高考理科数学第二轮综合验收评估复习题9

适用精选文件资料分享2012 届高考理科数学第二轮综合查收评估复习题（有参照答案）一、选择题 1 ．f(x) ＝x(2 011 ＋ln x)，若f′(x0)＝ 2 012，则x0等于 A ．e2 B ．1 C．ln 2 D．e 分析 f ′(x)＝2 011 ＋ln x ＋x×1x＝ 2 012 ＋ln x ，故由 f ′(x0) ＝ 2 012，得 2 012＋ln x0＝2 012，因此 ln x0＝0，解得 x0＝1，应选 B. 答案B 2．(2011?湖南 ) 曲线 y＝sin xsin x＋cos x－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为 A ．－ 12 B.12 C ．－ 22 D.22 分析y′＝x＋－－＋＝＋，∴曲线在点 Mπ4， 0 处的切线的斜率为 12. 答案 B 3．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f ′(x) ＝ 2x＋1，则 12f( －x)dx的值等于 A.56 B.12 C.23 D.16 分析 f ′(x) ＝ mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴ f(x) ＝x2＋x， f(－x) ＝x2－x，∴ 12f( －x)dx ＝12(x2 －x)dx ＝13x3－12x221＝56，应选 A. 答案 A 4．(2011?海淀模拟 ) 已知点 P2 012π3，－ 1 在函数 f(x) ＝acos x 的图象上，则该函数图象在 x＝3π4 处的切线方程是 A ．2x＋2y＋4－3π2＝0 B．2x－2y＋4－3π2＝0 C．2x－2y－4－3π2＝0 D．2x＋2y－4－3π2＝0分析由点 P 在函数 f(x) 的图象上，可得 f2 012π3＝－ 1，即 acos2 012 π3＝acos 670 π＋2π3＝－ a2＝－ 1，解得 a＝2. 故 f(x) ＝2cos x.因此f3π4＝2cos 3π4＝－2，f′(x)＝－2sin x.由导数的几何意义，可知该函数图象在 x＝3π4 处的切线斜率 k＝f ′3π4 ＝－ 2sin 3 π4＝－ 2. 因此切线方程为 y－( －2) ＝－ 2x－3π4，即2x＋y＋2－32π4＝0，也就是 2x＋2y＋4－3π2＝0，应选 A. 答案 A 5．(2011?浙江模拟 ) 设函数 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a ，b，c∈R)，若 x ＝－ 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则以下图象不行能为 y＝f(x)图象的是分析设 h(x) ＝f(x)ex ，则 h′(x) ＝ (2ax ＋b)ex ＋(ax2 ＋bx＋c)ex＝(ax2 ＋2ax＋bx＋b＋c)ex. 由 x＝－ 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，适合 x＝－ 1 时， ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴ c＝a. ∴f(x) ＝ax2＋bx＋a. 若方程 ax2＋bx＋a＝ 0 有两根 x1，x2，则 x1x2＝aa＝1，D中图象必定不满足该条件．答案 D 6．(2011?湖南 ) 设直线 x＝t与函数 f(x) ＝x2，g(x) ＝ln x 的图象分别交于点 M，N，则当 |MN|达适用精选文件资料分享到最小时 t 的值为 A ．1 B.12 C.52 D.22 分析由题意画出函数图象以以下图，由图可以看出 |MN|＝y＝t2 －ln t(t ＞0) ． y′＝ 2t－1t ＝2t2 －1t ＝2t ＋22t －22t. 当 0＜t ＜22 时，y′＜ 0，可知 y 在此区间内单调递减；当 t ＞22 时， y′＞ 0，可知 y 在此区间内单调递加．故当 t ＝22 时，|MN|有最小值．答案 D 二、填空题 7 ．如图，直线 y＝1 与曲线 y＝－ x2＋2 所围图形的面积是 ________．解析令－ x2＋2＝1，得 x＝± 1，答案 43 8．已知函数 f(x) ＝12mx2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为________．分析当x＞0时，f′(x)＝mx＋1x－2≥0恒成立，即m≥－ 1x2＋2x 恒成立，又∵－ 1x2＋2x＝－ 1x－12＋1≤1，∴ m≥1.答案 m≥1 9 ．函数 f(x) ＝excos x 的图象在点 (0 ，f(0)) 处的切线的倾斜角为 ________．分析 f ′(x) ＝ excos x ＋ex( －sin x)，设切线的倾斜角为α，则 k＝ tan α＝f ′(0) ＝ 1，又α∈(0 ，π) ，∴α＝π4. 答案π4 三、解答题 10 ．(2011?江苏 ) 请你设计一个包装盒，以以下图， ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E，F 在 AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x(cm) ． (1) 某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2) 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．分析设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 由已知得 a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x) ，0＜x＜30. (1)S ＝4ah＝8x(30 －x) ＝－ 8(x －15)2＋1 800 ，因此当 x＝15 时， S获得最大值． (2)V ＝a2h＝22( －x3＋30x2) ，V′＝ 62x(20 －x) ．由 V′＝ 0，得 x＝0( 舍) 或 x＝20. 当x∈(0,20) 时， V′＞ 0；当 x∈(20,30) 时， V′＜ 0. 因此当 x＝20时，V获得极大值，也是最大值．此时 ha＝12. 即包装盒的高与底面边长的比值为 12. 11 ．已知函数 f(x) ＝12x2－3x＋2ln x. (1) 求函数 f(x) 在[1 ，e] 上的最大值和最小值； (2) 求证：在区间 [1 ，＋∞) 上，函数 f(x) 的图象在函数 g(x) ＝x3－3x 图象的下方．分析 (1) 由 f(x) ＝12x2－3x＋2ln x ，知 f ′(x) ＝ x＋2x－3＝x2－3x＋2x＝－－当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，∴ f(x)在[1,2]上是减函数；当x∈(2，e)时，f′(x)＞0，∴ f(x)在[2，e]上是增函数．∴当 x＝2 时，f(x)min ＝f(2) ＝2ln 2－4. 又 f(1) ＝－ 52，f(e)＝12e2－3e＋2， f(e) －f(1) ＝12e2－3e＋2－－ 52 ＝12(e2 －6e＋9) ＝12(e －3)2 ＞0，∴f(e) ＞f(1) ，∴ f(x)max ＝ f(e) ＝12e2－3e＋2. 综上，函数 f(x) 在[1 ，e] 上的最大值为 12e2－3e＋2，最小值为2ln 2 －4.(2) 证明设F(x)＝12x2－3x＋2ln x－x3＋3x，则F′(x)＝－3x2＋x＋2x＝－ 3x3＋x2＋2x＝－－＋2x＋当x∈(1，＋∞ ) 时， F′(x) ＜ 0，∴ F(x) 在[1 ，＋∞ ) 上是减函数，且F(1)＝－12＜0，故当 x∈[1 ，＋∞ ) 时， F(x) ＜0，∴12x2－3x＋2ln x ＜x3－3x. ∴在区间 [1 ，＋∞ ) 上，函数 f(x) 的图象在函数 g(x) ＝x3－3x 图象的下方． 12 ．设 f(x) ＝ex－1. (1) 当 x＞－ 1 时，证明： f(x)＞2x2＋x－1x＋1； (2) 当 a＞ln 2 －1 且 x＞0 时，证明： f(x)＞x2－2ax. 证明 (1) 当 x＞－1 时，f(x) ＞2x2＋x－1x＋1，即 ex－1＞2x2＋x－1x＋1＝2x－1，故结论成立当且仅当 ex＞2x，即 ex－2x＞0. 令 g(x) ＝ex－2x，则 g′(x) ＝ex－2. 令 g′(x) ＝ 0，即ex－2＝0，解得 x＝ln 2. 当 x∈( － 1，ln 2) 时，g′(x) ＝ ex－2＜0，故函数 g(x) 在( －1，ln 2] 上单调递减；当 x∈(ln 2，＋∞ ) 时，g′(x)＝ex－2＞0，故函数 g(x) 在[ln 2 ，＋∞ ) 上单调递加．因此 g(x)在( －1，＋∞ ) 上的最小值为 g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0，因此在 ( －1，＋∞ ) 上有 g(x) ≥g(ln 2) ＞ 0，即 ex＞2x. 故当x∈( － 1，＋∞ ) 时，有 f(x) ＞2x2＋x－1x＋1. (2)f(x)＞x2－2ax，即 ex－1＞x2－2ax，也就是 ex－x2＋2ax－1＞0. 令 g(x) ＝ex－x2＋2ax－1，则 g′(x) ＝ ex－2x＋2a. 令 h(x) ＝ex－2x＋2a，则 h′(x)＝e x－2. 由(1) ，可知当 x∈( －∞， ln 2) 时，h′(x) ＜ 0，函数 h(x)单调递减；当 x∈(ln2，＋∞ ) 时，h′(x) ＞ 0，函数 h(x) 单调递加．所以 h(x) 的最小值为 h(ln 2) ＝eln 2 －2ln 2 ＋ 2a＝2－2ln 2 ＋2a. 因为 a＞ln 2 －1，因此 h(ln 2) ＞2－2ln 2 ＋2(ln 2 －1) ＝0，即 h(x)≥h(ln 2) ＞ 0. 因此 g′(x) ＝ h(x) ＞0，即 g(x) 在 R 上为增函数．故g(x) 在(0 ，＋∞ ) 上为增函数，因此 g(x) ＞g(0) ．而 g(0)＝0，因此 g(x) ＝ex－x2＋2ax－1＞0，即当 a＞ln 2－1 且 x＞0 时，f(x) ＞x2－2ax.。

