第3章-中子扩散理论

考虑稳态情况，同时假设：
(1)介质是无限的、均匀的； (2)在实验室坐标系中散射是各向同性的； (3)介质的吸收截面很小，即a << s (弱吸收介质)； (4)是随空间位置缓慢变化的函数。
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以所研究 的点作为 坐标原点
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考虑上半空间发生的散射使多少中子 从上到下穿过 dA
• 首先考虑体积元 dV 中的散射中子有多少可以 飞到dA上
• 由于散射中子各向同性地飞向四面八方,飞向 dA的只占一部分. 这一份额等于dA的面积与以 r 为半径的球面积之比,再乘以cos
• 此外并非所有飞向dA的中子都能够到达的dA, 沿途的碰撞会使得部分中子 ”偏离航向”
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能到达dA上的中子数是
dA cos t r s (r )dV e 2 4 r cos dA s r s (r )dV e 2 4 r
是研究大量粒子运动所表现的非平衡统计运动规律。
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发展简史：
– Clausius(1857)、Maxwell(1860)、Boltzmann(1868)的工作奠 定了最早的粒子输运理论—分子运动论的基础； – 1910年Hilber论述了Boltzmann方程解的存在性与唯一性，奠定 了输运理论的数学基础； – 天体物理、等离子物理、激光物理和固体物理等的发展提出并进 一步推动了辐射输运理论的研究； – 1939年发现中子后，随着核反应堆和核武的出现，中子输运理论 得到极快发展； – 1943年 Wick、Marshak、Mark等人提出并发展了球谐函数法； – 1946年 Von Neumann 和 Ulam等开发了第一个用概率论方法 （Monte Carlo方法）计算中子链式反应的程序； – 1955年 Carlson等人提出了离散纵标法(即早期SN方法) – 在上述方法的基础上，产生了大批应用程序软件
假设中子通量密度不随时间变化，可得稳态单能中子扩散方程
(3-34)
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把上半空间所有地方的散射中子的贡献 统统考虑进来,即对上半空间积分,就得到 从上而下穿过dA的总中子数目。
这个数目就是沿负z方向的分中子流密度 J z 乘以dA
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沿负z方向每秒穿过dA的中子数是
r s dA J dA (r )e s cos dv 4 r 2 V s dA 2 / 2 s r 0 0 0 (r )e cos sin drd d 4
– 确定性方法(Deterministic method)
• 数学模型用数学物理方程表示，然后采用数值方法求解 • 优点：计算快速，相对精确等
• 缺点：模型简化，大型多维问题需大量计算时间及存储空间等
• 典型方法：离散纵标法（SN） – 非确定性方法(蒙特卡罗方法，Monte Carlo method)： • 基于统计理论，通过计算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运动 • 优点：计算精确，可以模拟三维复杂几何模型 • 缺点：对于深穿透问题（Deep-penetration），计算非常耗时
如果扩散系数D与空间位置无关，可得
(3-32)
2 2 2 泄漏率 D 2 2 2 D 2 y z x
因此，如果斐克定律成立，连续方程可写为下式，即单能中子扩散方程
(3-33)
1 (r , t ) S (r , t ) D 2 (r , t ) a (r , t ) v t
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2、中子状态的描述
中子状态: 位置矢量 r (x,y,z)、能量E(或运 动速度v)、运动方向、 时间 （7个）
：单位矢量，模等 于1，方向表示中子的 运动方向，通过极角 和方位角来表示
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中子角密度：在r处单位体积内和能量为E的单位能量间
隔内，运动方向为 的单位立体角内的中子数目。
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如果某平面与中子流密度 方向不垂直， 那么每秒通过该平面上单位面积的净中子 数是
J (r )
n 是该平面的法线方向（单位）向量
J n
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中子流密度与中子通量密度的差别:
• 中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量 • 中子通量密度用于计算核反应率，是标量 • 两者的量纲相同 • 当所有中子运动方向相同时，中子通量与中子 流数量（大小）相等。
– 混合方法
• 研究热点
玻尔兹曼 输运方程 假设中子通 量密度角分 布各向同性 中子扩 散方程 假设中子具 有单一能量 单群中子 扩散方程
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二、单能中子扩散方程
1. 菲克定律
2. 菲克定律的推导
3. 菲克定律和扩散方程的使用范围
4. 单能中子扩散方程的建立 5. 扩散方程的边界条件
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1、菲克定律(Fick’s law)
