2)f 的值为< ）A ． 14B ． －14C ．2D ．－2j6XRBgdGCV 5．“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的< ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为< ）j6XRBgdGCV A ．19、13 B ．13、19 C ．20、18 D ．18、207．已知x y ，满足约束条件500240x y x y z x y y ++≥⎧⎪-≤=+⎨⎪≤⎩，则的最小值为< ）A ．14-B ．15-C ．16-D ．17-j6XRBgdGCV 8．数列{n a } 中，1(1)21n n n a a n ++-=-，则数列{n a }前12项和等于< ）A ．76B ．78C ． 80D ．82j6XRBgdGCV 二、填空题<本大题共75分，满分30分）j6XRBgdGCV <一）必做题<第9至139．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 ．10．阅读右图程序框图． 若输入5n =，则输出k 的值为________．11．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛线线2y =的焦点为 ．12．已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题 中正确的有 ．①m n m n αα若，，则‖‖‖；②αγβγαβ⊥⊥若，，则‖； ③m m αβαβ若，，则‖‖‖；④m n m n αα⊥⊥若，，则‖． 13．已知函数()212121x x a x f x a a x ⎧+-⎪=⎨⎪->⎩≤，，，．若()f x 在()0+∞， 上单调递增，则实数a 的取值范围为 ． <二）选做题<14～15题，考生只能从中选做一题）14．<几何证明选讲选做题）如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到OD ，则PD 的长为 ．j6XRBgdGCV 15．<坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，则△AOB <其中O 为极点）的面积为 ．j6XRBgdGCV 三、解答题<本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．<本小题满分12分）已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+<其中x ∈R ，0ϕπ<<），且函数24y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称．<1）求ϕ的值； <2）若2(3f πα-=，求sin 2α的值。

绝密★启用前2018届广东省六校第三次联考理科数学满分：150分 考试时间：120分钟命题学校：深圳实验学校注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{(,)|,M x y x y =为实数，且222}x y +=，{(,)|,N x y x y =为实数，且2}x y +=，则M N 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=A ．63B ．45C ．36D ．273．若变量满足约束条件，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．函数1ln sin 1ln xy xx-=⋅+的部分图象大致为,x y 0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩35z x y =+[)3,+∞[]8,3-(],9-∞[]8,9-A ．B ．C ．D ．5．设函数())f x ϕ=+，其中常数ϕ满足0πϕ-<<．若函数()()(g x f x f x '=+（其中()f x '是函数()f xA ．3π-B ．56π-C ．6π-D ．23π-6．执行右面的程序框图，如果输入的a ，b ，k 分别为1，2输出的158M =，那么，判断框中应填入的条件为 A ．n k < B ．n k ≥ C ．1n k <+ D ．1n k ≤+7．已知02012(1i)(2i)(2i)(2i)(2i)n nn b b b b -+=-++-++-+++-+ （2n ≥，i 为虚数单位），又数列{}n a 满足：当1n =时，12a =-；当2n ≥，n a 为22(2i)b -+的虚部．若数列2{}n a -的前n 项和为n S ，则2018S =A ．20172018B ．20182017C ．40352018D ．403320178．如图，在同一个平面内，三个单位向量OA ，OB ，OC满足条件：OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC与的夹角为45°． 若OC mOA nOB =+（,m n R ∈），则m n +的值为A ．3B．．29．四面体ABC S -中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，x ，则x 的取值范围是A ．)41,2(B ．)9,3(C ．)41,3(D ．)9,2(10．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有 A ．42种B ．36种 C ．72种 D ．46种11．