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桂林市2019~2020学年度上学期期未质量检测高二年级数学（理科）一、选择题：1.下列各点中，在二元一次不等式10x y -+<所表示的平面区域内的是（ ） A. ()0,0 B. ()0,1C. ()0,2D. ()2,0【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次不等式,代入各个点的坐标,即可判断是否在不等式表示的平面区域内.【详解】对于A,将()0,0代入不等式10x y -+<可得10<不成立,所以()0,0不在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以A 错误;对于B,将()0,1代入不等式10x y -+<可得00<不成立,所以()0,1不在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以B 错误;对于C,将()0,2代入不等式10x y -+<可得10-<成立,所以()0,2在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以C 正确;对于D,将()2,0代入不等式10x y -+<可得30<不成立,所以()2,0不在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以D 错误;综上可知,C 表示的点在不等式10x y -+<表示的区域内 故选:C【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域与点的关系,属于基础题. 2.等差数列{}n a 中，126a a +=，238a a +=，则{}n a 的公差为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得方程组,求得公差.【详解】等差数列{}n a 中,126a a +=,238a a +=,由通项公式可得1111628a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩ 解得1d = 故选:B【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单计算,属于基础题. 3.若x y >，a ∈R ，则下列不等式正确的是（ ） A. x a y a +>+B. a x a y ->-C. ax ay >D.a ax y> 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质,可判断四个选项即可. 【详解】x y >,a R ∈对于A,由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子,不等式成立”,可知A 正确; 对于B,若x y >,则x y -<-,则a x a y -<-成立,所以B 错误; 对于C,若x y >,当0a >时,ax ay >;当0a ≤时ax ay ≤,所以C 错误; 对于D,若x y >,当0a =时不等式不成立,所以D 错误. 综上可知,正确的为A 故选:A【点睛】本题考查了根据不等式性质判断不等式是否成立,属于基础题. 4.命题p ：x ∀∈R ，2210x x -+>，则p ⌝为（ ）A. 0x ∃∈R ，200210x x -+>B. x ∀∈R ，2210x x -+<C. 0x ∃∈R ，200210x x -+≤D. x ∀∈R ，2210x x -+≤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有量词命题的否定,可得结果. 【详解】命题p ：x ∀∈R ,2210x x -+>由全称命题的否定可知,p ⌝为0x ∃∈R ,200210x x -+≤故选:C【点睛】本题考查了全称命题的否定,属于基础题. 5.命题“若1x =，则22x <”的否命题是（ ） A. “若22x <，则1x =” B. “若21x ≥，则1x ≠” C. “若1x =，则22x >” D. “若1x ≠，则22x ≥” 【答案】D 【解析】 【分析】根据否命题的定义,可得选项. 【详解】命题“若1x =,则22x <”根据否命题定义,可知其否命题为: “若1x ≠,则22x ≥” 故选:D【点睛】本题考查了命题及其否命题的写法,属于基础题.6.抛物线24y x =上一点P 到其焦点的距离为5．则点P 的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义,即可求得点P 的横坐标. 详解】抛物线24y x = 则准线方程1x =-因为P 到其焦点的距离为5,则到其准线的距离也为5 所以P 点的横坐标为4 故选:C【点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用,属于基础题. 7.“1x <-是21x >”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为1x <-，必要21x >，若21x >，则1x <- 或1x > ，即1x <-不一定成立，所以 “1x <-是21x >”成立的充分不必要条件，故选A.8.已知ABC V的等比数列，则其最大角的余弦值为（ ））A. 4-B.4C.3D. 3-【答案】A 【解析】根据题意设三角形的三边长分别为a）2a ）∵2a a >>）∴2a 所对的角为最大角，设为θ）则根据余弦定理得222cos 4θ==-） 本题选择A 选项.9.若x ，y 满足110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】C 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可． 【详解】解：画出可行域（如图），z ＝x ﹣2y ⇒y 12=x 12-z ， 由图可知，当直线l 经过点A （0，﹣1）时，z 最大，且最大值为z max ＝0﹣2×（﹣1）＝2． 故选C ．【点睛】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．10.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()4232a a a =+，则74S S 等于（ ） A.74B.145C. 7D. 14【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质,2314a a a a +=+.结合等差数列前n项和公式可得()7441234147,2,S a S a a a a a a ==+++=+即可代入求值.【详解】公差不为零的等差数列{}n a 中,()4232a a a =+ 由等差数列性质可知2314a a a a +=+则()4142a a a =+由等差数列前n 项和公式可知()7441234147,2,S a S a a a a a a ==+++=+所以()()()147441414727722a a S a S a a a a ⨯+===++ 故选:C【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n 项和公式的应用,属于基础题.11.已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，不过F 的直线与C 的交点为A ，B ，与C 的准线的交点为D ．若2BF =，BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45，则AF =（ ） A.52B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形,结合BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45,可得45DB DA =.由抛物线定义即可求得AF . 【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:过A 作AN 垂直准线并交准线于N,过B 作BM 垂直于准线并交准线于M. 由抛物线定义可知,2BF =,则2BM BF == 因为BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45则45DB DA =所以在DBM ∆与DAN ∆中,45DB BM DA AN == 由2BM =,代入可得52AN =根据抛物线定义可得52AF AN == 故选:A【点睛】本题考查了抛物线定义的简单应用,直线与抛物线的位置关系应用，抛物线到准线距离比的关系,属于中档题.12.第一象限内的点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线1l ：b y x a =上，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，12PF PF ⊥，2PF 平行于另一条渐近线2l ，则双曲线的离心率是（ ）A.B. 2C.D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由P 在渐近线1l 上可设出P 点坐标.结合2PF 平行于另一条渐近线2l 可求得2cm =,代入求得P 点坐标.再根据12PF PF ⊥,结合两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系即可求得离心率. 【详解】根据题意,画出几何图形如下图所示:因为P 在渐近线1l :b y x a =上,设,bm P m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 、2F 为双曲线的左、右焦点,所以()1,0F c -,()2,0F c由2PF 平行于另一条渐近线2l 则2PF bmb a k mc a ==--,化简可得2cm = 所以,22c bc P a ⎛⎫⎪⎝⎭因为12PF PF ⊥ 则121PF PF k k ⨯=-所以()212bc b aca c ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭--,化简可得223b a =在双曲线中满足222b c a =- 所以224c a =即2c e a ===故选:B【点睛】本题考查了双曲线性质的简单应用,渐近线方程的应用,两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题．13.若三个正数1，b ，16成等比数列，则b =______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等比中项定义,可求得b 的值. 【详解】三个正数1,b ,16成等比数列 由等比中项定义可得2116b =⨯ 解得4b =± 由题正数4b = 故答案为: 4【点睛】本题考查了等比中项的性质及简单应用,属于基础题.14.ABC ∆中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，已知4a =，b =45A =o ，则sin B 等于______． 【答案】12【解析】 【分析】根据正弦定理,可直接求得sin B . 【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B=代入可得4sin sin 45B=o可得4512sin 442B ===o故答案为:12【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题. 15.若不等书11a x x ≤+-对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】构造基本不等式,即可求得a 的最大值. 【详解】令()11f x x x =+- 变形可得()1111f x x x =+-+-,()1,x ∈+∞由基本不等式可得()111131f x x x =+-+≥=- 当且仅当111x x =--,即2x =时取等号 而11a x x ≤+-对()1,x ∈+∞恒成立 所以3a ≤即a 的最大值为3 故答案为:3【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,利用基本不等式求参数的最值,属于基础题.16.如图，1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆交于其中一点P ，与y 轴交于M点，且22F P PM =u u u u v u u u u v.直线1F P 与12F MF ∠的外角平分线交于Q 点，则MPQ ∆的周长为_____．【答案】3 【解析】 分析】由题意先得12P F F n 与PQM n 相似，由22F P PM=u u u u v u u u u v确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果. 【详解】由题意可得1221OM OM F PF QPM F F ∠∠∠=∠=，，MQ 是12F MF ∠的外角平分线，所以12PF F PQM ∠=∠，所以12P ~PQM F F n n ，又22F P PM =u u u u v u u u u v ，所以12121P 2MQ PQ PM F F F PF ===， 又由椭圆的方程22143x y +=可得：121242PF PF F F +==，， 所以MPQ ∆的周长为()1212132MQ PQ PM PF PF F F ++=++=. 故答案为3 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，由两三角形相似确定相似比，结合椭圆的定义即可求解.三、解答题：本大题共6小题，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17.设命题p ：()()320m m +-<，命题q ：关于x 的方程()244210x m x +-+=无实根.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）32m -<<（2）(][)3,12,3-U【解析】【【分析】（1）解一元二次不等式,即可求得当p 为真命题时m 的取值范围;（2）先求得命题q 为真命题时m 的取值范围.由p q ∧为假命题,p q ∨为真命题可知p ,q 两命题一真一假.分类讨论,即可求得m 的取值范围.【详解】（1）当p 为真命题时,()()320m m +-<解不等式可得32m -<<；（2）当q 为真命题时,由()2162160m ∆=--<, 可得13m <<,∵p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,∴p ,q 两命题一真一假,∴3213m m m ≤-≥⎧⎨<<⎩或或3231m m m -<<⎧⎨≥≤⎩或, 解得23m ≤<或31m -<≤,∴m 的取值范围是(][)3,12,3-U .【点睛】本题考查了根据命题真假求参数的取值范围,由复合命题真假判断命题真假,并求参数的取值范围,属于基础题.18.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为31200m ，深3m ．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】将水池的底面设计成边长为20m 的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元【解析】【分析】设出底面长为x ,宽为y ,根据总容积求得x 与y 的等量关系.表示出总的造价后,将式子转化为关于x 的等式,结合基本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值.【详解】设底面的长为x m ,宽为y m ,水池总造价为z 元,容积为3200m 1,可得31200xy =,因此400xy =,根据题意, 池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为150元,有()()2001502323200900z xy x y xy x y =+⨯+⨯=++,由基本不等式及不等式性质,可得()8000090080000900z x y =++≥+⨯,即80000900116000z ≥+⨯=,当且仅当20x y ==时,等号成立.所以,将水池的底面设计成边长为20m 的正方形时,总造价最低,最低总造价是116000元.【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用,根据基本不等式求最值,注意等号成立的条件,属于基础题.19.已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和记为n S ，121n n a S +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31log n n b a +=，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．