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第1讲 选修4-4坐标系与参数方程解答题1.(2019河北石家庄模拟)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程是{x =t,y =2t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,求|AB|.解析 (1)由{x =t,y =2t 消去t 得y=2x,把{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ, ∴直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)∵ρ2=x 2+y 2,y=ρsin θ,∴曲线C 的方程可化为x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4,则曲线C 是以(0,-1)为圆心,2为半径的圆.又圆C 的圆心C(0,-1)到直线l 的距离d=√55,∴|AB|=22=2√955. 2.(2019江西南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cosφ,y =√3sinφ(φ为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin θ-kρcos θ+k=0(k ∈R).(1)请写出曲线C 的普通方程与直线l 的一个参数方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A,B 两点,且点M(1,0)为线段AB 上的一个三等分点,求|AB|. 解析 (1)由已知得,曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1.易知直线l 的直角坐标方程为y=k(x-1),则其一个参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数). (2)联立(1)中直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程,并化简得(3+sin 2α)t 2+6tcos α-9=0, 设点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2,∴{t 1+t 2=-6cosα3+sin 2α,t 1·t 2=-93+sin 2α<0.① 不妨设t 1>0,t 2<0,t 1=-2t 2,代入①中得cos 2α=49, sin 2α=59,所以|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=123+sin 2α=278.3.(2019广西桂林联考)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =y 0+tsinα(t 为参数,α为l 的倾斜角),曲线E 的极坐标方程为ρ=4sin θ,射线θ=β,θ=β+π6,θ=β-π6与曲线E 分别交于不同于极点的A,B,C 三点.(1)求证:|OB|+|OC|=√3|OA|;(2)当β=π3时,直线l 过B,C 两点,求y 0与α的值.解析 (1)证明:依题意知,|OA|=4sin β,|OB|=4sin (β+π6),|OC|=4sin (β-π6),则|OB|+|OC|=4sin (β+π6)+4sin (β-π6)=4√3sin β=√3|OA|.(2)当β=π3时,点B 的极坐标为(4sin π2,π2)=(4,π2),点C 的极坐标为(4sin π6,π6)=(2,π6),故B,C 化为直角坐标为B(0,4),C(√3,1),因为直线l 过B,C 两点,所以直线l 的普通方程为y=-√3x+4,所以y 0=4,α=2π3.4.(2019广西南宁模拟)已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθ,y =1+sinθ(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin (θ+π3),直线l 的直角坐标方程为y=√33x.(1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程;(2)已知直线l 分别与曲线C 1、曲线C 2的图象相交于异于极点的A,B 两点,若A,B 的极径分别为ρ1,ρ2,求|ρ1-ρ2|的值.解析 (1)由曲线C 1的参数方程{x =cosθ,y =1+sinθ(θ为参数),得C 1的普通方程为x 2+(y-1)2=1,则曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θ.易知直线l 过原点,且倾斜角为π6,所以直线l 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R).(2)将θ=π6代入C 1的极坐标方程得ρ1=1,将θ=π6代入C 2的极坐标方程得ρ2=4,所以|ρ1-ρ2|=3.5.(2019广东广州联考)已知曲线C 的参数方程为{x =2+√5cosα,y =1+√5sinα(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设l 1:θ=π6,l 2:θ=π3,若l 1,l 2与曲线C 相交于异于原点的A,B 两点,求△AOB 的面积. 解析 (1)∵曲线C 的参数方程为{x =2+√5cosα,y =1+√5sinα(α为参数),∴曲线C 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5.