已知点F 为双曲线2222:1(,0)x y E a b a b -=>的右焦点，直线(0)y kx k =>与E 交于M ，N 两点，若MF NF ⊥，设MNF β∠=，且[,]126ππβ∈，则该双曲线的离心率的取值范围是A．B．1] C． D．1] 12．已知()()2211,,y x B y x A 、是函数x x x f ln )(=与2)(x kx g =图象的两个不同的交点，则()21x x f +的取值范围是A ．2ln ,2e e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e e e 1,2ln 2 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2ln 2e e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则311[(2)]f x dx x -+=⎰．14．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+，则函数13ax b y ++=恒过定点_____．15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为．16．若函数()f x 的图象上存在不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中1122,,,x y x y 使得1212x x y y +的最大值为0，则称函数()f x 是“柯西函数”．给出下列函数：①()ln (03)f x x x =<<； ②1()(0)f x x x x =+>；③()f x =④()f x =. 其中是“柯西函数”的为（填上所有正确答案的序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分. 17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足2*2n n T S n n N =-∈，．（Ⅰ）求123,,a a a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．18.（12分）某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理． （Ⅰ）若小店一天购进16份，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：份，N n ∈)的函数解析式；（Ⅱ）小店记录了100天这种食品的日需求量(单位：份)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（1）小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望；（2）以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，1AB BC ==，120BAD ∠=，PB PC ==，2PA =，E ，F 分别是AD ，PD 的中点．（Ⅰ）证明：平面EFC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角A BC P --的余弦值．20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，点(2,1)P -满足121PA PA ⋅=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M 、N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，D CPABEF使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.（12分）已知函数2()(1)e 2x a f x x x=--，其中a ∈R ．（Ⅰ）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数a ，使得对任意12,(0,)x x ∈∈+∞R ，不等式1212()()2f x x f x x x+-->-恒成立．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0)απ≤<，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()44ππθϕϕ=-<<，4πθϕ=+，4πθϕ=-分别与曲线C 交于A B C 、、三点(不包括极点O )．（Ⅰ）求证：OB OC OA+=；（Ⅱ）当12πϕ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值．23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()222f x x a x a=+-+-．（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若不等式()2≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围．2018届广东省六校第三次联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．二填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．；14．；15．；16．