【答案】（1）13-=n n a （2）n T 2312n n n ++-= 【解析】【分析】（1）利用递推公式及1n n n a S S -=-,可证明数列{}n a 为等比数列,求得首项后,即可求得数列{}n a 的通项公式.（2）将1n a +代入{}n b 中求得数列{}n b .可知{}n n a b +为等比与等差数列的和,即可利用分组求和法求得前n 项和n T .【详解】（1）由题意得121n n a S +=+,121n n a S -=+（2n ≥）,两式相减得()1122n n n n n a a S S a +--=-=（2n ≥）,13n n a a +=又∵21121213a S a =+=+=,213a a =, ∴13n na a +=（n *∈N ）, ∴{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列,∴13-=n n a .（2）由（1）可知13-=n n a则13n n a +=所以313log log 3n n n b a n +===,所以13n n n a b n -+=+为等比数列与等差数列的和.利用分组求和法可得()()()()01213132333n n T n -=++++++++L()()01213333123n n -=+++++++++L L()113132n n n +-=+- 2312n n n ++-=. 【点睛】本题考查了递推公式及1n n n a S S -=-的应用,等比数列的证明及等比数列通项公式的求法,等差数列与等比数列前n 项和公式的应用,分组求和法的应用,属于基础题.20.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a C c A +=．（1）求A ；（2）若a =，sin B C =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）34A π=（2）32【解析】【分析】（1）根据正弦定理,将边转化为角,即可求得角A .（2）根据正弦定理与余弦定理,可求得,b c .再由三角形面积公式即可得解.【详解】（1）由正弦定理及已知得sin sin sin cos 0A C C A +=,∵0C π<<,∴sin 0C ≠,∴sin cos 0A A +=,∴tan 1A =-,∵0A π<<,∴34A π=； （2sin B C =,c =,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2215222b b b ⎛=+-⨯- ⎝⎭,即23b =,解得b =c = ∴13sin 22ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用,属于基础题.21.数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +-=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2312233412222n nn n S a a a a a a a a +=+++⋯+，对n *∈N 都有1n n n a S ma ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）21n n a =-（2）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用递推公式及累加法,结合首项即可求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的表达式,并进行化简变形,由裂项法求和得n S .代入不等式后,分离参数,结合数列的单调性即可求得m 的取值范围．【详解】（1）由12n n n a a +-=及11a =,有()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-211222n -=+++⋯+21n =-∴21n n a =-,（2）因为()()()()()()1111121212211212121212121n n n n n n n n n n n n a a +++++---===-------, ∴2231111111212121212121n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11121n +=--,又因为对任意的n *∈N ,都有1n n n a S ma ≥+,210n n a =->, ∴1n nm S a ≤-, ∴11112121n n m +≤----恒成立, 只需1min 1112121n n m +⎛⎫≤-- ⎪--⎝⎭, ∵数列11112121n n +⎧⎫--⎨⎬--⎩⎭是递增数列, ∴当1n =时,13m ≤-, ∴m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了累加法求数列通项公式,裂项求和法的应用,根据数列单调性求参数的取值范围,属于中档题. 22.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距等于短轴的长，椭圆的右顶点到左焦点1F1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+（0k ≠）与椭圆C 交于A 、B 两点，在y 轴上是否存在点()0,M t ，使得MA MB =，且2AB =，若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在，0,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】【分析】（1）由题意可得,,a b c 的关系,解方程组求得,,a b c ,即可得椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ,()22,B x y ,联立直线与椭圆方程,用韦达定理表示出12x x +,12x x ,利用弦长公式表示出2AB =.化简后用k 表示出m ,再通过判别式判断出k 的取值范围. 设出AB 中点()00,D x y 的坐标,由点斜式表示出直线MD 的方程,并令0x =求得t 的表达式及取值范围即可.【详解】（1）依题意椭圆的焦距等于短轴的长,椭圆的右顶点到左焦点1F1可得2221b c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得1a b c ⎧=⎪⎨==⎪⎩, 所以所求椭圆方程为2212x y +=； （2）设()11,A x y ,()22,B x y , 由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 得()()222124210k x mkx m +++-=,()()()2222221681218210m k k m k m ∆=-+-=+->, ∵122412mk x x k -+=+,()21222112m x x k-=+, 假设存在点()0,M t 满足题意,AB =2==, 化简整理得()2221221k m k +=+, 此时()()222221282182121k k m k k ⎡⎤+⎢⎥∆=+-=+-+⎢⎥⎣⎦()()2218211021k k ⎡⎤⎢⎥=+->+⎢⎥⎣⎦恒成立, 所以R k ∈且0k ≠,设AB 中点()00,D x y , 则12022212x x km x k +==-+,0212m y k =+, 由MA MB =,则()0,M t 在线段AB 的中垂线上.因为0k ≠,直线MD 的方程为22121212m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭, 令0x =,则212m t k-=+, ∴()()()2222221212112m t k k k ==+++,∵0k ≠,∴20k >,∴()()221211kk ++>, ∴2102t <<,∴02t -<<或02t <<, 综上,存在t ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U 满足题意.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆位置关系的综合应用,弦长公式及直线过定点的问题综合应用,属于难题.。
2021-2022学年广西高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=√4−xx−2}，B={x|x2−7x+12<0}，则A∩B=()A. (2,4]B. (3,4)C. (3,4]D. (2,3)2.命题p：“∀x∈[0,+∞)，e x>x2”的否定形式￢p为()A. ∀x∈[0,+∞)，e x≤x2B. ∃x0∈(−∞,0],e x0>x02C. ∃x0∈[0,+∞),e x0>x02D. ∃x0∈[0,+∞),e x0≤x023.中共一大会址(现上海市兴业路76号)、江西井冈山(中共革命根据地)、贵州遵义(遵义会议召开地)、陕西延安(中共革命圣地)是中学生的几个重要的研学旅行地(只是部分).某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有()人．A. 240B. 180C. 120D. 604.已知函数f(x)=3x2−2ax+1，若对任意的x1，x2∈(−∞,−2)，且x1<x2，总有f(x1)>f(x2)，则a的取值范围是()A. [6,+∞)B. [−6,+∞)C. (−∞,6]D. (−∞,−6]5.下列关于函数f(x)=2cos2x+√3sin2x及其图象的说法正确的是()A. f(x)max=2B. 最小正周期为2πC. 函数f(x)图象的对称中心为点(kπ2−π12,0)(k∈Z)D. 函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z)6.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是()A. 18B. 78C. 6D. 507. 若实数x ，y 满足不等式组{x −2y ≤0x +y −3≤0x ≥0，则y −2x 的最小值为( )A. −3B. 0C. −1D. 28. 已知直线l ：kx −y −k =0交圆C ：x 2+y 2−6x +5=0于A ，B 两点，若点P(3,0)满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则直线l 被圆C 截得线段的长是( )A. 3B. 2C. 2√3D. 49. 函数f(x)=xln 1+x1−x 的大致图象为( )A.B.C.D.10. 黄金矩形是宽(b)与长(a)的比值为黄金分割比(ba =√5−12)的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD 分割成一个正方形ADEF 和一个黄金矩形BCEF ，再把矩形BCEF 分割出正方形CEGH.在矩形ABCD 内任取一点，则该点取自正方形CEGH 内的概率是( ) A. √5−12B. 3−√52C. √5−2D. √5−2211. 已知函数f(x)=x +4x ，g(x)=2x +a ，若∀x 1∈[12,1]，∃x 2∈[2,3]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤1B. a ≥1C. a ≤2D. a ≥212. 在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =2π3，AP =3，AB =2√3，Q 是边BC上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为π3，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为( )A. 45πB. 57πC. 63πD. 84π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,−1)，c ⃗ =(1,2)，若a ⃗ =λb ⃗ +μc ⃗ ，则λμ=______． 14. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______．15. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2，AB 边上中线的长为√2.且b =acosC +csinA ，则△ABC 外接圆的面积为______． 16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是该双曲线右支上一点，且(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(O 为坐标原点)，2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线C 的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知幂函数f(x)=(m −1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递减，函数g(x)=√3−x 4+x的定义域为集合A ． (1)求m 的值；(2)当x ∈[k,1]，k >0时，f(x)的值域为集合B ，若x ∈B 是x ∈A 成立的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．18.记数列{a n}的前n项和为S n，已知点(n,S n)在函数f(x)=x2+2x的图象上．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=2，求数列{b n}的前9项和．a n a n+119.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg(不足1kg，按1kg计算)需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表)．(1)求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？(3)小明打算将A(0.9kg)，B(1.3kg)，C(1.8kg)，D(2.5kg)四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg，求他支付的快递费为45元的概率．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，已知2(sin2A−sin2B) sinA−sinC =cR．(1)求角B；(2)若边BC的长是该边上高的√3倍，求cosA的值．21.已知四边形ABCD是菱形，四边形ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB=2AF=4，∠BAD=60°，G是BE的中点．(1)证明：CG//平面BDF；(2)求二面角E−BF−D的正弦值．22.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以坐标原点为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线x−y+√6=0有且只有一个公共点．(1)求椭圆M的标准方程；(2)过椭圆M的右焦点F的直线l1交椭圆M于A，B两点，过F且垂直于直线l1的直线l2交椭圆M于C，D两点，则是否存在实数λ使|AB|+|CD|=λ|AB|⋅|CD|成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|y=√4−xx−2}={x|2<x≤4}，B={x|x2−7x+12<0}={x|3<x<4}，∴A∩B={x|3<x<4}．故选：B．求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈[0,+∞)，e x>x2”的否定是：∃x0∈[0,+∞)，e0x≤x02．故选：D．根据含有量词的命题的否定，即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】B【解析】解：因为500名学生中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人；故到过中共一大会址研学旅行的学生有30人；所以：按照其所占比例可得：30500=所求3000⇒所求=180；故选：B．先求出500人中符合条件的人数，再按对应比例相等即可求解．本题主要考查等可能事件的概率以及用样本估计总体，属于基础题目．4.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=3x2−2ax+1，对任意的x1，x2∈(−∞,−2)，且x1<x2，总有f(x1)>f(x2)，∴(−∞,−2)是函数f(x)=3x2−2ax+1的减区间，∴x=−−2a6≥−2，解得a≥−6．