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气象历史序列的最大熵谱分析的报告，600字
报告标题：气象历史序列的最大熵谱分析
报告内容：
本文将对气象历史序列的最大熵谱（MES）分析做一个概述。
最大熵谱分析（MES）是一种统计学分析方法，用于从气象
历史序列中提取关键信息并评估其影响。
MES可以利用测量
到的气象数据，从多个角度获得更多信息，从而更准确地判断其影响。
首先，MES依据温度、湿度、风力等气象参数，以及同一地
区观测资料的变化规律，采用时间最大熵（TME）方法计算
时间序列的熵，以的到条件熵的数值，以此来评价序列的随机性。
其次，MES通过研究气象历史序列的特定特征，如平均值、标准差、偏差等，对该序列的不同阶段的空间分布和变化规律进行检测，以判断气象变化的方向和影响范围，以及其对气候系统的影响。
最后，MES根据不同关联幅度，检测气象
序列之间的相关性，进一步获得气象序列表现出的气象特征，如极大值、极小值等，最终分析气象变化的特性和趋势。
综上所述，MES分析可以帮助我们精确分析气象历史序列，
预测气象状况，以及把握气候变化趋势，准确掌握气候变化的影响，从而采取正确的应对措施，保护我们的环境。
第五章熵原理第一、二两章我们重点是引出分布函数这个概念和它在气象领域的重要事例，这些都可以在不理会熵概念的条件下进行。
第三、四章开始引入熵概念和它在气象上的应用，但这并没有讲明自然界关于熵到底有那些客观规律。
很显然，如果仅使用人们较为陌生的“熵”作概念游戏而不引用新的原理去揭示气象现象的某些内在机理，那么我们整个工作的必要性也就值得怀疑了。
诚然在一定意义上讲，正是为了引用熵原理去解决气象问题，我们才费了那么多力量谈分布函数和熵概念。
现在就正面介绍熵原理以为下一步用它说明气象问题做准备。
什么是熵原理?一些人会说这也就是指热力学第二定律。
但是在笔者想来，熵原理似应包含比热力学第二定律更多一些的内容。
我们有这种认识的基本依据是一个世纪以来熵概念的含义有了不少扩展，因而熵的原理也应当适用于后来认识的这些“熵”。
在我看来申农把他定义的不肯定性也称为熵可能是熵认识史上继玻耳兹曼以后的最重大的贡献，但至今也应当遗憾地指出搞物理的仍主要是讲热力熵，而申农的信息熵则主要用于通迅理论和数学中。
申农通过熵概念搭起来的桥似乎过往的人并不多，这就造成了横跨热力学与信息论的熵概念究竟有没有普适的熵原理问题长期没有受到应有的理论重视。
在笔者看来，理论界不仅应当给人们一个统一的对熵的认识，而且也应当给出一个统一的可用于一切领域的熵原理。
显然，说热力学第二定律适用于天体、地理、生物体在内的任何热力过程还说得过去，可是说热力学第二定律也适用于非热力学过程就显得自相矛盾了。
所以对应用于各领域的熵概念，阐明其普遍适用的原理，在我看来是件重要而尚待完成的工作。
在这个普适的熵原理中，过去我们找到的热力学第二定律或者信息熵的规律都应当仅只是它的特例。
遗憾的是人们至今还没有完成这种综合工作。
我们在这一章中则把几个领域中似应看做熵原理的内容都做些讨论。
§1 熵增加原理上世纪中叶，继热力学第一定律之后又发现了热力学第二定律，克劳修斯对它的表述是[1]：让热量自发地从低温传向高温而不引起任何其他影响是不可能的。
熵与激光刘波 200340751一、熵熵是热力学和统计物理学中的核心概念，也是物理学的基本概念之一。
熵定律（热力学第二定律）是19世纪自然科学发展所取得的伟大成果之一。
1864年，克劳修斯在《热的唯动说》一书中，首先引入了熵这个概念，用它来量度热量转化为功的本领。
我们称之为热力学熵，并用符号S 表示。
（一）熵的含义具体说来，熵具有以下的含义： 首先，熵的本义是系统的态函数，是系统演化的重要判据。
熵的物理表达式如下：⎰=T dQ S 或TdQ dS = 其中S 表示熵，Q 表示热量，T 表示温度。
即一个系统的熵等于该系统在一定过程中所吸收（或耗散）的热量除以它的绝对温度。
利用熵这个物理量，热力学第二定律可表述为熵增加原理：系统经绝热过程由初态变到终态，它的熵不减少，熵在可逆绝热过程中不变，在不可逆绝热过程中增加。
只要有热量从高温物体流向低温物体，系统的熵就增加，而这个过程是自发实现的。
只有当热量从地温物体流向高温物体，系统的熵才可能减少，而这个过程是不会自发实现的。
另外，系统达到平衡后，就没有热量传递，熵不变，过程可逆，但是实际上很难有绝对的配合。
也就是说，只要熵增加就表明系统中存在着自发的不可逆过程。
反过来说过程能不能发生？如果发生的话是否可逆？可以从熵的变化来加以判断。
正如普利高津指出的：“这样一来，熵变成了一个进化的指示器，或者象爱丁顿恰当的说的‘时间之矢’。
”其次，熵的宏观意义表征系统能量分布的均匀程度。
即：能量分布越不均匀，熵越小；能量分布越均匀，熵越大；能量分布不均匀趋向均匀，熵增加。
确实，热传导、扩散，以及各种宏观流动都是从不均匀趋向均匀的，所以熵都是增加的。
我们知道能量分布越不均匀，潜在的做功的本领越大；能量分布越均匀，潜在的做功的本领越小。
如果我们把前一种能量叫做可利用性高的能量，那么熵也就成了能量可利用性大小的一种量度。
熵增加意味着能量可利用性的降低，或者说不可利用能量的增加。
第三章熵与散布第一章咱们把统计物理中常常利用的散布函数的概念作了交待。
继之又在第二章对气象现象中观测、统计出来的散布函数的形态作了较多的介绍。
至此应当说咱们用散布函数的概念把一批气象现象作了一种较统一的综合。
它改变了提出问题的方式，也为让一个适当的理论出台来解释这些现象作好了前期准备工作。
从这一章开始咱们要进一步引用熵的概念和原理，而且把它与散布问题联系起来。
咱们想通过事例说明熵原理也是制约大气运动的一个普遍原理。
抓住这个强有力的理论会加深对气象现象的理解、丰硕气象理论园地。
这一章的中心是交待熵的概念、算法和它与散布问题的关系。
而把熵原理及其在气象学中的应用放在以后各章。
§1 熵概念沿革现今的科学被分成上千个学科，每一个学科都有自己一套专用名词，而外行人对它知之甚少。
可是在科学史上却有少数的专用名词，其知名度则远远超出孕育它诞生的那个村落。
霍顿(G．Holton)说“某些概念之所以重如果由于它们反复出此刻许多描述和定律中，而且往往波及离最初表述很远的领域内”。
大家熟悉的“能量”这个概念就具有上述特征。
此刻咱们要指出“熵”是又一个知名度日趋提高并昇华到哲学殿堂的概念。
在某些人看来熵的科学地位应当高于莎士比亚在文学中的地位。
上世纪中叶，人们在发现热力学第必然律(能量守衡定律)以后不久又在研究热机效率的理论时发此刻卡诺热机完成一个循环时，它不仅遵守能量守衡定律，而且工作物质吸收的热量Q与那时绝对温度T的比值之和(∑Q/T)为零(Q，T都不为零)。