① ④说明：本参考答案给出一种解法的评分标准，其它解法可参照本评分标准相应评分.三、解答题：共70分．17.（12分）解：（Ⅰ）∵，，∴. ……………1分∵，∴. …………………………………………………2分∵，∴. ……………………………………………4分（Ⅱ）∵…①，…②，∴①-②得，，∵，……………………6分∴…③，……………………………………………………8分…④，③-④得，，. ……………………………………………………………………10分∵，∴是首项3公比的等比数列，，故. ……………………………………………………………………12分18.（12分）解：（Ⅰ）当日需求量时，利润，…………………………1分当日需求量时，利润，…………………………2分所以关于的函数解析式为．……………………3分（Ⅱ）（i）可能的取值为62，71，80，………………………………………………4分并且，，．的分布列为：……………………………………………………7分的数学期望为元．……………………8分（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为Y 58677685的数学期望为元．………11分由以上的计算结果可以看出，，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进17份．………………………………12分19.（12分）解法一：（Ⅰ）取中点，连，∵，∴，∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴平面，∴. ………………………3分∵分别是的中点，∴∥，∥，∴，，∵，∴平面，…………………5分∵平面，∴平面平面. …………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴是二面角的平面角.…………………………………………………7分,，，……………………………………………9分在中，根据余弦定理得，, ………11分∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵∥，∴. ………………………………………………………………………………1分分别以，的方向为轴、轴的正方向，为坐标原点，如图建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………2分则，，，，，设，∵，，解得，，，∴可得，………………………………………………………………4分∵是的中点，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设是平面的法向量，则，∴，…………………………8分令，则，………………………………………………………9分又是平面的法向量，…………………………………………………10分∴，………………………………………………………11分∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分注：直接设点，或者说平面，，酌情扣分.20.（12分）解：（Ⅰ）依题意，、，，∴，………………………………………………2分由，，得，∵，∴，，………………………………………………………………4分故椭圆的方程为．……………………………………………………5分（Ⅱ）假设存在满足条件的点. 当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. …………………………………………………6分因此直线的斜率存在，设：，由，消得，…………………………………………7分设、，则，，∵，………10分∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．…………12分21.（12分）解：（Ⅰ）由于．…………………………………………1分假设函数的图象与轴相切于点，则有，即．………………………………………………3分显然，代入方程中得，．…………5分∵，∴无解．故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．……6分（Ⅱ）依题意，恒成立．……………………………7分设，则上式等价于，要使对任意恒成立，即使在上单调递增，∴在上恒成立．…………………………………………8分则，，∴在上恒成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．…………10分设，则，当时，，当时，，∴，即．那么，当时，，；当时，，．∴恒成立．因此，的最大整数值为3．……………………………………………………12分22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解：（Ⅰ）证明：依题意，，………………………………………………1分，，…………………………………………3分则．…………5分（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，…………6分化直角坐标为，. ………………………………………………7分经过点的直线方程为，…………………………………………8分又直线经过点，倾斜角为，故，. ………………………10分23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）解：（Ⅰ）∵，∴，……………………………………………1分①当时，得，，∴；…………2分②当时，得，，∴；…………3分③当时，得，，∴. …………4分综上所述，实数的取值范围是．……………………………………5分（Ⅱ）∵，根据绝对值的几何意义知，当时，的值最小，……………………………………………………………………7分∴，即，……………………………………………………8分解得或．∴实数的取值范围是. …………10分。

