高中数学(平面向量)综合练习含解析

平面向量测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地。

）1．P是△ABC所在平面上一点，若PA⋅==⋅，PCPCPBPBPA⋅A 外心B 内心C 重心D 垂心2．下列命题中，一定正确地是 A.a b a b⋅=⋅r r r r B.若()a b c ⊥-r r r ，则a b a c ⋅=⋅u r u r u r u rC.2a u r ≥||a u rD. n ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅u r u r u ru r u r u r3．在四边形ABCD 中，0=⋅，AD BC =，则四边形ABCD A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形4．若向量ar=(cos α，sin α)，b r=(cos β，sin β)，则a 与br 一定满足（ ）A ．ar 与b r地夹角等于α－β B ．(ar ＋b r)⊥(ar －b r) C ．ar ∥b rD ．ar ⊥b r5．已知向量ar≠er ，|er |＝1，对任意t ∈R ，恒有|ar －t e r |≥|a r －er |，则 （ ）A.ar ⊥er B.er ⊥(ar －er ) C.ar ⊥(ar －er )D.(a r ＋e r )⊥(a r －er )已知向量ar ≠er ，|er |＝1，对任意t ∈R ，恒有|ar －t er |≥|ar －er |，则 （ ）A ar ⊥er B ar ⊥(ar －er ) C er ⊥(ar －er ) D (a r ＋e r )⊥(a r －er )6．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （2，－1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=其中0≤βα，≤1，且1=+βα，则点C 地轨迹方程为 A.0534=-+y x （－1≤x ≤2） B. 083=+-y x （－1≤x ≤2）C. 0432=-+y xD. 25)1()21(22=-+-y x7．若||1,||2,a b c a b===+r r r r r ，且c a⊥r r ，则向量a r 与br 地夹角为( )A 30°B 60°C 120°D 150°8．已知向量a =u r（αcos 2，αsin 2），b =u r（3cos β，3sin β），a u r与bu r地夹角为60o，则直线1cos sin 02x y αα-+=与圆221(cos )(sin )2x y ββ-++=地位置关系是（ ）A.相离B.相交C.相切D.随βα，地值而定9．在△ABC 中，已知ACAB S AC AB ABC⋅===∆则,3,1||,4||地值为（ ） A ．－2B ．2C ．±4D ．±210．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P 地运动方向与v 相同，且每秒移动地距离为||个单位.设开始时点P 地坐标为（－10，10），则5秒后点P 地坐标为( )A （－2，4）B （10，－5）C （－30，25）D （5，－10）11．.设∠BAC 地平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,CE BC =等于 ( ）A 2B 21 C －3 D －31 12．为了得到函数y ＝sin(2x-6π)地图像，可以将函数y＝cos2x地图像 ( )π个单位长度 B 向左平A 向右平移6π个单位长度移3π个单位长度 D向右平移C 向左平移6π个单位长度3班级___________ 姓名_____________ 学号____________ 评分___________：二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）u u u r u u u r u u u r，且A、B、C三13．已知向量(,12),(4,5),(,10)===-OA k OB OC k点共线，则k=_ __14．直角坐标平面xoy中，若定点)2,1(A与动点),(y x P满足OP，则点P地轨迹方程是__________．•OA=415．已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y2＝－4x运动，则使⋅取得最小值地点P地坐标是．16．下列命题中：①∥⇔存在唯一地实数R∈λ，使得λ=；②为单位向量，且∥，则=±||·；③3||||a⋅；a=⋅aa④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若⋅则且,==≠⋅其中正确命题地序号是．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应有证明过程或演算步骤）17．已知△ABC中，∠C＝120°，c=7，a+b=8，求)A-cos(B 地值。

高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法单选题1、在△ABC 中，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则△ABC －定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 答案：C分析：根据向量的数量积的运算公式，求得cosA <0，得到A 为钝角，即可求解. 由向量的数量积的运算公式，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA <0，即cosA <0， 因为A ∈(0,π)，所以A 为钝角，所以△ABC －定是钝角三角形. 故选：C.2、已知a ，b ⃗ 是不共线的向量，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b ⃗ ，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+1 答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 再由AB⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b⃗ ， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.3、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B =π3，b =3，a =√3，则c =（ ）． A ．√3B ．2√3C ．3−√3D ．3 答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC 中，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9，即c 2−√3c −6=0，解得：c =−√3（舍），∴c =2√3.c故选：B.4、已知非零向量a →与b →共线，下列说法不正确的是（ ） A ．a →=b →或a →=−b →B ．a →与b →平行C ．a →与b →方向相同或相反D ．存在实数λ，使得a →=λb →答案：A分析：根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果． 非零向量a →与b →共线，对于A ，a →=λb →，λ≠0，故A 错误；对于B ，∵向量a →与b →共线，∴向量a →与b →平行，故B 正确； 对于C ，∵向量a →与b →共线，∴a →与b →方向相同或相反，故C 正确； 对于D ，∵a →与b →共线，∴存在实数λ，使得a →=λb →，故D 正确. 故选：A.5、已知向量a =(−1,m )，b ⃗ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃗ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃗ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、已知f (x )=sin (ωx +π6)+cosωx （ω>0），将f (x )图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到g (x )的图象．g (x )的部分图象如图所示（D 、C 分别为函数的最高点和最低点）：其中CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，则ω=（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 答案：C分析：先求出g (x )的解析式，再利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22得到cos∠ACB =12，进而求出|AB |=2，所以T =2×2=4，ω=π 由f (x )=√32sinωx +32cosωx =√3sin (ωx +π3)，∴g (x )=√3sin (12ωx +π3)，因为D 、C 分别为函数的最高点和最低点，所以DA =AC =CB ，由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，即|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2⋅cos∠ACB =|AD |22∴cos∠ACB =12，∴△ACB 为正三角形，又△ABC 的高为√3， ∴|AB |=2 ∴T =2×2=4， ∴即2π12ω=4πω=4，∴ω=π， 故选：C ．7、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（ ） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ，再向北走3km，即向东北走3√2km.