2023届江西省名校协作体高三二轮复习联考（二）理科数学试题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}2Ax x =≤，集合{}2log (1)B x y x ==-，则A B ⋂=（）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≤-C ．{}21x x -≤<D ．{}2x x ≥2．已知复数(1i)(2i)z m =+⋅-在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m 的取值范围为（）A ．2m >B ．02m <<C ．22m -<<D ．2m <-3．“12a b +>-”是a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．抛物线2y x =的焦点坐标为（）A ．10,4⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭5．已知数列{}n a 满足11a =，121nn n a a a +=+，则5a =（）A ．17B ．18C ．19D ．1106．某工艺品修复工作分为两道工序，第一道工序是复型，第二道工序是上漆．现甲，乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件工艺品的修复工作，每件工艺品先由甲复型，再由乙上漆．每道工序所需的时间（单位：h ）如下：则完成这三件工艺品的修复工作最少需要（）A ．43hB ．46hC ．47hD ．49h 7．一个四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥中最长棱的棱长为（）A ．6B ．3C ．22D ．328．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()cos 2|sin |f x x x =+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的最大值为32D ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减9．已知点P 为直线:10l x y -+=上的动点，若在圆22:(2)(1)1C x y -+-=上存在两点M ，N ，使得60MPN ∠=︒，则点P 的横坐标的取值范围为（）A ．[2,1]-B ．[1,3]-C ．[0,2]D ．[1,3]10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，14AB AA ==，平面1ABC 截三棱柱111ABC A B C -的外接球所得截面的面积为（）A ．165πB ．285πC ．365πD ．8π11．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2428n n n S a a =+-，从{}n a 中选出以1a 为首项，以原次序组成等比数列1k a ，2k a ，…，m k a ，…，()11k =．记{}m k a 是其中公比最小的原次序组成等比数列，则m k =（）A ．22m -B ．22m +C ．21m-D ．21m+12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()2sin f x f x x --=，且在[0,)+∞上()cos f x x '>．若()cos sin 2f t f t t t π⎛⎫-->- ⎪⎝⎭，则实数t 的取值范围为（）A ．,4π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．,4π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学二轮复习综合验收试题（6） 理 新课标数学（理）综合验收试题（6）【新课标】第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。

满分100分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x y R =-=∈，则集合A B =（ ）A ．)0,0(B ．{}0C ．{})0,0(D ．∅2．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为（ ） A ．4B ．4+4iC ．4-D ．2i3．由函数3cos ,(02)12y x x x y ππ=≤≤==的图象与直线及的图象所围成的一个封闭图形的面积（ ）A ．4B ．123+πC ．12π+ D ．π24．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β B ．当α⊂b 时，若b ⊥β，则βα⊥C ．当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c5．已知θ是第三象限角，m =|cos |θ，且02cos 2sin >+θθ，则2cos θ等于（ ）A ．21m+B ．21m+-开始输出a ，ii =1 a =m ×in 整除a ?输入m ，n 结束 i = i +1 是 否（第6题图）C ．21m-D ．21m-- 6．执行如图所示的算法程序,输出的结果是（ ） A ．24,4 B ．24,3 C ．96,4 D ．96,37．已知关于x 的方程2(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈的两根分别为1x 、2x ，且1201x x <<<，则ba的取值范围是 （ ）A ．]21,2[--B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．]2,21[D ．)2,21( 8．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）。

2023年内蒙古呼和浩特市高考数学第二次质检试卷（理科）1. 已知全集，集合，则( )A. B. C.D. 2. 已知复数z 满足，则z 的虚部为( )A.B. 2iC.D. 23. 如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图数据来自国家统计局根据该折线图，下列说法错误的是( )A. 城镇人口与年份呈现正相关B. 乡村人口与年份的相关系数r 接近1C. 城镇人口逐年增长率大致相同D. 可预测乡村人口仍呈现下降趋势4. 函数在上的图象大致为( )A. B.C. D.5. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为1，则输出n 的值( )A. 3B. 2C. 5D. 46. 若双曲线：的右焦点与抛物线；的焦点重合，则实数( )A. B. C. 3 D.7. 意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…，在实际生活中，很多花朵如梅花，飞燕草，万寿简等的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则( )A. 2025B. 2026C. 2028D. 20248. 已知向量，，若，且，则实数( )A. 3B.C. 5D.9. 已知角，且点在直线上，则( )A.B.C.D.10. 已知三棱锥中，，，，，且平面平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.11. 用五种不同颜色颜色可以不全用完给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有( )A. 840B. 1200C. 1800D. 192012. 已知函数，若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.13. 若的展开式中的系数为，则______.14. 已知和均为等差数列，，，，则数列的前60项的和为______ .15. 一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值.直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数.例如：中位数就是一个分位数年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高.他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是______ .16. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新如图所示，设计师的灵感来源于曲线C：当，，时，下列关于曲线的判断正确的有______ .①曲线C关于x轴和y轴对称；②曲线C所围成的封闭图形的面积小于8；③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为；④设，直线交曲线C于P、Q两点，则的周长小于8.17.如图，在直三棱柱中，，，，点D为AB的中点.求证平面；求二面角的余弦值.18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知外接圆的半径为1，且求角A；若，AD是的内角平分线，求AD的长度.19. 