2018 届广东省六校第三次联考理科数学第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 M {( x, y) | x, y 为实数，且x2 y2 2} ，N {( x, y) | x, y为实数，且 x y 2} ，则 M N 的元素个数为( )A． 0 B ． 1 C．2 D．32. 设等差数列a n的前n 项和为S n，若S3 9，S5 30 ,则 a7 a8 a9 ( )A． 63 B ． 45 C ． 36 D ． 27y 03. 若变量 x, y 满足约束条件x 2 y 1 0 ，则 z 3x 5 y 的取值范围是( )x 4 y 3 0A．3， B ．8,3 C ．,9 D．8,94.1 ln | x |) 函数ysin x 的部分图象大致为(1 ln | x |A．B．C.D．5. 设函数f x cos 3x，其中常数满足0 .若函数 g(x) f ( x) f ' (x)（其中 f ' ( x) 是函数 f (x) 的导数）是偶函数，则等于()1A． B ．5D2C. ．3 6 6 36. 执行下面的程序框图，如果输入的a, b, k 分别为1，2，3，输出的M 15, 那么，判断框中8应填入的条件为 ( )A．n k B ． n k C. n k 1 D ． n k 17. 已知nb0 20 b1 2 i b2 22b n 2n1 i i i i （n 2,i 为虚数单位），又数列a n满足：当 n 1 2 ；当 n 2 an2 21为b2 2i的虚部，若数列时，a ，a n 的前 n 项和为S n，则S2018 ( )A． 2017 B ． 2018 C. 4035 D ． 40332018 2017 2018 20178. 如图，在同一个平面内，三个单位向量OA, OB, OC 满足条件： OA 与 OC 的夹角为，且tan7 ， OB 与 OC 与的夹角为45°. 若OC mOA nOB m,n R ，则 m n 的值为( )32C. 3 2 D．2A．3B．2229. 四面体SABC 中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4， x ，则x 的取值范围是() A ．2，41B ． 3，9C.3， 41D ． 2，910. 从 2 个不同的红球、 2 个不同的黄球、 2 个不同的篮球共六个球中任取2 个，放入红、 黄、 蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球， 且球色与袋色不同， 那么不同的放法有( ) A ．42 种B ．36 种C.72种D ．46 种 11. 已知点 F 为双曲线 E :x 2y 2 1 a, b 0 的右焦点，直线 y kx(k 0)与 E 交于 M,Na 2b 2两点，若 MFNF ,设MNF, 且12 ， ，则该双曲线的离心率的取值范围是6( )A ． 2,26B．2,31C.2, 2 6D．2,3112. 已知 A x 1, y 1 、 B x 2 , y 2 是函数 f xln x与 k图象的两个不同的交点，则xg xx 2f x 1 x 2 的取值范围是()A ． e 2B ．e 2 1C.1 2 ln ,2 ln , e0， eeee 2 D ．ln ,02e第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数 yf ( x) 是定义在 R 上的奇函数，则3 21 dx ．f x1x14. 已知函数 f xa sin xb cosx ，若 fx f x ，则函数 y 3ax b 1 恒过定点．4415. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为．316. 若函数 f x 的图象上存在不同的两点A x 1 , y 1 ,B x 2 , y 2 ，其中 x 1 , y 1, x 2 ,y 2 使得 x 1x 2 y 1 y 2x 12 y 12x 22 y 22 的最大值为 0，则称函数 f x 是“柯西函数” . 给出下列函数：① f x ln x 0 x 3 ；② f xx 1 x0 ；x③ f x2 x 2 8 ；④ f x2 x 28 .其中是“柯西函数”的为（填上所有正确答案的序号）．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）17. 设数列 a n 的前 n 项和为 S n ，数列 S n 的前 n 项和为 T n ，满足 T n 2S n n 2, n N.( Ⅰ ) 求 a 1 , a 2, a 3 的值；( Ⅱ ) 求数列a n 的通项公式.18. 某小店每天以每份 5 元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10 元的价格出售 . 如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1 元的价格退回食品厂处理 .( Ⅰ 若小店一天购进 16 份，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 （单位：份，n N ） )n的函数解析式；4( Ⅱ ) 小店记录了 100 天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16 份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望；(ii) 以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16 份还是 17 份？