故选：B.8、在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2−(b−c)2，则2b2+c2bc 的取值范围为（）A．(4315,5915)B．[2√2,4315)C．[2√2,5915)D．[2√2,+∞)答案：C分析：根据余弦定理和△ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C表示B，求出bc =sinBsinC的取值范围，即可求出2b2+c2bc的取值范围．解：在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，且△ABC的面积S=12bcsinA，由2S=a2−(b−c)2，得bcsinA=2bc−2bccosA，化简得sinA+2cosA=2，又A∈(0,π2)，sin2A+cos2A=1，联立得5sin2A−4sinA=0，解得或sinA=0（舍去），所以bc =sinBsinC=sin(A+C)sinC=sinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35，因为△ABC为锐角三角形，所以0<C<π2，B=π−A−C<π2，所以π2−A<C<π2，所以tanC>tan(π2−A)=1tanA=34，所以1tanC∈(0,43)，所以bc∈(35,53)，设bc =t，其中t∈(35,53)，所以2b2+c2bc=2bc+cb=2t+1t=2(t+12t)，由对勾函数单调性知y=2t+1t 在(35,√22)上单调递减，在(√22,53)上单调递增，当t=√22时，y=2√2；当t=35时，y=4315；当t=53时，y=5915；所以y∈[2√2,5915)，即2b2+c2bc的取值范围是[2√2,5915)．故选：C.小提示：关键点点睛：由2b2+c2bc =2bc+cb，所以本题的解题关键点是根据已知及bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=4 sin5AsinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35求出bc的取值范围.多选题9、等边三角形ABC 中，BD →=DC →,EC →=2AE →，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ） A ．AD →=12(AB →+AC →)B ．BE →=23BC →+13BA →C ．AF →=12AD →D ．BF →=12BA →+13BC →答案：AC分析：可画出图形，根据条件可得出D 为边BC 的中点，从而得出选项A 正确； 由EC →=2AE →可得出AE →=13AC →，进而可得出BE →=13BC →+23BA →，从而得出选择B 错误；可设AF →=12AD →，进而得出AF →=λ2AB →+3λ2AE →，从而得出λ=12，进而得出选项C 正确；由AF →=12AD →即可得出BF →=12BA →+14BC →，从而得出选项D 错误． 如图，∵BD →=DC →，∴D 为BC 的中点，∴AD →=12(AB →+AC →)，∴A 正确； ∵EC →=2AE →，∴AE →=13AC →=13(BC →−BA →)，∴BE →=BA →+AE →=BA →+13(BC →−BA →)=13BC →+23BA →，∴ B 错误；设AF →=λAD →=λ2AB →+λ2AC →=λ2AB →+3λ2AE →，且B ，F ，E 三点共线，∴λ2+3λ2=1，解得λ=12，∴AF →=12AD →，∴C 正确；BF →=BA →+AF →=BA →+12AD →=BA →+12(BD →−BA →)=BA →+14BC →−12BA →=12BA →+14BC →，∴D 错误. 故选：AC10、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC,AB 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B ．AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C ．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3D ．ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为76 答案：BD解析：可证明EO =CE ，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 因为△ABC 是边长为2的等边三角形，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以E 为AB 的中点，且CE ⊥AB ，以E 为原点如图建立直角坐标系，则E (0,0)，A (−1,0)，B (1,0)，C(0,√3)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,2√33)，则D (−13,2√33)， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得GE//AD 且GE =12AD =DC ， 所以△CDO ≌△EGO ，EO =CO ，则O (0,√32)， 对于A ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误；对于B ，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故B 正确； 对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√32)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√36)， 所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,−√33)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23，故C 错误； 对于D ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,2√33)， 所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+22=76，故D 正确.故选：BD.小提示：关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键. 11、下列说法中错误的是（ ）. A ．若a //b ⃗ ，b ⃗ //c ，c //d ，则a //d B ．若|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，则a =b⃗ C ．若a ，b ⃗ 非零向量且|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，则a ⊥b ⃗ D ．若a //b ⃗ ，则有且只有一个实数λ，使得a =λb ⃗ 答案：ABD分析：对于题中所给的条件与结论需要考虑周全，可以得出结论. A 选项，当b ⃗ ，c 中至少有一个0⃗ 时，a 与d 可能不平行，故A 错误； B 选项，由|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，可得a =b ⃗ 或a =−b⃗ ，故B 错误； C 选项，|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，根据数量积规则，则两边平方化简可得a ⋅b ⃗ =0， ∴a ⊥b⃗ ，故C 正确； D 选项，根据向量共线基本定理可知当a ,b⃗ 都为非零向量时成立， a 为零向量时也成立(λ=0) ，若b ⃗ =0⃗ 时，λ 不存在，但b ⃗ //a （零向量与所有的向量共线），故D 错误； 故选：ABD.12、下列说法错误的是（ ）A ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb⃗ B ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b⃗ 共线且反向C ．已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞) D ．在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 为等腰三角形 答案：AC分析：若a =b ⃗ =0⃗ 可判断A ；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B ；求出a +λb ⃗ 的坐标，根据a ⋅(a +λb ⃗ )>0且a 与a +λb ⃗ 不共线求出λ的取值范围可判断C ；取AC 的中点D ，根据向量的线性运算可得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可判断D ，进而可得正确选项. 