鉴于以上物理量有这一长处，克劳修斯(R．CIausius)就把可逆进程中工作物质吸收的热与温度T之比称为entropie，与德文的能量“energie”相接近。
1923年胡刚复教授从其概念式动身为汉文另创了—个字“熵”来称号它。
日本则直用其英文的译音ェントロピ称之。
克劳修斯发现这样概念的物理量——熵还有一个重要性质，即其改变量的大小仅与研究对象的起始状态和终止状态有关，而与其经历的热力学路径无关；这也就是告知人们熵是又一个新发现的状态函数。
收稿日期：2021-11-22基金项目：2018年高原与盆地暴雨旱涝灾害四川省重点实验室科技发展基金项目（省重实验室2018-重点-05-07）作者简介：赵金鹏（1988-），男，内蒙古巴彦淖尔人，工程师，硕士，主要从事应用气象与气象服务工作，（电话）************（电子信箱）****************；通信作者，姜淦（1985-），四川苍溪人，高级工程师，硕士，主要从事应用气象与气象服务工作，（电子信箱）151***************。
赵金鹏，王庆，郑程莉，等.气候背景下林麝适宜生境的最大熵模型（MaxEnt ）研究［J ］.湖北农业科学，2023，62（3）：218-223．气候背景下林麝适宜生境的最大熵模型（MaxEnt ）研究赵金鹏1，2，王庆1，2，郑程莉3，胡婧媛1，2，王茹琳1，2，姜淦1，2（1.高原与盆地暴雨旱涝灾害四川省重点实验室，成都610072；2.四川省农村经济综合信息中心，成都610072；3.四川养麝研究所，成都610072）摘要：基于公开发表的林麝（Moschus berezovskii ）在中国范围内地理分布数据和生境气候数据，利用刀切法提取影响林麝存在概率的关键气象因子，并运用MaxEnt 模型与ArcGIS 软件分析不同情景下林麝在中国的适生范围。
结果表明，最暖季降水量、最干季均温、最湿季降水量、年均温、季节性温差、最湿季均温、最暖季均温、最干季降水量8个关键气候因子对林麝的分布有重要影响；利用受试者工作特征曲线检验林麝生境范围预测模型，得出模型预测结果达到优秀水平（AUC =0.993）。
当前气候情景下，林麝生境适宜区主要分布在腾冲-漠河线以南，适宜生境面积为4.13×106km 2，占中国国土面积的43%；RCP2.6、RCP4.5和RCP8.5三种未来气候情景下，至2050s （2040—2059年）林麝高、中、低适生面积均有所减少，其中低适生面积减幅最大（达到50%）；2080s （2070—2089年）较2050s ，RCP2.6和RCP4.5情景下林麝高、中、低适生面积有所增加，RCP8.5情景下则有所减少。
从自然辩证法看热力学第二定律的发展————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ从辩证唯物主义看热力学第二定律的发展摘要:辩证唯物主义是马克思主义自然观的核心，科学领域的自然观与哲学具有天然的联系,辩证唯物主义所蕴含的哲学思想成为了诸多学科的指导思想。
本文即是从自然辩证法的观点出发，论述了所学专业热力学学科的发展以及该学科重要定律热力学第二定律的产生和所具有的哲学意义。
关键词：唯物辩证法;生产实践；热力学;热力学第二定律;熵理论一、前言自然界是一切事物的本原，是人类生存与发展的根基,而科学技术是人类认识和改造自然形成的一种推动历史发展的革命性力量,它揭示了自然事物的性质及特殊的规律和方法。
自然辩证法学科包含了自然观、科技观、方法论、科学技术与社会等领域的内容。
自然辩证法把自然科学的特殊规律和特殊方法高度概括和抽象,使得辩证唯物主义哲学与自然科学技术相互渗透、彼此结合。
自然辩证法的重要研究内容之一为马克思主义自然观。
自然观是人们通过在自然界里从事各种实践活动，逐步形成的对自然界的总的看法。
由于人类认识自然和改造自然地实践活动是一直发展变化着的,并且自然界本身也在辩证地发展变化着的，从而自然辩证法在人类不同的历史时期便形成了不同的观点。
人类历史上，最具代表性的三种自然观为朴素唯物主义自然观、机械唯物主义自然观以及辩证唯物主义自然观。
其中辩证唯物主义是马克思主义自然观的核心,是各种自然观的最高形态。
辩证唯物主义旨在对自然界的存在、演化以及人与自然的关系进行科学理解与说明，从整体上阐述自然界的存在及其演化规律。
人类对自然界的认识和改造经历了一个漫长的过程自然辩证法经历了孕育、创立和发展的过程。
在其发展的过程中，其蕴含的哲学思想成为了诸多学科的指导思想。
本文旨在通过对自然辩证法的初步认识与学习,结合自身专业——热力学，对热力学第二定律的发展及其科学意义、哲学意义等进行简单的分析与再学习。
熵在物理学和信息科学中的应用熵，在物理学和信息科学中都有着重要的应用。
在物理学中，熵是衡量系统混乱程度的一个指标；而在信息科学中，熵又是衡量信息的不确定性的指标。
在这篇文章中，我将深入讨论熵在这两个不同领域的应用，为读者们带来更全面的认识。
一、熵在物理学中的应用熵是热力学中的一个基本概念，它的大小表示物理系统的混乱程度。
熵数值越大，表示系统越混乱，越不稳定。
在物理学中，熵的应用非常广泛，例如在热力学中，熵是衡量热力学系统熵变的指标，在动力学中，熵是衡量系统的可逆性的指标，还在信息学、气象学、化学等领域中得到广泛应用。
在热力学中，熵变指系统从一个静态状态转换到另一个静态状态时，热力学系统的熵的变化量。
具体而言，当系统从一个有序的态转变为一个无序的态时，它的熵将增加。
例如，在一个未混合的气体系统中，气体分子之间是排列有序的，而当它混合时，气体分子的存在状态变得混乱，因此系统的熵会增加。
动力学中的熵则与系统可逆性相关。
如果一个系统是可逆的，那么其熵将保持不变。
而如果系统是不可逆的，它的熵将增加。
具体而言，当一个系统是可逆的时，它的熵是不会变的，因为系统可以在任何时候恢复到初始状态。
而当一个系统是不可逆的时，它的熵将增加，因为系统无法完全恢复到初始状态。
二、熵在信息科学中的应用与物理学中熵的概念类似，信息科学中的熵实际上是用来描述信息的不确定性的一个指标。
熵越大，表示信息的不确定性越高。
因此，在信息技术中，熵被广泛用于衡量数据压缩的效率、密码学的安全性等方面。
在数据压缩中，熵是衡量压缩效率的一个指标。
具体而言，如果某个数据集的熵越低，那么它就越容易被压缩。
例如，一个由相同数字组成的序列，它的熵将为零，因为在这种情况下，每一个数字都是确定的，没有任何不确定性。
因此，这个序列可以被完全压缩而不丢失任何信息。
在密码学中，信息熵则用于衡量加密算法的安全性。