19 如图，在四棱锥P A BCD 中， ABCD 是平行四边形，AB BC 1, BAD 120 ，PB PC2,PA 2, E,F 分别是 AD, PD 的中点.( Ⅰ ) 证明：平面EFC平面PBC；5( Ⅱ) 求二面角A BC P 的余弦值.20. 已知椭圆 C :x2y 2 1 a b 0 的离心率为 3， A 1、A 2 分别为椭圆 C 的左、右顶点a 2b 22点P2, 1 满足 PA 1 PA 2 1. ( Ⅰ) 求椭圆C 的方程；( Ⅱ ) 设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M 、 N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得 QM 与直线 QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明 理由 .21. 已知函数f xx1 exax 2，其中a R .2( Ⅰ ) 函数fx 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由；6( Ⅱ ) 求最大的整数 a ，使得对任意 x 1 R, x 2 0,，不等式 f x 1 x 2 f x 1 x 22x 2恒成立 .请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程x m t cos），以坐标原点为极点，以 x已知直线 l 的参数方程为（ t 为参数，y t sin轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4cos ，射线 4, ， 分别与曲线 C 交于 A 、 B 、 C 三点（不包括极点 444O ） .(Ⅰ)求证：OBOC 2OA ；7( Ⅱ ) 当时，若B、C两点在直线l 上，求m与的值.12已知函数 f x 2x a 2 x 2a .( Ⅰ ) 若f 13 ，求实数a的取值范围；( Ⅱ ) 若不等式f x 2恒成立，求实数a的取值范围.2018 届广东省六校第三次联考理科数学参考答案一、选择题1-5: BADAA6-10: CCBCA 11、12：DD8二、填空题13. ln 314.1，315.42 23 216.①④三、解答题17.解：(Ⅰ)∵ S 1 T 12 S 1 1 , S 1 1 a 1 ，∴ a 1 1. ∵ S 1 S 2 T 2 2S 2 4 , ∴ a 2 4 .∵ S 1S 2 S 3 T 3 2S 3 9 , ∴ a 3 10 .( Ⅱ ) ∵ T n 2S n n 2①， T n12S n 1x 1 2, ②，∴① - ②得， S n 2a n 2n 1 n2，∵S 12a 1 2 1 1 ，∴ S n2a n 2n 1 n 1 , ③，Sn 1 2a n 1 2n 3,④，③ - ④得， a n2a n12 n2 ，a n 2 2(a n 1 2) .12 3 ，∴a n 2是首项3 公比 2 的等比数列，a n 23 2n 1 ，∵ a故a n 32n 12 .18. 解： ( Ⅰ ) 当日需求量 n 16 时，利润 y 80 ，当日需求量 n16 时，利润 y 5n 4(16 n) 9n 64 ，所以 y 关于 n 的函数解析式为y9n 64, n16N .80, n 16 n( Ⅱ )(i) X 可能的取值为 62， 71，80，并且PX62 0.1, P X 710.2, P X80 0.7 . X 的分布列为：X 62 71 80 P0.10.20.7X 的数学期望为 E X62 0.1 71 0.2 80 0.7 76.4 元 .(ii) 若小店一天购进17 份食品， Y 表示当天的利润（单位：元） ，那么 Y 的分布列为9Y 58 67 76 85 P0.10.20.160.54Y 的数学期望为 E Y 58 0.1 67 0.2 76 0.16 85 0.54 77.26 元.由以上的计算结果可以看出，E X E Y , 即购进 17 份食品时的平均利润大于购进 16 份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进17份. 19.解法一： (Ⅰ)取BC 中点G ，连PG,AG,AC ,∵PBPC ,∴ PG BC , ∵ ABCD 是平行四边形， AB BC 1 , BAD 120,∴ ABC 60,∴ ABC 是等边三角形，∴ AG BC ,∵ AG PG G ,∴BC 平面 PAG ,∴ BCPA .∵ E,F 分别是 AD,PD 的中点 ,∴ EF // PA ,EC// AG , ∴BC EF , BC EC ,∵EF EC E ,∴BC 平面EFC , ∵ BC 平面 PBC , ∴平面 EFC 平面 PBC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知PGBC,AG BC , ∴ PGA 是二面角 A BC P 的平面角.∵PG21 7,AG3,PA 2,422在 PAG 中，根据余弦定理得PG 2 AG 2 PA 221,cos PGA,2PG AG 7102018 届广东省六校第三次联考理科数学及答案解析∴二面角 A BC P 的余弦值为21. 7解法二：( Ⅰ ) ∵ABCD是平行四边形，AB BC1 ,BAD 120 ，∴ADC60 ,∴ADC 是等边三角形，∵E是AD的中点，∴CE AD,∵AD//BC,∴CE BC.