概率统计简明教程习题答案(工程代数_同济版)

(ⅱ)最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为 ，所求概率为 .
4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：
(1) 2只都合格；
(2) 1只合格，1只不合格；
(3)至少有1只合格。
解分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为 ，则
解 .
15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解 .
16．设在三次独立试验中，事件 出现的概率相等，若已知 至少出现一次的概率等于19/27，求事件 在每次试验中出现的概率 .
解记 { 在第 次试验中出现}，
依假设
所以， ，此即 .
解记 {收到信号 }， {发出信号 }
(1)
(2) .
9．设某工厂有 三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间 生产的概率。
解为方便计，记事件 为 车间生产的产品，事件 {次品}，因此
(1)第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
(2)只有第一次抽到废品；
(3)三次都抽到废品；
(4)至少有一次抽到合格品；
(2)只有两次抽到废品。
解(1) ；(2) ；(3) ；
(4) ；(5) .
6.接连进行三次射击，设 ={第 次射击命中}， ， {三次射击恰好命中二次}， {三次射击至少命中二次}；试用 表示 和 。
注意到 ，且 与 互斥，因而由概率的可加性知
5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
(1)点数之和为7；(2)点数之和不超过5；(3)点数之和为偶数。
解分别记题(1)、(2)、(3)的事件为 ,样本点总数
(ⅰ) 含样本点 ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
(ⅱ) 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
解记求概率的事件为 ，样本点总数为 ，而有利 的样本点数为 ，所以 .
7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：
(1)事件 ：“其中恰有一位精通英语”；
(2)事件 ：“其中恰有二位精通英语”；
(3)事件 ：“其中有人精通英语”。
解样本点总数为
(1) ；
(2) ；
(3)因 ，且 与 互斥，因而
(2)在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；
(3)在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解(1)
(2)
(3)
习题四解答
1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证 是否满足下列二个条件：其一条件为 ，其二条件为 。
习题一解答
1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 ：
(1)抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件 ；
(2)记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件 一分钟内呼叫次数不超过 次}；
(3)从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件 寿命在 到 小时之间}。
解(1) ， .
(2)记 为一分钟内接到的呼叫次数，则
(ⅲ) 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6),一共18个样本点。
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解 .
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
(1)已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
(2)已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解记 {基金}， {股票}，则
(1)
(2) .
4．给定 ， ， ，验证下面四个等式：
，
解
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
.
8．设一质点一定落在 平面内由 轴、 轴及直线 所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线 的左边的概率。
解记求概率的事件为 ，则
为图中阴影部分，而 ，
最后由几何概型的概率计算公式可得
.
9．（见前面问答题2. 3）
10．已知 ， ， ，求
(1) , ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .
（3） 。
3.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。
解X可能取的值为-3，1，21
2
概率
X的分布函数
0
=
1
4.一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。
(ⅳ)有利于 的样本点数 ，故 .
3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1)最小号码是3的概率；(2)最大号码是3的概率。
解本题是无放回模式，样本点总数 .
(ⅰ)最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为 ，所求概率为 .
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为 ；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为 。
2.试确定常数 ，使 成为某个随机变量X的分布律，并求： ； 。
解要使 成为某个随机变量的分布律，必须有 ，由此解得 ；
（2）
， .
(3)记 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则
， .
2.袋中有 个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设 {取得球的号码是偶数}， {取得球的号码是奇数}， {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) .
解(1) 是必然事件；
13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为 ，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。
解记 {通达}，
{元件 通达}，
则 ，所以
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
（3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。
解（1）设事件 表示第 次抽到的产品为正品，依题意， 相互独立，且 而
(1)第一次、第二次都取到红球的概率；
(2)第一次取到红球，第二次取到白球的概率；
(3)二次取得的球为红、白各一的概率；
(4)第二次取到红球的概率。
解本题是有放回抽取模式，样本点总数 .记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为 .
(ⅰ)有利于 的样本点数 ，故
(ⅱ)有利于 的样本点数 ，故
(ⅲ)有利于 的样本点数 ，故
3.在区间 上任取一数，记 ， ，求下列事件的表达式：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解(1) ;
(2) ;
(3)因为 ，所以 ；
(4) 4.用事件 的运算关系式表示下列事件：
(1) 出现， 都不出现（记为 ）；
(2) 都出现， 不出现（记为 ）；
(3)所有三个事件都出现（记为 ）；
(4)三个事件中至少有一个出现（记为 ）；
解 {迟到}， {坐火车}， {坐船}， {坐汽车}， {乘飞机}，则 ，且按题意
， ， ， .
由全概率公式有：
6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：
(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解(1)记 {该球是红球}， {取自甲袋}， {取自乙袋}，已知 ， ，所以
(2) 是不可能事件；
(3) {取得球的号码是2，4}；
(4) {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
(5) {取得球的号码为奇数，且不小于5} {取得球的号码为5，7，9}；
(6) {取得球的号码是不小于5的偶数} {取得球的号码为6，8，10}；
(7) {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
10．设 与 独立，且 ，求下列事件的概率： ， ， .
解
11．已知 独立，且 ，求 .
解因 ，由独立性有
从而 导致
再由 ，有
所以 。最后得到
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解记 {命中目标}， {甲命中}， {乙命中}， {丙命中}，则 ，因而
(5)三个事件都不出现（记为 ）；
(6)不多于一个事件出现（记为 ）；
(7)不多于两个事件出现（记为 ）；
(8)三个事件中至少有两个出现（记为 ）。
解(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ；
(5) ；(6) ；
(7) ；(8) .