2016年苏州市高考数学考前40练防错纠错2 函数与导数.doc

专题十 导数一．考场传真1．【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ． 2．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】一玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设A O E θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．(1)试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； (2)求时间T 最短时cos θ的值．F3．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】函数()4212f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-． (1)若0a >，求证：①()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减；②()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点； (2)若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．4．【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】如图，OA 是南北方向的一条公路，OB是北偏东45︒方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PN PM ,，且PN PM ,的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则曲线符合函数)91(242≤≤+=x xx y 模型，设x PM =，修建两条道路PN PM ,的总造价为)(x f 万元，题中所涉及的长度单位均为百米． (1)求)(x f 解析式；(2)当x 为多少时，总造价)(x f 最低？并求出最低造价．5．【苏北四市2016届高三第二次调研】已知函数321()e 2(4)243x f x x x a x a ⎡⎤=-++--⎢⎥⎣⎦，其中a ∈R ，e为自然对数的底数． (1)若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值； (2)关于x 的不等式4()e 3x f x <-在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围； (3)讨论)(x f 极值点的个数．6．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy ．(1)若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为lh S 32=)。

导数第22课 导数的概念与运算（苏州期初）12. 已知函数x e x x f 11)(+-=，若直线 :1-=kx y 与曲线)(x f y =相切，则=k e -15．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0) 处的切线方程是 ▲ ． y ＝2x12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是 ▲ ．．2 3（南通三模）9.已知两曲线f (x )=cos x ,g (x )=3sin x ,x ∈(0,π2)相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ,C 两点，则线段BC 的长为 ▲ ．43（苏北三市三模）11．若点P ，Q 分别是曲线y=x +4x 与直线4x+y =0上的动点，则线段PQ长的最小值为 ▲ ．7171716．若函数f （x ）＝lnx ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______．(扬州期中) 11．若x 轴是曲线()ln 3f x x kx =-+的一条切线，则k = ▲ ． 2e(盐城期中)14. 设函数2()||xaf x e e =-，若()f x 在区间(1,3)a --内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ▲ . 11(,)22-（无锡期末）12、过曲线1(0)y x x x=->上一点00(,)P x y 处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A 、B ，O 是坐标原点，若OAB ∆的面积为13，则0x = 5（南通调研一）13.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>=x x y 和)0(3>=x x y 均相切，切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则21x x 的值是 【答案】43．【命题立意】本题旨在考查导数的概念，函数的切线方程．考查运算能力，推理论证能力及xOyABy ＝3灵活运用数学知识能力，难度中等.【解析】由题设函数y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为：y ＝2x 1 x －x 12， 函数y ＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3 x 22 x －2x 23．所以⎩⎨⎧2x 1＝3x 22x 12＝2x 23，解之得：x 1＝3227，x 2＝89． 所以x 1x 2＝43．第23课 利用导数研究函数的性质(盐城期中) 4．函数()xf x e x =-的单调递增区间为 ▲ . (0,)+∞ (盐城期中)11．若函数2()ln (2)f x x ax a x =+-+在12x =处取得极大值，则正数a 的取值范围是 ▲ . (0,2)（南京期初）11．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为▲________．(32，4)9．函数f (x )＝x e x （e 为自然对数的底数）的最大值是 ▲ ．1e14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是 ▲ ．0和3－1(南京盐城一模)14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ . 1(0,]1e +（苏州期中）14．设()f x '和()g x '分别是函数()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''⋅≤在区间I 上恒成立，则称函数()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反。

2016年高考备考之考前十天自主复习第二天 导数及其应用(理科)考点一 导数的几何意义 [1]导数的概念与计算1.若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＞f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＜f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定【答案】C2.已知f (x )＝x (2 014＋ln x )，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e【答案】B【解析】由题意可知f ′(x )＝2 014＋ln x ＋x ·1x＝2 015＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 015，得lnx 0＝0，解得x 0＝1.[2]切线问题(已知切点)3. (2016届学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试理9) 设曲线y ＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2【答案】A【解析】∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′⎪⎪x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1，故选A.4. (江苏省扬州中学2016届高三3月期初考试数学试题10)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线()sin cos f x x x =+(a 为常数)在点(,())33f ππ处的切线与直线0132=++y x 垂直，则a 的值为 ．【答案】23-【解析】x a x x f sin 3cos )('-= ，由题意得23)3('=πf ，所以32233sin33cos-=⇒=-a a ππ[3]切线问题(切点未知)5. ( 2016年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考理8)抛物线y x 212=在第一象限内图象上一点)2,(2i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1+i a ，其中i N *∈，若322=a ，则=++642a a a （ ）A ．64B ．42C ．32D ．21【答案】B6.过点A (0,16)作曲线()33f x x x =-的切线，则此切线的方程为_______.【答案】9160x y -+=【解析】设切点的坐标为()00,x y ,对()f x 求导可得()2'33f x x =-,则根据切点的三个条件可得()300003y f x x x ==-,即切点()()300000,,3x y x x x =-,切线的斜率为()200'33k f x x ==-,又因为切线经过切点()3000,3x x x -且斜率为2033x -, 所以由直线的点斜式可得切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--,因为切线过点()0,16,所以带入切线得()()()32300000016333082x x x x x x --=--⇒=-⇒=-, 故切线的方程为()()()320000333y x x x x x --=--9160x y ⇒-+=.故填9160x y -+=考点二 利用导数研究单调性 [4]求单调区间(不含参数)7. （黄冈中学2016届高三（上）期末考试数学试题理22）已知函数()(1)ln(1)f x a x x =++图像上的点22(1,(1))e f e --处的切线与直线310x y ++=垂直( 2.71828)e =⋅⋅⋅． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求函数2(1)y f x =-与3y x mx =-(1)m >的图象在区间1[,]e e上交点的个数；【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递减区间为1[1,]e -，单调递增区间为1(1,)e -+∞（Ⅱ）当m 的取值范围是21(1,2]e +时，函数(1)y f x =-与3y mx x =-的图象在区间1[,]e e 上有两个不同的交点；当212m e >+时，函数(1)yf x =-与3y mx x =-的图象在区间1[,]e e上有1个交点。