∴a的取值范围是[−6,+∞)．故选：B．由任意的x1，x2∈(−∞,−2)，且x1<x2，总有f(x1)>f(x2)，得到(−∞,−2)是函数f(x)= 3x2−2ax+1的减区间，由此能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：f(x)=1+cos2x+√3sin2x=1+2sin(2x+π6)，当sin(2x+π6)=1时，函数的最大值为1+2=3，故A错误，函数的最小正周期T=2π2=π，故B错误，由2x+π6=kπ，k∈Z得x=kπ2−π12，即f(x)的对称中心为(kπ2−π12,1)，k∈Z，故C错误，由2x+π6=kπ+π2，k∈Z得x=kπ2+π6，即f(x)的对称轴为x=kπ2+π6，k∈Z，故D正确，故选：D．利用辅助角公式进行化简，然后利用三角函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．6.【答案】A【解析】解：第一次循环s =2，n =2； 第二次循环s =(−1)2×2+22=6，n =3； 第三次循环s =(−1)3×6+23=2，n =4；第四次循环s =(−1)4×2+24=18，n =5跳出循环， 故选：A ．对n 进行循环，即可直接解出．本题考查了算法框图，学生的数学运算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：令z =y −2x ， 则y =2x +z ，联立{x −2y =0x +y −3=0⇒C(2,1)， 由图可得，当y =2x +z 过C(2,1)时，在y 轴上的截距最小，此时z =y −2x 最小，最小值为1−22=−3， 故选：A ．作出不等式组对应的平面区域，令z =y −2x ，则y =2x +z ，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8.【答案】B【解析】解：圆C 可化为(x −3)²+y²=4，圆心为(3,0)，半径r =2，直线可化为y =kx −k ，恒过点(1,0)， 如图所示，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB =4cos∠APB =2， 所以cos∠APB =12，则∠APB =60°， 又AP =BP =r ，所以△ABP 为等边三角形， 所以AP =AB =BP =2， 故选：B ．求出圆的圆心，半径，直线恒过点(1,0)，作图，利用平面向量数量积运算性质得到∠APB =60°，可判断出△ABP 为等边三角形，即可得到答案． 本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：f(−x)=−xln 1−x1+x =−xln(1+x1−x )−1=xln 1+x1−x =f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，C当0<x <1时，1+x1−x >1，则f(x)=xln 1+x1−x >0，排除B ， 故选：D ．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和对称性，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．10.【答案】C【解析】解：设AB =a ，BC =b ，则面积S =ab ，且b a=√5−12，由题意可知，正方形CEGH 的边长CE =a −b ，其面积为S′=(a −b)2，矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率P=S′S =(a−b)2ab=a2+b2−2abab，=ab +ba−2=√5−1+√5−12−2=√5−2，故选：C．设AB=a，BC=b，先表示矩形ABCD面积S，然后确定正方形CEGH的边长，进而求出其面积，根据几何概率的求解公式可求．本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是对已知图形面积的确定．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了恒成立和存在性问题，对勾函数，指数函数及其性质和函数的最值，属于中档题．把问题转化为f(x)min≥g(x)min，再利用对勾函数得f(x)min=f(1)=5，再利用指数函数得g(x)min=g(2)=a+4，最后解不等式f(x)min≥g(x)min，计算得结论．【解答】解：因为∀x1∈[12,1]，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，若函数f(x)在x∈[12,1]的最小值为f(x)min，函数g(x)在x∈[2,3]的最小值为g(x)min，所以f(x)min≥g(x)min．当x∈[12,1]时，因为对勾函数f(x)=x+4x是减函数，所以f(x)min=f(1)=5．而当x∈[2,3]时，g(x)=2x+a是增函数，所以g(x)min=g(2)=a+4．由5≥a+4解得：a≤1．故选A．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，属于中档题．根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P−ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【解答】解：三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成的角为θ，三棱锥P−ABC 的外接球的球心为O，如图所示：则sinθ=PAPQ=3PQ，且sinθ的最大值是√32，∴(PQ)min=2√3，∴AQ的最小值是√3，即A到BC的距离为√3，∴AQ⊥BC，∵AB=2√3，在Rt△ABQ中可得∠ABC=π6，即可得BC=6；取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′//PA，设△ABC的外接圆的半径为r，，解得r=2√3；∴O′A=2√3，取H为PA的中点，连接OH，则OH⊥PA，∴OH=O′A=2√3，PH=32，由勾股定理得OP =R =√PH 2+OH 2=√572，∴三棱锥P −ABC 的外接球的表面积是 S =4πR 2=4×π×(√572)2=57π．故选B ．13.【答案】−3【解析】解：a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,−1)，c ⃗ =(1,2)，若a ⃗ =λb ⃗ +μc ⃗ ， 可得−1=2λ+μ，1=2μ−λ，解得λ=−35，μ=15， 则λμ=−3515=−3．故答案为：−3．通过向量的坐标运算，转化求出λ、μ，即可得到结果．本题考查向量的基本运算，平面向量基本定理的应用，考查计算能力．14.【答案】1【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为： 该几何体为三棱柱； 如图所示：所以V =12×1×2×1=1． 故答案为：1．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.【答案】2π或5π【解析】解：因为b =acosC +csinA ，由正弦定理得，sinB =sinAcosC +sinCsinA =sin(A +C)=sinAcosC +sinCcosA ， 所以sinCsinA =sinCcosA ， 因为sinC >0，所以sinA =cosA ，即tanA =1， 由A 为三角形内角得，A =π4，△ABC 的面积S =12bcsinA =√24bc =2，所以bc =4√2①， 设D 为AB 边上的中点，△ADC 中，由余弦定理得，√22=b 2+(c2)2−2b ⋅c2⋅cos π4，所以b 2+c 24=6②，①②联立得，{b =2c =2√2或{b =√2c =4， 当{b =2c =2√2时，由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =4+8−2×2×2√2×√22=4， 所以a =2，由正弦定理得，2R =asinA =2√2，即R =√2， 此时△ABC 外接圆的面积2π，当{b =√2c =4时，由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =2+16−2×4×√2×√22=10，所以a =√10，由正弦定理得，2R =asinA =2√5，即R =√5， 此时△ABC 外接圆的面积5π． 故答案为：2π或5π．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简先求出A ，然后结合三角形面积公式及余弦定理求出b ，c ，再由正弦定理求出外接圆半径，进而可求圆的面积．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．16.【答案】√13【解析】解：取PF 2的中点D ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以OD ⊥PF 2，而O 为F 1F 2的中点，所以OD//PF 1， 所以PF 1⊥PF 2，因为2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，而|PF 1|−|PF 2|=2a ，解得|PF 1|=6a ，|PF 2|=4a ，在Rt △PF 1F 2中，由勾股定理可得4c 2=36a 2+16a 2， 可得c 2=13a 2， 所以离心率e =ca =√13， 故答案为：√13．取PF 2的中点D ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得OD ⊥PF 2，进而可得PF 1⊥PF 2，再由2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，而|PF 1|−|PF 2|=2a ，可得|PF 1|，|PF 2|的值，在直角三角形中，由勾股定理可得a ，c 的关系，进而求出离心率的值． 本题考查向量的运算性质椭圆的运算性质，中位线的性质的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)由幂函数的定义与性质知，{(m −1)2=1m 2−4m +2<0， 解得m =2．(2)由3−x4+x ≥0得x−34+x ≤0， 解得−4<x ≤3， 所以A =(−4,3]，当x ∈[k,1]，k >0时，f(x)=x −2的值域为[1,1k 2]， 所以B =[1,1k 2]，因为x ∈B 是x ∈A 成立的充分不必要条件，所以B 是A 的真子集， 所以{1k 2≤30<k <1，解得√33≤k <1，所以实数k的取值范围是[√33,1)．【解析】(1)由幂函数的定义与性质，列方程和不等式求出m的值．(2)解不等式3−x4+x≥0求出集合A，求出f(x)的值域得出集合B，根据题意得出关于k的不等式组，求出解集即可．本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了集合的定义与运算问题，是中档题．18.【答案】解：(I)由题意知S n=n2+2n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，适合上式．所以a n=2n+1．(Ⅱ)b n=2a n a n+1=2(2n+1)(2n+3)=12n+1−12n+3．则b1+b2+⋯+b9=13−15+15−17+⋯+119−121=13−121=621=27．【解析】(I)由题意知S n=n2+2n.结合a n=S n−S n−1，求解数列的通项公式即可．(Ⅱ)化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的通项公式以及裂项相消法在数列求和中的应用．19.【答案】解：(1)每天包裹数量的平均数为0.1×50+0.1×150+0.5×250+0.2×350+0.1×450=260；--------------------------------------------(2分)【或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为160×(50×6+150×6+250×30+350×12+450×6)=260】设中位数为x，易知x∈(200,300)，则0.001×100×2+0.005×(x−200)=0.5，解得x=260．所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件．-----------------------------------------(4分) (2)由(1)可知平均每天的揽件数为260，利润为260×5−3×100=1000(元)，所以该公司平均每天的利润有1000元．-------------------------------------------------(7分) (3)设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重0.9+1.8+2.5=5.2(千克)，礼物B 、C 、D 共重1.3+1.8+2.5=5.6(千克)，都超过5千克，------------------(8分) 故E 和F 的重量数分别有1.8和4.7，2.5和4.0，2.2和4.3，2.7和3.8，3.1和3.4共5种， 对应的快递费分别为45、45、50，45，50(单位：元)------------------------------(10分) 故所求概率为35.----------------------------------------------------------------------------------(12分)【解析】(1)根据频率分布直方图，将每一组的中点作为改组数据的代表值，对应的频率作为权重，取加权平均即可．(2)根据(1)中得到的平均值，求出每天的费用，减去300元的前台工作人员工资即可． (3)将4件礼物分成2个包裹，且每个包裹重量都不超过5kg ，共有5种分法，其中快递费用为45的有3种，可得概率．本题考查了用频率分布直方图估计平均值，考查频率公式，频率分布直方图的应用，古典概型的概率求法．属于基础题．20.【答案】解：(1)由已知2(sin 2A−sin 2B)sinA−sinC=cR ，利用正弦定理可得a 2−b 2=c(a −c)，即b 2=a 2+c 2−ac ， 由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，由于B ∈(0,π)， 所以B =π3．(2)设BC 边上的高为AD ，不妨设BD =1，则∠BAD =π6，AB =2，AD =√3， 由余弦定理可得b =√7，在Rt △ACD 中，记∠CAD =θ，则cosθ=√3√7，sinθ=√7，所以cosA =cos(π6+θ)=cos π6cosθ−sin π6sinθ=√714．【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理化简已知等式可得cosB =12，结合范围B ∈(0,π)，可得B 的值．(2)设BC 边上的高为AD ，不妨设BD =1，则由余弦定理可得b ，在Rt △ACD 中，记∠CAD =θ，可求cosθ，sinθ，根据两角和的余弦公式即可求解cosA 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的余弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.【答案】(1)证明：设AC ∩BD =O ，线段BF 的中点为H ，分别连接GH ，HO.(1分) 又因为G 是BE 的中点， 所以GH//FE,GH =12EF ．因为四边形ACEF 为矩形，据菱形ABCD 性质知，O 为AC 的中点，所以CO//EF ，且CO =12EF ， 所以GH//CO ，且GH =CO ， 所以四边形OCGH 是平行四边形， 所以CG//OH ．又因为CG ⊄平面BDF ，OH ⊂平面BDF ， 所以CG//平面BDF ．(2)解：据四边形ABCD 是菱形的性质知，AC ⊥BD ．又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，所以以BD ，AC 分别为x 轴，y 轴，以过AC 与BD 的交点O ，且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则有点B(2,0,0),D(−2,0,0),E(0,2√3,2),F(0,−2√3,2)， 所以DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2√3,2),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,2)． 