文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N个字脱落.若，用随机变量X表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X的分布列及期望；若，假设某同学捡起后随机贴回，求标语恢复原样的概率.20. 已知函数，若，判断函数的单调性；当时，求函数的最小值，并证明：21. 已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l 交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点.若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；若，且MN恰好被AB平分，求的面积.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；设直线l：为参数与曲线，的交点从上到下依次为P，M，N，Q，求的值．23. 已知函数求不等式的解集；设的最小值为M，若正实数a，b满足，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，所以故选：先化简集合A，再求其补集即可．本题主要考查补集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，则，其虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份呈现正相关，故A正确；对于B选项，因为乡村人口与年份呈负线性相关关系，且线性相关性很强，所以r接近，故B错误；对于C选项，城镇人口与年份呈现正相关，且线性相关性很强，相关系数r接近1，故城镇人口逐年增长率大致相同，故C正确；对于D选项，由折线图可知，乡村人口与年份呈负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，故D正确．故选：根据折线图判断乡村人口与年份、城镇人口与年份的相关关系以及线性相关关系的强弱，逐项判断可得出合适的选项．本题主要考查折线图的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，，，则，则函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D，，排除B，在区间上，，，有，函数图象在x轴上方，排除A，故选：根据题意，先分析函数的奇偶性排除D，求出的值排除B，进而可得在区间上，有，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，一般用间接法分析，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：模拟执行程序框图的运行过程，如下：，，，，，，，，，，，，终止循环，输出故选：模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出n的值．本题考查了程序框图的应用问题，模拟执行程序框图的运行过程是解题的常用方法，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合知的焦点在x轴上，对双曲线表达式进行变形，求出，再令即可求解．本题主要考查双曲线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．【解答】解：双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以双曲线的方程可化为，所以，，所以，所以，所以平方得故选：7.【答案】D【解析】解：已知斐波那契数列满足：，，，则，即故选：先阅读题意，然后结合数列的递推式求解即可．本题考查了数列的递推式，重点考查了阅读理解能力，属基础题．8.【答案】B【解析】解：，，则，解得故选：计算，根据垂直得到，解得答案．本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：点在直线上，将坐标代入直线方程得：，即，可得，解得，又，，则故选：由点在直线上，将点的坐标代入直线方程，再利用二倍角公式，将所求式子分母“1”利用同角三角函数间的基本关系化为，分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，分子分母同时除以，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，可求的值，进而根据两角和的正切公式即可求解．此题考查了二倍角公式，两角和的正切公式以及同角三角函数间的基本关系在三角函数求值中的应用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：在中，由余弦定理得，又，为直角三角形，，又平面平面ABC且交于AB，平面PAB，设的外接圆的圆心为M，半径为r，则，，且三棱锥的外接球的球心在过点M的平面PAB的垂线上，如图所示：，因为平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为，即，设几何体的外接球半径为R，在中，则，所求外接球的表面积，故选：先求出AB，得到为直角三角形，所以平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为，再利用正弦定理求出的外接圆半径为r，利用勾股定理即可求出几何体的外接球半径为R，从而得到外接球的表面积．本题主要考查了三棱柱的外接球，是中档题．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，涉及棱柱的几何结构，属于基础题．根据题意，分3种情况讨论：①若5种颜色都用上；②若5种颜色只用4种；③若5种颜色只用3种这三种情况，分别求得结果，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①，若5种颜色都用上，先涂A、B、C，有种选法，再涂D、E、F中的两个点，有种选法，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共种涂色方法；②，若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，有种选法，先涂A、B、C，有种选法，再涂D、E、F中的1个点，有3种选法，最后剩余的2个点只有3种涂法，故此时方法共种涂色方法；③，若5种颜色只用3种，首先选出4种颜色，有种选法，先涂A、B、C，有种选法，再涂D、E、F，方法有2种，故此时方法共种涂色方法；则不同涂色方案共有种；故选：12.【答案】A【解析】解：因为，所以，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，递减；所以当时，取得极大值，图象如图所示：方程，即为，解得或，由函数的图象知：只有一个解，所以有两个解，所以，解得故选：先利用导数画出图象，由方程，解得或，根据题意，由有两个解求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．13.【答案】【解析】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的系数为，则，故答案为：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的系数，再根据展开式中的系数为，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】7260【解析】解】和均为等差数列，则是等差数列，首项为，公差为，故前60项的和为故答案为：确定是等差数列，计算首项和公差，求和得到答案．本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．15.【答案】6【解析】解：依题意这10个数据从小到大排列为4、5、6、7、8、8、9、9、10、10，又，所以这组数据的分位数是第3个数故答案为：首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得．本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．16.【答案】①②③【解析】解：曲线C：，对①：取曲线上点，则，在曲线上，故曲线C关于x轴和y轴对称，正确；对②：取，，取，，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故其面积小于，正确；对③：设曲线上一点为，则，设，M 到原点的距离的平方为，，，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，正确．对④：对于曲线和椭圆，设点在上，点在上，，故，所以，设点在上，点在上，，所以，即，故椭圆在曲线内除四个交点外，如图：设直线交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于，M ，N 为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义可知：，，所以的周长为8，由图可知，的周长不小于8，错误；故答案为：①②③．确定，在曲线上，①正确，曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④错误，得到答案．本题考查了超椭圆的概念，对称性，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定椭圆在曲线内，再利用椭圆的知识求解是解题的关键．17.