将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ, ∴曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ. (2)由{θ=π6,ρ=4cosθ+2sinθ,得|OA|=2√3+1. 同理|OB|=2+√3,又∠AOB=π6,∴S △AOB =12|OA|·|OB|sin ∠AOB=8+5√34, ∴△AOB 的面积为8+5√34. 6.(2019江西南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =-3+t,y =-1-t(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin (3π4-θ).(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)过曲线C 2上任意一点P 作与C 1夹角为π4的直线,交C 1于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析 (1)由{x =-3+t,y =-1-t得C 1的普通方程为x+y+4=0, 由ρ=4√2sin (3π4-θ),得ρ=4cos θ+4sin θ,∴ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ,x 2+y 2=4x+4y,即(x-2)2+(y-2)2=8,∴C 2的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8.(2)在曲线C 2上任意取一点P(2+2√2cos θ,2+2√2sin θ),则P 到C 1的距离d=√2(cosθ+sinθ)|√2=|8+4sin(θ+π4)|√2, |PA|=√22=|8+4sin (θ+π4)|,∴当sin (θ+π4)=1时,|PA|取最大值,为12;当sin (θ+π4)=-1时,|PA|取最小值,为4.7.(2019山东淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的方程是x=4.曲线C 的参数方程是{x =1+√2cosφ,y =1+√2sinφ(φ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程;(2)若射线θ=α(ρ≥0,0<α<π4)与曲线C 交于O,A 两点,与直线l 交于点B,求|OA||OB|的取值范围. 解析 (1)由ρcos θ=x 及直线l 的方程为x=4,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ=4. 又曲线C 的参数方程是{x =1+√2cosφ,y =1+√2sinφ(φ为参数), 消去参数φ得曲线C 的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,即x 2+y 2-2x-2y=0,将x 2+y 2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式得ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ,所以曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ+2sin θ.(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则ρ1=2cos α+2sin α,ρ2=4cosα, 所以|OA||OB|=ρ1ρ2=(2cosα+2sinα)cosα4= cos 2α+sinαcosα2 =14(sin 2α+cos 2α)+14=√24sin (2α+π4)+14,因为0<α<π4,所以π4<2α+π4<3π4,所以√22<sin (2α+π4)≤1,故12<√24sin (2α+π4)+14≤1+√24, 所以|OA||OB|的取值范围是(12,1+√24]. 8.(2019河南郑州测试)在平角直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =1+tsinα(t 为参数,α∈[0,π)).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=4sin θ.(1)设M(x,y)为曲线C 上任意一点,求x+y 的取值范围;(2)若直线l 与曲线C 交于不同的两点A,B,求|AB|的最小值.解析 (1)将曲线C 的极坐标方程ρcos 2θ=4sin θ化为直角坐标方程,得x 2=4y.∵M(x,y)为曲线C 上任意一点,∴x+y=x+14x 2=14(x+2)2-1≥-1,∴x+y 的取值范围是[-1,+∞).(2)将{x =tcosα,y =1+tsinα代入x 2=4y,得t 2cos 2α-4tsin α-4=0.∴Δ=16sin 2α+16cos 2α=16>0,设方程t 2cos 2α-4tsin α-4=0的两个根分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=4sinαcos 2α,t 1t 2=-4cos 2α,∴|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=4cos 2α≥4,当且仅当α=0时,取等号.故当α=0时,|AB|取得最小值4.。
坐标系与参数方程第1讲选修4・4坐标系与参数方程坐标系1.坐标系⑴坐标变换设点p （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换°：[L =2・兀（2>0）, （“>o）点P （x, y ）对应到点（加，心，称。