具体而言，如果某个加密算法的信息熵越高，那么破解该加密算法的难度就越大。
温熵图在气象中的原理与应用作者：黄亿傅灵艳来源：《安徽农业科学》2015年第36期摘要利用温熵图作为热力学图表的特征，简述其在气象中的原理，以温度和湿度基本要素场描述大气的层结结构，并通过图解获取抬升凝结高度、大气稳定度等气象物理量应用于天气预报。
结果表明，温熵图在针对强对流天气、冰雪及低能见度天气的预报中有着较好的指示意义，在与数值模式高分辨率输出的结合中发挥更大的作用。
关键词温熵图；原理；大气层结；大气稳定度；气象应用中图分类号 S16 文献标识码 A 文章编号 0517-6611（2015）36-275-03Abstract This text is based on the Tephigram as the thermodynamics characteristics chart and briefly describes its principle in the meteorology， using basic element for temperature and humidity field describes atmospheric stratification structure， and through the illustration for meteorological parameters such as LCL height， atmospheric stability which applied to the weather forecast. The results show that Tephigram has good instruction to strong convective weather， snow- ice and low visibility weather forecast， and play a greater role in the combination of numerical model with high resolution output.Key words Tephigram； Principle； Atmosphere stratification； Atmospheric stability；Meteorological application气象学科其实就是对大气物理状态的研究。
MaxEnt TSS评价标准一、对MaxEnt TSS的基本介绍1. MaxEnt TSS是一种基于最大熵理论的时间序列预测模型，主要用于处理非平稳、非线性、非高斯的时间序列预测问题。
MaxEnt TSS采用了最大熵原理，利用了完备的历史信息和自适应学习能力，能够有效地处理各种复杂的时间序列数据。
2. MaxEnt TSS在预测精度和鲁棒性方面具有明显优势，特别适用于金融、气象、环境、生态等领域的时间序列预测。
3. 评价MaxEnt TSS的标准主要包括预测精度、鲁棒性、模型解释性和计算效率等方面。
二、预测精度1. 预测精度是评价MaxEnt TSS的重要指标之一，通常通过均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、平均绝对百分比误差（MAPE）等指标来衡量。
2. 在实际应用中，需要对比MaxEnt TSS与其他常见时间序列预测模型（如ARIMA、GARCH等）在同一数据集上的预测结果，以评估其预测精度是否具有显著优势。
3. 还可以通过交叉验证、滚动预测等方法来验证MaxEnt TSS在不同数据集上的预测精度，以消除因数据特性而引起的误差。
三、鲁棒性1. 鲁棒性指模型对数据噪声、异常值等干扰的抵抗能力，是评价MaxEnt TSS的另一个重要指标。
2. 在评价鲁棒性时，需要考虑模型对于不同程度、不同类型干扰的稳定性，以及对数据特征的适应能力。
3. 通过在不同数据集、不同时间段、不同外部环境下的实验验证，可以综合评估MaxEnt TSS的鲁棒性表现。
四、模型解释性1. 模型解释性是评价MaxEnt TSS的另一个重要标准，即模型是否能够提供可解释的预测结果和预测过程。
2. MaxEnt TSS采用了最大熵原理，其预测结果来源于完备的历史信息，因此在解释性方面具有一定优势。
3. 通过分析MaxEnt TSS的预测过程和关键因素，可以评估其模型解释性的优劣，并与其他时间序列预测模型进行对比。
五、计算效率1. 计算效率是评价MaxEnt TSS的另一个重要指标，即模型在预测过程中的计算速度和资源消耗情况。
极值风速风向的联合概率密度函数楼文娟;段志勇;庄庆华【摘要】基于最大熵原理,构建极值风速风向的联合概率密度函数,并与Copula函数建立相互关联.以我国某地的极值风数据为例,建立极值风速的Gumbel分布模型以及对应风向的二阶混合von Mises分布模型;使用非线性参数优化算法确定极值风速风向的联合分布模型.采用该模型计算各风向角下不同重现期的基本风速值,并与建筑结构荷载规范值(GB 50009-2012)进行对比.结果表明,联合分布模型能够有效表征实际风速风向的概率分布特征.分别采用Spearman秩相关系数和线性-角度变量相关系数对模型的相关性予以验证,探究模型的有效性.%A joint probability density function for representing both extreme wind direction and speed was constructed based on the maximum entropy principle and established relationship with Copula function.Taking the extreme wind records of somewhere in China as an example, the Gumbel distribution model for extreme wind speed and the second order mixture von Mises distribution model for corresponding wind direction were established respectively;then the joint probabilistic distribution model was determined using nonlinear optimization algorithm.Reference wind speeds of different recurrence