初中数学图形的相似经典测试题含答案解析
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初中数学图形的相似经典测试题含答案解析
一、选择题
1．如图，边长为4的等边ABCV中，D、E分别为AB，AC的中点，则ADEV的面积是(
)
A．3 B．32 C．334 D．23
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．
【详解】
Q等边ABCV的边长为4，
2ABC3S4434V，
Q点D，E分别是ABCV的边AB，AC的中点，
DE是ABCV的中位线，
DE//BC，1DEBC2，1ADAB2，1AEAC2，
即ADAEDE1ABACBC2，
ADEV∽ABCV，相似比为12，
故ADESV：ABCS1V：4，
即ADEABC11SS43344VV，
故选A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
2．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】
分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AFABGFGD=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴AFABGFGD=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
3．如图，在ABCV中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且//DEBC，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是( )
A．ADAEABEC B．AGAEGFBD C．ODAEOCAC D．AGACAFEC
【答案】C
【解析】 【分析】
由//DEBC可得到DEOV∽CBOV，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】
解：A.∵//DEBC，
∴ADAEABAC ,故不正确；
B.
∵//DEBC，
∴AGAEGFEC ,故不正确；
C. ∵//DEBC，
∴ADEV∽ABCV，DEOV∽CBOV,
DEAEBCAC，DEODBCOC ．
ODAEOCAC ，故正确；
D. ∵//DEBC，
∴ AGAEAFAC ,故不正确；
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
4．如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，BEEC，将DCE沿DE对折至DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．给出以下结论：①DAGDFG；②2BGAG；③EBFDEG:；④23BFCBEFSS．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B 【解析】
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，可判断①的正误；设正方形ABCD的边长为a，AG＝FG＝x，BG＝a−x，根据勾股定理得到x＝13a，得到BG＝2AG，故②正确；根据已知条件得到△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，于是得到△EBF与△DEG不相似，故③错误；连接CF，根据三角形的面积公式得到S△BFC＝2S△BEF．故④错误．
【详解】
解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
ADDFDGDG＝＝，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；
设正方形ABCD的边长为a，AG＝FG＝x，BG＝a−x，
∵BE＝EC，
∴EF＝CE＝BE＝12a
∴GE=12a+x
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x＝13
∴BG＝2AG，
故②正确；
∵BE＝EF，
∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，
∴△EBF与△DEG不相似，
故③错误；
连接CF， ∵BE＝CE，
∴BE＝12BC，
∴S△BFC＝2S△BEF．
故④错误，
综上可知正确的结论的是2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．
5．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝kx上一点，k的值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．24
【答案】C
【解析】
【分析】
延长根据相似三角形得到:1:2BQOQ，再过点Q作垂线，利用相似三角形的性质求出QF、OF，进而确定点Q的坐标，确定k的值．
【详解】
解：过点Q作QFOA，垂足为F，
OABCQ是正方形，
6OAABBCOC，90ABCOABDAE，
DQ是AB的中点， 12BDAB，
//BDOCQ，
OCQBDQ∽，
12BQBDOQOC，
又//QFABQ，
OFQOAB∽，
22213QFOFOQABOAOB，
6ABQ，
2643QF，2643OF，
(4,4)Q，
Q点Q在反比例函数的图象上，
4416k，
故选：C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q的坐标是解决问题的关键．
6．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．
【详解】
解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E， 则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，
∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
∴1'2CDBCCEBC==，
∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，
∴点B'的横坐标是3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．
7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DEcm，20EFcm，测得边DF离地面的高度1.5ACm，8CDm，则树高AB是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】D
【解析】
【分析】
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
【详解】
解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴BCDCEFDE ∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴80.20.4BC解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为：5.5.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。
8．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，
∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
9．如图，四边形ABCD内接于Oe，AB为直径，ADCD，过点D作DEAB于点E，连接AC交DE于点F.若3sin5CAB，5DF，则AB的长为( )