【答案】解：证明：三棱柱为直三棱柱，平面ABC ，，，，，，，又，平面，平面，，又四边形为正方形，，，AC，平面，平面；以C为坐标原点，直线CA，CB，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，，，二面角的余弦值为【解析】确定，，可得平面，得到，再根据，可得结论成立；建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案．本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：，则，即，则由余弦定理可得，所以又，，所以，即，又，所以由正弦定理可得：，解得，，，故B为锐角，，在中，，AD是的内角平分线，故，，故【解析】根据正弦定理和余弦定理得到，整理得到，得到答案．根据正弦定理得到，，计算角度得到，得到答案．本题主要考查三角形中的几何计算，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：随机变量X的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列如下表：X012P随机变量X的期望为设脱落一个“学”为事件A，脱落一个“好”为事件B，脱落一个“数”为事件C，事件M为脱落两个字，，，，，，所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为【解析】随机变量X的可能取值为0，1，2，，求出对应的概率，即可求解分布列及数学期望；根据掉落的两个字的不同情况进行分类讨论求解．本题主要考查离散型随机变量分布列及其数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：，即，因为，所以在上成立，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以在上单调递增，在上单调递减．证明：当时，，，由可得在上单调递增，在上单调递减，，，所以，即，即，即，要证明，只需证在上恒成立，令，则，所以单调递减，所以，所以恒成立，所以，原不等式得证．【解析】求导得，由，得在上成立，分析的符号，的单调性．当时，，，由单调性可得，即，即，要证明，只需证在上恒成立，即可得出答案．本题题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】解：在椭圆中，，所以，由，得；设直线l：，，，联立方程，消去x得，，则，设AB的中点，则，，设，，则直线MN的斜率为，，，相减得到，即，即，解得，由点G在椭圆内，得，解得，因为，所以p值是1，所以面积【解析】计算焦点得到，解得答案；设直线l：，联立方程得到根与系数的关系，设AB的中点，代入计算得到，由点G在椭圆内，得到，确定，再计算面积得到答案．本题主要考查了椭圆和抛物线方程，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，属于中档题．22.【答案】解：将曲线的参数方程为为参数中的参数消去，可得由，得，又，，得曲线的直角坐标方程为；将代入，得解得，；由t的几何意义可得：；同理将代入，得，解得，故【解析】直接把曲线的参数方程中的参数消去，可得曲线的普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程；把直线l的参数方程分别代入曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程，利用此时t的几何意义求解与，再由求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：，当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，，解得；综上，所求不等式的解集为；证明：由可知的最小值为，正实数a，b满足，即，所以，，当且仅当时取等号．所以【解析】将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；分析可知的最小值为1，进而可得，再由基本不等式转化求证即可．本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，考查分类讨论思想及推理论证能力，属于中档题．。

综合验收评估复习题一、选择题1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数解析 至少有一个的否定是一个也没有，即a ，b ，c 都不是偶数． 答案 B2．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x3＋x 3＋27x 3≥4，……类比有x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 等于 A ．n B ．2n C ．n 2D ．n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n.答案 D3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到△ABC 为钝角三角形的结论，三边a 、b 、c 应满足的条件是A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析 a 为最大边，则角A 为最大角，若△ABC 为钝角三角形，则角A 必须为钝角，故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，所以b 2＋c 2－a 2＜0⇔a 2＞b 2＋c 2，选C.答案 C4．下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色的正方形个数为A ．5n ＋3B ．5nC ．3n ＋5D ．3n解析 由题意可知，每个图案都是3行，第一个图案有3列，第二个图案有5列，第三个图案有7列，…所以第n 个图案有2n ＋1列，所以第n 个图案中正方形的个数为3(2n ＋1)＝6n ＋3，又知第n 个图案中有n 个黑色小正方形，所以第n 个图案中白色正方形的个数为6n ＋3－n ＝5n ＋3.答案 A5．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为A.a 316B.a 38C.a 34D.a 32解析 由平面类比到空间，将面积和体积进行类比，容易得出两个正方体重叠部分的体积恒为a 38，所以选B. 答案 B6．(2011·福建)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2解析 ∵f (1)＝a sin 1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin 1－b ＋c ， 且c 是整数，∴f (1)＋f (－1)＝2c 是偶数． 在选项中只有D 中两数和为奇数，不可能是D. 答案 D 二、填空题7．(2011·山东)设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n.所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝xn－x ＋2n.答案xn－x ＋2n8．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(a n ，b n ，c n )．(1)请写出c n 的一个表达式，c n ＝________.(2)若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10＝________.(用数字作答) 解析 (1)通过观察归纳，得a n ＝n ，b n ＝2n ，c n ＝a n ＋b n ＝n ＋2n. (2)M 10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101. 答案 n ＋2n；2 1019．经过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为________．解析 过圆上一点(x 0，y 0)的切线方程是把圆的方程中的x 2，y 2中的一个x 和一个y 分别用x 0，y 0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点(x 0，y 0)的切线方程也是把椭圆方程中的x 2，y 2中的一个x 和一个y 分别用x 0，y 0代替，即得到切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. 答案 x 0x a 2＋y 0y b 2＝1三、解答题10．已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，令b n ＝na 1a 2…a n ，则数列{b n }(n ∈N ＋)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解析 由题意，得等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，令b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }(n ∈N ＋)也是等差数列．设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn＝na 1＋n n －2dn ＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．故所得命题成立．11．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． 