第二章函数、导数及其应用1 / 212 / 211.函数、导数及其应用是历年高考命题的重点与热点，约占总分的20%左右．2．函数的概念、图象及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、图象是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点．1.注重基础，对函数的概念、图象、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值及导数在实际中的应用要熟练掌握并灵活应用．3 / 214 / 21第一节函数及其表示考纲传真内容要求A B C 函数的概念√1．函数与映射的概念函数映射两集合A、B 设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合5 / 21对应法则f 如果按某种对应法则f ，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应名称这样的对应叫做从A到B的一个函数这样的单值对应叫做从A到B的映射记法y＝f(x)，x∈A f：A→B2.函数的定义域、值域与对应法则在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，所有输出值y组成的集合称为函数的值域．对应法则一般用f表示．3．如果两个函数的定义域和对应法则完全一样，那么这两个函数相同．4．函数的表示法(1)表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法．(2)在函数定义域内的不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数叫做分段函数．1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( )6 / 217 / 21(4)映射是特殊的函数．( )[解析] (1)值域是集合B 的子集，B 中可能有不是函数值的元素，(1)错误． (2)y ＝x 0中的x ≠0，而y ＝1中x 可以取任何值．(2)错误．(3)由函数的定义可知任意定义域内的任一x 只能有一个函数值y 与其对应．若有两个及以上交点，则有两个及多个y 值与一个x 对应．(3)正确． (4)映射不一定是函数，函数是特殊的映射．(4)错误． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编题)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x，x >1则f (f (3))＝________.[解析] 由于3>1，知f (3)＝23，所以f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝49＋1＝139. [答案]1393．(2013·某某高考)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. [解析] 因为f (a )＝a －1＝3，所以a －1＝9，即a ＝10. [答案] 104．(2014·某某高考)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为________ . [解析] x 2－x >0即x (x －1)>0，所以x <0或x >1. [答案] (－∞，0)∪(1，＋∞)5．已知f (x )＝2x 2＋x －1，则f (x ＋1)＝________.[解析] 令x ＋1代替f (x )＝2x 2＋x －1中x ，得f (x ＋1)＝2(x ＋1)2＋(x ＋1)－1＝2x 2＋5x ＋2.8 / 21[答案] 2x 2＋5x ＋2考向1 求函数的定义域【典例1】 (1)(2014·某某高考)函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为________． (2)(2013·大纲全国卷)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________． [解析] (1)(log 2x )2－1>0即log 2x >1或log 2x <－1. 解得x >2或0<x <12.(2)由f (x )的定义域为(－1,0)，对于函数f (2x ＋1)有－1<2x ＋1<0解得－1<x <－12.[答案] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 【规律方法】1．求具体函数的定义域就是求使函数有意义的x 的X 围，具体为(1)分式的分母不等于0，(2)偶次根号下的代数式大于等于0，(3)对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.(4)0次幂的底数不为0.一般转化为求不等式或不等式组的解集．2．若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．3．定义域一定要写成集合或区间的形式．9 / 21【变式训练1】 (1)(2013·某某高考)函数y ＝1log 2x －2的定义域是________．(2)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域为___________________________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －2≠0，x －2>0，得x >2且x ≠3.(2)要使函数g (x )＝f 2xx －10有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤2x －1≠0，∴12≤x ＜1，故函数g (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.[答案] (1){x |x >2且x ≠3} (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1考向2 求函数的值域【典例2】 求下列函数的值域．(1)y ＝－x 2＋4x －2，x ∈[0,3]；(2)y ＝x ＋2x ＋1； (3)y ＝1－x 21＋x2.[解] (1)(配方法)y ＝－x 2＋4x －2＝－(x －2)2＋2 ∵x ∈[0,3)，∴x ＝0时y min ＝－2，x ＝2时y max ＝2. ∴函数的值域为[－2,2]．(2)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥0)，则x ＝t 2－1， ∴y ＝t 2－1＋2t ＝(t ＋1)2－2. 当t ≥0时，y ≥(0＋1)2－2＝－1，10 / 21∴函数的值域为[－1，＋∞)．(3)(不等式法)∵y ＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋2x 2＋1，且x 2＋1≥1， ∴0<2x 2＋1≤2，∴－1<－1＋2x 2＋1≤1， ∴函数的值域为(－1,1]． 【规律方法】1．求函数的值域，根据不同的解析式形式，采用不同的方法，要灵活运用，熟练掌握． 2．(1)二次函数式二次函数型的函数求值域可用配方法． (2)用换元法求函数的值域应注意新变量的取值X 围．(3)不等式法是利用不等式的性质，特别是分式形式通过分离常数，再结合不等式的X 围来求函数的值域． 【变式训练2】 (1)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋x ＋4，x <g x ，gx －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是________．(2)(2014·涟水中学月考)已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值X 围是________．[解析] (1)当x <g (x )，即x <x 2－2，(x －2)(x ＋1)>0时，x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)，此时f (x )＝x 2－2＋x ＋4＝x 2＋x ＋2， 当x ≥g (x )，即x ≥x 2－2时，x ∈[－1,2]，此时f (x )＝x 2－x －2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈－∞，－1∪2，＋∞，x 2－x －2，x ∈[－1，2]11 / 21＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ∈－∞，－1∪2，＋∞，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ∈[－1，2].∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)． (2)函数f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.令f (x )＝3，解得x ＝3或x ＝－1.当a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝3时，b －a 有最小值2；当a ＝－1，b ＝3时，b －a 有最大值4. [答案] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) (2)[2,4] 考向3 求函数的解析式(高频考点)命题视角 函数的解析式是函数的主体部分，求函数的解析式是高考的必考内容．主要命题角度有：(1)已知复合函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式；(2)已知函数类型求函数解析式；(3)解方程组法求函数解析式．【典例3】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x2－1，求f (x )的解析式． (2)(2014·某某成贤中学)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.①求f (x )的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．12 / 21【思路点拨】 (1)把1＋1x 看作一个整体t ，用t 表示函数中的x .也可直接把表达式转化为只含⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 和常数的形式． (2)①题中已明确说出为二次函数，因此可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)再由条件求出a ，b ，c .(3)令x ＝－x 列方程组求解f (x )．[解] (1)法一：设1＋1x ＝t (t ≠1)，得x ＝1t －1，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x 2－1，得f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t ， 所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1)．法二：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x 2－1＝1－x 2x 2＝1＋x x ·1－x x ＝1＋x x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 又1＋1x≠1，∴f (x )＝x 2－2x (x ≠1)． (2)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(3)∵x ∈(－1,1)，∴－x ∈(－1,1)．13 / 21∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2f x －f －x ＝lg 1＋x ，2f －x －f x ＝lg 1－x .解得f (x )＝23lg(1＋x )＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．,【通关锦囊】 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值X 围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 【变式训练3】 (1)已知f (x ＋2)＝2x 2＋x －1，求f (x )的解析式．(2)f (x )为二次函数，满足f (x ＋1)＝x 2－x －1求f (x )的解析式．[解] (1)法一：设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，代入f (x ＋2)＝2x 2＋x －1，得f (t )＝2(t －2)2＋(t －2)－1＝2t 2－7t ＋5，所以f (x )＝2x 2－7x ＋5.法二：f (x ＋2)＝2x 2＋x －1＝2(x ＋2)2－7(x ＋2)＋5，所以f (x )＝2x 2－7x ＋5，(2)设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2＋(b ＋2)x ＋(b ＋c ＋1)＝x 2－x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋2＝－1，b ＋c ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，c ＝1.14 / 21所以f (x )＝x 2－3x ＋1.熟记1种方法 求形如函数y ＝f (g (x ))的定义域的方法(1)若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜g (x )＜b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；(2)若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (x )的定义域．做到2个防X 1.解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． 2.用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．把握3个要素 函数的三要素是：定义域、值域和对应法则．值域是由函数的定义域和对应法则所确定的．两个函数的定义域和对应法则完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是集合A 、B 和对应法则f .思想方法之2分类讨论的思想在分段函数中的应用已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x <1－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，求a 的值．[解] 当1－a <1，即a >0时，a ＋1>1，由f (1－a )＝f (1＋a )15 / 21得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32(舍去)． 当1－a ≥1，又∵a ≠0即a <0时，a ＋1<1，由f (1－a )＝f (1＋a )得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，解得a ＝－34， 综上可知a 的值为－34. 【智慧心语】易错提示：(1)分类讨论的标准把握不准．(2)求得结果不验证，导致出现增根，如本题不验算就会得到a ＝－32. 防X 措施：(1)分类讨论的依据是定义域中x 的X 围．(2)分类后得出的结果都要验证是否符合分类所需的前提条件．【类题通关】 (2014·课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1x <1，x 13x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x X 围是________． [解析] 当x <1时，e x －1<1则e x －1≤2，∴x <1时f (x )≤2成立．当x ≥1时，x 13≤2则x ≤8， 综上，x ≤8.16 / 21[答案] {x |x ≤8}课后限时自测[A 级 基础达标练]一、填空题1．(2013·某某高考改编)函数y ＝lg x ＋1x －1的定义域是________．[解析] 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1≠0，解得x >－1且x ≠1.[答案] (－1,1)∪(1，＋∞)2．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是________．①y ＝x 2x ；②y ＝(x )2；③y ＝lg 10x ；④y ＝2log 2x [解析] ①y ＝x 2x＝x (x ≠0)．②y ＝(x )2＝x (x ≥0)． ③y ＝lg 10x＝x .④y ＝2log 2x ＝x (x >0)．[答案] ③3．已知函数f (x )由下表给出 x 1 2 317 / 21若f (f (x ))>1，则x 的值是________． [解析] 由表格知f (f (1))＝f (2)＝3，f (f (2))＝f (3)＝1，f (f (3))＝f (1)＝2，∴f (f (x ))>1时，x 的值为3或1.[答案] 1或34．函数y ＝31－1－x的定义域是________． [解析] 由⎩⎨⎧ 1－x ≥0，1－1－x ≠0，得⎩⎨⎧ x ≤1，1－x ≠1，解得x ≤1且x ≠0. [答案] (－∞，0)∪(0,1] 5．(2014·兴化安丰中学检测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 函数f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,5]上是增函数，且f (1)＝5，f (2)＝4，f (5)＝295，故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，295. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，295 6．已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,2]，则函数y ＝f (x －1)的定义域为________．[解析] y ＝f (x )的定义域为[－2,2]，对于函数y ＝f (x －1)，－2≤x －1≤2，即－1≤x ≤3.[答案] [－1,3]7．若f (x －1)＝x 2，则f (x )＝________.[解析] 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋118/ 21 [答案] x 2＋2x ＋18．已知f (x )是一次函数，且f (0)＝1，f (1)＝0，则f (x )＝________. [解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1.∴f (x )＝－x ＋1.[答案] －x ＋1二、解答题9．(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0. 若f (a )＋f (1)＝0，某某数a 的X 围．[解] ∵f (1)＝lg 1＝0，由f (a )＋f (1)＝0得f (a )＝0.当a >0时，f (a )＝lg a ＝0，∴a ＝1.当a ≤0时，f (a )＝a ＋3＝0，∴a ＝－3.综上a 的值为1或－3.10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值；(2)求f (g (x ))的解析式．19 / 21 [解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x ＞0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ， x ＞0，x 2－4x ＋3， x ＜0.[B 级 能力提升练]一、填空题1．(2013·某某高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.[答案] －220 / 21 2．(2014·某某高考)函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． [解析] 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x＞0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1x ＞0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1或x ＞0，－1≤x ≤1，解得0＜x ≤1，所以定义域为( 0,1]． [答案] ( 0,1]二、解答题3．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )．[解] (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－32.word21 / 21 ∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.。

