一级倒立摆
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控制系统综合设计——一级直线倒立摆的控制系别信息工程系年级自动09姓名张一鸣学号2009926008 姓名刘德鹃学号2008926061 姓名黄一宏学号2009926052 姓名史蛟龙学号2009926015 指导教师肖龙海张田军2012年06月小组成员与分工：黄一宏主要任务：二阶~四阶控制,仿真刘德鹃主要任务: 二阶~四阶控制,仿真张一鸣主要任务: 二阶~四阶建模史蛟龙主要任务: 二阶~四阶建模前言倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
本报告通过设计二阶、四阶两种倒立摆控制器来加深对实际系统进行建模方法的了解和掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法。
熟悉倒立摆系统的组成及基本结构并利用MATLAB对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，研究调节器参数对系统动态性能的影响，非常直观的了解控制器的控制作用。
目录第一章设计的目的、任务及要求1.1 倒立摆系统的基本结构 (4)1.2 设计的目的 (4)1.3 设计的基本任务 (4)1.4 设计的要求 (4)1.5 设计的步骤 (5)第二章一级倒立摆建模及性能分析2.1 微分方程的推导 (5)2.2 系统的稳定性和能观性分析 (11)2.3 二阶的能观性、能控性、稳定性、频域和时域的分析及波特图 (13)2.4 四阶的能观性、能控性、稳定性、频域和时域的分析及波特图 (18)第三章倒立摆系统二阶控制器的设计与调试3.1 设计的要求 (22)3.2 极点配置 (22)3.3 控制器仿真设计与调试 (23)第四章倒立摆系统四介控制器的设计与调试4.1 设计的要求 (26)4.2 极点配置 (26)4.3 控制器仿真设计与调试 (27)心得体会 (31)参考文献 (31)第一章设计的目的、任务及要求1.1 倒立摆系统的基本结构了解倒立摆装置基本结构。
了解编码盘、行程开关等的基本工作原理。
进行行程开关、编码盘和电机基本测试。
1.2 设计的目的本设计要求我们针对设计要求，利用课堂所学知识及实验室实测来的系统数据采用工程设计法进行一级直线倒立摆控制系统设计。
绘制原理图，同时在实验室进行实验检验设计结果，分析数据，编写设计报告。
目的是使学生掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法。
1.3 设计的基本任务本课程设计的被控对象采用固高科技生产的GLIP2001一级直线倒立摆。
通过设计与调试使学生能够：（1）熟悉倒立摆系统的组成及其基本结构；（2）掌握通过解析法建立系统数学模型及进行工作点附近线性化的方法；（3）掌握系统性能的计算机辅助分析；（4）掌握系统控制器的设计与仿真；（5）研究调节器参数对系统动态性能的影响。
1.4 设计的要求1、熟悉倒立摆系统结构，熟悉倒立摆装置的基本使用方法；2、建立系统的数学模型，并在工作点附近线性化；3、分析系统的稳定性、频域性能、能控性与能观性；4、采用状态空间的极点配置法设计控制器，要求系统调节时间ts<=3s，阻尼比ξ>=0.6 and ξ<=1。
1.5 实验步骤1、倒立摆系统基本结构分析2、对象的建模3、系统性能分析4、控制器设计与调试5、设计报告的撰写第二章一级倒立摆建模及性能分析系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面采用牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
2.1微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示。
我们不妨做以下假设：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量 F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：①由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：②即：③把这个等式代入①式中，就得到系统的第一个运动方程④为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：⑤⑥力矩平衡方程如下：⑦注意：此方程中力矩的方向，由于θ= π+φ,cosφ= -cosθ,sinφ= -sinθ，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：⑧设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：⑨对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到⑩注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：⑾⑿如果令则有⒀把上式代入方程组的第二个方程，得到：⒁整理后得到传递函数：⒂其中，该系统状态空间方程为：⒃方程组对解代数方程，得到解如下：⒄整理后得到系统状态空间方程：⒅由(9)的第一个方程为对于质量均匀分布的摆杆有：于是可以得到：化简得到：⒆⒇以小车加速度为输入的系统状态空间方程：2.2 稳定性分析P=poly(A);r=roots(P);ii=find(real(r)>0);n=length(ii);if(n>0)disp('不稳定');elsedisp('稳定');end不稳定能控能观性分析A=[ 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];B=[ 0 1 0 3]'; C=[ 1 0 0 0;0 1 0 0];D=[ 0 0 ]';>> n=4;Uc=ctrb(A,B);Vo=obsv(A,C);>> if(rank(Uc)==n)if(rank(Vo)==n)disp('系统状态即能控又能观')else disp('系统状态即能控,但不能观')endelse if(rank(Vo)==n)disp('系统状态能观,但不能控')else disp('系统状态不能控,但也不能观')endend系统状态即能控,但不能观阶越响应分析>> clear;A=[ 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];B=[ 0 1 0 3]';C=[ 1 0 0 0;0 1 0 0];D=[ 0 0 ]';step(A, B ,C ,D)2.3 二阶的能观性、能控性、稳定性、频域和时域的分析及波特图>> A=[0 1;29.4 0];>> B=[0 3]';>> C=[0 0 ;1 0];>> D=0;二阶能控性分析：>> M=ctrb(A,B)M =0 33 0>> rank(M)ans =2二阶能观性分析：>> N=obsv(A,C)N =0 01 0>> rank(N)ans =2二阶稳定性分析：>> eig(A)ans =5.4222-5.4222>> bode(A,B,C,D,1)二阶频域分析：A=[0 1;29.4 0;]A =0 1.000029.4000 0 >> B=[0;3;]B =3>> C=[0 0;1 0;]C =0 01 0>> D=[0;0;]D =>> K=[1.33 11.88;]K =1.33 11.88>> a=[A-B*K]a =0 1.0000 28.07 -35.4>> [num,den]=ss2tf(a,B,C,D)num =0 0 00 0.0000 3.0000 den =1.0000 15.9996 177.7689 >> G1=tf(num(1,:),den)Transfer function:>> G2=tf(num(2,:),den)Transfer function:3.553e-015 s + 3------------------s^2 + 16 s + 177.8>> num=[0,0,3]num =0 0 3>> num=[0,0,3];>> den=[1.0000,15.9996,177.7689]; > G1=tf(num,den)w=logspace(-2,4,50)bode(G1,w);grid;[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G1)Transfer function:3------------------s^2 + 16 s + 177.8Gm =InfPm =InfWcg =InfWcp =NaN二阶时域分析：A=[0 1;29.4 0;]A =0 1.000029.4000 0 >> B=[0;3;]B =3>> C=[0 0;1 0;]C =0 01 0>> D=[0;0;]D =>> K=[1.33 11.88;]K =1.33 11.88>> a=[A-B*K]a =0 1.0000 28.71 -35.4>> [z,p,k]=ss2zp(a,B,C,D) z =Empty matrix: 0-by-2p =-2 +1.5j-2-1.5jk =3>> G=zpk([],[-2+1.5j,-2-1.5j],3); >> C=dcgain(G)[y,t]=step(G);plot(t,y)grid[Y,k]=max(y);timetopeak=t(k) percentovershoot=100*(Y-C)/Cn=1;while y(n)<Cn=n+1;endrisetime=t(n)i=length(t);while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C) i=i-1;endsetllingtime=t(i)C =0.0169timetopeak =0.2968percentovershoot =9.4738risetime =0.2140setllingtime =0.44172.4 四阶的能观性、能控性、稳定性、频域和时域的分析及波特图> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;];>> B=[0 1 0 3]';>> C=[ 1 0 0 0;0 1 0 0];>> C=[ 1 0 0 0;0 0 1 0];>> D=[0 0]';四阶能控性分析:>> M=ctrb(A,B)M =0 1.0000 0 01.0000 0 0 00 3.0000 0 88.20003.0000 0 88.2000 0>> rank(M)ans =4四阶能观性分析：>> N=obsv(A,C)N =1.0000 0 0 00 0 1.0000 00 1.0000 0 00 0 0 1.00000 0 0 00 0 29.4000 00 0 0 00 0 0 29.4000 >> rank(N)ans =4四阶稳定性分析：>> eig(A)ans =5.4222-5.4222>> bode(A,B,C,D,1)四阶频域分析：A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;]A =0 1.0000 0 00 0 0 00 0 0 1.00000 0 29.4000 0>> B=[0;1;0;3;]B =13>> C=[1 0 0 0;0 0 1 0;]C =1 0 0 00 0 1 0>> D=[0;0;]D =>> K=[-13.6 -13.6 70.3351 12.252;]K =-13.6 -13.6 70.3351 12.252>> a=[A-B*K]a =0 1.0000 0 021.2585 17.8571 -78.9695 -13.95240 0 0 1.000063.7755 53.5713 -207.5085 -41.8572>> [num,den]=ss2tf(a,B,C,D)num =0 -0.0000 1.0000 -0.0000 -29.40000 -0.0000 3.0000 -0.0000 -0.0000 den =1.0000 24.0001 186.2500 524.9987 624.9999 >> G1=tf(num(1,:),den)Transfer function:-1.421e-014 s^3 + s^2 - 2.274e-012 s - 29.4-------------------------------------------s^4 + 24 s^3 + 186.3 s^2 + 525 s + 625>> num=[0,0,1.0000,0.0000, -29.4000];den=[1.0000,24.0001,186.2500,524.9987, 624.9999];G1=tf(num,den)w=logspace(-2,4,50)bode(G1,w);grid;[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G1)Transfer function:s^2 - 29.4--------------------------------------s^4 + 24 s^3 + 186.3 s^2 + 525 s + 625Gm =21.2585Pm =InfWcg =Wcp =NaNG2=tf(num(2,:),den)Transfer function:-1.066e-014 s^3 + 3 s^2 - 9.095e-013 s - 1.819e-012 ---------------------------------------------------s^4 + 24 s^3 + 186.3 s^2 + 525 s + 625>> num=[0,0,3.00000,0];den=[1.0000,24.0001,186.2500,524.9987, 624.9999]; G1=tf(num,den)w=logspace(-2,4,50)bode(G1,w);grid;[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G1)Transfer function:3 s--------------------------------------s^4 + 24 s^3 + 186.3 s^2 + 525 s + 625Gm =1.2877e+003Pm =InfWcg =13.5216Wcp =NaN第三章倒立摆系统二阶控制器的设计3.1 设计的要求建立以X’’为输入，Φ与Φ’为状态变量，y为输出的模型分析系统的稳定性，能控能观性设计状态反馈控制器进行极点配置，是系统ξ>=0.6 ts<=3s 3.2极点配置取ξ=0.8，Ts=2s；则Wn=2.5，极点为-2±1.5j利用MATLAB进行计算:clear;A=[0 1;29.4 0];B=[ 0 3]';M=[B A*B ];J=[-2-1.5*j 0;0 -2.5+10.6664*j];phi=polyvalm(poly(J),A);K=[ 0 1]*inv(M)*phiK =11.8 1.33则：K0=11.8,K1=1.33。