intervals in all directions were calculated by applying the model, which were compared to the code values of building structure load (GB 50009-2012).Results show that the proposed joint probabilistic model describes the characteristics of the distribution of actual extreme wind speed and direction effectively.The correlation of joint probabilistic model wasverified by checking the Spearman rank and the linear-angular correlation coefficient respectively, which proves its validity.【期刊名称】《浙江大学学报（工学版）》【年(卷),期】2017(051)006【总页数】7页(P1057-1063)【关键词】极值风速;风向;联合概率密度函数;基本风速;相关系数【作者】楼文娟;段志勇;庄庆华【作者单位】浙江大学结构工程研究所,浙江杭州 310058;浙江大学结构工程研究所,浙江杭州 310058;温州瓯江口产业集聚区管理委员会,浙江温州 325026【正文语种】中文【中图分类】TU318在建筑设计中,风荷载是计算风振响应、确定抗风设计的基础.对于高层建筑、大跨度结构等柔性结构,风荷载是主要的控制性荷载,合理的风荷载值关乎工程建设的安全性和经济性.作为典型的随机动力荷载,风荷载通常是以极值风速为变量通过建立风速的概率密度函数而确定的,如我国建筑结构荷载规范(GB 50009-2012)[1]规定,以极值I型分布作为极值风速的概率分布模型确定建筑设计风荷载.国内外学者开展了大量关于极值风速概率密度分布数学模型和计算理论的研究[2-4],提出了有效的样本筛选、模型建立和参数优化方法.在样本筛选方面,提出了年最大值法、跨阈法和独立风暴法等抽样方法;在数学模型方面,建立了Gumbel分布、Frechet分布、Weibull分布、广义Pareto分布[5]等极值分布理论;基于数学模型和参数特征,发展了矩法、极大似然法、粒子群算法等参数优化方法.尽管这些方法理论不一,但在以极值风速为单值变量的基本风速预测中,均具有较好的计算优度.然而,风向角也是极值风速的重要特征参数,仅考虑风速大小而忽略风向角是不合理的.Simiu等[6]研究了飓风区的极值风荷载,指出若不考虑风向的影响,50 a重现期的极值风荷载明显偏保守.Goyal等[7]研究了风向对混合住宅群的结构可靠性影响,结果表明忽略风向将高估计算值.王钦华等[8]研究了风向对某超高层建筑等效静力风荷载的影响,结果表明不考虑风向影响的建筑物等效风荷载偏保守,应考虑风向对基本风压的影响.日本风荷载规范考虑风向对建筑物效应的影响,给出了建筑结构设计的风向折减因子[9].因此,以极值风速和风向角为双变量,建立极值风速风向的联合概率密度(joint probabilistic density function,JPDF)模型,对更精确、合理地计算结构风荷载具有重要的现实意义.有关极值风速风向的JPDF模型研究较少,主要原因是风向角变量是周期性的,且观测记录多为非连续的方位角.Johnson等[10]基于谐波函数建立了离散角变量的连续概率密度结构,能有效地拟合方向角变量的概率密度直方图,但该模型采用多个三角函数拟合,形式繁琐,且无法给出固定的概率分布.目前,比较常见的角变量分布有均匀分布、心形分布、包柯西分布、缠绕正态分布和von Mises分布等;其中,von Mises分布和混合von Mises分布被认为是最有效的描述角变量统计特性的分布[11],在图像分析[12]、大气污染防治[13]、风能评估[14]等领域得到了广泛的应用. 在风速风向的JPDF建模方面,陈隽等[15]采用谐波函数模拟风向角分布,并基于不同风向间风速分布相互独立的假定建立了风速风向的JPDF分析方法;范文亮等[16]基于乘法定理导出了离散-连续混合联合分布模型,并建立了风向风速的二维连续联合分布模型.这些模型需要对每个方位角的极值风速样本一一给出概率分布,并对不同风向下的极值风速分布相关性做出假定.然而,由于极值风速样本数量稀少,分布在某些方位角下的极值风速样本量更少,一般较难获得各方位角下的极值风速分布.事实上,风速和风向的联合分布属于角度-线性分布.Johnson等[10]从理论上推导得出,当给定角度变量和线性变量的边缘分布,可以根据最大熵原理导出2个变量的JPDF 结构.目前国外已有学者将该理论应用于风能预测[17]领域.本文根据我国某地的月极值风速和对应风向记录,分别建立极值风速的Gumbel分布和风向的二阶混合von Mises分布模型;在此基础上,使用最大熵原理构建极值风速风向的联合概率密度结构,并与Copula函数建立相互关联;采用该联合分布模型计算不同重现期下的基本风速,与建筑结构荷载规范(GB 50009-2012)中的规范值进行对比;最后,分别采用Spearman秩相关系数和线性-角度变量相关系数对模型的相关性予以验证,探究模型的有效性.1.1 极值风速分布在不同的抽样方法下,学者分别发展了相适应的数学模型和参数估计理论用于重现期下的基本风速计算[4].目前,运用最多的2种抽样方法分别是年最大值法和跨阈法[5].一般认为,以年最大值形成的风速样本服从极值I型(即Gumbel)分布,我国建筑结构荷载规范(GB 50009-2012)即采用该方法计算基本风速.跨阈法通过设置特定的阈值,建立由超越阈值风速形成的极值风速样本,并假定该极值风速样本服从广义帕累托(generalized pareto distribution,GPD)分布.为准确计算极值风速的边缘分布,采用上述2种模型进行对比.Gumbel分布和GPD分布的数学模型如下:Fv(v)=exp[-exp(-y)].(1) Gv(v)=1-(1+by)-1/b,y=(v-u)/a.(2)式中:a、u和b分别为尺度参数、位置参数和形状参数,v为极值风速度量.对Gumbel分布,采用极大似然法确定a、u的参数估计;对GPD分布,采用核拟合优度统计量法确定u,再根据极大似然函数法计算a、u的最佳近似值.1.2 风向圆周分布气象站一般以有限方位角形式记录风向,如国家基本站和一般站采用16个方位角整编风向.由于风向角的非连续性,通常基于风向概率密度直方图对风向分布进行建模.