第二单元 函数与导数B1 函数及其表示5．B1[2016·江苏卷] 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．5．[－3，1] [解析] 令3－2x －x 2≥0可得x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]．11．B1、B4[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )的值是________．11．－25 [解析] 因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.B2 反函数5．B2[2016·上海卷] 已知点(3，9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________．5．log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞) [解析] 将点(3，9)的坐标代入函数f (x )的解析式得a ＝2，所以f (x )＝1＋2x ，所以f －1(x )＝log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞)．B3 函数的单调性与最值14．B3，B12[2016·北京卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．14．①2 ②(－∞，－1) [解析] 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3－3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1.13．B3、B4[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．13.（12，32） [解析] 由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.18．B3，B4[2016·上海卷] 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题18．D [解析] f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）]2.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题．B4 函数的奇偶性与周期性 11．B1、B4[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )的值是________．11．－25 [解析] 因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.15．B4、B12[2016·全国卷Ⅲ] 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．15．y ＝－2x －1 [解析] 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x－3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1x－3，即f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.14．B4[2016·四川卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f －52＋f (1)＝________．14．－2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)． 因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )， 所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f 12＝412＝2， 所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－2，从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 9．B4[2016·山东卷] 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，fx ＋12＝fx －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．29．D [解析] ∵当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，∴f (x )的周期为1，则f (6)＝f (1)．又∵当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (1)＝－f (－1)．又∵当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝(－1)3－1＝－2，∴f (6)＝－f (－1)＝2.13．B3、B4[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．13.（12，32） [解析] 由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.18．B3，B4[2016·上海卷] 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题18．D [解析] f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）]2.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题．B5 二次函数B6 指数与指数函数5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y <0 D ．ln x ＋ln y >05．C [解析] 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y <0，故结论不成立；选项B中，当x ＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x 是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．19．B6、B9、B12[2016·江苏卷] 已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．(1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x .①方程f (x )＝2，即2x＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0.②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝[f (x )]2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln aln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0. 因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.6．B6[2016·全国卷Ⅲ] 已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b6．A [解析] b ＝425＝245<243＝a ，c ＝523>423＝243＝a ，故b <a <c .12．B6、B7[2016·浙江卷] 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b＝________．12．4 2 [解析] 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0<t <1.由t ＋1t ＝52，化简得t 2－52t ＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b ＝a a ，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝12a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2.B7 对数与对数函数5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y <0D ．ln x ＋ln y >05．C [解析] 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y <0，故结论不成立；选项B中，当x ＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x 是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c <b c B ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c8．C [解析] 根据幂函数性质，选项A 中的不等式不成立；选项B 中的不等式可化为b c －1<a c －1，此时－1<c －1<0，根据幂函数性质，该不等式不成立；选项C 中的不等式可以化为a b >log a c log b c ＝log c b log c a ＝log a b ，此时a b >1，0<log a b <1，故此不等式成立；选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ，进而1lg a >1lg b ，进而lg a <lg b ，即a <b ，故在已知条件下选项D 中的不等式不成立． 21．B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)， 因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|.当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A .9．B7，E6[2016·四川卷] 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)9．A [解析] 不妨设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中0<x 1<1<x 2.由l 1，l 2分别是点P 1，P 2处的切线，且f ′(x )＝⎩⎨⎧－1x ，0<x <1，1x ，x >1，得l 1的斜率k 1＝－1x 1，l 2的斜率k 2＝1x 2.又l 1与l 2垂直，且0<x 1<x 2，所以k 1·k 2＝－1x 1·1x 2＝－1⇒x 1·x 2＝1，l 1：y ＝－1x 1(x －x 1)－ln x 1①，l 2：y ＝1x 2(x －x 2)＋ln x 2②，则点A 的坐标为(0，1－ln x 1)，点B 的坐标为(0，－1＋ln x 2)， 由此可得|AB |＝2－ln x 1－ln x 2＝2－ln(x 1·x 2)＝2.联立①②两式可解得交点P 的横坐标x P ＝2－ln （x 1x 2）x 1＋x 2＝2x 1＋x 2，所以S △P AB ＝12|AB |·|x P |＝12×2×2x 1＋x 2＝2x 1＋1x 1≤1，当且仅当x 1＝1x 1，即x 1＝1时，等号成立．而0<x 1<1，所以0<S △P AB <1，故选A.12．B6、B7[2016·浙江卷] 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b＝________．12．4 2 [解析] 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0<t <1.由t ＋1t ＝52，化简得t 2－52t ＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b ＝a a ，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝12a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2.B8 幂函数与函数的图像 7．B8，B12[2016·全国卷Ⅰ] 函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图像大致为( )图1-27．D [解析] 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x .令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x ，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D.8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c <b c B ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c8．C [解析] 根据幂函数性质，选项A 中的不等式不成立；选项B 中的不等式可化为b c －1<a c －1，此时－1<c －1<0，根据幂函数性质，该不等式不成立；选项C 中的不等式可以化为a b >log a c log b c ＝log c b log c a ＝log a b ，此时a b >1，0<log a b <1，故此不等式成立；选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ，进而1lg a >1lg b ，进而lg a <lg b ，即a <b ，故在已知条件下选项D 中的不等式不成立．12．B8[2016·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则（x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m12．B [解析] 由f(－x)＝2－f(x)得f(x)的图像关于点(0，1)对称，∵y ＝x ＋1x ＝1＋1x的图像也关于点(0，1)对称，∴两函数图像的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(x i ，y i )和(x′i ，y′i )均满足x i ＋x′i ＝0，y i ＋y′i ＝2，∴＝0＋2·m2＝m.B9 函数与方程19．B6、B9、B12[2016·江苏卷] 已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．(1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x .①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0.②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝[f (x )]2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln aln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0. 因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.15．B9[2016·山东卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．15．(3，＋∞) [解析] 画出函数f (x )的图像如图所示，根据已知得m >4m －m 2，又m >0，解得m >3，故实数 m 的取值范围是(3，＋∞)．B10 函数模型及其应用 B11 导数及其运算21．B11，B12，E8[2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a ，此时，当x ∈（0，12a ）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)令g (x )＝1x －1ex －1，s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0.当0<a <12时，12a>1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a）>0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0.因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈[12，＋∞).B12 导数的应用14．B3，B12[2016·北京卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．14．①2 ②(－∞，－1) [解析] 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3－3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1.17．G1、G7、B12[2016·江苏卷] 形状是正四棱锥P - A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1(如图1-5所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m17．解：(1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P - A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)， 正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a (m)，PO 1＝h (m)，则0<h <6，O 1O ＝4h .连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数． 故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此，当PO 1＝2 3 m19．B6、B9、B12[2016·江苏卷] x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．(1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x .①方程f (x )＝2，即2x＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0.②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝[f (x )]2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln aln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0. 因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.7．B8，B12[2016·全国卷Ⅰ] 函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图像大致为( )图1-27．D [解析] 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x .令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x ，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D.21．B12[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.21．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． (i)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点．(ii)设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a （b 2－32b ）>0，故f (x )存在两个零点．(iii)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln(－2a )>1.故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞) 时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2.设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0， 从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2. 15．B4、B12[2016·全国卷Ⅲ] 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．15．y ＝－2x －1 [解析] 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x－3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1x－3，即f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.21．B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)， 因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|.当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A . 21．B11，B12，E8[2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a，此时，当x ∈（0，12a ）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)令g (x )＝1x －1ex －1，s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0.当0<a <12时，12a>1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a）>0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0.因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈[12，＋∞).16．B12[2016·全国卷Ⅱ] 若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．16．1－ln 2 [解析] 曲线y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(其中x 1为切点横坐标)，曲线y ＝ln(x ＋1)的切线为y ＝1x 2＋1·x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(其中x 2为切点横坐标)．由题可知⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x2x 2＋1，解得⎩⎨⎧x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.21．B12[2016·全国卷Ⅱ] (1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0.(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x >0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．21．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x（x ＋2）2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1.所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.(2)证明：g ′(x )＝（x －2）e x ＋a （x ＋2）x 3＝x ＋2x3[f (x )＋a ]．由(1)知，f (x )＋a 单调递增，对任意a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1<0，f (2)＋a ＝a ≥0，因此，存在唯一x a ∈(0，2]，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0. 当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为 g (x a )＝e x a －a （x a ＋1）x 2a ＝e x a ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a ＝e x ax a ＋2， 于是h (a )＝e x a x a ＋2.由e x x ＋2′＝（x ＋1）e x （x ＋2）2>0(x >0)，可知y ＝e xx ＋2(x >0)单调递增，所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e 24.因为y ＝e x x ＋2单调递增，对任意λ∈（12，e 24]，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ，所以h (a )的值域是（12，e 24].综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是（12，e 24].10．B12[2016·山东卷] 若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 310．A [解析] 由函数图像上两点处的切线互相垂直，可知函数在这两点处的导数之积为－1，经检验，选项A 符合题意．20．B12，B14[2016·山东卷] 已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈[1，2]成立．20．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增，若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x 3（x －2a ）（x ＋2a）. (i)当0<a <2时，2a>1. 当x ∈(0，1)或x ∈（2a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 当x ∈（1，2a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． (ii)当a ＝2时，2a ＝1，在区间(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． (iii)当a >2时，0<2a<1. 当x ∈（0，2a）或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈2a，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，＋∞）上单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，f (x )在（0，2a）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－（1－1x －2x 2＋2x 3）＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈[1，2]．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈[1，2]，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )． 由g ′(x )＝x －1x≥0， 可得g (x )≥g (1)＝1，当且仅当x ＝1时取得等号． 又h ′(x )＝－3x 2－2x ＋6x 4.设φ(x )＝－3x 2－2x ＋6，则φ(x )在[1，2]上单调递减． 因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x 0∈(1，2)，使得当x ∈(1，x 0)时，φ(x )＞0，x ∈(x 0，2)时，φ(x )＜0. 所以h (x )在(1，x 0)上单调递增，在(x 0，2)上单调递减． 由h (1)＝1，h (2)＝12，可得h (x )≥h (2)＝12，当且仅当x ＝2时取得等号．所以f (x )－f ′(x )＞g (1)＋h (2)＝32，即f (x )＞f ′(x )＋32对于任意的x ∈[1，2]成立．20．B12[2016·天津卷] 设函数f (x )＝(x －1)3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝3； (3)设a >0，函数g (x )＝|f (x )|，求证：g (x )在区间[0，2]上的最大值不小于14.20．解：(1)由f (x )＝(x －1)3－ax －b ，可得f ′(x )＝3(x －1)2－a . 下面分两种情况讨论： (i)当a ≤0时，有f ′(x )＝3(x －1)2－a ≥0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． (ii)当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1＋3a 3或x ＝1－3a3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递减区间为（1－3a 3，1＋3a 3），单调递增区间为（－∞，1－3a 3），（1＋3a3，＋∞）. (2)证明：因为f (x )存在极值点，所以由(1)知a >0，且x 0≠1.由题意，得f ′(x 0)＝3(x 0－1)2－a ＝0，即(x 0－1)2＝a 3，进而f (x 0)＝(x 0－1)3－ax 0－b ＝－2a 3x 0－a3－b .又f (3－2x 0)＝(2－2x 0)3－a (3－2x 0)－b ＝8a 3(1－x 0)＋2ax 0－3a －b ＝－2a 3x 0－a3－b ＝f (x 0)，且3－2x 0≠x 0，由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝3－2x 0， 所以x 1＋2x 0＝3.(3)证明：设g (x )在区间[0，2]上的最大值为M ，max{x ，y }表示x ，y 两数的最大值．下面分三种情况讨论：(i)当a ≥3时，1－3a 3≤0<2≤1＋3a 3，由(1)知，f (x )在区间[0，2]上单调递减，所以f (x )在区间[0，2]上的取值范围为[f (2)，f (0)]，因此M ＝max{|f (2)|，|f (0)|}＝max{|1－2a －b |，|－1－b |}＝max{|a －1＋(a ＋b )|，|a －1－(a ＋b )|}＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋（a ＋b ），a ＋b ≥0，a －1－（a ＋b ），a ＋b <0， 所以M ＝a －1＋|a ＋b |≥2.(ii)当34≤a <3时，1－23a 3≤0<1－3a 3<1＋3a 3<2≤1＋23a 3.由(1)和(2)知f (0)≥f （1－23a 3）＝f （1＋3a 3），f (2)≤f （1＋23a 3）＝f （1－3a 3），所以f (x )在区间[0，2]上的取值范围为[f （1＋3a 3），f （1－3a3）]， 因此M ＝max{|f(1＋3a 3)|，|f (1－3a 3)|＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2a 93a －a －b ，2a 93a －a －b ＝ max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 93a ＋（a ＋b ），2a 93a －（a ＋b ）＝2a 93a ＋|a ＋b |≥29×34×3×34＝14. (iii)当0<a <34时，0<1－23a 3<1＋23a 3<2，由(1)和(2)知f (0)<f (1－23a 3)＝f (1＋3a3)，f (2)>f (1＋23a 3)＝f (1－3a3).所以f (x )在区间[0，2]上的取值范围为[f (0)，f (2)]，因此M ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝max{|－1－b |，|1－2a －b |}＝max{|1－a ＋(a ＋b )|，|1－a －(a ＋b )|}＝1－a ＋|a ＋b |>14.综上所述，当a >0时，g (x )在区间[0，2]上的最大值不小于14.03[2016·浙江卷]“复数与导数”模块(1)已知i 为虚数单位．若复数z 满足(z ＋i)2＝2i ，求复数z . (2)求曲线y ＝2x 2－ln x 在点(1，2)处的切线方程． 解：(1)设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，由题意得 a 2－(b ＋1)2＋2a (b ＋1)i ＝2i ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. 故z ＝1或z ＝－1－2i.(2)由于(2x 2－ln x )′＝4x －1x，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为3.因此，曲线在点(1，2)处的切线方程为y ＝3x －1. B13 定积分与微积分基本定理 B14 单元综合18．B14[2016·北京卷] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间．18．解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)， 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 21．B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)， 因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|.当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A . 15．B14[2016·四川卷] 在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．15．②③ [解析] ①设点A 的坐标为(x ，y )，则其“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，故。