分别以 CE,CB 的方向为x轴、y轴的正方向，C 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则C 0,0,0 ,E3,0,0 ,A3,1,0 , D 3 ,1,0 ,2 2 2 2 22 2 23 , y 1 , z 1，设 P x, y, z ，∵ PB PC 2 , PA 4 ,解得x2 2∴可得 P3,1,1 , 2 2∵ F 是 PD 的中点，∴F 0,0,1,∵CB CF 0,∴CB CF,∵CE BC,2CE CF C,∴BC 平面 EFC ,∵ BC 平面 PBC ,∴平面 EFC 平面 PBC .(Ⅱ)由(Ⅰ)知，CB 0,1,0 , CP 3,1,1 , 设n x, y, z 是平面 PBC 的法向量，则2 2112018 届广东省六校第三次联考理科数学及答案解析 CB n ，∴ CB n y 03 x ，CP n CP n 1 y z 02 2令 x 2 ，则n ( 2,0, 3) ，又 m (0,0,1) 是平面ABC 的法向量，∴ cos m, n m n 21m n ，7∴二面角 A BC P 的余弦值为 21 .7注：直接设点 F 0，0，z ，或者说 CF 平面 ABCD , PA AD ，酌情扣分 .20. 解： ( Ⅰ ) 依题意， ,0 、 ， ， ，A 1a A 2 a,0 P 2 1∴ PA 1 PA 2 （ a 2,1) a 2,1 5 a 2 ,由 PA 1PA 2 1, a 0 , 得 a 2 ，∵ e c 3a ，2∴ c 3,b 2 a 2 c 2 1 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 1 .4( Ⅱ ) 假设存在满足条件的点 Q t,0 . 当直线 l 与 x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意.因此直线 l 的斜率 k 存在，设 l : y y 1 k(x 2)1 k( x 2) ，由 x2 y 2，消 y 得141 4k2 x 2 16k 2 8k x 16k2 16k 0 ，设 M x 1 , y 1 、N x 2 , y 2 ，则 x 1 x 2 16k 2 8k , x 1x 2 16k 2 16k1 4k2 1 4k 2，∵ k QM k QN y 1 y 2 kx 1 2k 1 x 2 t kx 2 2k 1 x 1 tx 1 t x 2 t x 1 t x 2 t122kx1x2 2k 1 kt x1 x2 2 2k 1 t 4t 8 k 2t，x1x2 t x1 x2 t 2 4 t 2 2 k 2 8 2 t k t 2∴要使对任意实数k,k QMk QN为定值，则只有t 2 ，此时， k QMkQN 1 .故在 x 轴上存在点Q2,0 , 使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值 1.21.解： ( Ⅰ ) 由于f '( x) xe x ax .假设函数 f x 的图象与 x 轴相切于点t,0 ，f (t ) 0t 1e'at20.2则有f '(t)，即0 te' at 0显然 t 0, e' a 0 代入方程t 1 e' at2 0 中得， t 2 2t 2 0 . 2∵ 4 0 ，∴无解．故无论 a 取何值，函数 f x 的图象都不能与x 轴相切. ( Ⅱ ) 依题意，f x1 x2 f x1 x2 x1 x2 x1 x2f x1 x2 x1 x2 f x1 x2 x1 x2 恒成立 .设 g x f (x) x ，则上式等价于g x1 x2 g x1 x2 ，要使 gx1 x2 g x1 x2, 0, 恒成立，即使 g x x a 2x 在R上单调递增，对任意x 1 e x x1 R x2 2∴ g'( x) xe x ax 1 0在R上恒成立.则 g' (1) e a 1 0, a e 1 ，∴ g' ( x) 0 在R上成立的必要条件是： a e 1 . 下面证明：当 a 3时， xe x 3x 1 0恒成立.设x，则xh x e x 1'(x)e1 ，当x 0时， h' (x) 0，当x 0时， h' ( x) 0 ，h∴ h(x)min h(0) 0 ，即x R,e x x 1. 那么，当 x 0 时，xe x x2 x, xe x 3x 1 x2 2x 1 x 1 2 0 ；当 x 0 时， e x 1, xe x 3x 1 x(e x 3 1 ) 0 ，∴ xe x 3x 1 0 恒成立 .x因此， a 的最大整数值为 3.22. 解： ( Ⅰ ) 证明：依题意，OA 4cos ，13OB 4 cos , OC 4 cos4 ，4则 OB OC 4 cos4 4 cos44 2 cos 2OA .(Ⅱ)当12 时， B、 C 两点的极坐标分别为2，，2 3，，3 6化直角坐标为B1，3，C 3， 3 .经过点 B、 C 的直线方程为y 3 x 2 ，又直线 l 经过点m,0 ，倾斜角为，故 m 2, 2. 323. 解： ( Ⅰ ) ∵f 1 3 ，∴ a 1 2a 3 ，①当 a 0 时，得 a (1 2a) 3, a 2，∴2a 0 ；3 3②当 01时，得 a (1 2a) 3, a2 ，∴0 a1a ；2 2③当 a 1(1 2a) 3, a4 1a4 时，得 a3，∴.2 2 3综上所述，实数 a 的取值范围是2 4. 3，3( Ⅱ ) ∵f xa1 x 2a ，根据绝对值的几何意义知，当x 1ax 的值2 x 时， f2 2最小 ,∴ f 1 a 2，即1 5a 2 ，2 2解得 a 6 2, 26,.或 a . ∴实数a的取值范围是5 5 5 514。