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相对论习题课 2014全

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1习题课(相对论)

1习题课(相对论)
第六章 狭义相对论 习 题 课
一、选择题 1.下列几种说法： （1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 （2）在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状 态无关。 （3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播 速度都相同。其中哪些说法是正确的？ （A）只有（1）、（2）是正确的。 （B）只有（1）、（3）是正确的。 （C）只有（2）、（3）是正确的。 （D）三种说法都是正确的。 [ D ]
（D） 0 ; l l 0
5.（1）对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点 、同一时刻的两个事件,对于相对该惯性系作匀速直线运 动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同 时发生？ （ 2 ）在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两 个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ （A）（1）同时，（2）不同时。 （B）（1）不同时，（2）同时。 （C）（1）同时，（2）同时。 （D）（1）不同时，（2）不同时。 [ A ]
c 或由： 2 2 1 u / c u t 2 x c t t 2 t 1 270 s c 1 u2 / c 2 t
2
x ct
270(m )
从这道题也可以看出，洛仑兹变换是建立在光速不 变原理这个基础之上的。
12）一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米 8 -1 2.6× 10· 尺的长度为0.5m。则此米尺以速度υ= m s 接近观察者。 解: 匀速运动着的米尺的长度为动长 l
c2 c2
（C） 0 ; l l 0
4. 两个惯性系S 和 S ′,沿x（x ′)轴方向作相对运动，相 对速度为 u ，设在 S ′系中某点先后发生的两个事件，用 固定于该系的钟测出两事件的时间间隔为固有时τ0 。而 用固定在 S 系的钟测出这两个事件的时间间隔为τ 。又 在S ′系x ′轴上放置一固有长度为 l 0 的细杆，从S 系测得 此杆的长度为l ，则 [ D ] （A） 0 ; l l 0 （B） 0 ; l l 0

ch08-2 相对论习题课

ch08-2 相对论习题课

光脉冲从船尾传到船头为因果关联事件，在地球 系中时序不变：
∆t地球 ≠ 0， ∆l地球不是地球系中观测的飞 船长度， 而只是两事件的空间间 隔。
解二：设飞船系为 s′ ，地球系为s ，飞船系中
∆x′ = 90 ∆t′ = 90 c
由洛仑兹变换，地球系中：
∆ x = γ (∆ x ′ + u ∆ t ′)
=
3.75 ×10−7 (s)
例5：设飞船以0.866 c 速率相对地面飞行，先后 通过地面上的甲地和乙地。在飞船通过甲地时， 将地面和飞船钟校准指零。若地面系测得的飞船 由甲地至乙地的时间间隔为6小时，飞船系测得的 时间间隔为多少？为什么地面系和飞船系的观察 者都认为对方的钟走慢了？
注意：
1.每个惯性系中的观察者都认为本系内各处的钟是校对 同步的。
机械手在车厢上同时划出两个痕迹，求车厢上的
观察者乙测出两个痕迹间的距离为多少？
乙 ur
思考： 哪个长度为原长？
1m 甲
站台系：动系，两端同时测 ∆s = 1m 非原长
车厢系：静系，∆s′ = ? 为原长
∆s′ = γ∆s =
1
1−
u2 c2
> 1 (m)
练习2
一根米尺静止放置在 s′系中，与 o′x′ 轴成 30o 角，
c2 )
三.时间量度的相对性（动钟变慢） 练习1
半人马座 α 星是距离太阳系最近的恒星，它
距离地球 4.3 ×1016m ，设有一宇宙飞船自地球飞到
半人马 α 星，若宇宙飞船相对地球的速度为
0.999c，按地球上的时钟计算要用多少年时间？如 以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年？
思考：哪个时间为原时？
≈