热点问题2 三角形中的三角函数一、填空题1．在锐角三角形ABC 中，A B BC 2,1==，则AC 的取值范围是_________． 答案解析 由正弦定理得sin 2cos sin BC AC B A A ==．而π02π022π0ππ32A B A C A B A ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=--=-<⎪⎩，所以ππ64A <<，从而AC ∈．2．若ABC ∆的内角,A B 满足sin 2cos()sin BA B A=+，则B 的最大值为_________． 答案π6解析 由条件得2sin 2sin cos()2sin cos cos 2sin sin B A A B A A B A B =+=-,所以222sin cos 2tan 2tan 112sin 13tan 33tan tan A A AB A AA A===≤+++,从而B 的最大值为π6．3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足s i n c o sc A a C =．当πs i n c o s ()4A B -+取最大值时，A 的大小为_________． 答案π3解析 由sin cos c A a C =及正弦定理得tan 1C =，所以π4C =．又πππcos()cos((π))cos 2sin()446A B A A C A A A -+=---+=+=+．因为3π04A <<，所以当π3A =πcos()4A B -+取最大值2．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为_________．答案解析由2a =，(2)(sin sin )()sin b A B c b C+-=-得()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-．由正弦定理得222()()(),a b a b c b c b c a bc +-=-+-=，1cos ,23A A π==． 因为222b c a bc +-=，所以22224,42,4b c bc b c bc bc bc +-=+=+≥≤，当且仅当b c =时取等号．所以1sin 2ABC S bc A =≤ 5．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则m 的取值范围是_________． 答案 ()2,+∞解析 不妨设A B C <<，则由条件得π3B =．πsin()sin 3πsin sin()3c C m a A θθ+===-，展开后整理得1m ==-ππ63θ<<，从而2m >． 6．已知ABC ∆的三内角,,A B C 成等差数列，且角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．则下列命题中正确的有_________．（把所有正确的命题序号都填上） ①π3B =；②若,,a b c 成等比数列，则ABC ∆为等比三角形；③若2a c =，则ABC 为锐角三角形；④若2AB AB AC BA BC CA CB =++ ，则3A C =；⑤t a n t a n 3A C +，则ABC ∆为钝角三角形． 答案 ①②④ 解析对④而言：由2AB AB AC BA BC CA CB=++得2cos cos cos a bc A ac B ab C =++,根据余弦定理得2222222222222b c a a c b a b c c bc ac ab bc ac ab+-+-+-=⨯+⨯+⨯，整理得222c a b =+，所以π2C =，从而π,36A C A ==． 7．在ABC ∆中，2223(s i n s i n s i n 23s i n s i n B C A B C +-=,且ABC ∆的面积为BC 边上的高的最大值 ．答案1解析由正弦定理：2223()b c a +-=，cos sin 33A A ∴=∴=11sin 22S bc A ===6bc ∴=+22223()3(2)b c a bc a ∴+-=≥-，23(624,a bc a ∴≥-=∴≥2Sh a∴=1 8．如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°（即60C ︒∠=），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记ABC θ∠=，当θ为 时，所建造的三角形露天活动室的面积最大． 答案π3解析 在ABC ∆中，由正弦定理：ππsin sin sin()33AC AB BCθθ==+，化简得sin AC θ=，πsin()3BC θ=+，所以1πsin 23ABC S AC BC ∆=⋅⋅π1sin sin()(sin )32θθθθθ=⋅+=⋅21cos 2cos )3(2)2θθθθθ-=⋅=1π[sin(2)]26θ=+-，即πsin(2)6ABC S θ∆=-+2π(0)3θ<<． 所以当ππ262θ-=，即π3θ=时，max ()ABC S ∆=二、解答题9．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222a cb ac +=-. （1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD BD ==,求cos C 的值.解：（1）222a cb ac +=- ，2221cos 22a cb B ac +-∴==- 2(0,π),π3B B ∈∴=（2）在ABD ∆中，由正弦定理:sin sin AD BDB BAD=∠sin 1sin4BD B BAD AD ∴∠===,17cos cos 212168BAC BAD ∴∠=∠=-=sin BAC ∴∠==()cos cos 60C BAC ︒∴∠=-∠=10.在锐角ABC ∆中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量2(2sin((cos 2,2cos 1),2BA CB =+=-m n 且,m n 共线． （1）求角B 的大小；（2）如果1b =，求ABC ∆的面积的最大值．解 （1）因为(2sin (cos2,cos )B B B ==m n ，且,m n 共线，所以2sin cos 0B B B =，得πtan 22B B =<<，π6B =．（2）因为2222cos b a c ac B =+-,所以22π12cos(26a c ac ac =+-≥，2ac ≤=+a c =时取等号．从而1sin 2ABC S ac B ∆=≤，ABC ∆11.已知函数2()sin cos cos (,f x x x m x n m n ++∈R ）在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，当0m >时，()1,s i n 4s i n π)f A B C ==-，当ABC ∆a 的值．解 （1）整理得π1()sin(2)62f x m x m n =+++．因为π04x ≤≤,所以1πsin(2)126x ≤+≤． 当m >时，()f x 的值域为3,2m n m n ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦．因此，12π,,()2sin(2)31622m n m f x x n m n +=⎧=⎧⎪=+⎨⎨=-+=⎩⎪⎩，增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． 当m <时，()f x 的值域为3,2m n m n ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦．因此，321π,,()2sin(2)32462m m n f x x n m n ⎧=-+=⎧⎪=-++⎨⎨=⎩⎪+=⎩，增区间为π2ππ,π,63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． （2）由条件得ππ()2sin(2)1,63f A A A =+==． 由sin 4sin(π)B C =-及正弦定理得4b c =．由21sin 2ABC S bc A ∆==得1,4c b ==，从而a ． 12．（11届苏州一模）如图，ABC ∆为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3（百米），底AB 的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为1S 和2S ．（1）若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； （2）求12S S 的最小值．解：(1) ∵ E 为AC 中点，∴ AE ＝CE ＝32.∵ 32＋3＜32＋4，∴ F 不在BC 上． 若F 在AB 上，则AE ＋AF ＝3－AE ＋4－AF ＋3，∴ AE ＋AF ＝5. ∴ AF ＝72＜4.(4分)在△ABC 中，cosA ＝23.在△AEF 中，EF 2＝AE 2＋AF 2－2AE·AFcosA ＝94＋494－2×32×72×23＝152，∴ EF ＝302. 即小路一端E 为AC 的中点时小路的长度为302(百米)． (2) 若小道的端点E 、F 点都在两腰上，如图，设CE ＝x ，CF＝y ，则x ＋y ＝5，S 1S 2＝S △CAB －S △CEF S △CEF ＝S △CAB S △CEF －1 ＝12CA·CBsinC 12CE·CFsinC －1 ＝9xy －1≥9 x ＋y 22－1 ＝1125(当x ＝y ＝52时取等号)； 若小道的端点E 、F 分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上， 设AE ＝x ，AF ＝y ，则x ＋y ＝5， S 1S 2＝S △ABC －S △AEF S △AEF ＝S △ABC S △AEF－1 ＝12xy －1≥12 x ＋y 22－1＝2325(当x ＝y ＝52时取等号)． 答：最小值是1125.。

