高三数学一轮复习 第三章 第七节 正弦定理和余弦定理课件 理 新人教A版

(2012· 课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角 A，B，C的对边，acos C＋ 3asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
【思路点拨】 (1)根据正弦定理边化角，把B用A、C
表示，借助三角变换求A的值； (2)根据三角形面积和余弦定理列关于b、c的方程组求
π ∵0＜A＜π，∴A＝ . 3 (2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝ 3， 1 ∴( 3) ＝b ＋c －2bc·＝b2＋c2－bc. 2 又∵b＋c＝2 3，∴b＝2 3－c，
2 2 2
①
代入①式整理得c2－2 3 c＋3＝0，解得c＝ 3 ，∴b＝ 3， 于是a＝b＝c＝ 3，即△ABC为等边三角形．
2 2
(*)
1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条
件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角
和一边，则用正弦定理． 2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形 的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解， 是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．
(2012· 浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分 别为a，b，c，且bsin A＝ 3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
第七节
正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a b ＝ ＝ a2＝________________， b2＋c2－2bc· cosA sin A sin B c2＋a2－2ca· cosB b2＝_________________， c sin C c2＝a2＋b2－2ab· C. cos ________＝2R
【解】 b ， sin B 得sin B＝ 3cos B. π 所以tan B＝ 3，所以B＝ . 3 a (1)由bsin A＝ 3 acos B及正弦定理 ＝ sin A
a c (2)由sin C＝2sin A及 ＝ ，得c＝2a. sin A sin C 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋c2－ac. 由①，②联立，得a＝ 3，c＝2 3. 所以a＝ 3，c＝2 3.
【答案】 15 3 4
(2013· 惠州模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的 边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝ 2a. b (1)求 ； a (2)若c2＝b2＋ 3a2，求B.
【思路点拨】
(1)在已知等式中，利用正弦定理消去
sin B，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定
【解】 (1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A， 1 ∴bc＝－2bc cos A，cos A＝－ . 2 2 又0＜A＜π，∴A＝ π. 3
(2)由(1)知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C， ∴sin2A＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C. 3 又sin B＋sin C＝1，且sin A＝ ， 2 1 1 ∴sin Bsin C＝ ，因此sin B＝sin C＝ . 4 2 π 又B、C∈(0， )，故B＝C. 2 所以△ABC是等腰的钝角三角形.
5 2 ＝sin Acos C＋cos Asin C＝ cos C＋ sin C， 3 3
所以tan C＝ 5. 5 1 (2)由tan C＝ 5，得sin C＝ ，cos C＝ . 6 6 5 于是sin B＝ 5cosC＝ ， 6 a c 由a＝ 2及正弦定理 ＝ ，得c＝ 3. sin A sin C 1 5 设△ABC的面积为S，则S＝ acsin B＝ . 2 2
【解析】
在△ABC中，易知B＝30°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos 30°＝4，∴b＝2. 【答案】 A
(
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝ ) 6 2 2 6 2 2 A. B. C．－ D．－ 3 3 3 3
b· A sin 3 【解析】 由正弦定理，得sin B＝ ＝ . a 3 ∵a＞b，A＝60°， 6 2 ∴B＜60° ，cos B＝ 1－sin B＝ . 3
1．在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的什么
条件？“A＞B”是“cos A＜cos B”的什么条件？
a b 【提示】 在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔ ＞ ⇔sin A 2R 2R ＞sin B，∴A＞B是sin A＞sin B的充要条件， 易知A＞B是cos A＜cos B的充要条件．
易错提示：(1)逆用公式意识不强，无法求得cos A. (2)应用余弦定理时，不会选择公式无法得到a，b，c之 间的关系． 防范措施：(1)熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正
切公式及二倍角公式的正用、逆用及变形使用是解答三角函
数题的基础，平时应加强训练，增强逆用公式的意识． (2)应 用 余 弦 定 理 时 ， 一 般 选 择 角 度 已 知 的 那 一 组 公 式．
1．(2012· 天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的 边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( ) 7 7 7 24 A. B．－ C．± D. 25 25 25 25 b c 【解析】 由 ＝ ，且8b＝5c，C＝2B， sin B sin C 4 所以5csin 2B＝8csin B，所以cos B＝ . 5 7 2 所以cos C＝cos 2B＝2cos B－1＝ . 25
1 (2)因为a ＝b ＋c －2bccos A＝4＋1－2³2³1³ ＝ 2 π 2 2 2 3，所以a ＋c ＝b ，B＝ .···········9分 2 3 3 7 因为BD＝ ，AB＝1，所以AD＝ 1＋ ＝ . 2 4 2 ·····················12分
2 2 2
【解题程序】 第一步：逆用两角和的正弦公式求cos A； 第二步：根据A的范围求A； 第三步：根据余弦定理求a，b，c的关系，从而得B＝ π ； 2 第四步：根据勾股定理求AD.
已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或
角．可能有一解、两解、无解．
判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
从近两年的高考试题看，正弦定理、余弦定理是高考的 热点，常与三角函数，三角恒等变换等交汇命题，题型多 样，属中、低档题目．
解．
【尝试解答】 (1)由acos C＋ 3asin C－b－c＝0及正 弦定理得sin Acos C＋ 3sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因为B＝π－A－C，则sin B＝sin Acos C＋cos Asin C. 所以 3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. π 1 由于sin C≠0，所以sin(A－ )＝ . 6 2 π 又0<A<π，故A＝ . 3 1 (2)△ABC的面积S＝ bcsin A＝ 3，故bc＝4. 2 又a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 由①②联立，得b＝c＝2.
【答案】 A
3．(2012· 广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝ 45°，BC＝3 2，则AC＝( ) A．4 3 B．2 3 C. 3 3 D. 2
AC 【解析】 在△ABC中，根据正弦定理，得 ＝ sin B BC ， sin A 2 BC·sin B 3 2³ 2 ∴AC＝ ＝ ＝2 3. sin A 3 2 【答案】 B
规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的应用
(12分)(2012·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所
对边的长分别为a，b，c，且有2sin Bcos A＝sin Acos C＋
cos Asin C. (1)求角A的大小； (2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
【规范解答】 (1)由题设知，2sin Bcos A＝sin(A＋C) ＝sin B．················3分 1 因为sin B≠0，所以cos A＝ . 2 π 由于0<A<π，故A＝ .········6分 3
2．如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直
角、钝角？
【提示】 应判断b2＋c2 －a2 与0的关系；当b2 ＋c2 －a2
＞0时，A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，A为直角；当b2＋c2 －a2＜0时，A为钝角．
1．(人教A版教材习题改编)已知△ABC中，∠A， ∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝ 6 ＋ 2 ，且A＝ 75°，则b＝( ) A．2 C．4－2 3 B．4＋2 3 D. 6－ 2
①已知两角和任一边， 求另一角和其他两条
解决 边；
问题 ②已知两边和其中一 边的对角，求另一边
①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角， 求第三边和其他两个角.
和其他两角．
2.三角形常用面积公式 1 (1)S＝ a²ha(ha表示边a上的高)； 2 1 1 1 acsinB bcsinA 2 2 (2)S＝ absin C＝___________＝___________． 2 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 2
判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转 化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取 公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
① ②
(2013· 合肥模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对 2 A 的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝(cos ，cos 2 7 2A)，且m· n＝ . 2 (1)求角A的大小； (2)若b＋c＝2a＝2 3，试判断△ABC的形状．