对于A ：若a =b ⃗ =0⃗ 满足a //b⃗ ，则实数λ不唯一，故选项A 错误； 对于B ：两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则(a −b ⃗ )2=(|a |+|b⃗ |)2， 所以a 2+b ⃗ 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2|a ||b ⃗ |，可得2a ⋅b ⃗ =2|a ||b ⃗ |⋅cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−2|a ||b ⃗ |，cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−1，因为0≤〈a ⋅b ⃗ 〉≤π，所以〈a ⋅b ⃗ 〉=π，所以a 与b⃗ 共线且反向，故选项B 正确； 对于C ：已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，所以a +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，若a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则a ⋅(a +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)>0，解得：λ>−53，当λ=0时，a +λb ⃗ =a ，此时a 与a +λb ⃗ 的夹角为0，不符合题意，所以λ≠0，所以λ的取值范围是(−53,0)∪(0,+∞)，故选项C 不正确；对于D ：在△ABC 中，取AC 的中点D ，由BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故BD 垂直平分AC ，所以△ABC 为等腰三角形，故选项D 正确． 故选：AC ．13、有下列说法，其中错误的说法为 A ．若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //cB ．若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，S ΔAOC ，S ΔABC 分别表示ΔAOC ，ΔABC 的面积，则S ΔAOC :S ΔABC =1:6 C ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向D ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb ⃗ 答案：AD分析：对每一个选项逐一分析判断得解.A. 若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //c ，如果a ，c 都是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；B. 如图，D,E 分别是AC,BC 的中点，2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴2（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0⃗ ，∴4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OD =16AB,则S ΔAOC :S ΔABC =1:6,所以该选项是正确的；C. 两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向，所以该选项是正确的；D. 若a //b ⃗ ，如果a 是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，则不存在实数λ使得a =λb ⃗ ，所以该选项是错误的. 故选A,D小提示：本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 填空题14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且a ,b ⃗ 是不共线的向量，则向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =___________. 答案：−12a −12b⃗ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a −12b⃗ .所以答案是：−12a−12b⃗15、在△ABC中，若a=2，c=2√3,cosC=−12，M是BC的中点，则AM的长为____________．答案：√7分析：在△ABC中，由余弦定理求出b=2，进而，在△AMC中，由余弦定理可得AM.在△ABC中，由余弦定理c2=b2+a2−2abcosC得b2+2b−8=0，又b>0，所以b=2.在△AMC中，CA=b=2，CM=a2=1，由余弦定理得AM2=CA2+CM2−2CA⋅CM⋅cosC=22+12−2×2×1×(−12)=7，所以AM=√7.所以答案是：√7.16、在△ABC中，cos∠BAC=−13，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可.设DC=x,AB=y，因为BD＝2DC，AD＝DC，所以BC=3x,AD=DC=x，在△ADC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅DC =4+x2−x24x=1x，在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CB2−AB22AC⋅BC =4+9x2−y212x，于是有4+9x2−y212x =1x⇒9x2−y2=8(1)，在△ABC中，由余弦定理可知：cosA=AB2+CA2−CB22AB⋅AC =y2+4−9x24y=−13，⇒27x2−3y2−4y=12(2)，把(1)代入(2)中得，y=3，所以答案是：3解答题17、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2答案：(1)5π8；(2)证明见解析．分析：（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．（2）由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．18、如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ；（1）当θ=π12时，求四边形ABCD的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l的最大值.答案：（1）√6−√24+14；（2）5分析：（1）把四边形ABCD分解为三个等腰三角形：△COB,△COD,△DOA，利用三角形的面积公式即得解；（2）利用θ表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示BC，CD和DA，令t=sinθ2，转化为二次函数的最值问题，即得解.（1）连结，则∠COD=π12,∠AOD=5π6∴四边形ABCD的面积为2×12×1×1×sinπ12+12×1×1×sin5π6=√6−√24+14（2）由题意，在△BOC中，∠OBC=π−θ2，由正弦定理BC sinθ=OBsin(π−θ2)=1cosθ2∴BC=CD=sinθcosθ2=2sinθ2同理在△AOD中，∠OAD=θ,∠DOA=π−2θ，由正弦定理DAsin(π−2θ)=ODsinθ∴DA=sin2θsinθ=2cosθ∴l=2+4sin θ2+2cosθ=2+4sinθ2+2(1−2sin2θ2),0<θ<π2OD令t =sin θ2(0<t <√22) ∴l =2+4t +2(1−2t 2)=4+4t −4t 2=−4(t −12)2+5 ∴t =12时，即θ=π3，l 的最大值为5 小提示：本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题。

第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

一、选择题1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．162．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦5．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣ 6．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．437．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．48．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ）A ．42，0B ．4，42C ．16，0D ．4，010．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．2B ．8 km/hC ．34D ．10 km/h11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）A ．22B ．122+C ．222+D ．42 二、填空题13．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[]0,π；③当2πθ=时，1F G =； ④当23πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.14．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AMMB =__________．15．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 16．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.17．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.18．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =，且CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）20．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____. 三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.（1）求角C 的大小；（2）若3c =2a b +的取值范围.23．已知向量()1,2a =，(),1b x =.