2016年学易高考三轮复习系列：讲练测之核心热点【江苏版】热点二十函数与导数综合大题【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例1 【2013江苏高考】设函数，，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.例2 【2014江苏高考】（满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.例3 【2015江苏高考】已知函数.（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值.【热点深度剖析】1. 从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的性质问题已成为炙手可热的考点，与导数知识相比，导数方法更显重要，它比初等数学的方法刻画更精细、计算更快捷、运用更广泛，所以高考真正重视的是对导数方法的考查．预测2016年高考仍将以利用导数研究函数的性质为主要考向．2. 在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. （3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.4.预计16年函数依然是考查重点，必考大题，只不过函数题可以有初等方法或导数方法两种思路的区别.也可以在同一解中，初等方法和导数方法交替使用.【最新考纲解读】【重点知识整合】一、与的关系：．二、（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差（比）等于同一常数的数列叫等差（比）数列．（２）递推公式：．（３）通项公式：．（４）等差数列性质①单调性：时为递增数列，时为递减数列，时为常数列．②若，则．特别地，当时，有③．④成等差数列．等比数列性质①单调性：当或时，为递增数列；当，或时为递减数列；当时为摆动数列；当时为常数列．②若，则特别地若则③．④，…，当时为等比数列；当时，若为偶数，不是等比数列．若为奇数是公比为的等比数列．【应试技巧点拨】一、数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法，若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。