假设有一组离散风向角数据,分散于单位圆(0≤θ<2π)的不同角度区间.将单位圆等分为m份,集中在第k(1≤k≤m)区间的观测点数为nk,则各区间的风向角频度Pk和概率密度f(θk)分别为式中:x=Fv(v)、y=Fθ(θ).Johnson等[10]建议采用谐波函数对风向角直方图进行拟合,为防止概率密度函数出现负值或旁瓣过大,建议同时引入Bartlett窗函数作为权重函数.这种方法需要将与方位角数相等的谐波进行叠加,因此,其数学形式复杂,且不具有对风向分布的普适性.实际上,对风向的圆周分布,目前应用更为广泛的是混合von Mises分布[14].von Mises分布常被称为圆周正态分布,是最主要的用于描述方向数据的一种模型,其概率密度函数为式中:-π<μ≤π,κ>0;I0(κ)为零阶修正贝塞尔函数,计算式为研究表明,风向角变量的概率密度分布一般具有多峰值,单一von Mises分布不能完整描述风向圆周分布特性,通常采用多阶混合von Mises分布表示风向角变量的分布[18],其具体计算式为:式中:c为混合von Mises分布的阶数,根据风向峰值分布特征确定;ωi为各阶von Mises分布的权重系数;φi={ωi,μi,κi}为各阶参数.目前,关于von Mises分布的参数估计方法比较多,如MSBC算法[19]、SU算法[18]等.然而,这些迭代算法计算过程均较为繁琐,且涉及手动查表,实用性较差.因此,本文采用高效简捷的LM算法(Levenberg-Marquardt algorithm)进行参数估计.为保证良好的收敛性,需要对各参数进行初始赋值,具体赋值参见文献[14].1.3 基于最大熵原理的联合分布极值风速风向的联合分布属于角度-线性分布(angular-lineardistribution,AL),Johnson等[10]基于最大熵原理导出了AL分布的概率密度结构,可有效用于描述风速风向的联合分布.假设fv(v)和fθ(θ)分别为极值风速和相应风向的概率密度函数,对应的分布函数为Fv(v)和Fθ(θ),则根据最大熵原理可导出极值风速风向的JPDF形式如下式所示:式中:g(·)是角变量ξ的函数,本文采用二阶混合von Mises函数形式予以表示.从式(8)可以看出,最大熵原理实际上是将风速风向的联合分布函数与其各自的边缘分布函数连接在一起.早在1959年,Sklar指出:可以将一个联合分布分解为多个边缘分布和一个Copula函数,这个Copula函数描述了变量间的相关性[21].根据该理论,极值风速变量与风向变量间的Copula函数存在如下关系:式中:C=C[Fv(v),Fθ(θ)],为极值风速风向变量间的Copula函数.1.4 拟合优度检验为检验文中JPDF的拟合优度,采用确定系数计算理论值与实际值的差异:式中:Tk为理论累积频度值;T为Tk的平均值.η2介于0~1,其值越大,拟合效果越好. 本研究的极值风速风向样本源自我国某地1971年1月1日——2000年12月31日全部360 m的月最大风速和相应风向记录(以正北方向为0°,顺时针为正).月最大风速指每个月内10 min风速样本中的最大值,风向记录包含16个方位角.极值风速频度分布和风向玫瑰分别如图1、2所示.从图中可以看出,月极值风速主要集中在0~20 m/s以内,对应风向记录主要在NNE和SSW方向,具有典型的双峰值分布特征.因此,本文采用二阶混合von Mises拟合风向分布函数,即c=2.根据实测数据,计算得到实测风速风向的联合概率分布,结果如图3所示(图中θ表示风向).从图中可以看出,联合概率分布函数主要集中在10~15 m/s风速区间,风向峰值在25°和200°附近.对极值风速样本分别使用Gumbel分布和GPD分布建立模型,拟合参数如表1所示,分布曲线如图4所示,图中Fv为极值风速的累积分布值.可以看出,Gumbel分布与月极值风速样本的实测分布拟合得很好,计算拟合结果的确定系数接近于1,说明由极大似然估计法确定的Gumbel分布与实际累积分布的差异很小;GPD分布风速分位值略大于Gumbel分布,且与实测累积分布差异较大.因此,采用Gumbel模型建立极值风速风向联合分布.分别采用谐波函数和二阶混合von Mises分布建立风向圆周分布模型,各参数估计值如表2所示,拟合曲线如图5所示.可以看出,在峰值风向处,混合von Mises分布的计算结果略大于谐波函数值.由确定系数计算得到的两类函数拟合优度分别为R2F=0.998和R2von=0.988,说明这2种模型都能较好地表征风向圆周分布.下文将采用二阶混合von Mises分布模型建立极值风速风向联合分布.根据极值风速和风向的边缘分布模型,基于最大熵理论建立联合概率分布JPDF,其中g(ξ)仍采用二阶von Mises函数,拟合参数如表2所示,联合分布如图6所示.对比图3和图6可以看出,联合分布模型呈现2个明显的峰值,与实测分布吻合良好,但模型的连续、光滑处理导致实测数据局部“毛刺”现象消失.我国建筑结构荷载规范(GB 50009-2012)规定采用极值I型分布确定不同重现期下的基本风速.设重现期为N,则基本风速UGN的计算式为式中:a、u的具体取值参见表1.由式(12)计算得到的是不考虑风向角分布的基本风速.采用联合分布模型同样可计算得到全风向角下的基本风速UJN,其计算公式为理论上,由式(13)与式(12)计算获得的解析解应满足UJN=UGN;在特定风向角下,联合分布模型计算的极值风速边缘分布应与由相应风向角的极值风速Gumbel分布模型一致,即Fv,θ(v|θ)=G(v|θ).采用上述原理可检验联合分布模型建立过程是否正确.如图7、8所示分别为全风向角(即不考虑风向角的概率分布)下不同重现期的基本风速曲线,及风向角为NNE时的概率分布模型对比.从图中可以看出:1)由联合分布模型JPDF计算得到的基本风速-重现期曲线与由Gumbel分布模型计算得到的基本风速-重现期曲线完全吻合,说明参数优化过程正确有效;2)当风向角为NNE时,联合分布模型JPDF确定的极值风速边缘分布与实测结果及Gumbel分布模型几乎一致.上述检验结果表明:JPDF模型能够有效表征实际风速风向的概率分布特征. 现采用极值风速风向的JPDF分布模型计算不同风向角的基本风速.由定义确定不同风向角下基本风速U的计算式如下:式中:fv,θ(v|θ)表示风向角为θ时,极值风速的条件分布函数.式(14)较复杂,难以获得解析解.本文采用数值迭代法求解基本风速. 如图9所示为当重现期N=100 m时基本风速随风向角的变化规律.可以看出,在不同风向角下,基本风速具有一定波动,其中风向角θ=200°附近时,基本风速值最大,该结果与图3所呈现处的现象一致.