设平面BEF 的一个法向量 n 1⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{−2 x −2√3y +2z =0−2x +2√3y +2z =0，取x =1，则z =1，y =0，所以 n⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 平面BDF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{−2 x −2√3y +2z =04x +0⋅y +0⋅z =0， 令y 2=1，则z 2=√3，且x 2=0． 所以n ⃗ 2=(0,1,√3)．所以cos〈n ⃗ 1,n ⃗ 2〉=n ⃗⃗ 1⋅n ⃗⃗ 2|n ⃗⃗ 1||n ⃗⃗ 2|=1×0+0×1+1×√3√12+02+12×√02+12+(√3)2=√64，所以二面角E −BF −D 的正弦值为√104．【解析】(1)设AC ∩BD =O ，线段BF 的中点为H ，分别连接GH ，HO.证明四边形ACEF 为矩形，四边形OCGH 是平行四边形，推出CG//OH.然后证明CG//平面BDF ． (2)以BD ，AC 分别为x 轴，y 轴，以过AC 与BD 的交点O ，且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BEF的一个法向量，平面BDF的一个法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角E−BF−D的正弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)由题意可得以坐标原点为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆的方程为：x2+y2=b2，由题意原点O到直线x−y+√6=0相切，即√6√2=√3=b，再由离心率e=12=ca=√1−b2a2，可得a2=4，所以椭圆的方程为：x24+y23=1；(2)由(1)可得，右焦点F(1,0)，若直线l1的斜率存在，且不为0，设直线l1：y=k(x−1)，联立{y=k(x−1)x24+y23=1，整理可得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2−123+4k2，∴|AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2=√(x2−x1)2+k2(x2−x1)2=√(1+k2)[(x2+x1)2−4x1x2]=√(1+k2)[(8k23+4k2)2−4×4k2−123+4k2]=12(1+k2)3+4k2，同理可求知，|CD|=12[1+(−1k)2]3+4(−1k)2=12(k2+1)3k2+4，∴1|AB|+1|CD|=3+4k212(1+k2)+3k2+412(k2+1)=712，∴|AB|+|CD|=712|AB|⋅|CD|，即此时存在λ=712满足题设；若直线l1的斜率不存在，则|AB|=3，|CD|=4；若直线l1的斜率为0，则|AB|=4，|CD|=3，此时若|AB|+|CD|=λ|AB|⋅|CD|，则λ=712．综上，存在实数λ，且λ=712使|AB|+|CD|=λ|AB|⋅|CD|．【解析】(1)由题意可得以坐标原点为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆的方程，由题意可得直线x−y+√6=0与圆相切，可得圆心到直线的距离为半径，可得b的值，再由离心率的值可得a，b的关系，进而求出a的值，求出椭圆的方程；(2)设直线l1的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|的值，由题意可得直线l2的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出弦长|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|⋅|CD|成立，可得λ的值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．。
桂林市2017-2018学年上学期期末质量检测高二年级数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，且，则下列判断一定正确的是（ ）A. B. C. D.2. 下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）A.B. C. D. 3. 在中，已知，那么角等于（ ）A. B. 或 C. D. 或4. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点P 是动点，且直线与的斜之积等于，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设变量满足线性约束条件，则目标函数的最大值是 （ ）A. B.C. D. 6. 已知命题：为真，则下列命题是真命题的是（ ）A. B. C.D. 7. 已知点是椭圆上的一点，分别是椭圆的左右焦点，且的周长是，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.8. 在中，三个角对应的三边分别是，若，则角等于（ ）A. B. C. D.9. 设，则“”是“”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件10. 设，则等于（）A. B. C. D.11. 设中，三个角对应的三边分别是，且成等比数列，则角的取值范围是（）A. B. C. D.12. 以椭圆上的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别是，已知点坐标为，双曲线上点，满足，则的值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知为等差数列，，则__________．14. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么__________．15. 若命题“对，都有”是假命题，则实数的取值范围是__________．16. 过双曲线的右焦点作一条直线，直线与双曲线相交于两点，若有且仅有三条直线，使得弦的长度恰好等于，则双曲线离心率的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列满足.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，问：与数列的第几项相等？18. 在如图所示四边形中，,求四边形的面积.19. 甲乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为元.（1）将全程匀速匀速成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；（2）若，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？20. 已知抛物线的焦点为，直线.（1）若抛物线和直线没有公共点，求的取值范围；（2）若，且抛物线和直线只有一个公共点时，求的值.21. 已知为等比数列，其前项和为，且.（1）求的值及数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.22. 设椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，如图所示，过点作与垂直的直线交轴负半轴于点，且，过三点的圆恰好与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由....。
2019学年广西桂林市高二上学期期末理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 抛物线y 2 =﹣4x的焦点坐标是（）A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，﹣2）2. 命题“若x=1，则x 2 ﹣1=0”的否命题是（）A．若x=1，则x 2 ﹣1≠0 B．若x≠1，则x 2 ﹣1=0C．若x≠1，则x 2 ﹣1≠0 D．若x 2 ﹣1≠0，则x≠13. 在△ ABC 中，若AB=4，BC=5，B=60°，则AC=（）A． B． C． D．4. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（） A．y=±x B． C． D．5. 已知a，b，c为实数，则a＞b的一个充分不必要条件是（）A．a+c＞b+c B．ac 2 ＞bc 2 C．|a|＞|b| D．6. 已知F是抛物线x 2 =8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A．4 B．5 C．6 D．77. 已知数列{a n }满足a n+1 =2a n （n ∈ N*），其前n项和为S n ，则 =（） A． B． C． D．8. 在△ ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ ABC 的形状为（）A．直角三角形 ________ B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形9. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45° ，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10 B．10 C．10 D．1010. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a 3 、a 9 、P与Q的大小关系是（）A．a 3 ＞P＞Q＞a 9 B．a 3 ＞Q＞P＞a 9 C．a 9 ＞P＞a 3 ＞Q D．P＞Q＞a 3 ＞a 911. 设M是圆P：（x+5） 2 +y 2 =36上一动点，点Q的坐标为（5，0），若线段MQ的垂直平分线交直线PM于点N，则点N的轨迹方程为（）A． B． C． D．12. 若不等式a 2 +b 2 +2＞λ（a+b）对任意正数a，b恒成立，实数λ的取值范围是（）A． B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，3）二、填空题13. 已知△ ABC 中，a=1，C=45°，S △ ABC =2，则b=_________ ．14. “若1≤x≤2，则m﹣1≤x≤m+1”的逆否命题为真命题，则m的取值范围是___________ ．15. 在等差数列{a n }中，a 1 =﹣9，S 3 =S 7 ，则当前n项和S n 最小时，n=___________ ．16. 已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_________ ．三、解答题17. 已知{a n }为公比q＞1的等比数列，，求{a n }的通项式a n 及前n项和S n ．18. 在锐角△ ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 a=2csinA．（1）求角C的值；（2）若c= ，且S △ ABC = ，求a+b的值．19. 本公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？20. 已知命题p：“不等式x 2 ﹣mx+m+3＞0的解集为R”；命题q：“表示焦点在y轴上的双曲线”，若“p ∨ q” 为真，“p ∧ q”为假，求实数m的取值范围．21. 设等差数列{a n }的前n项和为S n ，且S 4 =4S 2 ，a 2n =2a n +1．（Ⅰ ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ ）设数列{b n }满足 =1﹣，n ∈ N * ，求{b n }的前n项和T n ．22. 如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B 两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．（Ⅰ ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△ GFD 的面积为S 1 ，△ OED （O为原点）的面积为S 2 ，求的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
桂林市2017-2018学年上学期期末质量检测高二年级数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，且，则下列判断一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于A :函数在R上单调递增，当时，有，故A对；对于B：当时，有但，故B错；对于C：当时，有但，故C错；对于D：当时，但，故D错；故选A.2. 下列双曲线中，渐近线方程为的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于A：其渐近线为，故A对；对于B：其渐近线为，故B错；对于C：其渐近线为，故C错；对于D：其渐近线为，故D错；故选A.3. 在中，已知，那么角等于（）A. B. 或 C. D. 或【答案】D【解析】由正弦定理得得所以角等于或.故选D.4. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是动点，且直线与的斜之积等于，则动点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设P（x，y），∵直线AP与BP的斜率之积等于, ∴即. 故选B.5. 设变量满足线性约束条件，则目标函数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出可行域如图阴影部分，由得C(3,2)目标函数z=3x+y可看做斜率为−3的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11本题选择C选项.6. 已知命题：为真，则下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】为真，则真，为假，为假；对于A：为假，故A错；对于B：为假，故B错；对于C：为真，故C对；对于D：为假，故D错；故选C.7. 已知点是椭圆上的一点，分别是椭圆的左右焦点，且的周长是，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】椭圆中，，的周长为，解得；故选A.8. 在中，三个角对应的三边分别是，若，则角等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】得.故选C.9. 设，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解得，由解得或，故“”是“”的充分不必要条件.故选B.10. 设，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查等比数列的定义，通项公式，和前n项和公式和基本运算...................11. 设中，三个角对应的三边分别是，且成等比数列，则角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理，得cosB=又B∈（0，π），∴B∈（0，.故选C.点睛：本题利用等比数列，余弦定理表示cosB，结合重要不等式得出cosB的范围即可得出角B的范围. 12. 以椭圆上的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别是，已知点坐标为，双曲线上点，满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵椭圆方程为,∴其顶点坐标为（3，0）、（-3，0），焦点坐标为（2，0）、（-2，0），∴双曲线方程为,设点P（x，y），记F1（-3，0），F2（3，0），∵所以上的投影与在上的投影相等，所以点M到与的距离相等，即点M落在的角平分线上，又在双曲线中点M在右顶点的正上方，所以点M为的外心，且由纵坐标等于1可知外接圆的半径为1，所以.故选C.点睛：本题通过转化有关向量的等式可知点M落在角平分线上，结合双曲线中二级结论，的外心落在右顶点的正上方，可知点M即为外心，再结合双曲线的定义即可解决问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知为等差数列，，则__________．【答案】【解析】为等差数列，=18,所以.故答案为72.14. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么__________．【答案】【解析】由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=-1，∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6，∴|AB|=x1+x2+2=8；故答案为8.15. 