第十一节导数在研究函数中的应用考纲传真内容要求A B C 利用导数研究函数的单调性与极值最值√1．函数的单调性与导数1 / 222．函数的极值与导数(1)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝a附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，且f′(a)＝0，此时f(a)比x＝a附近点的函数值都要大，我们称f(a)为函数f(x)的一个极大值．(2)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝b附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，且f′(b)＝0，此时，f(b)比x＝b附近点的函数值都要小，我们称f(b)为函数f(x)的一个极小值．3．函数的最值(1)最大值与最小值的概念如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．(2)求f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤2 / 22第一步：求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步：将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．( )(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )[解析] (1)f′(x)>0⇒f(x)为增函数，f(x)为增函数⇒f′(x)≥0.即f′(x)>0是f(x)的充分不必要条件．(1)错误．(2)f′(x0)＝0D⇒/x0点为极值点．如要推出还要求x0附近左右的函数单调性相反．x0点为极值点⇒f′(x0)＝0.即f′(x0)＝0是x0点为极值点的必要不充分条件．(2)错误．(3)函数的极值是极值点附近的性质，因此极大值和另一极小值之间的大小关系不能确定．(3)正确．(4)最大值和最小值可能在端点处，因此可能不是极值．(4)正确．[答案] (1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编题)函数f(x)＝e x－x的单调递增区间是________．[解析] f′(x)＝e x－1，函数f(x)单调递增，∴f′(x)＝e x－1>0得x>0.3 / 224 / 22[答案] (0，＋∞)3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________． [解析] ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ， 有f (0)>f (2)>f (－2)．∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37. [答案] －374．(2014·新课标Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值X 围是________． [解析] 由已知得f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1[答案] [1，＋∞)5．(2014·某某调研)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则f (x )的极小值是________．[解析] ∵f (x )＝2x＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x.由f ′(x )＝0解得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．5 / 22∴f (x )的极小值f (2)＝1＋ln 2.[答案] 1＋ln 2考向1 利用导数研究函数的单调性【典例1】 (2014·某某高考)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．求函数的单调区间．[解] (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ， ∴当a ≥1时，Δ≤0，∴f ′(x )≥0， 此时f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．当a <1时，方程x 2＋2x ＋a ＝0的两根为－1±1－a ，当x ∈(－∞，－1－1－a )时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增， 当x ∈(－1－1－a ，－1＋1－a )时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减， 当x ∈(－1＋1－a ，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．综上，a ≥1时，f (x )在(－x ，＋∞)上单调递增．当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )，(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．【规律方法】求可导函数f (x )的单调区间的一般步骤：第一步，确定函数的定义域；第二步，求导数f ′(x )；第三步，解不等式f ′(x )>0，得f (x )的单调递增6 / 22区间，解不等式f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间．【变式训练1】 (2014·某某高考)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x >0)．求f (x )的单调区间． [解] f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x >0，此时f ′(x )<0； 当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )． 考向2 利用导数研究函数的极值【典例2】 (2014·某某高考)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2.7 / 22令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5. 【规律方法】1．求函数的极值一般步骤是：(1)求函数的定义域．(2)求f ′(x )＝0的x 值，判断零点左右两侧导函数的符号．(3)得出结论． 2．导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点． 3．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 【变式训练2】 (2014·某某高考)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .求f (x )的单调区间和极值．[解] 由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，＋∞.当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0，当x＝1a时，f(x)有极大值，且极大值f⎝⎛⎭⎪⎫1a＝13a2.8 / 229 / 22考向3 利用导数研究函数的最值(高频考点)命题视角 从近年高考试题看，导数的应用是考查的热点，主要出题角度有：(1)利用导数求函数的单调性、最值；(2)利用导数求取得最值时的x 值．【典例3】 (2014·某某高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．【思路点拨】 (1)对f (x )求导数，令f ′(x )＝0及a >0求得两根，令f ′(x )>0，f ′(x )<0分别求得单调递增区间与单调递减区间；(2)利用a >0，讨论(1)中根x 1，x 2与区间[0,1]的位置关系，进一步确定f (x )在[0,1]上的单调性，再求x 的值．[解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．10 / 22又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 【通关锦囊】1．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． 3．求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般利用导数法判断．【变式训练3】 (2014·某某高考)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] 由f (x )＝e x－ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x－2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，11 / 22因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . 综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .牢记1个提醒 函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．记清3个条件 1.在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2.可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零． 3.对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．勿忘3点注意 1.求单调区间应遵循定义域优先的原则． 2.极值一定不会在区间端点处取得． 3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．思想方法之7分类讨论的思想在导数中的应用(14分)(2013·某某高考)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．[解] (1)当a＝1时，f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.又因为f(2)＝4，所以切线方程为y－4＝6(x－2)，即6x－y－8＝0.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a.当a>1时，x 0(0,1)1(1，a) a (a,2a)2a f′(x)＋0－0＋f(x)0单调递增极大值3a－1 单调递减极小值a2(3－a) 单调递增4a3 212 / 2213 / 22g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 23－a ，a >3.当a <－1时，x 0 (0,1) 1 (1，－2a ) －2a f ′(x )－ 0＋f (x )单调递减极小值3a －1单调递增－28a 3－24a 2得g (a )＝3a －1.综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为 g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 23－a ，a >3.【智慧心语】易错提示：(1)不讨论a 与1的大小． (2)不比较f (0)与f (a )的大小．防X 措施：(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．【类题通关】 已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． [解] (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当 1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.14 / 2215 / 22课后限时自测(见学生用书第274页)[A 级 基础达标练]一、填空题1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为________．[解析] 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex>0，故单调增区间是(0，＋∞)．[答案] (0，＋∞)2．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． [解析] 由已知f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 由(x －11)(x ＋1)≤0得单调减区间为[－1,11]． [答案] [－1,11]3．(2014·某某调研)函数y ＝e x －ln x 的值域为________．[解析] 函数的定义域为{x |x >0}，y ′＝e －1x ＝e x －1x ，令y ′＝0得x ＝1e ，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上为减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上为增函数，x ＝1e 时，y min ＝2，即y ≥2.[答案] [2，＋∞)16 / 224．(2011·某某高考)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． [解析] 由已知f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当x <0时，f ′(x )>0， 当0<x <2时，f ′(x )<0， 当x >2时，f ′(x )>0， 故当x ＝2时f (x )取得极小值． [答案] 25．(2014·某某市北高中检测)函数f (x )＝x ln x 在区间[1，t ＋1](t >0)上的最小值为________． [解析] f ′(x )＝ln x ＋1，当x ≥1时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝x ln x 在区间[1，t ＋1](t >0)是增函数． ∴最小值为f (1)＝0. [答案] 06．(2014·某某期中检测)已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________． [解析] f ′(x )＝2f ′1x－1，令x ＝1，f ′(1)＝2f ′(1)－1得f ′(1)＝1， ∴f (x )＝2ln x －x ，f ′(x )＝2x－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， ∴f (x )的极大值为f (2)＝2ln 2－2.17 / 22[答案] 2ln 2－27．(2013·某某高考改编)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k(k ＝1,2)，则下面四种说法正确的是________(填序号)． ①当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 ②当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 ③当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 ④当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 [解析] 当k ＝1时，f (x )＝(e x－1)(x －1)， 则f ′(x )＝e x (x －1)＋(e x －1)＝e xx －1， 所以f ′(1)＝e －1≠0， 所以f (1)不是极值．当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2， 则f ′(x )＝e x (x －1)2＋2(e x－1)(x －1) ＝e x(x 2－1)－2(x －1) ＝(x －1)[e x(x ＋1)－2]，所以f ′(1)＝0，且当x ＞1时，f ′(x )＞0；在x ＝1附近的左侧，f ′(x )＜0，所以f (1)是极小值． [答案] ③8．(2014·某某高考改编)函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为________．[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x 2>1，解得x >2或0<x <12.18 / 22[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)二、解答题9．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解] (1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增， 在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 10．(2011·某某高考)设f (x )＝ex1＋ax2，其中a 为正实数．19 / 22(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值X 围． [解] 对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax1＋ax22①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0则4x 2－8x ＋3＝0解得x 1＝32，x 2＝12又当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1212 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值∴x 1＝32是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0得0<a ≤1. 所以a 的取值X 围为{a |0<a ≤1}．[B 级 能力提升练]一、填空题20 / 221．(2014·某某模拟)若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值X 围________．[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x ＝2x 2－12x ＝2x ＋12x －12x，由f ′(x )>0得x >12，由f ′(x )<0得0<x <12，要使函数在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则有0≤k －1<12<k ＋1，解得1≤k <32，即k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，322．已知函数f (x )＝ln x －m x(m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________. [解析] 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋m x 2＝x ＋mx2，①当m ≥0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝－m ＝4， ∴m ＝－4，舍去．②当m <0时，f (x )在(0，－m )上递减，在(－m ，＋∞)上递增． ⅰ.当－m >e ，即m <－e 时，f (x )min ＝f (e)＝1－me＝4，∴m ＝－3e.ⅱ.当1≤－m ≤e，即－e≤m ≤－1时，f (x )min ＝f (－m )＝ln(－m )＋1＝4，∴m ＝－e 3，舍去． ⅲ.当－m <1，即m >－1时，f (x )min ＝f (1)＝－m ＝4，21 / 22∴m ＝－4，舍去．[答案] －3e二、解答题3．(2014·某某质检)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[解] (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)． 则a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b .解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝14a 2时， h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a 6. a >0时，h (x )与h ′(x )的变化情况如下：22 / 22 所以h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，＋∞；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6. 当－a 2≥－1，即0<a ≤2时， 函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2. 当－a 2<－1，且－a 6≥－1，即2<a ≤6时， 函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 2，－1上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当－a 6<－1，即a >6时， 函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 6，－1上单调递增， 又因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h －a 2＝1.。