如图10所示为当重现期分别为N=5,10,50, 100,600 m时的基本风速玫瑰图,图中同时列出由式计算得到的基本风速以示对比.从图中可知,在30°~210°区间(顺时针),由JPDF分布模型(式(14))计算得到基本风速值大于按规范计算得到的结果(式(12));而在区间210°~30°(顺时针)内,现象与之相反.值得注意的是,虽然由联合分布模型JPDF计算得到的基本风速具有波动性,但波动的幅度比较小.计算表明对50 a重现期即N=600 m时,波动幅度小于5%.这说明,计算样本中极值风速与风向的相关性较差.为验证上述结论,下文对极值风速风向的相关性进行计算.根据Sklar提出的Copula理论,Copula函数(式(10))表征2个变量间的相关性.基于Copula函数计算2个变量间的相关性测度,采用Spearman秩相关系数ρ进行衡量,计算式[21]为式中:x=Fv(v)、y=Fθ(θ).根据Copula函数的拟合结果,计算得到Spearman秩相关系数|ρ|=0.066 8,说明极值风速和风向正向变化的一致性较差.Spearman秩相关系数仅对变量间的变化方向一致性进行度量,并不能衡量变量间相关性程度. Mardia[22]提出采用线性-角度变量相关系数计算极值风速风向的相关性:式中:rvc=fcorr(v,cosθ),rvs=fcorr(v,sinθ),rvc= fcorr(cosθ,sinθ),fcorr(·)表示序列间的相关系数.计算结果表明,文中采用的极值风速与对应风向间的相关系数为r2=0.001 3,说明极值风速与对应风向不仅正向变化一致性较差,其相关性程度也较弱.这一结论与由联合分布模型计算得到的基本风速风向间的相关性表现一致.因此,极值风速风向联合分布模型能够较好地表征实际样本间的相关性.总体而言,该模型能比较有效地预测极值风速风向的概率分布.(1)二阶混合von Mises分布能较好地表征风向角的圆周分布,基于最大熵原理建立的极值风速风向联合概率密度函数与实测值吻合良好.(2)采用本文所建立的极值风速风向联合概率密度函数JPDF可以较有效地计算不同重现期下的基本风速,且在特定风向角下的极值风速分布与建筑结构荷载规范(GB 50009-2012)的分布规律相一致.(3)由Spearman秩相关系数和线性-角度变量相关系数计算结果表明,本文采用的极值风速与风向序列相关性较差,符合极值风速风向联合概率密度函数确定的变量相关性,验证了模型的有效性.需要说明的是,本文在建立极值风速风向的联合概率分布模型时,由于非主风向角和高风速值的数据量较少,对高保证率(如50年一遇、100年一遇)的基本风速值精度尚有待考证,后续工作应对数据量更丰富的风速风向样本进行研究.【相关文献】[1]中华人民共和国国家标准.建筑结构荷载规范:GB 50009-2012[S].北京:中华人民共和国住房和城乡建设部,2011.[2]FIELD C ing the GH distribution to model extreme wind speeds[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2004,122(1):15-22.[3]段忠东,欧进萍,周道成.极值风速的最优概率模型[J].土木工程学报,2002,35(5):11-16.DUAN Zhong-dong,OU Jin-ping,ZHOU Dao-cheng. 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流域冰川平均物质平衡的计算方法及其应用
沈永平;谢自楚;丁良福;刘景时
【期刊名称】《冰川冻土》
【年(卷),期】1997(19)4
【摘要】应用统计力学方法和最大熵原理，论证了高山流域内降水、径流和径流
系数与其所占面积之间呈负指数关系，流域内的冰川分布区是各参数的最大分布区，从而给出了高山流域冰川平均物质平衡的计算公式。
在乌鲁木齐河源１号冰川流域对公式进行了验证，结果说明此方法是可靠的，且精度较高。
运用此公式对东帕米尔康西瓦河流域的冰川物质平衡进行恢复，１９６０～１９９０年平均值为－１２３．５ｍｍ／ａ。
【总页数】6页(P302-307)
【关键词】物质平衡;计算法;水文响应;冰川;流域
【作者】沈永平;谢自楚;丁良福;刘景时
【作者单位】中国科学院兰州冰川冻土研究所;湖南师范大学资源环境系
【正文语种】中文
【中图分类】P343.6
【相关文献】
1.水文气象学方法计算喜马拉雅山北坡冰川流域物质平衡 [J], 汪奎奎;刘景时;巩同梁;田克明;卢巍
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刘时银;刘巧
3.1952-2009年青藏高原东南部贡嘎山海螺沟流域冰川物质平衡数据集 [J], 张勇;刘时银;刘巧
4.天山南坡台兰河流域冰川物质平衡变化及其对径流的影响 [J], 沈永平;刘时银;丁永建;王顺德
5.中国科学院新疆生态与地理研究所在天山锡尔河流域Batysh Sook冰川物质平衡监测与重建中获进展 [J],
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大气中的水汽滞留函数张学文（乌鲁木齐沙漠气象研究所，中国气象局, 新疆，乌鲁木齐，830002）（受科技部科技公益研究专项2004DIB3J118 资助）提要：水分从蒸发进入大气到变成雨雪再降落大约在空中滞留（存活）9天，而9天只是水汽在大气中的平均寿命。
咱们应当明白在大气里现存的总水汽量中已经在大气里滞留（存活）1天、2天或n天的水汽别离占有的百分比是多少。
描述那个问题需要引入大气中的水汽滞留函数概念。
本文说明了水汽滞留函数的物理含义而且指出它应当是一个负指数方程。
关键词：大气中的水分循环，大气中的水汽滞留函数1. 引言就全世界而论，大气中持有的水汽约为25毫米[1]，而每一年的降水量（约1000毫米），是它的40倍。
大气要维持水分平稳必然要从下垫面的水分蒸发中补充1000毫米（相当于补充40次，1000毫米/25毫米）的水分。
这也说明水分从蒸发进入大气到形成雨雪而离开大气，一年要循环40次，即大气中的水汽9天（365/40）就更新一次，即水汽蒸发进入大气在空中平均滞留9天又回到下垫面[2]。
“9天”是描述大气中的水分循环的重要参数。
但它只是个平均值，实际情形确信有的水汽滞留时刻更长或更短。
面对大气中现存的水汽，咱们能够问，它们进入大气1天、2天、…n天就离开大气的水分占了水汽总量的百分比是多少，回答那个问题显然不是求一个未知数，而是求一个未知函数，描述不同滞留时刻的水汽占的百分比的函数。
