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勾股定理练习(根据对称求最小值)
基本模型：已知点A 、B 为直线m 同侧的两个点，请在直线m 上找一点M ,使得AM+BM 有最小
值。
1、已知边长为4的正三角形ABC 上一点E ，AE=1，AD 丄BC 于D,请在AD 上找一点N , 使得
EN+BN 有最小值，并求出最小值。
3、如图，已知直线 a II b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到
直
线b 的距离为3，AB=2 . 30 •试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足
MN 丄a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=( )
(1) 在AB 上找一点E ,使EC=ED ，并求出EA 的长；
(2) 在AB 上找一点F ，使FC+FD
最小，并求出这个最小值2、•已知边长为4的正方形ABCD 上一点E ，AE=1，请在对角线AC 上找一点N ， 使得
EN+BN 有最小值，并求出最小值。
4、已知 AB=20， DA=10， CB=5.
A
D 4题图
5、如图，在梯形ABCD 中，/ C=45°，/ BAD= / B=90°, AD=3 , CD=2 2 ,
M为BC上一动点，则△ AMD 周长的最小值为_______________________ .
6 如图，等边△ ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB 边上一点，
贝U EM+BM的最小值为__________________________.
7、如图/ AOB = 45 °，P是/ AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点, 求厶
PQR周长的最小值.
8.如图所示，正方形ABCD的面积为12, △ ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内,
在对角线AC上有一点P，使PD+ PE的和最小，则这个最小值为（）
A . 2 B. 2 .6 C. 3 D . . 6
9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，
连接PB、PQ，则厶PBQ周长的最小值为_______________ m
10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点, 且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.
几何体展开求最短路径
1、如图，是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为 20dm, 3dm , 2dm , A 和B 是这 个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 B 点的最短路程是多少dm ?
2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm,高AE 为4cm,EC 是上底面的直径.一只蚂蚁从 点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C ,试求出爬行的最短路程.
3、如图，一个高18m ,周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度, 要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？
（建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙 ）
4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1处（ 条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m ,底面周长为1m ,在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁， 离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，求壁 虎捕捉蚊子的最短距离。
B
H 题图
片
D
折叠问题
1、如图所示，折叠矩形的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm, BC=10cm, 求EF 的长。
2、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点 A '处；（1）求证：B'E=BF ;
（2）设AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想a 、b 、c 之间的一种关系，并给予证明
3、 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm ，BC=8cm ，将△ ABC 折叠，
使点B 与点A 重合，折痕为DE ,贝U CD= _____________ 。
4、 如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，点D 落在BC 边的D '处，AE 是折痕，已知CD=6cm, CD'=2cm ，贝U AD 的长为 ________________ .
5、如图，在 Rt △ ABC 中，/ ABC=90。，/ C=60°，AC=10,将 BC 向 BA 方向翻折 过去，使点C 落在BA 上的点C '，折痕为BE ，则EC 的长度是（ ）
A 、5 3
B 、5 3 — 5
C 、10— 5.3
D 、5 + . 3 &如图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点 BC=7,
求重合部分△ EBD 的面积。
C 落在C '的位置上，已知 AB=?3 ,
弦图有关冋题
1、如图，直线I 上有三个正方形 a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为5和11,则b 的面积为（
）
C 、 16
D 、 55 2、 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》
，它是由 四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形
（如图所示）.如果大正方形的面积是 13, 小正方形的面积是 1,直角三角形的较短直角边为 a ,较长直角边为 b ,那么（a+b ）2的值为（ ） A 、 13
B 、 19
C 、 25
D 、 169 3、 如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作 S 1、S 2、S 3，贝U S 1、S 2、S 3之间的关
系是（ ） A 、S 1+S 2>S 3 B 、S 1 +S 2
4、 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由 4个全等的直角三角形拼合而成，若图
中大小正方形的面积分别为 52和4,则直角三角形的两条直角边的长分别为 5、 已知：如图，以Rt △ ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边
AB = 3,则图中阴影部分 的面积为 _____________ .
6、如图，Rt △ ABC 的周长为（5+3・、5） cm,以AB 、AC 为边向外作正方形 ABPQ 和正方形 ACMN .若 这两个正方形的面积之和为 25cm 2，贝y △ ABC 的面积是 ____________ cm 2
.
7、 在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图）•已知斜放置的三个正方形的面积分别是
1、2、3,正放 置的四个正方形的面积依次是 S 1、S 2、S 3、S 4,则S 1+ S 2+ S 3 + S 4= __________________ .
8、 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
，后人称其为“赵爽弦图” •如图是由 弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD ，正方形EFGH ，正方形 MNKT 的面积分别为 S 1 , S 2, S 3 . 若S 什S 2+S 3= 10，贝U S 2的值是 _____________________
9、如图，已知△ ABC 中，/ ABC = 90° ,AB = BC ,三角形的顶点
在相互平行的三条直线
|1、|2、|3上，且|1、l 2之间的距离为2 , 12、|3之间的距离为
1题国
5题團
g 题