（1）若|2|||a b a b -=+，求实数x 的值；（2）若2x =，求2a b -与a b +的夹角.24．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λ+μ的值． （2）若AB ＝2，当AE BF ⋅=1时，求DF 的长．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =．（1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值； （2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．A解析：A【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 3．C解析：C【分析】 根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示： 由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+， 所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．B解析：B【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】 由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==Q 的轨迹为圆2234x y +=， 又()3,4P ，所以，33PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ ≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡+=∈+⎣.故选：B.【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5．C解析：C【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 取得最小值21-,O 在BM 的延长线上时,OB 取得最大值21+．故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy a c x y x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d -≤≤+．故选:C【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.6．B解析：B【分析】根据已知找到相似三角形，用向量AB 、AD 线性 表示向量AM .【详解】如图，平行四边形ABCD 中，3DE CE =，ABM EDM ，3322DE DC AB ∴==，()22223323555255AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫===+=+=+ ⎪⎝⎭. 32λμ= 故选：B【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.7．C解析：C【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos 62b a b t a a π⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin 16b π=，从而可求出b【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<， 所以()g t 恒大于零， 所以当232cos 622b b a b t a a a π⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1， 所以2223332122b b b g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =， 所以2b =，故选：C【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题8．C解析：C【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．D解析：D【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值．【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ32sinθ+1）， 所以|2|a b -2＝（2cosθ3-2+（2sinθ+1）2＝8﹣3cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（3πθ-）， 所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0；故选：D ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．A解析：A【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴2cos 2θ=．此时222272242410102v v v v v v v +=+⋅+=+⨯+=≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()bc a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．C解析：C【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立， 又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．二、填空题13．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出()22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得(22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增， 即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以12F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确.综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题14．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1解析：1 【解析】设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以12AD AB AC （）=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=32，x=12所以12AM AB =，则M 为AB 的中点 故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出12AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.15．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116-【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．16．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 17．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：116【分析】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D，()3,1M ，圆M 的方程为()()22311x y -+-=，设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4β=，所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116， 故答案为：116.【点睛】本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.18．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛 解析：47【分析】根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可． 【详解】解：连接CM ，CN ，如图所示：由等腰三角形中，1AC BC ==，3AB =120ACB ∠=︒，所以1=2CA CB ⋅-.∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()1122CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()1=2CN CA CB +. ∴()()111122MN CN CM x CA y CB =-=-+-， ()()()()222111111114224MN x x y y ⎛⎫=-+--⨯-+- ⎪⎝⎭， 又41x y +=，∴222131424MN y y =-+，(),0,1x y ∈. 故当17y =时，2MN 有最小值，此时3147x y =-=. 故答案为：47. 【点睛】本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④ 【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ， 则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥． 