解析 (1)证明 假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列， 则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾， 所以{a n }不是等比数列． (2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n·(a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N ＋)， 此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 由b n ＋1＝－23b n可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N ＋)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)． (1)求S 1，S 2，S 3，S 4的值；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解析 (1)由题意知，S 1＝a 1＝1，S 2＝4a 2，即a 1＋a 2＝4a 2，得a 2＝13，又a 1＝1，∴S 2＝43.同理得，S 3＝9a 3，即S 2＋a 3＝9a 3， 得a 3＝16，∴S 3＝32，S 4＝16a 4，即S 3＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，∴S 4＝85.(2)猜想：S n ＝2nn ＋1， 证明 ①当n ＝1时，S 1＝2×11＋1＝1，与已知相符，故结论成立，②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立， 即S k ＝2k k ＋1， 由已知可得S k ＋1＝(k ＋1)2a k ＋1， 整理得[(k ＋1)2－1]S k ＋1＝(k ＋1)2S k ，即S k ＋1＝k ＋2k 2＋2k S k ，∴S k ＋1＝k ＋2k 2＋2k ·2kk ＋1＝k ＋k ＋2＝2k ＋k ＋＋1，即当n ＝k ＋1时，结论也成立， 综合①②知，对n ∈N ＋，都有S n ＝2n n ＋1.。

2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。

2023届高三综合测试（二）数学参考答案与评分标准评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数,选择题不给中间分。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 【解析】 化简得1,1,z i z i z =+=−=选B.2. 【解析】 依题意132x x >⎧⎪⎨<⎪⎩，即312x <<，选B.3. 【解析】 13EC EB BC AB AD =+=+,所以43u λ+=，选C. 4. 【解析】 按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，则椭圆方程为，令，有一个，所以有 ,选D.5. 【解析】 设棱台的上底面矩形边长分别为b a ，，则下底面矩形边长分别为b a 22，，则 棱台的体积为：63)44 (331=+⨯+⨯⨯=ab ab ab b a V ，所以9b =a ，棱台的上底面的周长为,124)2=≥+ab b a （ 当3==b a 时，上底面的周长最小值为22221(0)x y a b b a+=>>y c =−2b x a =2110244ac b a+=⎧⎪⎨=⎪⎩2211022a c a c a +=⎧⎪⇔⎨−=⎪⎩22110a c a −⇔=45c e a ⇔==12，选D.6. 【解析】 由图可知，1521433T =−=，所以4T =，π2=ω；一条对称轴为23x =，所 以π2ππ232k ϕ⨯+=+，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=；故()ππ3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以()π3sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以()g x 的图象的最小正周期为T π=，A 正确； 因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以42333x πππ≤+≤，B 错误； 对于C: 令π2π+()22123k x k x k Z πππ+=⇒=+∈，所以C 正确； 对于D ：令π2()3π26k x k x k Z ππ+=⇒=−∈，所以D 正确. 故选B. 7.【解析】 由方程5ln 0x x ++=和50x x e ++=，可得 ln 5x x =−−和5xe x =−−，因为方程的根分别是，且ln y x =与x y e =互为反函数，所以分别与ln y x =和x y e =的交点的横坐标为，故有5y x y x =⎧⎨=−−⎩，解得5252x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，所以5=-22αβ+， ，∴的单调递减区间是，故选A.8.【解析】 当时，，则；当时，，则；当时，，则； 当时，，则；,αβ5y x =−−,αβ222525()()5()24f x x x x x x αβαβαβαβ=+++=−+=−+−()f x 5(,]2−∞12n ≤≤0.5 1.5<<1f=1=36n ≤≤ 1.5 2.52f=12=712n ≤≤ 2.5 3.5<<3f=13=1320n ≤≤ 3.5 4.5<<4f=14=当，此时，包含 ，，，，共个整数，分组为，，，…，，第组有个数，且每一组中所有数之和为， )100(1)99(1)90(1)5(1)4(1)3(1)2(1)1(1f f f f f f f f +++++++++ ++++++++++++++++++++=41414141414141413131313131312121212111111111112468101218101923456910=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=，故选C.二、多项选择题：本题共2分，有选错的得0分.9. 【解析】对于A, 曲线C 表示双曲线，224,4a b λ== 24(1)c λ=+ ，A 正确; 对于B, 曲线C 表示椭圆， 224(),4a b λ=−= ，24(1)c λ=−−，B 不对; 对于C,1λ=−时，曲线C 表示圆224x y +=，C 不对;对于D, 曲线C 表示椭圆, 224,4a b λ==−, 24(1)c λ=+,D 正确 . 10.【解析】对于A, 由二项分布的期望公式，1()3E X n =，由期望的运算性质，(31)3()116E X E X n +=+=+=，则n=5，所以A 正确;对于B, 由正态分布曲线的性质可知，(4)10.70.3P X ≥=−=，根据对称性，(2)0.3P X ≤−=，于是(21)0.50.30.2P X −<<=−=，B 错误;对于C, 因为()()0,()0,(|)()()()()()P AB P A P B P B A P B P AB P A P B P A >>==⇒= ()212122k k k *−+<<∈N 1k =221144k k n k k −+<<++21k k −+22k k −+2k k +2k ()1,11111,,,2222⎛⎫ ⎪⎝⎭111111,,,,,333333⎛⎫ ⎪⎝⎭111,,n nn ⎛⎫⎪⎝⎭n 2n 122n n⨯=所以()(|)()()P AB P A B P A P B ==，所以C 正确; 对于D, 因为()12P A =，()14P B A =，所以()12P A =，()34P B A =，又因为()23P B A =， 由全概率公式，可得121317()()(|)()(|)232424P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=,故选：ACD.11. 【解析】 对于A, 由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =，故//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形，故A 不正确； 对于B, 连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EFBB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，平面⊥EMFN 平面''D DBB ，故B 正确； 对于C 选项，四棱锥A MENF −的体积,11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S −−=+=⋅==△，故C 正确； 对于D 选项，由于四边形MENF 是菱形，所以周长222244442222+=+=+=MN MN EF MN l ，所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的周长最小，此时MN EF ==，即周长的最小值为4, 故D 不正确．故选：BC ．12.【解析】由()()4f x f x +=，所以()()()()()()4431F x f x f x f x f x F x +=+++=+−=， 所以()y F x =是以4为周期的周期函数，又(0)(0)(1)10F f f =+−=−≠，所以()y F x =不是是奇函数，A 错误.可求得23,211,10()21,011,12x x x y F x x x x −−−≤≤−⎧⎪−−≤≤⎪==⎨−≤≤⎪⎪≤≤⎩，所以函数()y F x =的最大值为1，B 正确.