文献[3]提出了散布函数概念和它在气象学中的应用问题，不同滞留时刻的水汽各占多大的比例的问题事实上确实是散布函数概念的一个特例。
文献[4，5]给出了在不同约束条件下利用最复杂原理（最大熵原理）求得其散布函数的思路、原理和技术。
本文就利用这种思路给出一种（能够不是一种）理论的水汽滞留函数。
2. 水汽滞留函数f(τ)本文分析某个气候时期（例如30年）的地球大气中的水汽的总的情形。
依照前面的讨论，咱们把f(τ)称为水汽滞留函数：那个函数的自变量τ是水汽在最近的一次蒸发进入大气后已经存在（滞留）的时刻长度。
最大摩尔熵最大摩尔熵（MaximumEntropy）是一种统计推断方法，被用来从歧义的数据中推断出最可能的结果。
它建立在最大信息熵的基础上，由R.A. Fisher于1920年先后提出。
它的应用涉及统计信号处理、气象学、机器学习及对话系统等领域，因而也被称作“普遍熵”，也是机器学习研究的一个重要的分支。
在理论上，最大摩尔熵的核心思想是有关熵的最大化，它旨在构建一个可以最佳拟合历史数据的概率分布，并且它是自动学习模型的一个训练算法，用于预测潜在的结构。
最大摩尔熵还提出了一种排序准则，将未知分类字段所含的不确定性最小化的原则。
为了最好地理解最大摩尔熵的用途，首先来了解概率熵的概念。
概率熵是概率论的一个重要概念，它是用来表示数据分布情况的一种测度。
概率熵可以理解为指标，它表示条件概率分布的不确定性。
概率熵在最大摩尔熵中被用来标记模型的效果，常用作不确定度衡量，并可以和其他信息量比较，以确定数据分布的状态。
最大摩尔熵将概率熵用在概率模型中，具体的来讲就是，在模型的设定过程中，最大摩尔熵要求使得训练样本的概率分布模型最大化熵，以达到对不确定性的最小化及相应的最小化来自己构建模型的偏见。
最大摩尔熵可以说是概率模型了解数据本质的一种方法。
它以熵作为指标，从而将概率模型的拟合结果与其它熵的信息量的大小进行比较，以此来评判数据的分布状态。
由于最大摩尔熵采用熵（entropy）作为调整参数，它是一种自适应的模型。
它的运行原理是：最大摩尔熵的输入有历史训练时的已知数据，输出则是熵最大的概率分布。
由此可知，最大摩尔熵的核心思想是根据已知条件，找出可能性最大的数据分布，从而可以让我们更好地了解原始数据的真实状态，这是一种更准确地拟合数据的方法。
最大摩尔熵经过几十年来的发展，已经在多个领域中得到了广泛的应用，不仅仅是统计信号处理，而且还包括气象学、机器学习、语言识别、深度学习等等，甚至还涉及其它的领域，如生物信息学等。
最大摩尔熵方法特别有用，因为它可以将大量有歧义的数据预测成可能性最大的那个状态，例如在自然语言处理（NLP）中，就可以有效预测一句话的意思。
第六章最大熵原理在气象学中的应用上一章我们把熵原理作了简要介绍，并附带提及了它在一些领域的应用。
由于熵原理的普遍的适用性，因而认真分析它在气象上的应用潜力是十分值得的。
很显然，用熵原理说明的气象学中的问题越多，不仅越加显示熵原理的重要性，显示宇宙真理的统一性，而且也为气象学找到了新的理论武器，而这势必也提高了气象学的科学性和实用性。
在这一章我们就重点讨论最大熵原理怎样应用于各种气象问题之中，以及由此得出的结果。
把最大熵原理用于说明气象现象大致包含如下步骤：◆首先把气象问题归结为某种分布函数(这在第二章已列出约30个分布函数的个例)。
◆找出形成上述分布函数的物理(气象)过程中有哪些重要的约束条件。
◆从物理(气象)过程含有随机性引出对应的熵达到极大值(即随机性导致最混乱)。
◆进行数学处理，从熵理论导出分布函数。
◆用实际资料验证理论结果(如不符，可再重复上述过程)。
后边的介绍就是把上述步骤分别用于各个具体的气象分布问题中，并从中逐步加深对最大熵原理的认识。
另外，从70年代以来Paltridge[1]等人从热力学熵平衡角度研究地球纬圈上的气温分布的工作，也应属于试着用熵原理的一种事例。
这个工作中尽管在原理上尚有不清楚之处，但其结果与实况的一致性和引用极值原理都是很有意义的。
鉴于汤懋苍[2]近年对此已有介绍，我们这里就不再评述了。
顺便指出，早在上世纪，从力学中发展起来的最小作用原理就从力学领域体现了自然界遵守某种极值原理的精神。
在气象界，罗伦茨[3]在60年代就设想大气也应当遵守某种极值原理。
而我们指出有一些气象分布函数可以从熵达极大的角度推导出来，这可以看成是罗伦茨思想从统计角度(非决定论角度)的具体体现。
所以，最大熵原理在气象学中的应用不仅应看作是随机论(非决定论)的胜利，也应当看成广义的极值原理的胜利。
§1 大气的温度场和气压场从最大熵原理出发，很容易说明大气中的温度场和气压场的分布。
在第二章第4节我们已经论证了大气的温度场和气压场的分布。
对气压场，我们从简单的分析得出它应是均匀分布，对温度场则从平均图上得出其分布也是均匀分布。
这就是说，如果从大气中纯随机地抽取一个空气样品，则其气压(气温)为各种可能值的出现概率都是相等的，或者说各种可能的气压(温度)占有的大气质量是一样的。
图2．5 就是其代表。
大气温度为什么恰为均匀分布(它竟然遵守如此简单的分布，确实有些出人意料！）?形成现今温度分布的原因当然是太阳辐射和大气的对外辐射，这使我们想到如图6．1的极简单的模型。
图的左侧有一高温的恒定热源，其温度为T1，左侧有一低温的恒定热汇，其温度为T0。
介质处于T1和T0两个温度之间，它的温度在各处不会都是T1或T0，从而构成了一个温度场。
如果介质仅能从左右两端吞吐热量而其他界面与外界绝缘，那么介质中的温度场理应会形成如图所示的等温线呈均匀分布之形状。
此时介质上的温度分布函数应为均匀分布，对此我们也可以从解热传导方程中得出来。
图6．1 恒温热源(T1)热汇(To)之间的介质中的温度场从熵原理角度可以这么想：约束介质的温度场的条件十分简单，它不能高于T1，，不能低于T0，此外再找不出其他约束，而依最大熵原理，温度在介质中随机性最大的分布(熵极大)此时应为均匀分布(参见第五章第2节)。
在第二章第4节已经从资料中证实全球大气的温度为均匀分布，这里又从熵原理对此作了说明，而6．1图进一步启示我们可以把大气看成图中的介质。
换言之，尽管天文上告诉人们大气受的日光有日变化、尽管太阳对地球是不均匀加热、尽管大气无时不在流动、尽管热量除了从赤道传向两极之外还有垂直传送……，可是这些复杂因素作用下形成的温度场竟然简单到与图6．1的物理过程相似，从而形成了温度的均匀分布，这确实出人意料——谁能想到结局会如此简单！那么如何理解气压也遵守均匀分布呢?均匀分布中要求有限定的上下限。
就气压而言，它不可能出现负值，因而≥0，可以看成是对气压下限值的约束。