( J z dz J z J z J z )dxdy ( J z dz J z )dxdy dxdydz z z
单位体积通过Z方向的中 J z 子消失率是
z
对 x 和 y方向可以采 用类似的表达式。
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中子泄漏的计算 结果，每单位体积内中子的泄漏率
J x J y J z L divJ J x y z (2 1)
z
由于已经假设中子通量密度是随空间位置缓慢变化的，将(r) 在原点处按泰勒级数展开，取1阶项，代入积分可得
1 J ( )0 4 6 s z
z
0
下标“0”表示原点
同理
1 J － ( )0 4 6 s z
＋ z
0
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单位时间沿着z方向穿过x y平面上单位面积的净中子数为
1 Jz J J ( )0 3 s z
z z
同理有 1 Jx ( )0 3 s x 1 Jy ( )0 3 s y
s s J J x i J y j J z k grad 3 3
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场论知识
• 数量场φ的梯度
• 向量场 J 的散度 div J J
算子
grad
i j k x y z 2 2 2 2 2 2 2 x y z
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2、菲克定律的推导
4
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中子扩散理论
求出介质内中子角通量密度的分布, 才算对介质内中子的 分布有了全面了解. 要做到这一点，需要研究中子输运理论，求解中子输运方 程。这是一个非常复杂和困难的任务. 在本课程中，我们研 究输运理论的简化形式－中子扩散理论。其第一步是研究中 子通量的空间分布：
φ(r)～ r
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3、反应堆物理与内穿过垂直于这
个方向的单位面积上的中子数目。
(r, E, ) n(r, E, )v( E)
对中子角密度和中子角通量对所有立体角方向积分，可得前 面所定义的中子密度和中子通量密度
n(r , E ) n(r , E , )d
4
(r , E ) (r , E , )d
4、单能中子扩散方程的建立
中子数守恒（中子数平衡）：在一定体积内，中子总数对时 间的变化率应等于在该体积内中子的产生率减去该体积内中子 的吸收率和泄漏率。
d V n(r, t )dV 产生率(S) 泄漏率(L) 吸收率(A) (3-25) dt
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中子泄漏的计算
考察右图，通过平行 x y 于平面的两个表面 逸出体积元的中子泄漏率为
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Contents
引言（输运过程、输运理论及扩散现象） 单能中子扩散方程 非增殖介质内中子扩散方程的解 扩散长度、慢化长度和徙动长度
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一、引言
输运过程及输运理论 中子状态的描述 反应堆物理与屏蔽计算的基本方法
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1、输运过程（Transport）以及输运理论
由于中子与原子核的无规则碰撞，中子在介质内的运动是一种 杂乱无章的具有统计性质的运动，即初始在堆内某一位置具有某 种能量及某一运动方向的中子，在稍晚些时候，将运动到堆内另 一位置以另一能量和另一运动方向出现。这一现象称为中子在介 质内的输运过程（Transport）。描述这一过程的精确方程为玻 尔兹曼输运方程（Boltzmann equation）。 输运理论：微观粒子(中子、光子、电子、离子和分子等)在介 质中的迁移统计规律的数学理论；不是研究个别粒子的运动，而
J D
称为菲克定律
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中子流密度
J D
上式中的 J (r ) 被称为中子流密度（简
称中子流、或流。 Current） . 中子流密度是一个向量,
其方向是通量场的负梯度方向. 其数值等于垂直于梯度方向的单位 面积上每秒穿过的净中子数目。 单位：中子/cm2. S
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产生率：
产生率 S(r, t )dV
V
(3-28)
吸收率：
吸收率 a (r, t )dV
V
(3-29)
中子连续方程：
n(r , t ) S (r , t ) a (r , t ) divJ(r , t ) t
(3-31)
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利用斐克定律
divJ (r , t ) divDgrad D D y z D z x x y
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令 D
s
3
，便完成了菲克定律之推导，得到
J D D称为扩散系数
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3、菲克定律和扩散理论的适用范围
介质是无限的、均匀的；
有限介质内，在距离表面几个自由程之外的内部区域， 斐克定律是近似成立的；
在距真空边界两三个自由程以内的区域，不适用。 介质的吸收截面很小，即a << s； 中子通量密度是随空间位置缓慢变化的函数。