若命题“对，都有”是假命题，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】若命题“对，都有”是真命题，令,当时取等号.所以命题为真命题时，，命题为假命题时，.故答案为.16. 过双曲线的右焦点作一条直线，直线与双曲线相交于两点，若有且仅有三条直线，使得弦的长度恰好等于，则双曲线离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】中，a=1,所以2a=2,由题意过右焦点作直线有且仅有三条直线，使得弦的长度恰好等于，所以一条为x轴，另外两条肯定是与右支分别有两个交点，所以.故答案为.点睛：本题中要利用到过焦点作直线与一支交于两点则弦长，与两支分别相交则弦长，掌握了这点就可以轻松解决此题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列满足.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，问：与数列的第几项相等？【答案】(1)；(2)63.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以.又因为，所以，故.所以.（Ⅱ）设等比数列的公比为.因为，，所以，.所以.由，得.所以与数列的第项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.视频18. 在如图所示四边形中，,求四边形的面积.【答案】.【解析】试题分析：由，得连接对角线，在中，由正弦定理，得，即，解得，在中，，则，代值计算即得解.试题解析：由，得，连接对角线，在中，由正弦定理，得，即，解得，在中，，则.19. 甲乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为元.（1）将全程匀速匀速成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；（2）若，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？【答案】(1)，定义域为.(2)当货车以的速度行驶，全程运输成本最小.【解析】试题分析：（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；（2）利用基本不等式可得结论．试题解析：（1）可变成本为，固定成本为元，所用时间为，所以，即，定义域为.（2），当且仅当，即时，等号成立，所以当时，，答：当货车以的速度行驶，全程运输成本最小.20. 已知抛物线的焦点为，直线.（1）若抛物线和直线没有公共点，求的取值范围；（2）若，且抛物线和直线只有一个公共点时，求的值.【答案】(1)或.(2)2.【解析】试题分析：（1）联立方程，整理得，由抛物线和直线没有公共点，则，即可求得的取值范围；（2）当抛物线和直线只有一个公共点时，记公共点坐标为，由，即，解得或，因为，故，将代入得，求得的值即得点的坐标，可求的值.试题解析：（1）联立方程，整理得，由抛物线和直线没有公共点，则，即，解得或.（2）当抛物线和直线只有一个公共点时，记公共点坐标为，由，即，解得或，因为，故，将代入得，解得，所以由抛物线的定义知：.21. 已知为等比数列，其前项和为，且.（1）求的值及数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】试题分析：（1）当时，，当时，，因为是等比数列，所以，即，可求得数列的通项公式；（2）由（1）得，利用错位相减法即可求得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，当时，，因为是等比数列，所以，即，所以数列通项公式为.（2）由（1）得，则，两式相减可得，，所以点睛：本题中利用与的等量关系即可求得通项公式，利用错位相减法求得数列前n项和,有关数列求和中的裂项相消法，并项求和法等都需要熟练掌握.22. 设椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，如图所示，过点作与垂直的直线交轴负半轴于点，且，过三点的圆恰好与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）设，由，所以，由于，即为的中点，故，即，于是，于是的外接圆圆心为，半径，该圆与直线相切，则，即可得出值，从而可求椭圆的方程；（2）由（1）可知，设，联立方程组，整理得，写出韦达定理，由于菱形的对角线垂直，故, 即，即，由已知条件知且，所以，即可求出的取值范围.试题解析：（1）设，由，知，因为，所以，由于，即为的中点，故，所以，即，于是，于是的外接圆圆心为，半径，该圆与直线相切，则，解得，所以，所求椭圆的方程为.（2）由（1）可知，设，联立方程组，整理得，设，则，，由于菱形的对角线垂直，故,故，即，即，由已知条件知且，所以，所以，故存在满足题意的点，且的取值范围是，当直线的斜率不存在时，不合题意.点睛：本题重点解决已知条件的转化，结合直线与圆相切即可得得值，若四边形是菱形主要是利用对角线互相垂直，即向量之和与向量之差的数量积为0，计算量大注意准确性.。
2020-2021学年广西壮族自治区桂林市栗木中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为 ( )A． B． C． D．参考答案：D略2. 已知具有线性相关关系的变量x、y，设其样本点为，回归直线方程为，若，（O为原点），则a=（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】计算出样本中心点的坐标，将该点坐标代入回归直线方程可求出实数的值.【详解】由题意可得，，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，故选：D. 【点睛】本题考查利用回归直线方程求参数的值，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.3. 掷两颗骰子得两个数，则事件“两数之和大于”的概率为A． B． C． D．参考答案：D略4. 下列复数是纯虚数的是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据复数的运算，将选项中的复数全部化简，即可得出结果.【详解】因为；；；，因此，纯虚数只有.故选D【点睛】本题主要考查复合的运算，以及复数的分类，熟记运算法则和概念即可，属于常考题型. 5. 数列{a n}满足a1=1，a n+1＞a n，且（a n+1﹣a n）2﹣2（a n+1+a n）+1=0，计算a2，a3，然后猜想a n=（）A．n B．n2 C．n3 D．﹣参考答案：B【考点】数列递推式．【分析】由题设条件知（a2﹣1）2﹣2（a2+1）+1=0，所以a2=4．由（a3﹣4）2﹣2（a3+4）+1=0，知a3=9由此猜想a n=n2．【解答】解：∵a1=1，a n+1＞a n，且（a n+1﹣a n）2﹣2（a n+1+a n）+1=0，∴（a2﹣1）2﹣2（a2+1）+1=0，整理得a22﹣4a2=0，∴a2=4或a2=0（舍）．（a3﹣4）2﹣2（a3+4）+1=0，整理，得a32﹣10a3+9=0，a3=9或a3=1（舍）．由此猜想a n=n2．故选B．6. 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：A略7. 设均为正数，且，，.则（）A. B. C.D.参考答案：A8. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．B．3 C．D．参考答案：A略9.参考答案：D略10. 过，两点的直线的斜率是A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据直线斜率的两点式，即可求出结果.【详解】因为直线过，两点，所以.故选A【点睛】本题主要考查求直线的斜率问题，熟记公式即可，属于基础题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某班课程表中星期二上午的5节课要排语文、英语、数学、政治和化学5个科目（每科都要排），要求语文、英语不相邻的不同排法种数是（用数字作答）参考答案：72略12. 已知集合，则= ．参考答案：13. 已知点为抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为▲。
广西桂林市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若实数a，b，c，d满足a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣d B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．＞2．（5分）命题“对任意实数x，都有x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＜1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤13．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a3+a4+a5+a6=100，则a1+a7等于（）A．20 B．30 C．40 D．505．（5分）设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，b=4，∠A=30°，那么∠B=（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°7．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若线段AB的中点到y 轴的距离为，则|AF|+|BF|=（）A．2 B．C．3 D．48．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．89．（5分）△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，A、B、C成等差数列，则角C=（）A．B．C．或D．或10．（5分）给出下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的逆命题；②“全等三角形面积相等”的否命题；③“若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（1，2）”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”其中正确的命题的序号是（）A．③④B．①③C．①②D．②④11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线﹣=1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，若S n=2n+1，则a3=．14．（5分）双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为．15．（5分）在圆x2+y2=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，若点M在线段PD上，且满足DM=DP，则当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是．16．（5分）若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，c=8，角A为锐角，△ABC的面积为6．（1）求角A的大小；（2）求a的值．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=5，a4﹣2a2=3，又等比数列{b n}中，b1=3且公比q=3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．（12分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．20．（12分）某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y（万件）与销售员的数量x（人）之间的函数关系式为：y=（x＞0）．（1）若要求在该月A产品的销售量大于10万件，销售员的数量应在什么范围内？（2）在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？（精确到0.1万件）21．（12分）已知数列{b n}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1，b3为方程x2﹣5x+4=0的两根．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n=log2b n+3，求证：数列{a n}是等差数列；（Ⅲ）若c n=a n•b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，直线l：x=my+4与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围．广西桂林市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若实数a，b，c，d满足a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣d B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用；不等式．分析：根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：A、∵a＞b，c＞d，∴﹣c＜﹣d，∴a+c与b+c无法比较大小，故本选项错误；B、∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b﹣d，故本选项正确；C、当a＞b，c＞d＞0时，ac＞bd，故本选项错误；D、当a＞b，c＞d＞0时，，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了不等式的性质．此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质：2．（5分）命题“对任意实数x，都有x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＜1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意实数x，都有x＞1”的否定是：存在实数x，使x≤1．故选：D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系．3．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．解答：解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选D．点评：本题考查复合命题的真假情况．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a3+a4+a5+a6=100，则a1+a7等于（）A．20 B．30 C．40 D．50考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的性质可得a4=20，再由等差数列的性质可得a1+a7=2a4=40解答：解：由等差数列的性质可得a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4，又a2+a3+a4+a5+a6=100，∴5a4=100，解得a4=20，∴a1+a7=2a4=40故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的性质，属基础题．5．（5分）设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a ＞b＞0，由充要条件的定义可得答案．解答：解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．点评：本题为充要条件的判断，正确利用不等式的性质是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，b=4，∠A=30°，那么∠B=（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和正弦定理求出sinB，再由内角的范围和边的关系求出B．解答：解：由题意得，a=4，b=4，∠A=30°，由正弦定理得，，则sinB==，因为b＞a，0＜B＜180°，所以B=60°或120°，故选：D．