平行四边形的判定定理(基础)知识讲解

平行四边形的判定定理（基础）

【学习目标】

1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．

2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．

【要点梳理】

要点一、平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：

（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个

行四边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.【典型例题】

类型一、平行四边形的判定

1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF 都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．

【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．

【答案与解析】

证明：∵四边形AECF为平行四边形，

∴AF∥CE．

∵四边形DEBF为平行四边形，

∴BE∥DF．

∴四边形EGFH为平行四边形．

【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：

【变式】（2015•厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．

（

【答案】

证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，

∴∠1=∠2，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠F，

∵CE=CF，

∴∠F=∠3，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AD∥BC，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

2、（2016青海）如图，在ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；

（2）四边形DEBF是平行四边形．

【思路点拨】△1）根据全等三角形的判定方法，判断出ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．

【答案与解析】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AD=CB，

∴∠DAE=∠BCF，

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF，

∴DE=BF．

（2）由（△1），可得ADE≌△CBF，

∴∠ADE=∠CBF，

∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，

∴∠DEF=∠BFE，

∴DE∥BF，

又∵DE=BF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

3、（2015•张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上

的点，且AP=CQ．

求证：四边形PBQD是平行四边形．

【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】

证明：连接BD交AC与O点，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，BO=DO，

又∵AP=CQ，

∴AP+AO=CQ+CO，

即PO=QO，

∴四边形PBQD是平行四边形．

【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.

【答案】

证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，

∵ ⎨∠AEF ＝∠DEB , ⎪ AE ＝DE , （ ∴AE=DE ，

在△AEF 和△DEB 中，

⎧∠AFE ＝∠DBE , ⎪ ⎩

∴△AEF ≌△DEB （AAS ），

∴AF=BD ，

∵AF=DC ，

∴BD=DC ，

∴D 是 BC 的中点.

类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用

4、如图，在平行四边形 ABCD 中，E 、F 是对角线 AC 上的点，且 AE=CF ．

（1）猜想探究：BE 与 DF 之间的关系： ________________.

（2）请证明你的猜想．

【思路点拨】 1）BE 平行且等于 DF ；

（2）连接 BD 交 AC 于 O ，根据平行四边形的性质得出 OA=OC ，OD=OB ，推出 OE=OF ，得出平 行四边形 BEDF 即可．

【答案与解析】

（1）解：BE 和 DF 的关系是：BE=DF ，BE ∥DF ，

故答案为：平行且相等．

（2）证明：连接 BD 交 AC 于 O ，

∵ABCD 是平行四边形，

∴OA=OC ，OB=OD ，

∵AE=CF ，

∴OE=OF ，

∴BFDE 是平行四边形，

∴BE=DF ，BE ∥DF ．

【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性 质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问 题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．

举一反三：

变式：如图，在

ABCD 中，E 、F 分别在 AD 、BC 边上，且 AE=CF ．请你猜想 BE 与 DF 的关 系，并说明理由．