对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件． 对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件， 对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．20．【分析】设的重心为点可知与关于点对称利用重心的向量性质可求得实数的值【详解】设的重心为点则由于和的面积相等则与关于点对称则解得故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算涉及三角形重心向解析：23【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点，∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3ay =， 所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 22．（1）2C 3π=；（2）(323，.【分析】（1）根据向量m n ⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围． 【详解】 （1）∵m n ⊥ ∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++= ∴222c a b ab =++ ∴1cos 2C =- 又()0,C π∈ . ∴23C π=.（2）∵23C π=，c = ∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin sin A A A =+-3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b + 的取值范围是 .【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题． 23．（1）12；（2）4π． 【分析】（1）求出向量2a b -与a b +的坐标，然后由模的坐标运算列出方程可求得x ； （2）求出向量2a b -与a b +的坐标，由向量夹角的坐标运算计算． 【详解】（1）因为()1,2a =，(),1b x =， 所以()22,3a b x -=-，()1,3a b x +=+. 因为|2|||a b a b -=+，=解得12x =. （2）当2x =时，()20,3a b -=，()3,3a b +=， 所以()()203339a b a b -⋅+=⨯+⨯=，23a b -=，32a b +=.设2a b -与a b +的夹角为θ.则(2)()cos |2|||332a b a b a b a b θ-⋅+===-⋅+⋅. 又[]0,θπ∈，所以4πθ=，即2a b -与a b +的夹角为4π. 【点睛】 本题考查向量模的坐标运算，考查向量夹角的坐标运算，掌握向量的坐标运算是解题基础．24．（1）16；（2）32． 【分析】（1）先转化得到13CF AB =-，12EC AD =，再表示出1132EF AB AD =-+，求出λ13=-，μ12=，最后求λ+μ的值； （2）先得到12AE AB AD =+和0AB AD ⋅=，再建立方程421λ-+=求解λ14=，最后求DF 的长.【详解】 （1）∵点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，∴1133CF DC AB =-=-，1122EC BC AD ==， ∴1132EF EC CF AB AD =+=-+， ∴λ13=-，μ12=， 故λ+μ111326=-+=. （2）设CF =λCD ，则BF BC CF AD =+=-λAB ，又12=+=+AE AB BE AB AD ，AB AD ⋅=0， ∴AE BF ⋅=（12AB AD +）•（AD -λAB ）＝﹣λAB 2212AD +=-4λ+2＝1， 故λ14=， ∴DF ＝（1﹣λ）×232=． 【点睛】 本题考查利用向量的运算求参数，是基础题25．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π.【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解；（2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ， 222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， (2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=， 整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a b a b θ⋅∴==-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=.【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题. 26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，所以实数k 的取值范围是2k ≠-.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。

2024全国高考真题数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b ，且2b a b ，则b （）A ．12B C ．2D ．12．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x ，若(4)b b a，则x （）A ．2B ．1C ．1D ．23．（2024全国高考真题）设向量 1,,,2a x x b x，则（）A ．“3x ”是“a b”的必要条件B ．“3x ”是“//a b”的必要条件C ．“0x ”是“a b”的充分条件D ．“1x ”是“//a b”的充分条件4．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B ，294b ac ，则sin sin A C （）A ．13B ．13C ．2D ．135．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“·0a b a b”是“a b 或a b ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．（2024上海高考真题）已知 ,2,5,6,k a b k R ，且//a b ，则k 的值为．7．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC u u r u u r u u u r ，则；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG的最小值为．三、解答题8．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求 cos 2B A 的值．9．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A ．(1)求A ．(2)若2asin sin 2C c B ，求ABC 的周长．10．（2024北京高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，7a ，sin 2cos B B ．(1)求A ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b ；条件②：13cos 14B；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B ，222a b c (1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．参考答案1．B【分析】由2b a b 得22b a b，结合1,22a a b ，得22144164a b b b ，由此即可得解.【详解】因为 2b a b ，所以20b a b ，即22b a b，又因为1,22a a b ，所以22144164a b b b ，从而2b .故选：B.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为 4b b a ，所以40b b a，所以240b a b即2440x x ，故2x ，故选：D.3．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b 时，则0a b，所以(1)20x x x ，解得0x 或3，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x 时， 1,0,0,2a b ，故0a b，所以a b，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x ，解得1x ，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x 时，不满足22(1)x x ，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.4．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C ，再利用余弦定理有22134a c ac ，由正弦定理得到22sin sin A C 的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B .由余弦定理可得:22294b ac ac ac ，即:22134a c ac，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C ，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C ，则sin sin A C .