当()2022,2023x ∈时，()20242,1x −∈−−，所以()()202424045F x F x x =−=−+，单调递减，C 正确.因为()()x F x F −−=1，()F x 关于12x =−成轴对称，因为()()x F x F −=−1，()F x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，D 正确. 选BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.21 14. 552 15.π3416.22(3)(2)16x y −++= （2分）, （3分）13.【解析】所求概率 32324412A A P A == 14.【解析】由已知可得，tan 2α=，再由同角关系可得，sin 5α=，所以sin()πα−=15.【解析】设圆锥底面半径为R ，母线长为L ，则⎪⎩⎪⎨⎧==3222ππππLR RL 解得.6L 36R ==，,易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中3626===BC AC AB ，，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于334=AM ，故32433436221=⨯⨯=∆ABC S，设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△ r 212r 21⨯+⨯⨯=BC AB ,解得：33r =，其表面积：224443S r πππ===. 16.【解析】：过抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F 且斜率为1−的直线为1y x =−+，由241y x y x ⎧=⎨=−+⎩消去x ，得2610x x −+=，所以AB 的中点为(3,2)D −且128AB x x p =++=，所以以线段AB 为直径的圆的半径为4r =，方程为22(3)(2)16x y −++=，对圆D 内任意一点M ，必可作互相垂直的两直线与相交，故存在圆D 上两点,P Q ，使90PMQ ∠=；对圆D 外任意一点M ，,P Q 是圆D 上两点，当,MP MQ 与圆D 相切时，PMQ ∠最大，此时DPMQ 为矩形，DM ==，所以若以线段AB 为直径的圆上存在两点,P Q ，在圆22:()1T x a y −+=上存在一点M ，使得90PMQ ∠=，等价于以D 为圆心以DM ==为半径的圆与圆222:(2)(7)(0)T x y a a +++=>有公共点，所以a DT a −≤=≤，解得a ≤≤，所以填.四、解答题： 本题共 6 小题，共 70分． 17.（10分）解：（1）令{}n a 是等比数列，设公比为，，时，有当q a a a n 11211=+==………………………………………………………1分,11211+=+=≥−+n n n n S a S a n ，时，有当…………………………………………2分112n n n n na a a a a ++−==相减得:，有，,2=q 所以有 ………………………………3分………………………………………………………4分q .2,111−==n n a a 故有代入解得（2）由（1）知：()()n b n nn +−=−121 ……………………………………………………5分122222212122+−−=+=−−−n b n b n n n n ， …………………………………………7分141122+=+−−n n n b b ……………………………………………………………………8分∴ n n ……………………………………………………………………………10分 18. （12分）证明：（1）连接1CB 交1BC 于点F ，连接EF ,则F 是C B 1的中点 ……………………………………………………1分由于F E 、分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB ………………………………………………2分由于111,AB BEC EF BEC ⊄⊂面面，所以11//AB BEC 面 ………………………………………………4分（2）由点1B 在底面上的射影为点C ,所以ABC C B 平面⊥1 ……………………………5分在ABC ∆中5,2,1===AC BC AB BC AB ⊥∴过B 作C B 1的平行线为Z 轴易知,,AB CB Z 两两垂直，如图以B 为原点，分别以,,AB CB Z 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系…………………………………6分)0,1,21(220)0,2,0()0,0,1(),0,0,0(1E B C A B ），，，（，， BC C B =11，得），，（2401C ………………………………………………………7分 ），，（），，，（232101211−=−=EC AE )0,1,21(=BE ，)2,4,0(1=BC设平面E BC 1的法向量），，（z y x m =()()()()[]12123421214437(41)n n n n S b b b b b b n −−+++==+++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+−()()()[]134********(41)n n n b b b b n −−+++=++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+−21441(21)2143n n n n n n −−=++=++−0240211=+=⋅=+=⋅z y m BC y x m BE)2,1,2(−=∴m ………………………………8分设平面11A AEC 的法向量为),,(z y x n =2321211=++−=⋅=+−=⋅z y x n EC y x n AE)1,1,2(−=∴n …………………………………9分 设平面1BEC 与平面11A AEC 所成角为θ186691 cos ===n m θ………………11分183186311sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛−=θ 所以，平面1BEC 与平面11A AEC 所成角的正弦值为18318………………………12分19.（12分）解：（1） 在APB ∆中，23==PB PA，AB =， 由余弦定理得2223cos 22AB PB PA PBA AB PB +−∠==⋅36……………………………2分 又2π=∠ABCsin 3PBC ∠=…………………………………………3分 111sin 22322PBC S PB BC PBC ∆=⨯∠=⨯⨯112232⨯=…………………5分（2）法1：设PAB θ∠=，则(0,)4πθ∈，在APB ∆中，因为34APB π∠=，所以344PBA πππθθ∠=−−=−， ………6分由正弦定理，得sin sin PB ABPAB APB=∠∠，从而2sin PB θ= ，…………………7分在CPB ∆中，()244PBC πππθθ∠=−−=+， 由余弦定理得：2222cos()4PC PB BC PB BC πθ=+−⋅+ ………………………8分24sin 22sin cos()4πθθθ=+−⨯+=22cos 224sin (cos sin )θθθθ=−+−−62(2cos 2sin 2)θθ=−+6)θϕ=−+（其中tan 2,(0,)2πϕϕ=∈）， ……………………………10分 因为(0,)4πθ∈，所以2(,)2πθϕϕϕ+∈+， ………………………………………11分所以当22πθϕ+=时，222min 6211PC =−=−⨯，从而，min 1PC =。

1.集合、常用逻辑用语、不等式考向1 集合的概念及运算1.(2022·全国甲·理3)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x 2-4x+3=0},则∁U (A ∪B )=( ) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}2.(2022·全国乙·理1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M 满足∁U M={1,3},则( )A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M3.(2022·新高考八省第二次T8联考)设集合A={x|log 2(x-1)<2},B={x|x<5},则( )A.A=BB.B ⊆AC.A ⊆BD.A ∩B=⌀ 4.(2022·安徽蚌埠质检三)设集合M={x|x=C 5m ,m ∈N *,m ≤5},则M 的子集个数为( )A.8B.16C.32D.64考向2 充分条件、必要条件与充要条件5.(2022·浙江·4)设x ∈R ,则“sin x=1”是“cos x=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2022·河南濮阳一模)“b ≤1”是“函数f (x )={bx +2,x >0,log 2(x +2)+b ,-2<x ≤0是在(-2,+∞)上的单调函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若x ,y ∈R ,则“x<|y|”是“x 2<y 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2022·河南许昌质检)若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,4] B.[1,4] C.(1,4)D.(1,4]考向3 常用逻辑用语9.