为坐标系中的伸缩变换• 课本温故追根求源——的作用下,（2）极坐标系在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox,叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离IOMI叫做点M的极径，记为0以极轴&为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为仇有序数对S，0)叫做点M的极坐标，记为0).2.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，兀轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点,〃），则它的直角坐标、极坐标分别为（兀，刃和S，3.直线的极坐标方程若直线过点Wo, %),且极轴到此直线的角为«,贝！I它的方程为：psin(^—a)=p()sin(^o—«)• 几个特殊位置的直线的极坐标方程:(1)直线过极点：〃=仇和0= TI +弘；(2)直线过点0)且垂直于极轴：“os曰psin 0=b平行于极轴:4.圆的极坐标方程若圆心为MS。
，％),半径为厂，则该圆的方程为: P 2—2po p cos (〃一如+斥一/ = 0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：⑴当圆心位于极点，半径为厂：p=r；⑵当圆心位于M(a, 0),半径为a："一加cos"(3)当圆心位于p=2asm & 111典例剖物考点突破」考点一平面直角坐标系中的伸缩变换x f = 3x,—=y64 9 64lj=2y r,L=1，即+一基=1为曲线C的方程，可见仍是双曲线, 16 9 16则焦点F x(-5, 0), F2(5, 0)为所求.名师导悟以例说法MK求双曲线c： x2-^= 164经过（p: “后所得曲线c的焦点坐标. 解：设曲线C上任意一点P f(x f f(1X=-x\ y2X f 2 ]3 代入兀2_±=i,得 -y f ),由上述可知，将4/ 2=1,化简得于{x f =2X 9 y f=少 XX =—,,代入 y=f(x)f ^-= y “J=-整理之后得到/=h(x^即为所求变换之后的方程.求经伸缩变换后曲线方程的方法A >0,的作用下平面上的曲线丿=沧)在变换0的变换方程的求法是将9跟團IH 综1.在同一平面直角坐标系中，将直线x- 2y= 2 变成直线2x f -y f=4f 求满足图象变换的伸缩变换.解：设变换为代入第二个方程，得加—juy=49与兀一2y=2比较系数得i=l, 〃 = 4,即 x f因此,经过变换L 后，直线x —2y=2变成直线2x f=)JC ( 2>0 )=liy (“>0)=x,考点二极坐标与直角坐标的互化典例2 (1)(2015•高考广东卷改编)已知直线I的极坐标方程为2〃sii@—壬)=边，点A的极坐标为A(2\/2f晋) 求点A到直线Z 的距离.(2)化圆的直角坐标方程x2+j2=r2(r>0)^J极坐标方程.111的距离为晋(2)将 x=pcos 0 , y=psin 0 代入 x 2+j 2=r 2 中，得 p 2cos 2 0 +/>2sin 20 =r ,即 p 2(cos 20 +sin 20)=/, p =r.所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为p =r(0W 〃v2 3i )•0 - -^~COS 0 2 7ji4角坐标为(2, -2),所以〃」2+甞=華即点A 到直线i\]2 2解：⑴由2psin (0-于心，所以y —x= 1.由点4的极坐标为,得22 . —sm 2A 的直极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.2.（2016-郑州质量预测）在极坐标系下，己知圆 =¥・QO ,0W 0 v2 兀)（2）当（0,兀）时，求直线2与圆O 的公共点的极坐标.［跟踪训练］Oz p=cos0 + sin 0和直线/： Qsin (0—寸 ⑴求I O 和直线Z 的直角坐标方程;Ji—,即psin 0 —pcos 0 = 1, 2则直线Z的直角坐标方程为：X—j+l=0.⑵由⑴知圆O与直线Z的直角坐标方程,将两方程联立得x2 +j2_X—j= 0,x—j+l=0,解得即圆O 与直线Z在直角坐标系下的公共点为(0, 1111),将(0, 1)转化为极坐标为I, JT,即为所求.〃+sin 0,即p2=pcos 0+〃sin 0, 111故圆O的直角坐标方程为:直线Z： psi(0_T=解:2考点三曲线极坐标方程的应用(2015•高考全国卷I)在直角坐标系xOy中，直线G： x= —2,圆C2： (x— l)2+(y—2)2= 1,以坐标原点为极点，兀轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程;(2)若直线G的极坐标方程为〃=于9丘旳，设C2与q的交点为M, N,求△C Q MN的面积.解：(1)因为x=pcos〃，j=psin ",所以Cl的极坐标方程为“cos 0 = — 2, G的极坐标方程为p— 2pcos 0 — 4psin 0 + 4=0・兀(2)将砂=7代入〃一2/JCOS 0 — 4psin +4=0,得P2—3\/2p +4=0,解得p\=2\{i, P2=\fi・故即\MN\=\[2.由于G的半径为1,所以△C2MN的面积为」问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］ 以练促学强技提能国劉II 练】3.在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别AAOB 的面积 S MOB =*M ・ OB ・ sinZAOB=^X3X4X JIsin —=3.6,求（其中O 为极点）的面积.解：由题意知4 B 9点击链接闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能本部分内容讲解结束。