故选：C.5．B【分析】根据向量数量积分析可知0a b a b 等价于a b，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为220a b a b a b ，可得22a b ，即a b ，可知0a b a b 等价于a b ，若a b 或a b ，可得a b ，即0a b a b，可知必要性成立；若0a b a b ，即a b，无法得出a b 或a b ，例如 1,0,0,1a b，满足a b ，但a b 且a b ，可知充分性不成立；综上所述，“0a b a b”是“a b 且a b ”的必要不充分条件.故选：B.6．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】//a b ，256k ，解得15k ．故答案为：15．7．43518【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得 ，设BF BE k u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得 ，设 1,3,,03F a a a，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE ，即13CE BA ，则13BE BC CE BA BC u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BC BA BA BC，因为F 为线段BE 上的动点，设 1,0,13BF k BE k BA k BC k，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC22111563112329510k k k k，又因为 0,1k ，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E，可得 11,0,0,1,,13BA BC BE，因为 ,BE BA BC 131，所以43 ；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x 上，设 1,3,,03F a a a，且G 为AF 中点，则13,22a G a ，可得 131,3,,122a AF a a DG a，则 22132331522510a AF DG a a a，且1,03a，所以当13a 时，AF DG 取到最小值为518 ；故答案为：43；518 .8．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ，0t ，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B ，即229254922316t t t t ，解得2t （负舍）；则4,6a c .（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B ，再根据正弦定理得sin sin a b A B ，即4sin A sin 4A ，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc ，因为 0,πA ，则sin 4A（3）法一：因为9cos 016B ，且 0,πB ，所以π0,2B，由（2）法一知sin 16B，因为a b ，则A B ，所以3cos 4A ，则3sin 22sin cos 24A A A2231cos 22cos 12148A A9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A.法二：3sin 22sin cos 24A A A，则2231cos 22cos 12148A A，因为B 为三角形内角，所以sin 16B，所以 9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A9．(1)π6A(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A 可得1sin 122A A ，即sin()1π3A ，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ，故ππ32A ，解得π6A方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A ，又22sin cos 1A A ，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A ，解得cos 2A，又(0,π)A ，故π6A方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x ，则π()2sin (0π)3f x x x，显然π6x时，max ()2f x ，注意到π()sin 22sin(3f A A A A ，max ()()f x f A ，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A 必定是极值点，即()0cos sin f A A A ，即tan 3A ，又(0,π)A ，故π6A方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ，由题意，sin 2a b A A，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b，则2cos ,2cos ,1a b a b ，此时,0a b，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A 又(0,π)A ，故π6A方法五：利用万能公式求解设tan 2A t，根据万能公式，22sin 21t A A t整理可得，2222(2(20((2t t t ，解得tan22A t 223tan 13t A t ，又(0,π)A ，故π6A（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B ，又,(0,π)B C ，则sin sin 0B C，进而cos 2B ，得到π4B ，于是7ππ12C A B，26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ，即2ππ7πsin sin sin6412bc，解得b c 故ABC的周长为2 10．(1)2π3A；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B 式子得3b ，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c，再利用正弦定理得到sin Csin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B，因为A 为钝角，则cos 0B，则2sin B，则7sin sin sin b a BA A，解得sin A ，因为A 为钝角，则2π3A.（2）选择①7b ，则333sin 714142B，因为2π3A ，则B 为锐角，则3B ，此时πA B ，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B ，因为B 为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B得2147，解得3b ， 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B3131335321421414,则1153153sin 7322144ABC S ab C.选择③sin c Ac 5c ，则由正弦定理得sin sin a c A C 5sin C ，解得sin C ，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ，则 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C3111533321421414，则11sin 7522144ABC S ac B △11．(1)π3B (2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B 得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C ，对比已知222a b c ，可得222cos 222a b c C ab ab，因为 0,πC ，所以sin 0C ，从而sin2C ，又因为sin C B，即1cos2B ，注意到0,πB ，所以π3B .（2）由（1）可得π3B，cos2C ，0,πC ，从而π4C ，ππ5ππ3412A ，而5πππ1sin sin sin12462A，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c，从而,a b，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c，由已知ABC的面积为323338c所以c。