(2022·河南郑州质检)已知命题p :∃x 0∈R ,3sin x 0+4cos x 0=4√2;命题q :∀x ∈R ,1e |x|≤1.则下列命题中为真命题的是 ( )A.p ∧qB.(¬p )∧qC.p ∨(¬q )D.¬(p ∨q )10.(2022·河南焦作一模)已知命题p :∃x 0∈N *,lg x 0<0,q :∀x ∈R ,cos x ≤1,则下列命题是真命题的是( ) A.p ∧q B.(¬p )∧q C.p ∧(¬q )D.¬(p ∨q )11.(2022·河南洛阳一模)已知命题p :"x ∈R ,x 2+x+1>0;命题q :若a>b ,则1a<1b.下列命题为真命题的是( ) A.(¬p )∨q B.(¬p )∧(¬q ) C.p ∧qD.p ∨q12.若“∃x 0∈12,2,使得2x 02-λx 0+1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为 .考向4 不等关系及线性规划13.(2022·河南许昌质检)已知a>b>0,且a+b=1,则下列结论正确的是( ) A.ln(a-b )>0 B.√a +√b >2 C.b a >a bD.1a +1b >414.(2022·河南焦作二模)已知x ,y 满足约束条 件{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0,则3x-2y 的最大值为 ( )A.1B.4C.7D.1115.(2022·浙江·3)若实数x ,y 满足约束条件{x -2≥0,2x +y -7≤0,x -y -2≤0,则z=3x+4y 的最大值是( )A.20B.18C.13D.616.(2022·河南濮阳一模)设x ,y 满足约束条件{y ≥2x ,y ≥-x ,y ≤2,则z=y-x 的最大值是 .1.集合、常用逻辑用语、不等式1.D 解析: 由题意知B={1,3},则A ∪B={-1,1,2,3}, 所以∁U (A ∪B )={-2,0}, 故选D .2.A 解析: ∵U={1,2,3,4,5},∁U M={1,3}, ∴M={2,4,5},∴2∈M ,3∉M ,4∈M ,5∈M. 故选A .3.C 解析: log 2(x-1)<2⇔0<x-1<4⇔1<x<5,∴A={x|log 2(x-1)<2}={x|1<x<5},即A ⊆B ,故选C .4.A 解析: 因为C 51=C 54,C 52=C 53,所以集合中含有3个元素,则M 的子集个数为23=8,故选A .5.A 解析: 由sin x=1,得x=2k π+π2,k ∈Z ,此时cos x=0;由cos x=0,得x=k π+π2,k ∈Z ,此时sin x=±1,故选A .6.B 解析: 依题意,函数f (x )是在(-2,+∞)上的单调函数, ∵y=log 2(x+2)+b 在(-2,0]上单调递增, ∴f (x )在(-2,+∞)上单调递增, 需b>0且1+b ≤2,即0<b ≤1. 故选B .7.B 解析: 由x<|y|推不出x 2<y 2,如x=-3,y=1;由x 2<y 2得|x|<|y|,又因为x ≤|x|,所以x ≤|x|<|y|,所以x 2<y 2⇒x<|y|. 故选B .8.D 解析: 根据题意,(x-a )2<4⇔-2<x-a<2⇔a-2<x<a+2,不等式的解集为(a-2,a+2); 1+12-x ≤0⇔3-x2-x ≤0⇔(x-3)(x-2)≤0且x ≠2,解得2<x ≤3,不等式的解集为(2,3]; 若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则(2,3]⫋(a-2,a+2);则有{a -2≤2,a +2>3,解得1<a ≤4,即a 的取值范围为(1,4]. 故选D .9.B 解析: ∵3sin x+4cos x=5sin(x+θ)∈[-5,5],tan θ=43,4√2>5,∴命题p 为假命题.∵|x|≥0,∴1e|x|≤1e=1,∴命题q 为真命题,∴p ∧q 为假命题;(¬p )∧q 为真命题;p ∨(¬q )为假命题;¬(p ∨q )为假命题.故选B .10.B 解析: 因为∀x ∈N *,lg x ≥0,所以命题p 为假命题,¬p 为真命题.因为∀x ∈R ,cos x ≤1成立,所以命题q 为真命题,所以(¬p )∧q 为真命题.11.D 解析: 对命题p ,因为x 2+x+1=x+122+34>0恒成立,故命题p 为真命题.对命题q ,当a 为正数,b 为负数时,命题不成立,故命题q 为假命题,故只有选项D 为真命题,故选D .12.(-∞,2√2] 解析: 由题意得,“∀x ∈12,2,2x 2-λx+1≥0”为真命题,即λ≤2x+1x .因为2x+1x≥2√2x ·1x=2√2,当且仅当2x=1x,即x=√22时,等号成立,所以实数λ的取值范围为(-∞,2√2].13.D 解析: ∵a>b>0,且a+b=1,∴12<a<1,0<b<12, ∴0<a-b<1,ln (a-b )<0,故A 错误;∵1>a>b>0,∴√a +√b <1+1=2,故B 错误; 令f (x )=lnxx (0<x<1),则f'(x )=1-lnxx 2>0,故f (x )在(0,1)上单调递增,故lna a>lnb b,即b ln a>a ln b ,即ln a b >ln b a ,∴a b >b a ,故C 错误; ∵a>b>0,∴1a +1b =a+b a +a+b b =2+b a +a b ≥2+2√b a ·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,∴1a +1b >4,故D正确.14. D 解析: 不等式组{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立方程组{2x +y +2=0,4x -y -8=0,解得{x =1,y =-4,即B (1,-4),平移直线3x-2y=0至经过点B 时目标函数u=3x-2y 取得最大值,即u max =3×1-2×(-4)=11.15. B 解析: 根据约束条件画出可行域.可知当直线y=-34x+z4过点(2,3)时,z 取到最大值,为18,故选B .16.4 解析: 画出可行域如图所示,化目标函数为斜截式方程y=x+z ,则当直线y=x+z 在y 轴上截距最大时,z 取得最大值,联立{y =2,y =-x , 解得{x =-2,y =2,。

2019高三数学（理）二轮练习试题：专项一第四讲综合验收评估北师大版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

1、f (x )＝x (2 011＋ln x )，假设f ′(x 0)＝2 012，那么x 0等于 A 、e 2 B 、1 C 、ln 2 D 、e解析 f ′(x )＝2 011＋ln x ＋x ×1x ＝2 012＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 012，得2 012＋ln x 0＝2 012， 所以ln x 0＝0，解得x 0＝1，应选B. 答案 B2、(2017·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为A 、－12 B.12 C 、－22 D.22解析y ′＝cos x sin x ＋cos x cos x －sin xsin xsin x ＋cos x 2＝1sin x ＋cos x2，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.答案 B3、设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，那么⎠⎛12f (－x )d x 的值等于A.56 B.12 C.23D.16解析 f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝x 2－x ，∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2 |21＝56，应选A. 答案 A4、(2017·海淀模拟)点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π3，－1在函数f (x )＝a cos x 的图象上，那么该函数图象在x ＝3π4处的切线方程是A 、2x ＋2y ＋4－3π2＝0B 、2x －2y ＋4－3π2＝0C 、2x －2y －4－3π2＝0D 、2x ＋2y －4－3π2＝0解析 由点P 在函数f (x )的图象上，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π3＝－1， 即a cos 2 012π3＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫670π＋2π3＝－a 2＝－1，解得a ＝2.故f (x )＝2cos x .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝2cos 3π4＝－2，f ′(x )＝－2sin x .由导数的几何意义，可知该函数图象在x ＝3π4处的切线斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－2sin 3π4＝－ 2.所以切线方程为y －(－2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，即2x ＋y ＋2－32π4＝0，也就是2x ＋2y ＋4－3π2＝0，应选A. 答案 A5、(2017·浙江模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，假设x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，那么以下图象不可能为y ＝f (x )图象的是解析 设h (x )＝f (x )e x ，那么h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x .