高中数学第二章参数方程一1参数方程的概念教学案新人教A版选修4

1．参数方程的概念[对应学生用书P15] 1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t y ＝g t①，并且对于每一个t 的允许值，方程组①所确定的点(x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t 叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫普通方程．2．参数的意义参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．[对应学生用书P15][例1] 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3ty ＝2t 2＋1(t 为参数)．(1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系． (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．[思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．[解] (1)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组，得：⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1.解得：t ＝0.∴点M 1在曲线C 上． 同理：可知点M 2不在曲线C 上．(2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1.解得：t ＝2，a ＝9. ∴a ＝9.参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．1．已知点M (2，－2)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2(t 为参数)上，则其对应的参数t 的值为________．解析：由t ＋1t＝2知t ＝1.答案：12．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )．点M (5,4)在该曲线上，求常数a .解：∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1.[例2] 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于A 、B 的滑动而引起点P 的运动，故可以OB 的长为参数，或以角为参数，不妨取BP 与x 轴正向夹角为参数来求解．[解] 法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q .如图所示，则 Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵|OA |＝a 2－t 2， ∴|BQ |＝a 2－t 2.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t ，(0＜t ＜a )．法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2， 则∠ABO ＝π2－θ.在Rt △OAB 中， |OB |＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝a sin θ.在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a θ＋cos θ，y ＝a sin θ.⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．3．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60·t ，故参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .[对应学生用书P16]一、选择题1．下列方程可以作为x 轴的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝0B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3t ＋1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1y ＝0解析：x 轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0. 答案：D2．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)上，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．8D ．1解析：根据题意，将点P 坐标代入曲线方程中得⎩⎪⎨⎪⎧4＝t 2，a ＝2t⇒⎩⎨⎧t ＝8，a ＝4 2.答案：B3．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )A ．(2，－7)B ．(13，23)C ．(12，12)D ．(1,0)解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C 满足条件．答案：C4．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2t y ＝tC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t y ＝－tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t y ＝－t解析：设(x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得： (x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t.答案：A 二、填空题5．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π)．下列各点A (1,3)，B (2,2)，C (－3,5)，其中在曲线上的点是________．解析：将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．答案：A (1,3)6．下列各参数方程与方程xy ＝1表示相同曲线的序号是________．①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝－t2；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin ty ＝csc t；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝sec t；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan ty ＝cot t.解析：普通方程中，x ，y 均为不等于0的实数，而①②③中x 的取值依次为：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确，而④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．答案：④7．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1,1)，则点M 的参数方程为________________________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为：x ＝1＋9t ， 在y 轴上的位移为y ＝1＋12t . ∴参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t ..答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t y ＝1＋12t三、解答题8．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.这就是所求的轨迹方程．9．如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ， 由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.10．试确定过M (0,1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦的中点的轨迹方程．解：设过M (0,1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．设中点P (x ，y )，则有：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝－2k k ＋4，y 1＋y 2＝8k ＋4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4.这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹方程．。