第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（ ）D.62.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（ ）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB 取最小值时，P 点的坐标是（ ） A.(2,0) B.(4,0)C.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=，圆O 的半径为2，则OB CB =（ ） A.1- B.2- C.1 D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +∈R 的最小值为（ ）A. B.5 C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（ ） A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（ ）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+⋅-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角θ为（ ）A.34π B.4π C.3π D.23π 9.已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量(tan ,1)AB α=，(tan ,2)BC α=，则AC 等于（ ）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sλ==，则23λλ⋅取到最大值时， 2x y +的值为（ ）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c π=+，则ac=（ ） A.2 B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12⋅=12e e .若向量b 满足1⋅=⋅=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-a b ⋅a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60︒的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60︒的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==a b 为邻边作OADB ，11,33BM BC CN CD ==，用,a b 表现,,OM ON MN .18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值； （2）若4ABC S ∆=，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-， （1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4π+，试求AC BC 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20︒方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40︒，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明： （1）BE CF ⊥； （2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，函数()2f x =⋅a b ，()4g x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++的值；（3）已知t ∈R ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B =.又sin 22sin cos 2,sin sin 2B B B A B B B =∴==，cos B ∴. 2.【答案】A【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=--，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值.P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D 【解析】OA OC OB +=，OA OC =，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=. 5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====，sin 8cC∴=，1sin 216ABC abc S ab C ∆∴===8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=-a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2ααα=+，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+==.故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+=.由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，两式相加，得20PA PB PC ++=.0PA xPB yPC ++=，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=. 二、11.【答案】AC【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ac=或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD 【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，|||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅=，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-=12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b . 14.【答案】52【解析】|4|-a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52. 15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+，22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16./h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AE EAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴===. 在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC =︒，14sin sin120x BC C AB ⋅∴===︒. 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE︒=+-=+-=，故BE ∴船速的大小为/h)3BE t==. 四、 17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+a b . 又OD =+a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+a b ， 221511336626MN ON OM ∴=-=+--=-a b a b a b . 18.【答案】解：3cos 05B =＞，且0B π＜＜， 4sin 5B ∴=. 由正弦定理得sin sin a b A B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆==， 142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C =-， sin 02C ＞，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =. （2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C π∴＞， 2C π∴＞，cos C ∴=. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，222977(4221444c a b ab ab⎛⎫⎛⎫=+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，902ab ∴＜≤，cos 8AC BC ab C ⎡⎫∴=∈-⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC 的取值范围是8⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯，sin 7β∴=()411sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=--= ⎪⎝⎭在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD α=︒， 21sin 15sin60AD α∴==︒（千米）. ∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-=，BE CF ∴⊥，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =--，(1,2)BE =-，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ||||AP AB ∴=，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112x π=时，()f x 1-，当2233x ππ-=，即2x π=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. ()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4T ∴=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++.又(1)(2)(3)(4)gg g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与2y =-两图象无交点，即()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。