点评：本题考查正弦定理，内角的范围和边角的关系，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．7．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若线段AB的中点到y 轴的距离为，则|AF|+|BF|=（）A．2 B．C．3 D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A、B到准线x=﹣的距离分别为AM，BN，则由梯形中位线的性质可得AM+BN=2（+）=3，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=AM+BN，从而求得结果．解答：解：由题意可得F（，0），设A、B到准线x=﹣的距离分别为AM，BN，则由梯形中位线的性质可得 AM+BN=2（+）=3．再由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=AM+BN=3，故选C．点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．8考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2）将A的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+2=6．即z=2x+y的最大值为6．故选：C点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．（5分）△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且，A 、B 、C 成等差数列，则角C=（）A ．B ．C ． 或D ．或考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．分析： 由正弦定理化边为角，利用二倍角的正弦公式得到sin2A=sin2B ，再由三角形内角的范围得到2A=2B 或2A+2B=π．由A 、B 、C 成等差数列求出角B ，最后结合三角形内角和定理得答案． 解答： 解：由，利用正弦定理得：，即sinAcosA=sinBcosB ，∴sin2A=sin2B， ∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜A+B ＜π． ∴2A=2B 或2A+2B=π． ∴A=B 或A+B=．又A 、B 、C 成等差数列，则A+C=2B ，由A+B+C=3B=π，得B=．当A=B=时，C=； 当A+B=时，C=．∴C=或．故选：D ．点评： 本题考查了正弦定理，考查了二倍角的正弦公式，训练了利用等差数列的概念求等差数列中的项，是中档题． 10．（5分）给出下列命题：①“若a 2＜b 2，则a ＜b”的逆命题； ②“全等三角形面积相等”的否命题； ③“若方程=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（1，2）”的逆否命题；④“若x （x≠0）为有理数，则x 为无理数” 其中正确的命题的序号是（） A ． ③④ B ． ①③ C ． ①② D ． ②④考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．分析：求出逆命题，再举例说明，即可判断①；求出逆命题，判断真假，再由互为逆否命题等价，即可判断②；运用椭圆的方程，得到k的不等式，解得k，再由互为逆否命题等价，即可判断③；运用反证法，即可得到x为无理数，即可判断④．解答：解：对于①，“若a2＜b2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则a2＜b2”，比如a=﹣2，b=﹣1，则a2＞b2，则①错；对于②，“全等三角形面积相等”的逆命题为“若三角形的面积相等，则它们全等”，则显然错误，比如三角形同底等高，则它的否命题也为错，则②错；对于③，若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则2k﹣1＞2﹣k＞0，解得1＜k＜2．则原命题正确，则逆否命题也正确，则③对；对于④，若x（x≠0）为有理数，则x为无理数，可以运用反证法证明，假设x为非零的有理数，为无理数，则x必为无理数，与条件矛盾，则④对．综上可得，正确的选项为③④．故选A．点评：本题考查四种命题的关系和真假判断，考查椭圆的方程及参数的范围，考查反证法的运用，属于基础题和易错题．11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得的最小值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由 a 7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．解答：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足 a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，故选A．点评：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．12．（5分）已知双曲线﹣=1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意知圆的方程为（x+a）2+y2=a2，双曲线的一条渐近线方程为y=，联立，得：c2x2+2a3x=0，由此能求出结果．解答：解：由题意知圆的方程为（x+a）2+y2=a2，双曲线的一条渐近线方程为y=，联立，消去y，并整理，得：c2x2+2a3x=0，设渐近线与圆交于B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=0，∵实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，∴|BC|==，∴=，∴=3a2，∴2a=c，∴e==．故选：B．点评：本题考查双曲线的离心率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的灵活运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，若S n=2n+1，则a3=6．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n=2n+1，利用a3=S3﹣S2，能求出结果．解答：解：∵S n是数列{a n}的前n项和，S n=2n+1，∴a3=S3﹣S2=（23+1）﹣（22﹣1）=6．故答案为：6．点评：本题考查数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．14．（5分）双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为4．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的标准方程即可得出a与b的关系，即可得到m的值．解答：解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣=1，∴a2=1，b2=，∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，解得m=4．故答案为：4．点评：熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．15．（5分）在圆x2+y2=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，若点M在线段PD上，且满足DM=DP，则当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是．考点：轨迹方程．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出P（x0，y0），M（x，y），D（x0，0），由点M在线段PD上，且满足DM=DP，M的坐标用P的坐标表示，代入圆的方程得答案．解答：解：设P（x0，y0），M（x，y），D（x0，0），∵点M在线段PD上，且满足DM=DP，∴x0=x，y0=y，又P在圆x2+y2=9上，∴x02+y02=9，∴x2+y2=9，∴点M的轨迹方程．故答案为：．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．16．（5分）若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是（﹣∞，﹣1]．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题．分析：关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于≥对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，由=，知对 x∈（﹣∞，λ]恒成立．由此能求出λ的范围．解答：解：关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于≥对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，∵=，∴对 x∈（﹣∞，λ]恒成立．设，它的图象是开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线，∴当x≤﹣时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ2+，解得λ≤﹣1，或（舍）当x＞﹣，左边的最小值就是在x=﹣时取到，达到最小值时，=，不满足不等式．因此λ的范围就是λ≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．点评：本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，c=8，角A为锐角，△ABC的面积为6．（1）求角A的大小；（2）求a的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A．（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．解答：解：（1）∵S△ABC=bcsinA=×3×8×sinA=6，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=．（2）由余弦定理知a===7．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生对三角函数基础公式的熟练记忆和灵活运用．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=5，a4﹣2a2=3，又等比数列{b n}中，b1=3且公比q=3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=5，a4﹣2a2=3列出关于首项与公差的方程组，可求得，从而可得数列{a n}的通项公式；而{b n}是以b1=3且公比q=3的等比数列，从而可求得数列{b n}的通项公式；（2）由（1）得c n=a n+b n=（2n﹣1）+3n，利用分组求和法即可求得数列{c n}的前n项和S n．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由题意得，解得，所以，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，因为{b n}是以b1=3且公比q=3的等比数列，所以b n=3n；（2）由（1）得c n=a n+b n=（2n﹣1）+3n，则S n=1+3+5+…+（2n﹣1）+（3+32+33+…+3n）=+=n2+．点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，突出考查分组求和，属于中档题．19．（12分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；综合题．分析：先对两个命题进行化简，转化出等价条件，根据P与Q中有且仅有一个为真命题，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数a的取值范围为．点评：本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0面错，解题时要注意特殊情况的验证．是中档题．20．（12分）某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y（万件）与销售员的数量x（人）之间的函数关系式为：y=（x＞0）．（1）若要求在该月A产品的销售量大于10万件，销售员的数量应在什么范围内？（2）在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？（精确到0.1万件）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）依据体积列出销售量大于10万件的不等式，求出销售员的数量应在范围．（2）利用基本不等式求出，销售的数量最大值，然后求出最大销售量．解答：解：（1）由条件可知＞10，整理得：x2﹣89x+1600＜0．即（x﹣25）（x﹣64）＜0，解得25＜x＜64．该月月饼的销售量不少于10万件，则销售员的数量应在（25，64）．（2）依题意y==，∵x+≥2=80，当且仅当x=，即x=40时，上式等号成立．∴y max=≈11.1（万件）．∴当x=40时，销售的数量最大，最大销售量为11.1万件．点评：本题考查利用基本不等式解决实际问题最值问题的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知数列{b n}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1，b3为方程x2﹣5x+4=0的两根．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n=log2b n+3，求证：数列{a n}是等差数列；（Ⅲ）若c n=a n•b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）解方程x2﹣5x+4=0，得b1=1，b3=4，由此能求出．（Ⅱ）由a n=log2b n+3n﹣1+3=n+2，能证明数列{a n}是首项为3，公比为1的等差数列．（Ⅲ）由c n=a n•b n=（n+2）•2n﹣1，利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．解答：（Ⅰ）解：∵b1，b3为方程x2﹣5x+4=0的两根，数列{b n}（n∈N*）是递增的等比数列，解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，∴b1=1，b3=4，∴=4，解得q=2或q=﹣2（舍）∴．（Ⅱ）证明：∵a n=log2b n+3==n﹣1+3=n+2，∴数列{a n}是首项为3，公比为1的等差数列．（Ⅲ）解：c n=a n•b n=（n+2）•2n﹣1，∴，①2T n=3•2+4•22+5•23+…+（n+2）•2n，②①﹣②，得：﹣T n=3+2+22+23+…+2n﹣1﹣（n+2）•2n=3+=1﹣（n+1）•2n，∴．点评：本题考查数列通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，直线l：x=my+4与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，b=，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）由，得（3m2+4）y2+24my+36=0，由△＞0，得m2＞4，由此利用韦达定理能求出•的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意知，∴=，∴，又b=，解得a2=4，b2=3，∴椭圆方程为．（4分）（Ⅱ）由，得（3m2+4）y2+24my+36=0，（6分）由△＞0得（24m）2﹣4×36（3m2+4）＞0，解得m2＞4，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，（8分）∴=（m2+1）y1y2+4m（y1+y2）+16=，（10分）∵m2＞4，∴3m2+4＞16，∴，∴•的取值范围是（﹣4，）．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。
广西桂林市2020-2021学年高二上学期
期末考试（理）试题
（考试用时120分钟，满分150分）
第I 卷选择题
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.
