矩形、菱形的性质定理和判定定理(上课用)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形和菱形的基本概念。矩形是一种四边形，有四个直角，对边平行且相等；菱形则是四边相等的四边形，对角线互相垂直平分。它们在几何图形中具有重要的地位，广泛应用于日常生活和艺术设计中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用矩形和菱形的性质来解决实际问题，如计算图形的面积和周长。
4.培养学生的数学应用意识，将矩形和菱形的知识应用于生活实际，如设计图案、计算面积等，增强数学与生活实际的联系，提高学生的数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）矩形和菱形的性质：熟练掌握矩形和菱形的定义、特征及性质，包括对边平行且相等、对角线互相平分等。
举例：矩形性质的应用——计算矩形面积；菱形性质的应用——判断菱形对角线长度关系。
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过观察、操作矩形和菱形，使其理解并掌握其性质，能运用这些性质解决实际问题；
2.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过矩形和菱形的判定方法的学习，使学生能够运用严谨的逻辑推理证明四边形的类型，提高解决问题的能力；
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用矩形和菱形的相关性质，分析解决实际问题时四边形边长、角度等数据的变化规律；
（4）几何证明的逻辑推理：在判定矩形和菱形时，学生需要具备严密的逻辑推理能力，能够运用已知条件和性质进行证明。
举例：运用矩形和菱形的性质，通过步骤严谨的推理过程，证明一个四边形是矩形或菱形。
在教学过程中，教师需针对这些难点和重点，采用适当的教学策略，如直观演示、案例分析、小组讨论等，帮助学生透彻理解矩形和菱形的性质与判定方法，提高解决问题的能力。
（2）矩形和菱形的判定方法：理解和掌握矩形、菱形的判定条件，能够准确判断四边形的类型。

矩形与菱形性质及判定【教学目标】1. 掌握矩形及菱形的概念和性质，理解矩形、菱形与平行四边形的区别与联系2. 会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题3. 掌握矩形及菱形的判定，能求解较为综合型问题【教学重难点】1. 熟练运用矩形与菱形的性质，求解相关问题2. 对于矩形及菱形的判定熟练掌握3. 综合运用矩形及菱形的性质及判定求解较为复杂的问题【教学内容】★知识梳理一、矩形1. 性质定理（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的两条对角线相等2. 判定定理（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形1. 性质定理（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角2. 判定定理（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）四条边都相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形★考点一、矩形例1. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中有个直角三角形，个等腰三角形例2. 如图，在矩形ABCD中，AC和BD是两条对角线，若AE⊥BD于点E，∠DAE = 2∠BAE，则∠EAC =例3. 如图，在四边形ABCD中，∠BDC=90°，AB⊥BC于点B，E是BC中点，连结AE、DE，则AE与DE的大小关系是（）（A）AE=DE （B）AE>DE （C）AE<DE （D）不能确定例4. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=4，则DC的长例5. 如图，在矩形ABCD中，已知E是BC的中点，AE=AD=2，求AC的长例6. 如图，在矩形ABCD中，已知点E在DC上，AE=2BC，且AE=AB，求∠CBE的度数例7. 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交AB延长线于点E，求证：AC=CE例8. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOD是正三角形，AD=4，求这个平行四边形的面积例9. 如图，延长等腰△ABC的腰BA至点D，使AD=BA，延长腰CA至点E，使AE=CA，连结CD、DE、EB，求证：四边形BCDE是矩形例10. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，P为BC的延长线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，求证：DE⊥DF且DE = DF例11. 如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H求证：四边形EFGH是矩形例12. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E，求证：四边形ADCE是矩形二、菱形例13. 若菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为例14. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm，则菱形的两条对角线的长分别是例15. 在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且BE=EC，CF=FD，则∠AEF等于（）（A）120°（B）45°（C）60°（D）150°例16. 在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，则BD：AC等于（）（A）3：2 （B）3：3 （C）1：2 （D）3：1例17. 在菱形ABCD中，已知∠A=30°，AB=10 cm，求AD和BC之间的距离例18. 如图，在菱形ABCD中，已知E是BC上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE求证：BE=AF例19. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AB=5，CO=2，BD=2求证：四边形ABCD是菱形例20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点A、D作AE∥BD，DE∥AC交于点E ，求证：四边形AODE 是菱形例21. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD ，BC ，AC 分别交于E 、F 、O 求证：四边形AFCE 是菱形例22. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 、F 在直线AB 上，且AE=AB=BF ，连结CE 、DF 分别交AD 、BC 于点M 、N（1）求证：四边形DMNC 是平行四边形（2）若要使四边形DMNC 为菱形，则还需增加什么条件？例23. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，ED ⊥BC ，DF//AB ，求证：AD 与EF 互相垂直平分AB C D EF★ 能力训练1. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=4cm ，动点P 以1cm/s 的速度从A 点出发，经点D 、C 到点B ，设△ABP 的面积为s （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（1）求当点P 在线段AD 上时，s 与t 之间的函数关系式（2）求当点P 在线段BC 上时，s 与t 之间的函数关系式2. 如图，点E 是矩形ABCD 边AD 上一点，且BE=ED ，P 是对角线BD 上任一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足分别为F 、G ，试探索线段PF 、PG 、AB 之间的数量关系，并证明3. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，BC=5，对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等【课后作业】A BC OFE1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）（A）平行四边形（B）等边三角形（C）矩形（D）直角三角形2. 下列叙述错误的是（）（A）平行四边形的对角线互相平分（B）平行四边形的四个内角相等（C）矩形的对角线相等（D）有一个角时90º的平行四边形是矩形3. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为（）（A）45°, 135°（B）60°, 120°（C）90°, 90°（D）30°, 150°4. 若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为5. 菱形的一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长为12 cm，则菱形的周长为6. 菱形有条对称轴，对称轴之间具有的位置关系7. 若菱形两邻角的比为1：2，周长为24 cm，则较短对角线的长为8. 若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半，则菱形两相邻内角的度数分别是9. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，BD=CD，E是BC的中点求证：四边形ABED是矩形10. 如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，∠MAD=∠MDA求证：四边形ABCD是矩形11. 如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE:∠BCE=3:1，且M为OC的中点，试说明ME⊥AC12. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC，求证：CE = EF13. 如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 上，且CE=CF ，求证：AE = AF14. 如图，已知四边形ABCD 是菱形，点E F ，分别是边CD 、AD 的中点.，求证：AE CF15. 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，E 为AD 延长线上一点，CF//BE 交AD 于F ，连接BF 、CE ，求证：四边形BECF 是菱形A B C DE FA EC BF。