相对论习题课

相对论习题课

解： 由洛仑兹变换得
u ∆t ′ = γ (∆t − 2 ∆x) c 1 0.6c = (10 − 2 ×100) ≈ 12.5 s c 0.6c 2 1− ( ) c
∆x′ = γ (∆x − u∆t ) = 1.25 × (100 − 0.6c ×10) = −2.25 ×109 m
在飞船中的观察者看来， 在飞船中的观察者看来，选手用12.5秒时间反向跑 了2.25×109米。
u ∆x ′ = γ (∆x − u∆t ) ∆t ′ = γ ∆t − 2 ∆x c 由题意： 由题意：∆ x = 1000 m , ∆ t = 0 , ∆ x ′ = 2000 m
′ x ∆ 可得： 可得： γ = ∆x = 1 1 − (u c ) 2 =2 得 u =
u ∆t = γ (∆t′ + 2 ∆x′) c
u ∆t′ = γ (∆t − 2 ∆x) c
六、长度收缩效应
L = γ L0
−1
原长： 原长：相对于被测物体静止的参考系测得的长度 相对于被测物体静止的参考系测得的长度。 的参考系测得的长度。 非原长： 非原长：相对于被测物体运动的参考系测得的长度 相对于被测物体运动的参考系测得的长度。 的参考系测得的长度。 注意事项: 1.长度收缩效应 应用的前提条件 : 应用的 t1 = t2;即:非原长两端同时测量 即:∆t=0 2.不符合此前提使用以下公式求空间间隔:
z′ = z t ′ = γ ( t − ux / c 2 )
注意： 注意：
x ′ = γ ( x − ut ) y′ = y
2 ′ ′ t = γ (t + u x / c )
1− u c
2 2

相对论习题课

相对论习题课
狭义相对论
一、绝对时空观： 空间间隔和时间间隔是绝对的
二、狭义相对论的两个基本假设：
1、爱因斯坦相对性原理： x ut x' 2 2 1 u / c 坐 y' y 标 变 z' z 2 换 t ux / c t ' 2 2 1 u / c 2、光速不变原理： vx u ' v x 1 uv / c 2 x 速 2 2 v 1 u / c y ' 度 v y 2 1 uv / c x 变 换 ' vz 1 u2 / c 2 v z 2 1 uv / c x
t1 0 t2
可知乙所测得的这两个事件的空间间隔是
x 2 x1
x 2 x1 v t 2 t1
1 2
5.20 104 m
y′ 例题9 在S′系中有一根米尺与o'x'轴 u 成30°角，且位于x'o'y′平面内，若要 使这一米尺与S系中的ox 轴成45°角， ①试问S′系应以多大的速率 u 沿 x 轴 x′ 30° 方向相对S系运动？②在S系中测得米 o o′ x 尺的长度是多少？ z′ z 解；设在S系和S′系中米尺的长度分别为l, l′,且 l′= 1m
M M0
而
M0
2m 0 1 2
这表明复合粒子的静止质量M0大于2m0，两者的差值
2m 2E 0 K M－ 2m － 2m 0 0 0 2 2 c 1
式中Ek为两粒子碰撞前的动能。由此可见，与动能相应 的这部分质量转化为静止质量，从而使碰撞后复合粒子 的静止质量增大了。
例题10 设有两个静止质量都是m0 的粒子，以大小相同、 方向相反的速度相撞，反应合成一个复合粒子。试求这个复 合粒子的静止质量和速度。 解 设两个粒子的速率都是v，由动量守恒和能量守恒定律得

