高中数学人教A版必修5课件 2-3 等差数列的前n项和 第10课时《等差数列前n项和的性质与应用》

等差数列的前n项和

(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？

(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？

(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？

[新知初探]

1．数列的前n项和

对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.

2．等差数列的前n项和公式

已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数

选用

公式 Sn＝na1＋an2 Sn＝na1＋nn－12d

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和( )

(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式( )

(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1( )

解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．

(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.

又∵a1＝S1＝3，

∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．

(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.

答案：(1)√ (2)× (3)× 预习课本P42～45，思考并完成以下问题 2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于( )

A．n B．n(n＋1)

C．n(n－1) D.nn＋12

解析：选D 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋nn－12×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝nn＋12，故选D.

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于( )

A．16 B．24

C．36 D．48

解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，

1 2.3 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)

A级 基础巩固

一、选择题

1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( )

A．30 B．31 C．32 D．33

解析：中间项为an＋1.

S奇＝（a1＋a2n＋1）2·(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.

S偶＝a2＋a2n2·n＝n·an＋1＝480.

所以an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.

答案：C

2．等差数列{an}的公差d＝12且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )

A．52.5 B．72.5 C．60 D．85

解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.

答案：C

3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12为( )

A.310 B.13 C.18 D.19

解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因为S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4.

所以S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.

所以S6S12＝310.

答案：A

4．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )

A．15 B．35 C．66 D．100

解析：易得an＝－1，n＝1，2n－5，n≥2.

|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1， 2 令an>0则2n－5>0，所以n≥3.

所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|

＝－(a1＋a2)＋a3＋…＋a10

＝2＋(S10－S2)

＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]

＝66.

答案：C

课题 2.3等差数列的前n项和（一）

课型

新授课 [来源:]

课时：

1

授课时间：

教 学

目 标

知识与技能：

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

过程与方法：

通过对等差数列前n项和公式的学习，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

情感态度与价值观：

会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

教学

重点 等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学

难点 灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

教学

手段 多媒体辅助教学

教学方法 先学后教，讲练结合

教 二次备课 学

过

程 一、复习引入：1．等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：（1） （2） （3）

=pn+q (p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① － ② ③

4．等差中项：成等差数列5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )

6．数列的前n项和：数列中，称为数列“小故事”1、2、3目,老师说: “现在给大家出道题目:过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法． 二、讲解新课：

1．等差数列的前项和公式1：

2.3 等差数列的前n项和

一、教学目标：

知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式； 2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;

3.会简单运用等差数列前n项和公式.

过程与方法： 1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；

2. 通过公式的运用体会方程的思想。

情 感 态 度： 结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.

二、教学重点难点：

教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.

教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.

三、教学策略及设计

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

四. 教法、学法

本课采用“探究——发现”教学模式． 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.

学生的学法突出探究、发现与交流.

五.教学过程

教学过程设计为六个教学环节：（如下图）

指导思想：就是从特殊到一般，由具体到抽象，类比归纳总结出指导等差数列前n项和公式的倒序相加法，然后引导学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中体会方程的思想方法。

四、教学过程： 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图

复习旧知识，引入新知

归纳抽象形成概念

温故知新，提出问题

1.明确数列前n项和的定义，开门见山确定本节课中心任务:

对于数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用sn表示，记 sn=a1+a2+a3+…+an，

如 S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7

学生回答，引导温故知新。 由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。