另外，如果也像动力气象中那样，承认空气给地面的压力与大气质量受的地心引力基本相等，这就又决定了(一级近似)大气压力的上限。
除上述约束外，承认大气中每个空气微团的压力有最大的随机性(熵最大)，就会导出大气压力应在0-1013hPa之间呈均匀分布的结论，这样就沿着熵原理引出了气压的均匀分布。
§2 雨量在面积上的分布用熵原理分析降水现象，在笔者看来是十分方便又富有成效的。
这里十分重要的一个步骤就是设法把问题首先转化成分布函数问题，再依本章开头介绍的思路往下分析。
降水在面积上的分布就是一个很有说服力的事例。
在过去，气象、水文工作者分析过大量的降水量在地域上的分布图--在地图上分析一场(或6小时，一天、…)雨的雨量等值线，而有了分布函数概念后，就可以从每一张雨量图上归纳出一个不同雨量各占有多少面积的关系来。
这实际上把一个二元函数(地理经纬度两个自变量和雨深这个函数值)简化成一个一元函数了(雨深是自变量，占的面积为函数值)。
这种简化使我们丧失了一些信息(不知道每个几何位置下了多少雨了)，但是正如第二章第7节揭示的：在统计的近100场大暴雨中(其位置、雨量、成因都差别很大)，其相对分布函数的形状竟然都是相同的。
为什么从地理分布各异的雨量图简化出来的分布函数竟然都相同?其物理背景是什么?在上一章介绍统计力学思路时我们举的正是这个例子，所以可以说在那里已经从统计力学的状态数W达最大出现机会最大的角度引出了降水量在面积上呈负指数分布的结论。
这已经对现象作了物理说明，如果改用熵的原理来说明此事可能更易于讲明白。
对于降水在面积上的分布中的约束条件是易找出来的。
首先可以想到在降水区域内的任何一个位置上，其雨量r 的值仅能大于零（有时在雨量图上人们仅关心雨量比零还大一些的降水量的分布)；再一点就是认为在当时的天气学、动力学条件下，天气系统能降下来的总雨量V和总面积A都是给定值。
而V和A的给定意味着这场降水的平均雨量V ／A是给定值(不是无限大)。
．如果约束仅只是这些，并认为这些雨水以最任意(随机、混乱)的方式洒向地面，则雨量在面积上的分布函数就应当是在这些约束下恰使熵达到极大。
从第五章已作的推证看，这恰好对应于负指数型的分布函数，这个分析过程可以从表6.1中看的更清楚些。
在第二章第7节业已指出，从中国各地的86场暴雨的雨量面积数据的分析中证实，雨量r与其占有的面积的对数值有良好的线性关系。
86场降水中有85场的线性相关系数通过了信度为0．05的显著性检验。
水为r i→r i+Δr占有的面积应当是Af(r i)Δr。
把f(r)的负指数分布代入可得)ex p()(000r r r ri i r r r A r r Af ----∆=∆ 令A i 代表r i →r i +Δr 占有的面积A f (r i ) Δr ，则对上式取对数后会有000ln ln r r r r r r r A A i i ----∆= (6.1)上式中真正的变量是降水r i 和其占有的面积A i ，其他的量对于每场降水而言都是常数(Δr 是由人选定的参数)。
所以 (6.1)式表明面积A i 的对数值(1n A i )与降水值r i 是线性关系。
这就是说，分布函数为指数型，那么In A i 与(r i )应为直线关系。
如果实测资料证实它们为线性关系，也就证实了分布函数确实属于负指数分布了。
第二章第7节已讲过，对不同天气类型的降水过程的总雨量，上述线性关系都很好，这样从理论与实践两方面得到的结论就互相印证了(统计力学思路也得出同一结论)。
图6.2是面积的对数值ln A i 与其对应的雨量r i 的线性关系的示例。
图6．2 雨量r与其占有的面积A的对数为线性关系的示例(河南1975年8月5—7日暴雨)以上讨论的雨量与面积的关系，都是针对着同一场降水过程而言的。
验证时哪些降水才属于同一场降水不是我们定的，而是由有关总结、分析人员分别选定的。
那么几个降水过程合计起来的总降水量的面积分布是否也遵守这个关系呢?我们初步认为此时的约束条件会复杂化，从而不宜用此分布函数。
看来这是值得进一步研究的问题。
反之，如果不是几个降水过程的雨量而仅是某一瞬时的降水量(如一小时、六小时、一天)的分布，它是否也应符合这种关系(也是负指数分布)呢?对此我们曾经用詹道江译成中文的世界气象组织出版的《Manual for Estimation of Probable Maximum Precipitation，1973》一书中提供的资料，计算了美国实测的大暴雨过程中的6、12、…、72小时的雨量与面积的关系，发现它们也服从负指数关系。
看来一场降水过程内部的给定时段的雨量，面积关系也能用负指数关系来描述。
在上节讨论大气温度场、气压场时，我们是把地球大气总体视为一个闭合系统。
大气运动的任意性导致与温度场、气压场对应的熵达到极大值，针对着对应的约束我们求得了均匀分布。
而在本节我们面对的不是地球大气总体了，这里面对的系统实际上是地球上的一个移动着的降水天气系统所形成的降水，这里的熵实际上仅只表示着雨量在地域分配上的混乱程度。
以上对比使我们看到，熵原理可以适用于大小不等的特定系统。
看来恰当地选定适宜的系统，进而分析其熵是很重要的。
以上两节的讨论中我们都没有具体计算熵极大时的熵值究竟是多少，这并不是因为很难计算，而是由于我们的目的不是求熵是多少，而是找出熵极大时对应的分布函数是什么。
而一旦找出分布函数，也就认为达到了目的。
§3 降水现象中的指数簇我们把降水问题中的很多分布函数都呈负指数分布的现象简称为降水现象中的指数簇。
在上一节曾就降水的面积分布作了较深入的讨论，而现在我们要扩大如上思路进而分析降水过程的其他分布函数。
这就使人们看到降水问题中的负指数关系确实很多，它们构成了一个指数簇。
3.1 降水元的线径分布大气中凝结的水汽变成降水而降下来时，它们都是以颗粒为单元一个个地掉下的，最常见的是雨滴，还有一片片的雪花、一粒粒的霰和一个个的冰雹……。
我们不妨把这些可以清楚地区分成一个个的降水元量统称为降水元。
观测表明，尽管降水元的变化十分复杂，但是在一级近似下，可以认为各种降水过程的各种降水元的线径大小都服从指数分布。
所谓线径，指的就是雨滴的半径(或直径)，而降水元为雪花、霰粒、冰雹……时，指的是它们融成水以后折合成的球体半径(直径)。
线径分布指的是在某次降水过程中，在降水元组成的总体(集合)中线径大小不等的降水元各占多少，它们都是分布函数的特例。
在第二章第1节，实际上已经指出上述分布(不含云滴)都以指数分布为主要特征，因而可以在一级近似下说它们都服从指数分布律。
3.2 降水强度的时间分布分布函数除了可以描述某变量取不同数值时各占有多少个数、面积、质量而外，也可用以描述变量取不同数值时各占了多少时间。
