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新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@新世纪教育网 1 11.3 多边形及其内角和（2）
11.3.2 多边形的内角和
一、学习目标：
1.经历探究多边形内角和公式，体会转化思想,体会从特殊到一般的认识问题的方法.
2.会简单运用多边形内角和公式.
学习重点和难点：
1.重点：探究多边形内角和公式.
2.难点：探究多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形.
二、复习回顾：
回答下面问题：
（1）三角形的内角和等于 。
（2）三角形的一个外角等于_________________________________________________的和。
（3）长方形的内角和等于 ，正方形的内角和等于 。
三、新知探究：
问题1：任意四边形的内角和是多少度呢？
问题2：你能利用三角形内角和的知识验证你的猜想吗？你有几种方法？
问题3：动手画一画，以下各图中从一个顶点出发可以引出几条对角线？
问题4：你能不能利用三角形的知识，求出这几个多边形的内角和？请你完成下面的表格。 新世纪教育网 精品资料 版权所有@新世纪教育网
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多边形的内角和公式：
n边形的内角和等于______ __°
(1)八边形的内角和是________。
(2)十边形的内角和是________。
(3)一个多边形的内角和是1800°，它是 ________边形。
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
变式：如图，OB⊥AB，垂足为B，OC⊥AC，垂足为C,试判断∠A与∠1有什么关系？
例2：已知一个多边形，它的内角和等于720°，求这个多边形的边数。
11.3.2多边形的内角和
知识与能力
1.理解多边形内角和公式及外角和的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式。（重点）
2.灵活运用多边形的内角和与外角和进行相关的计算与证明。（难点）
过程与方法
1.让学生经历猜想.探索.推理.归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力。
2.通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并有效的解决问题。
情感态度与价值观
通过学生间的交流.探索，进一步激发学生学习数学的热情与求知欲望，培养良好的数学思维品质。
教学过程
一、复习引入
问题：你知道三角形内角和是多少度吗？
1、教师提问：学生思考作答。
2、教师总结：三角形内角和等于180°。
3、引出课题：你想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和。
设计意图：回顾已学知识：三角形内角和等于180度，为后边的问题的解决作铺垫，利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与下面多边形内角和探索的活动中去。
二、探究新知
（一）四边形的内角和
问题：你知道任意一个四边形是多少度吗？ 学生展示探究成果。
分成两个三角形180°×2=360°
分成四个三角形，180°×4－360°=360°
分成三个三角形，180°×3－180°=360°
引导学生猜想：四边形的内角和等于360°
学生分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想。由各小组成员汇报探索的思路和方法，讲明理由。教师江总学生所探索出的不同方法，除测量与拼凑法外，并提出疑问：你们添加辅助线的目的是什么？说一说你的想法。
教师在学生回答的基础上小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和定理求得四边形内角和。教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的多边形的内角和入手，进而猜测出四边形的内角和等于360°
设计意图：“解放学生的手，解放学生的大脑”，鼓励学生积极参与，合作交流，用自己的语言表达解决问题的方式方法，发展学生的语言表达能力与推理能力。鼓励学生寻找多种分割形式，深入领会转化的本质——将四边形转化为三角形一解决问题。
多边形的对角线与内角和，凹凸多边形
先看一下基本定义：由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形。各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做这个多边形的对角线。
下面看一下多边形的对角线与内角和。
(一)过一个顶点的对角线与分割的三角形个数
4边形的对角线个数：1条
5边形的对角线个数：2条
6边形的对角线个数：3条
……
n边形的对角线个数：n-3条
我们可以发现上面的对角线把多边形分成了若干个三角形。
4边形分成的三角形个数：2个
5边形分成的三角形个数：3个
6边形分成的三角形个数：4个
……
n边形分成的三角形个数：n-2个
(二)多边形的内角和
由于三角形的内角和是180°，可以通过分割成三角形的方法可以求出多边形的内角和。
多边形的内角和
4边形：2×180°
5边形：3×180°
6边形：4×180°
……
n边形：(n-2)×180°
严谨一点说，上面的多边形是凸多边形。 凸多边形指如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形；相反其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个优角(大于180°而小于360°角)。
下面的五边形ABCDE就是凹多边形。但是过顶点C做两条对角线，也可以把它分成3个三角形，所以凹多边形的内角和也是(n-2)×180°
(三)多边形的对角线个数
4边形：2条
5边形：5条
6边形：9条
……
n边形：n(n-3)/2条
直接找规律不是特别明显，我们可以计算一下。每一个顶点可以与除了它自己和相邻两点之外的点连接成一条对角线。例如5边形：5-3=2，即5边形每个点可以做2条对角线。所以共有5×2=10条，但是里面包括重复，去掉重复10÷2=5条。
所以n边形的对角线个数：n(n-3)/2
或者另一种算法，先把所有的线段数计算出来再减去边的个数(边不是对角线)
小学数学 《多边形的内角和》
北京市东城区教育研修学院 王佩霞
1 解读教材：
多边形在现实生活中普遍存在，它是初中数学中空间与图形的重要内容之一。这节课是在学习了三角形的内角和、认识了多边形并且了解了正多边形的基础上来探索多边形的内角和。这一课是三角形内角和知识的延伸，也为后面解决平行四边形、梯形、正多边形等多边形的问题提供了方法和条件。因此，本课的学习有着重要的意义，在平面几何的学习中，起着承前启后的作用。
2 学习者分析
学生刚学完三角形的内角和，对内角和的问题有了一定的认识，加上四年级的学生具有好奇心，求知欲强，互相评价，互相提问的积极性高，在前面的学习中，学生在观察、想象、合作探究、归纳概括等方面有了初步的体验，具备小组合作能力、独立学习能力，探究分析的能力，因此把这节课设计成一节探索活动课是必要的。但学生对符号语言、文字语言、图形语言之间的互换还不熟练，几何论证推理能力还在初步形成阶段，这使本节课的学习还有一定的困难。 编者从简单的几何图形入手，蕴含了把复杂问题转化为简单问题，化未知为已知的思想，降低本节课的难度，为学生探究搭建平台，充分体现了人人学有价值的数学，这一新课程标准精神。
3教学目标
3.1知识与技能
掌握多边形的有关概念，了解多边形的内角和公式，并运用其解决相关问题。
3.2过程与方法：
通过测量、类比、推理等数学活动，探索多边形内角和公式，感受数学思考过程中的条理性，发展推理能力和语言表达能力。
通过把多边形转化为三角形，使学生体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
3.3情感态度与价值观：
在自主探究，合作交流过程中，让学生感受数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情和合作意识。
让学生经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生的合情推理意识、主动探究的学习习惯;通过实际情景的引入,让学生进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