2016届高考数学第2章 第11节 导数在研究函数中的应用课后限时自测 理 苏教版[A 级 基础达标练]一、填空题1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为________．[解析] 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex>0，故单调增区间是(0，＋∞)．[答案] (0，＋∞)2．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． [解析] 由已知f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 由(x －11)(x ＋1)≤0得单调减区间为[－1,11]． [答案] [－1,11]3．(2014·苏州调研)函数y ＝e x －ln x 的值域为________．[解析] 函数的定义域为{x |x >0}，y ′＝e －1x ＝e x －1x ，令y ′＝0得x ＝1e，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上为减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上为增函数，x ＝1e 时，y min＝2，即y ≥2.[答案] [2，＋∞)4．(2011·广东高考)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． [解析] 由已知f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当x <0时，f ′(x )>0， 当0<x <2时，f ′(x )<0， 当x >2时，f ′(x )>0， 故当x ＝2时f (x )取得极小值． [答案] 25．(2014·无锡市北高中检测)函数f (x )＝x ln x 在区间[1，t ＋1](t >0)上的最小值为________．[解析] f ′(x )＝ln x ＋1，当x ≥1时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝x ln x 在区间[1，t ＋1](t >0)是增函数． ∴最小值为f (1)＝0. [答案] 06．(2014·盐城期中检测)已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________．[解析] f ′(x )＝2fx－1，令x ＝1，f ′(1)＝2f ′(1)－1得f ′(1)＝1， ∴f (x )＝2ln x －x ，f ′(x )＝2x－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， ∴f (x )的极大值为f (2)＝2ln 2－2. [答案] 2ln 2－27．(2013·浙江高考改编)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k(k ＝1,2)，则下面四种说法正确的是________(填序号)．①当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 ②当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 ③当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 ④当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 [解析] 当k ＝1时，f (x )＝(e x－1)(x －1)， 则f ′(x )＝e x (x －1)＋(e x －1)＝e xx －1， 所以f ′(1)＝e －1≠0， 所以f (1)不是极值．当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2， 则f ′(x )＝e x (x －1)2＋2(e x－1)(x －1) ＝e x (x 2－1)－2(x －1) ＝(x －1)[e x(x ＋1)－2]，所以f ′(1)＝0，且当x ＞1时，f ′(x )＞0；在x ＝1附近的左侧，f ′(x )＜0，所以f (1)是极小值．[答案] ③8．(2014·山东高考改编)函数f (x )＝12x2－1的定义域为________．[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x2>1，解得x >2或0<x <12.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)二、解答题9．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解] (1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增， 在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 10．(2011·安徽高考)设f (x )＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． [解] 对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax＋ax22①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0则4x 2－8x ＋3＝0解得x 1＝32，x 2＝12又当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下：∴x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0得0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．[B 级 能力提升练]一、填空题1．(2014·苏州模拟)若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围________．[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x＝x2－12x＝x ＋x －2x，由f ′(x )>0得x >12，由f ′(x )<0得0<x <12，要使函数在定义域内的一个子区间(k －1，k＋1)内不是单调函数，则有0≤k －1<12<k ＋1，解得1≤k <32，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，322．已知函数f (x )＝ln x －m x(m ∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________. [解析] 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋m x 2＝x ＋mx2，①当m ≥0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝－m ＝4， ∴m ＝－4，舍去．②当m <0时，f (x )在(0，－m )上递减，在(－m ，＋∞)上递增． ⅰ.当－m >e ，即m <－e 时，f (x )min ＝f (e)＝1－me＝4，∴m ＝－3e.ⅱ.当1≤－m ≤e，即－e≤m ≤－1时，f (x )min ＝f (－m )＝ln(－m )＋1＝4，∴m ＝－e 3，舍去．ⅲ.当－m <1，即m >－1时，f (x )min ＝f (1)＝－m ＝4， ∴m ＝－4，舍去． [答案] －3e 二、解答题3．(2014·连云港质检)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． [解] (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．则a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b .解得a ＝3，b ＝3. (2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.a >0时，h (x )与h ′(x )的变化情况如下：所以h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，＋∞；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－6.当－a2≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.当－a 2<－1，且－a6≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a2，－1上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当－a6<－1，即a >6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h －a2＝1.。