八年级矩形菱形数学知识点矩形与菱形是数学中比较基础的图形，涉及到面积、周长、对角线等方面的计算。

在八年级的数学学习中，矩形与菱形的知识点也显得尤为重要。

本文将为大家详细讲解八年级矩形菱形数学知识点的相关内容。

一、矩形的性质矩形是一种四边形，有四个顶点、四条边和四个内角。

其性质如下：1. 对角线相等，即矩形的两条对角线相等。

2. 每对邻边互相垂直，即矩形的相邻边互相垂直。

3. 相邻角互补，即矩形的相邻两个内角互补，即它们的和等于180度。

4. 矩形的面积通过公式S=a×b计算，其中a和b是矩形的两条邻边，S是矩形的面积。

5. 矩形的周长通过公式P=2a+2b计算，其中a和b是矩形的两条邻边，P是矩形的周长。

二、菱形的性质菱形是一种四边形，有四个顶点、四条边和四个内角。

其性质如下：1. 菱形的对角线相等，即菱形的两条对角线相等。

2. 菱形的两两邻边互相垂直。

3. 菱形的其中两个内角相等，而四个内角的和等于360度。

4. 菱形的面积通过公式S=d1×d2÷2来计算，其中d1和d2是菱形的两条对角线，S是菱形的面积。

5. 菱形周长的计算公式和矩形相同，也是P=2a+2b，其中a和b是菱形的两条邻边，P是菱形的周长。

三、矩形和菱形的关系矩形和菱形有很多相似之处，但也有很多不同之处。

下面列举一些它们之间的关系：1. 菱形是一种特殊的矩形，因为菱形的所有内角都是直角，而矩形只有相邻两个内角是直角。

2. 矩形和菱形的面积都是通过乘法求得，但矩形面积是两条相邻边相乘，而菱形面积是两条对角线相乘再除以2。

3. 两种图形的周长都是通过相邻边的和来计算，但是矩形的周长不一定等于菱形的周长。

4. 矩形和菱形在几何图形中都是非常基础的图形，它们的计算方法和应用非常广泛，是求解各种数学题目的重要工具。

四、应用实例1. 一个矩形的周长是60cm，宽度为10cm，求它的面积。

解：由题目已知，矩形的周长是60cm，而宽度为10cm，那么可以得出矩形的长为(60-2×10)cm=40cm，因此，矩形的面积为40cm×10cm=400cm²。

A.AE=AF
B.EF⊥AC
C.∠B=60° D.AC是∠EAF的平分线
【解析】选C.由题意易证四边形AECF是平行四边形，再由菱 形的判定方法知A，B选项都可判定四边形AECF是菱形；而D 选项中AC是∠EAF的平分线易证AE=EC，故也能判定四边形 AECF是菱形；C选项不能判定四边形AECF是菱形.
(3)在上述条件下，四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 提示：四边形ABCD是菱形.理由：∵△AOD≌△AOB， ∴AD=AB，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形 ABCD是菱形.
【总结】菱形的判定定理： (1)定理1：_四__条__边__都__相__等__的四边形是菱形. (2)定理2：对角线_互__相__垂__直__的平行四边形是菱形.
7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过 点O作AC的垂直平分线分别与AD，BC相交于点E，F，连结AF. 求证：AE=AF.
【证明】连结CE.∵AD∥BC， ∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO， 又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO， ∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形. 又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形， ∴AE=AF.
3.(2013·泰州中考)对角线互相
的平行四边形是菱
形.
【解析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
答案：垂直
4.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，
∠BDE=70°，则∠CAD=
°.
【解析】∵CD与BE互相垂直平分，
∴四边形BDEC是菱形，
∴DB=DE，CF=DF.
∵∠BDE=70°， ∴∠ABD=180 7=055°.
2
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°. ∵AB垂直平分CD. ∴AC=AD，∴∠FAC=∠FAD=35°，∴∠CAD=70°. 答案：70