高中数学(平面向量)综合练习含解析1．在△ABC中，ABc，ACb．假设点D满足BD2DC，那么AD〔〕A．2b1cB．5c2bC．2b1c D．1b2c333333332．OA1,OB3，OAOB0，点C在AOB内，且AOC30，OC mOAnOBm,n R，那么m等于〔〕nA．3B．1C．3D．3 333．假设向量a,b,c满足a∥b，且a c，那么ca2b〔〕A．4B．3C．2D．04．向量m(a,2),n(1,1a)，且m∥n，那么实数a〔〕A．1B．2或1C．2D．25．向量a (1,2)，向量b(x,2)，且a(ab)，那么实数x等于A．4B．4C．0D．96．|a|＝1，|b|＝2，且a(a b)，那么向量a与向量b的夹角为〔〕A．B．C．D．2 64337．平面向量a，b满足aa b3，且a2，b 1，那么向量a与b夹角的正弦值为〔〕A．1B．3C．1D．322228．在平行四边形ABCD中，AD2，BAD60，E为CD的中点．假设AD BE1，那么AB的长为()A．6B．4C．5D．69．O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，假设(OB OC)(OB OC 2OA) 0，那么ABC是〔〕A．以AB为底面的等腰三角形B．以BC为底面的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形试卷第1页，总4页10．在ABC 中，MB1AB ，且对AB 边上任意一点N ，恒有NBNCMBMC ，4那么有〔 〕A ．ABBC B ． C ．ABACD．AB ACAC BC11．点P 是ABC 所在平面内的一点，假设 CBPA PB(R)，那么点P 在〔〕A ．ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cb 6，c b a2，且O 为此三角形的内心，那么 AOCB 〔 〕A ．4 B．5C．6D．713．在ABC 中，BCa,ACb,|a|2,|b|3,ab 3那么∠C 的大小为〔 〕A ．30B．60C．120D．15014．在ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bcosC3acosBcos B，BABC 2，那么 ABC 的面积为〔 〕A ．2B．3C．22D．42215 ．假设非零向量a,b 满足|ab||a b| 2|a|，那么向量b 与ab 的夹角为.16 ．在平面直角坐标系中，设 M,N,T 是圆C :(x 1)2 y 2 4上不同三点，假设存在正实数a,b ，使得CTaCM bCN ，那么a 3ab 22ab b1的取值范围为．a17 ．向量a(1,3)，向量a,c 的夹角是，ac2 ，那么|c|等于．318 ．正方形ABCD ，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边 AB,CD 于点M 、N，那么MN 2最小值为_________________．BN 219 ．假设a,b 均为非零向量，且a2b a, b 2a b ，那么a,b 的夹角为．20 ．在等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，∠ABC=60°，BC=1AB=2，动点E 和F 分别在2线段BC 和DC 上，且BE =BC ，DF =1DC ，那么AE ·BF 的最小值为．2试卷第2页，总4页21．ABC是边长为1的正三角形，动点M在平面ABC内，假设AM AB0，|CM|1，那么CM AB的取值范围是．22．向量a(1,1)，且a与a b的方向相反，那么ab的取值范围是．23．如图，在三棱锥中D ABC中，AB2，ACBD3，设ADa BC b，，c2的最小值为．CDc，那么1ab24．A点坐标为(1,0)，B点坐标为(1,0)，且动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交线段MA于点P．1〕求动点P的轨迹C方程．2〕假设P是曲线C上的点，，求kPAPB的最大值和最小值．25．△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，b2ac，cosB3．411〔1〕求；tanA tanC〔2〕设BA·BC 3,求ac．226．函数f x1，点O为坐标原点,点A n n,f n(n N*),向量i0,1，x1n是向量OA n与i的夹角，那么cos1cos2cos2021的值为．sin1sin2sin202127．向量a(sinx,3),b(cosx,1).2试卷第3页，总4页〔1〕当a//b时，求2cos2x sin2x的值；〔2〕求f(x)(ab)b在,0上的值域．228．如图，在平面直角坐标系中，方程为x2y2DXEyF0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．〔1〕假设四边形ABCD的面积为40，对角线AC的长为8，ABAD0，且ADC为锐角，求圆的方程，并求出B,D的坐标；〔2〕设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH AB，且垂足为H，试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由．29．在直角坐标系xOy中，点A(1,1),B(2,3),C(3,2)，点P(x,y)在ABC中三边围成的区域〔含边界〕上，且OP ABAC(,R)．〔1〕假设2，求OP；3〔2〕用x,y表示并求的最大值．30．椭圆C:x2y21(a b0),过左焦点F1(1,0)的直线与椭圆C交于M、a2b2N两点，且F2MN的周长为8；过点P(4,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交（于A、B两点．1〕求椭圆C的方程；2〕求OAOB的取值范围；3〕假设B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．试卷第4页，总4页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

高中数学平面向量专题经典练习题（附答案）一.单选题（共10小题，每题5分，共50分）1.设，是两个非零向量，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则存在实数，使得D.若存在实数，使得，则2.如图，在平行四边形中，分别是的中点，则图中所示的向量中与平行的有（）A.个B.个C.个D.个3.下列说法中正确的是（）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量与向量的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的4.数轴上点分别对应则向量的长度是（）A. B. C. D.5.已知向量与的方向相反，且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C.， D.6.已知为两个单位向量，则下列叙述正确的是（）A.B.若，则C.或D.若，，则7.已知点，，，，则与向量同向的单位向量为（）A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点是直线与抛物线的一个交点，若，则（）A. B. C. D.9.下列结论中正确的是（）若且，则；若，则且；若与方向相同且，则；若，则与方向相反且.A. B. C. D.10.已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为（）A.,B.C.D.二.填空题（共10小题，每题5分，共50分）11.已知向量，，若与方向相反，则等于.12.若向量满足，则.13.等腰直角中，点是斜边边上一点，若，则的面积为.14.在中，，是的中点，，则，.15.在中，内角所对的边分别为则.16.在中，内角的对边分别是若则.17.在中，，是中点，，试用表示为，若，则的最大值为.18.如图，已知在矩形中设则.19.已知向量满足则.20.已知向量与的夹角为则.三.解答题（共5小题，每题10分，共50分）21.已知与的夹角为.(1)若求；(2)若与垂直，求.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系是曲线：上任一点，点满足.设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)已知曲线向上平移个单位后得到曲线设曲线与直线：为参数)相交于两点，求的值.23.已知向量向量函数．(1)当时，求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)若函数在区间的最大值为，求函数在的最小值．24.已知的内角满足.(1)求角；(2)若的外接圆半径为求的面积的最大值.25.在中，内角的对边分别为且.(1)求角的大小；(2)若且外接圆的半参考答案一、选择题第1题第2题故选C第3题单位向量的方向是任意的，所以当两个单位向量的起点相同时，其终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项A不正确；向量与向量方向相反，长度相等，所以选项B正确；向量是既有大小，又有方向的量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项C不正确；规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项D不正确.故选B.第4题第5题故选A 第6题故选D第7题故选A第8题故选B第9题选B第10题二、填空题第11题第12题第13题第14题第15题第16题第18题第20题三、解答题第21题第23题第24题第25题。