由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，得当x ＝－1时，ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c ＝c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .假设方程ax 2＋bx＋a ＝0有两根x 1，x 2，那么x 1x 2＝aa ＝1，D 中图象一定不满足该条件、 答案 D6、(2017·湖南)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，那么当|MN |达到最小时t 的值为A 、1 B.12C.52D.22解析 由题意画出函数图象如下图，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t ＞0)、y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t. 当0＜t ＜22时，y ′＜0，可知y 在此区间内单调递减； 当t ＞22时，y ′＞0，可知y 在此区间内单调递增、故当t ＝22时，|MN |有最小值、 答案 D【二】填空题7、如图，直线y ＝1与曲线y ＝－x 2＋2所围图形的面积是________、解析 令－x 2＋2＝1，得x ＝±1，答案 438、函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，那么实数m 的取值范围为________、解析 当x ＞0时，f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0恒成立，即m ≥－1x 2＋2x 恒成立，又∵－1x 2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1≤1，∴m ≥1. 答案 m ≥19、函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________、 解析 f ′(x )＝e x cos x ＋e x (－sin x )，设切线的倾斜角为α，那么k ＝tan α＝f ′(0)＝1，又α∈(0，π)，∴α＝π4.答案 π4 【三】解答题10、(2017·江苏)请你设计一个包装盒，如下图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)、(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值、解析 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值、(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )、 由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20. 当x ∈(0,20)时，V ′＞0； 当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值、此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为1 2.11、函数f(x)＝12x2－3x＋2ln x.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3－3x图象的下方、解析(1)由f(x)＝12x2－3x＋2ln x，知f′(x)＝x＋2x－3＝x2－3x＋2x＝x －1x－2x.当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，∴f(x)在[1,2]上是减函数；当x∈(2，e)时，f′(x)＞0，∴f(x)在[2，e]上是增函数、∴当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝2ln 2－4.又f(1)＝－52，f(e)＝12e2－3e＋2，f(e)－f(1)＝12e2－3e＋2－⎝⎛⎭⎪⎫－52＝12(e2－6e＋9)＝12(e－3)2＞0，∴f(e)＞f(1)，∴f(x)max＝f(e)＝12e2－3e＋2.综上，函数f(x)在[1，e]上的最大值为12e2－3e＋2，最小值为2ln 2－4.(2)证明设F(x)＝12x2－3x＋2ln x－x3＋3x，那么F′(x)＝－3x2＋x＋2x＝－3x3＋x2＋2x＝x－13x2＋2x＋2x.当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，∴F(x)在[1，＋∞)上是减函数，且F(1)＝－12＜0，故当x∈[1，＋∞)时，F(x)＜0，∴12x2－3x＋2ln x＜x3－3x.∴在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3－3x图象的下方、12、设f(x)＝e x－1.(1)当x＞－1时，证明：f(x)＞2x2＋x－1x＋1；(2)当a＞ln 2－1且x＞0时，证明：f(x)＞x2－2ax.证明(1)当x＞－1时，f(x)＞2x2＋x－1x＋1，即e x－1＞2x2＋x－1x＋1＝2x－1，故结论成立当且仅当e x＞2x，即e x－2x＞0.令g(x)＝e x－2x，那么g′(x)＝e x－2.令g′(x)＝0，即e x－2＝0，解得x＝ln 2.当x∈(－1，ln 2)时，g′(x)＝e x－2＜0，故函数g(x)在(－1，ln 2]上单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)＝e x－2＞0，故函数g(x)在[ln 2，＋∞)上单调递增、所以g(x)在(－1，＋∞)上的最小值为g(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0，所以在(－1，＋∞)上有g(x)≥g(ln 2)＞0，即e x＞2x.故当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)＞2x2＋x－1x＋1.(2)f(x)＞x2－2ax，即e x－1＞x2－2ax，也就是e x－x2＋2ax－1＞0.令g(x)＝e x－x2＋2ax－1，那么g′(x)＝e x－2x＋2a.令h(x)＝e x－2x＋2a，那么h′(x)＝e x－2.由(1)，可知当x∈(－∞，ln 2)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增、所以h(x)的最小值为h(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.因为a＞ln 2－1，所以h(ln 2)＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h(x)≥h(ln 2)＞0.所以g′(x)＝h(x)＞0，即g(x)在R上为增函数、故g(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(0)、而g(0)＝0，所以g(x)＝e x－x2＋2ax－1＞0，即当a＞ln 2－1且x＞0时，f(x)＞x2－2ax..精品资料。

2023年高考-数学（理科）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB = 90° ，C为该球面上的动点。

若三棱锥 O - ABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π正确答案：C,2.(填空题)(每题 5.00 分) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7/8,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为.正确答案：40√2π，3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 记SN.为等差数列αN}的前n项和.若3S3=S2+S4，α=2,则α5= {A. -12B. -10C. 10D. 12正确答案：B,4.(填空题)(每题5.00 分) 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_______?正确答案：-3√3/2，5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 双曲线x2/α2-y2/b2=1(α>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√2/2xD. y=±√3/2x正确答案：A,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. 3√3/4B. 2√3/3C. 3√2/4D. √3/2正确答案：A,7.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知集合A=x∣x2-x-2>0}，则CRA={A. x∣-12}{D. {x∣x≦-1}∪{x∣x≧2}正确答案：B,8.(单项选择题)(每题 5.00 分) 在△ABC中，cos C/2=√5/5,BC=1,AC=5,则AB=A. 4√2B. √30C. √29D. 2√5正确答案：A,9.(填空题)(每题 5.00 分) 某髙科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。