江苏省2016届高考数学最后冲刺卷二一、填空题:本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．定义在R 上的函数()y f x =是减函数,且函数()y f x =的图象关于原点成中心对称，若s ，t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t ---≤．则当14s ≤≤时,t s的取值范围是 。

1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2. 已知()tan sin 4f x a x b x =-+（其中以a b 、为常数且0ab ≠),如果(3)5f =，则(20123)f π-的值为.33．已知不同的三点A 、B 、C 满足BC AB λ=(λR ∈，0≠λ),使得关于x 的方程02=++OC OB x OA x有解(点O 不在直线AB 上)，则此方程在实数范围内的解集为________。

φ4．设P 是不等式组,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩表示的平面区域内的任意一点，向量(1,1)m =,(2,1)n =，若OP m n λμ=+(,λμ为实数）,则2λμ+的最大值为.55。

已知两点(1,0),(13),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且120AOC ∠=︒，设2()OC OA OB R λλ=+∈，且λ等于 ． 16. 已知函数),0()0,()(+∞⋃-∞是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为． 107。

已知圆C:x2＋y2＋kx ＋2y ＋k2＝0和定点P(1,－1），若过点P 作圆的切线有两条，则k 的取值范围是 。

－332＜k ＜－1或0＜k ＜3328。

已知函数)0)(6sin()(>-=ωπωx x f 和1)2cos(2)(++=ϕx x g 的图象的对称轴完成相同.若]2,0[π∈x ，则)(x f 的取值范同是 .]1,21[-9. △ABC 中AB=2，AC=3，，点D 是△ABC 的重心，则BC AD ⋅=．3510。