1. 命题“若1x <，则21x <”的逆命题是（ ）
A. 若1≥x ，则21x > B . 若21x <，则1x <
C. 若21x >，则1≥x
D. 若21x <，则1x ≤
【答案】B
【解析】由命题“若1x <，则21x <”，
其逆命题为：若21x <，则1x <.
故选：B
2. 不等式()()120x x +-<的解集为（ ）
A. {|1x x <-或2}x >
B. {}|12x x -<<
C. {|2x x <-或1}x >
D. {}|21x x -<<
【答案】B
【解析】因为()()120x x +-<，
所以1020x x +>⎧⎨-<⎩或10
20x x +<⎧⎨
->⎩，解得12x -<<或x ∈∅，
综上可得，不等式()()120x x +-<的解集为{}|12x x -<<，
故选：B.
3. 若a ､b ､R c ∈且a b >，则一定有（ ）
A. a c b c ->-
B. ()0a b c ->
C. 1
1
a b <
D. 22a b >。
2018-2019学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（）A. y2=-4xB. y2=4xC. x2=-4yD. x2=4y【答案】B【解析】解：由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由焦点坐标为（1，0），得，即p=2．∴抛物的标准方程是y2=4x．故选：B．由题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），结合焦点坐标求得p，则答案可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．2.若a＞b，x＞y，则下列不等式正确的是（）A. a+x＞b+yB. a-x＞b-yC. ax＞byD.【答案】A【解析】解：∵a＞b，x＞y，根据不等式同向相加性质可得a+x＞b+y，故选：A．根据不等式的同向相加性质可知选A．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3.等差数列{a n}中，a2=6，a4=8，则a6=（）A. 4B. 7C. 10D. 14【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a2=6，a4=8，∴，解得a1=5，d=1，∴a6=a1+5d=5+5=10．故选：C．利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出第6项．本题考查等差数列的第6项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2-c2=bc，则A=（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】解：a2-c2=b2+bc，可化为b2+c2-a2=-bc，两边同除以2bc，得，由余弦定理，得cos A=-，∴A=120°，故选：C．原式可变形为，由余弦定理可得cos A，由此可求A．该题考查余弦定理及其应用，对余弦定理的内容要熟练，会“正用、逆用、变形用”．5.已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（）A. ∀x∈R，x2+2x+3≠0B. ∀x∈R，x2+2x+3=0C. ∃x∈R，x2+2x+3≠0D. ∃x∈R，x2+2x+3=0【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p 是：∀x∈R，x2+2x+3≠0．故选：A．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．6.设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），所以z=x+y的最大值为：3．故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．7.设x∈R，则“x＜3”是“-1＜x＜3”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当x=-2满足x＜3，但“-1＜x＜3”不成立，即充分性不成立，当“-1＜x＜3”时，x＜3成立，即“x＜3”是“-1＜x＜3”的必要不充分条件，故选：C．根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．8.如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A. x+2y-3=0B. 2x-y-3=0C. 2x+y-3=0D. x+2y+3=0【答案】A【解析】解：设过点A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），由中点坐标公式可知：，则，两式相减得：+=0，∴=-，∴直线EF的斜率k==-，∴直线EF的方程为：y-1=-（x-1），整理得：2y+x-3=0，故选：A．由题意可知：将E，F代入椭圆方程，由中点坐标公式，做差求得直线EF的斜率公式，由直线的点斜式方程，即可求得条弦所在的直线方程．本题考查直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．9.已知命题p：∀x∈R，2mx2+mx-＜0，命题q：2m+1＞1．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则实数m的取值范围是（）A. （-3，-1）∪[0，+∞）B. （-3，-1]∪[0，+∞）C. （-3，-1）∪（0，+∞）D. （-3，-1]∪（0，+∞）【答案】D【解析】解：当m=0时，2mx2+mx-＜0等价为-＜0，则不等式恒成立，当m≠0时，要使2mx2+mx-＜0恒成立，则，即，得-3＜m＜0，综上-3＜m≤0，即p：-3＜m≤0，由2m+1＞1得m+1＞0，得m＞-1，即q：m＞-1若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则p，q一个为真命题一个为假命题，若p真q假，则，得-3＜m≤-1，若p假q真，则，即m＞0，综上-3＜m≤-1或m＞0，即实数m的取值范围是（-3，-1]∪（0，+∞），故选：D．根据不等式的解法分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．注意要对p，q的真假进行分类讨论．10.在数列{a n}中，a1=2，a n=a n-1+ln（1+）（n≥2）则{a n}=（）A. 2+n lnnB. 2+（n-1）l n nC. 2+l n nD. 1+n+l n n【答案】C【解析】解：∵=，（n≥2）∴a n=a n-1+l n n-ln（n-1），（n≥2）∴a n-l n n=a n-1-ln（n-1），（n≥2）∴{a n-l n n}是常数数列，∴a n-l n n=a1-ln1=2，∴a n=2+l n n．故选：C．根据条件，，即a n-l n n=a n-1-ln（n-1），故{a n-l n n}是常数数列，所以a n-l n n=a1-ln1=2，即a n=2+l n n．本题考查的知识点是数列的递推公式和对数的运算性质，属于基础题．11.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右项点为A，过A作双曲线C的一条渐近线的平行线，且该直线与另一条渐近线交于点M，若（+）=0，则C的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】解：过A作双曲线C的一条渐近线的平行线，则该平行线的方程为：y=联立，可得M（，-）∵（+）=0，则OM=OA=a，∴⇒b2=3a2，则C的离心率为．故选：C．可得M（，-），由（+）=0，可得OM=OA=a，⇒b2=3a2，可得离心率．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，b＞c，则=（）A. B. 2 C. 3 D.【答案】B【解析】解：根据题意，△ABC中，，则有a×-c-=0，变形可得：a2-b2-c2-bc=0，又由a2=，则有2b2+2c2-5bc=0，即可得：（）2-×（）+1=0，解可得：=2或=，又由b＞c，则=2；故选：B．根据题意，由余弦定理，分析可得⇒a×-c-=0，变形可得：a2-b2-c2-bc=0，又由a2=，进而可得（）2-×（）+1=0，结合b＞c，解可得的值，即可得答案．本题考查三角形中的几何计算，关键是运用余弦定理变形．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数，x＞0的最小值是______．【答案】2【解析】解：∵，当且仅当x=1 取等号．故函数，x＞0的最小值是2．故答案为：2．注意到两项的积为定值，且为正数，故考虑利用基本不等式即可解决．本题考查函数的最值，解题时要注意基本不等式的应用．14.正项等比数列{a n}，若3a1，，2a2成等差数列，则{a n}的公比q=______．【答案】3【解析】解：∵正项等比数列{a n}，3a1，，2a2成等差数列，∴，解得q=3．∴{a n}的公比q=3．故答案为：3．利用等比数列的通项公式、等差数列的性质列出方程，由此能求出{a n}的公比．本题考查公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为______海里/时．【答案】20【解析】解：由题意可知∠SMN=15°+90°=105°，∠SNM=45°，SM=20，∴∠NSM=30°，在△SMN中，由正弦定理可得：，即，解得：MN=10，∴货轮的速度为=20海里/时．故答案为：20．根据正弦定理求出MN，再得出货轮的速度．本题考查了解三角形的应用，正弦定理，属于基础题．16.已知点A（0，-1），B（0，1），以点P（m，4）为圆心，|PB|为半径作圆Γ，圆Γ在B处的切线为直线l，过点A作圆Γ的一条切线与l交于点M，则|MA|+|MB|=______．【答案】4【解析】解：设过点A作圆Γ的一条切线与圆相切于C点，∵M是两条切线的交点，∴MB=MC，即|MA|+|MB|=|MA|+|MC|=|AC|=，∵圆Γ是以点P（m，4）为圆心，|PB|为半径∴半径|PC|=|PB|=，|PA|=，则|AC|====4，则|MA|+|MB|=4，故答案为：4根据条件作出图象，结合两条切线交点的性质，转化为|MA|+|MB|=|AC|，利用勾股定理进行求解即可．本题主要考查直线和圆相切的性质的应用，利用数形结合转化为直角三角形，利用勾股定理是解决本题的关键．考查学生的转化能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a5=3，S3=．（1）求{a n}的通项公式；（2）若S m=27，求m．【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得a1=1，d=，∴=（n+1）．（2）由（1）得S m===27，整理，得m2+3m-108=0，由m∈N*，解得m=9．【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出a1=1，d=，由此能求出{a n}的通项公式．（2）求出S m==27，由此能求出m．本题考查等差数列的通项公式、实数值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．（1）求cos∠C的值；（2）求△ABC的面积．【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵BC=7，AB=3，∠A=60°．∴由正弦定理可得：sin C===，…3分∵BC＞AB，∴C为锐角，…4分∴cos C===，…6分（2）∵A+B+C=π，A=60°，∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=×+=，…9分∴S△ABC=BC•AB•sin B==6．…12分【解析】（1）由已知及正弦定理可得sin C的值，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cos C的值．（2）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sin B的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.设抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l与C交于A，B两点．（1）若1过F且斜率为1，求|AB|；（2）若不过坐标原点O，且OA⊥OB，证明：直线l过定点．【答案】解：（1）抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），直线l过点F且斜率为1，则l的方程为y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y，得x2-6x+1=0，又△=（-6）2-4×1×1=32＞0，且x1+x2=6，∴|AB|=x1+x2+2=8；（2）直线l的斜率不为0时，可设直线l的方程为x=my+a（a≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）；由，消去x，得y2-4my-4a=0，则y1y2=-4a；又x1=，x2=，∴x1x2===a2，又∵OA⊥OB，∴•=x1x2+y1y2=0，即a2-4a=0，又∵a≠0，∴a=4；∴直线l：x=my+4恒过定点M（4，0）．【解析】（1）由题意写出直线l的方程，与抛物线方程联立消去y，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义求出|AB|的值；（2）可设直线l的方程为x=my+a（a≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）；由得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的坐标运算法则求出a的值，再判断直线l恒过定点．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了方程与平面向量的应用问题，是中档题．20.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．（1）求A；（2）若D为边BC上一点，且=2，b=6，AD=2，求a．【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵=，可得：（2c-b）cos A=a cos B，∵，∴（2sin C-sin B）cos A=sin A cos B，∴2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B，∴2sin C cos A=sin（A+B）=sin C，在△ABC中，sin C≠0．∴cos A=，∠A=．…（5分）（2）过点D作DE∥AC交AB与E，则∠DEA=，=，则DE=AC=2，…8分在△ADE中，由余弦定理可得：AD2=AE2+DE2-2AD，∴12=AE2+22-2AE×，即：AE2+2AE-8=0，解得：AE=2，∴AB=3，…10分在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB，∴BC2=32+62-2×=27，∴BC=3．…12分【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2sin C cos A=sin C，又sin C≠0，即可得cos A=，即可求得A的大小．（2）过点D作DE∥AC交AB与E，可求∠DEA=，DE=AC=2，在△ADE中，由余弦定理可解得AE，可求AB，在△ABC中，由余弦定理可得BC的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．21.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2（S n+n+1）（n∈N*），令b n=a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）证明：．【答案】解：（1）a1=2，a n+1=2（S n+n+1）①n=1时，a1=2×（2+1+1）=8，n≥2时，a n=2（S n-1+n）②①②相减整理可得a n+1=3a n+2，可得a n+1+1=3（a n+1），n=1时，上式也成立，即有b n+1=3b n，b n=b1•3n-1=3n；（2）证明：由a n+1=3n，可得==＜=（-），即有++…+＜+（-+-+…+-）=+（-）＜+=．【解析】（1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求；（2）由a n+1=3n，可得==＜=（-），再由裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查不定时的性质，属于中档题．22.设点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）设直线l：y=kx与E交于C，D两点，F1（-1，0），F2（1，0），若E上存在点P，使得S△PCD=2S，求实数k的取值范围．【答案】解：（1）设M（x，y），由题意得：k AM•k BM==-（x≠±2），化简，得点M的轨迹E的方程为，（x≠±2）．（2）设C（x1，y1），P（2cosα，），∴=2=，点P到直线l的距离d==≤，∵|CD|=2=2•|y1|，k≠0，∴S△PCD=≤•|y1|•=•|y1|．∵E上存在点P，使得，∴只需4|y1|≤•|y1|，解得k2．∵k≠0，∴k的取值范围是[-）∪（0，]．【解析】（1）设M（x，y），由题意得k AM•k BM==-（x≠±2），由此能求出点M的轨迹E的方程．（2）设C（x1，y1），P（2cosα，），则=2=2|y1|，点P到直线l的距离d==≤，|CD|=2=2•|y1|，k≠0，从而S△PCD=≤•|y1|．从而只需4|y1|≤•|y1|，由此能求出k的取值范围．本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线方程、椭圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
桂林市2008~2009学年度上学期期末质量检测高二年级数学(理科)(考试时间120分钟，满分150分)说明：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分． 2．请在答题卷．．．上答题(不在本试卷上答题)． 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的(1)若a 、b 是任意实数，且a b >，则(A)22a b >． (B)1ba< ．(C)g()0l a b ->．(D)11()()22ab<．(2)下列命题正确的是(A)若a 、b R ∈，则2.a b a b b a b a+≥=(B)若0,0x y >>，则lg lg x y +≥(C)若0x ≤，则22 2.x x -+≥=(D)若0x <，则44x x +≥-=-． (3)直线cos 10()x y R θθ+-=∈的倾斜角的范围是(A)[0,).π(B)[,].44ππ-(C)3[0,][,]44πππ． (D)3[,]44ππ．(4)若a b c >>，则下列不等式一定成立的是(A)ab ac >．(B)2222()()a b c c b c +>+． (C)ab bc >．(D)a c b c >．(5)若直线1:(1)3l ax a y +-=，与2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则a 的值为(A)3-．(B)1．(C)0或3.2-(D)1或3-．(6)已知方程22193x y k k +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是 (A)39k <<． (B) 3.k >(C)9.k >(D)3k <．(7)已知直线:20l x y m -+=与圆22(2)(1)5x y -++=相切，那么实数m 的值为(A)9-或1．(B)9或1-．(C)5或5-．(D)3或13．(8)直线240x y --=绕它与x 轴的交点，按逆时针方向旋转4π，所得的直线方程是 (A)320x y --=． (B)360x y +-=． (C)360.x y -+=(D)20x y +-=．(9)已知直线:20l x y m -+=按向量(2,3)a =-平移后得到的直线1l ，与圆22(2)(1)5x y -++=相切，那么实数m 的值为(A)5或5-．(B)9或1-．(C)7-或7．(D)3或13．(10)抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线34120x y --=上，则抛物线的方程为(A)216y x =．(B)212.x y =-(C)216y x =或212.x y =-(D)216x y =或212.y x =-(11)过抛物线28y x =的焦点F 作倾斜角是34π的直线，交抛物线于A 、B 两点，则AB = (A)8．(B)82．(C)162．(D)16．(12)已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )(A)(1,2)．(B)(1,)+∞．(C)(1,12)+．(D)(2,12)+．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中相应的位置上． (13)函数22g(12)25y l x x x =+-+-的定义域为 ．(14)椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么k = ．(15)椭圆的中心在直角坐标系的原点，左焦点为(3,0)-，且右顶点为(2,0)D ，设点A 的坐标是(11,2)，点P 是椭圆上的动点，则线段PA 的中点M 的轨迹方程是 ．(16)若直线220(0,0)ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=，则11a b+的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分10分)已知a 、b 都是正数，且1a b +=，求证222().ax by ax by +≥+ (18)(本小题满分12分)已知一曲线是平面上与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 的距离的比为12的点的轨迹，求此曲线的方程，并说明曲线是什么图形． (19)(本小题满分12分)已知椭圆的焦点是1(0,1)F -和2(0,1)F ，离心率12e =， (I)求此椭圆的标准方程；(Ⅱ)设点P 在此椭圆上，且有121PF PF -=，求12FPF ∠的余弦值. (20)(本小题满分12分)本市一公司计划2009年在广西、桂林两家电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，广西、桂林电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，预计广西、桂林两家电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在广西、桂林两家电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ (21)(本小题满分12分)已知关于x 的不等式23611()216x x -+>的解集是{}|1.x x x b <>或 (Ⅰ)求a 、b 的值；(Ⅱ)若1c >，解关于x 的不等式20.3c xax x b-<-+(22)(本小题满分12分)·已知平面上一定点(4,0)C 和一定直线:1l x =，P 为平面上一动点，作PQ l ⊥，垂足为Q ，且(2)(2)0PC PQ PC PQ +⋅-=．(Ⅰ)问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；(Ⅱ)设直线:1l y kx =+与(Ⅰ)中的曲线交于不同的两点A 、B ，问：是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过点(0,2)D ？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．桂林市2008～2009学年度上学期期末质量检测高二数学（理科）参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