相对论习题课

相对论习题课

3. 时间延缓 (运动的时钟变慢)
t2 t1
4. 长度收缩 （运动的尺收缩）
0
u2 1 2 c
u2 L L0 1 2 c
狭义相对论动力学
动量 能量 质能关系 1. 动量： P mv
m0 v 1 2 c
2
v
m
m0 v2 1 2 c
2. 能量： 静能: 总能：
y
y
S
x S x
u
山洞长
lB lA 5 2 Δ t 10 s 山洞长 l 1 l 0.8km B 0 u l l 6 B A (2) S系： t 1.1110 s u
u
(3) S lA 系： lB
列车的长度比山洞长，整个列车不可 能有全在山洞内的时刻
l0 1.0km S系：列车长 l A
l A lB Δt 105 s 0.6c
lB 1.0 km山洞比车短， 火车可被闪电 击中否？
u
同时闪电时，车 正好在山洞里
车头到洞口，出 现第一个闪电
u
车尾到洞口， 出现第二个闪 电
u
闪电不同 时
例. 静止的 子的寿命约为０=210-6s。今在8km的高空，由于 介子的衰变产生一个速度为 u=0.998c 的 子，试论证此 子有无 可能到达地面。 L ' u 0
结果表明，光好像是被运动介质所拖动。但又不是完全的拖动， 只是运动介质速度的一部分， f=1-1/n2 加到了光速 v0=c/n 中。 1851年，菲佐从实验室中观测到了这个效应。然而，直到相对论 出现后，该效应才得到了满意的解释。
例：一山洞长1km，一列火车静止时长度也是1km。这列火车以 0.6c的速度穿过山洞时，在地面上测量，(1)列车从前端进入 山洞到尾端驶出山洞需要多长时间？ (2) 整个列车全在山洞 内的时间有多长？(3)如果在列车上测量呢？ 解： (1) S系： 列车长 l 1 2 l 0.8km

(14)相对论习题课

(14)相对论习题课

此时： x ′ ′ 0 = −64m A u (t A′ − tB′ ) − 2 ( x A′ − xB′ ) c = 60 c t′ ′ = t′ ′ − t′ ′ = A A B 1 − u2 c2 x ′ ′ 0 + ( − u )t ′ ′ A A
可以打中
= −64m − 0.6c × 60 / c = −100m
1.以地球系为S系，飞船为S´系 ( u = 0.8c ) 解： 飞船S´系：Δt ′ = 30′ (固有时 ) 30′ 宇航站时钟读数： Δt ′ Δt = = 50′ = 地球S系： 2
μ2 1−
c
2
例8.飞船以u=0.8c在中午飞经地球，飞船与地球的时钟都指示 12:00 1、当飞船中时钟读数为12:30´,飞船飞经一个相对地球静止的行星 宇航站，求宇航站时钟读数？
相对论质量相对论动量0221mvpmvvc?220kemcmc?相对论动能相对论能量2emc222240epcmc相对论的动量能量关系式相对论的动量能量关系式动量守恒定律能量守恒定律内容提要例1
狭义相对论习题课
北京科技大学物理系 王云良 physicsustb@
内容提要
1.狭义相对论基本假设： 爱因斯坦相对性原理 2.洛仑兹变换： 光速不变原理
5 = 3
例3. 已知，π介子V=βc，衰变为两个光子，两个光 子的运动轨道与原方向成相等的角度θ， 证明：1.两个光子能量相等；2.cosθ=β 动量守恒、总能量守恒 证明：
ν1
M
衰变
m1
光子1
π介子
θ θ
ν2
m2
光子2
动量守恒：
{ 0 = m c ⋅ sinθ − m c ⋅ sinθ
1 2

相对论习题及答案解析

2 2 ⎧ ⎪ ∆x = 1 − (u / c ) ∆x ′ = l 0 1 − (u / c ) cos θ ′ ⎨ ⎪ ⎩∆y = ∆y ′ = l0 sin θ ′
在 K 系中细杆的长度为
l = ∆x 2 + ∆y 2 = l0 1 − (u / c ) cos 2 θ ′ + si n 2 θ ′ = l0 1 − (u cos θ ′ / c )
(A) α > 45° ； (B) α < 45° ； (C) α = 45° ； (D) 若 u 沿 X ′ 轴正向，则 α > 45° ；若 u 沿 X ′ 轴反向，则 α < 45° 。 答案：A 4.电子的动能为 0.25MeV ，则它增加的质量约为静止质量的？ (A) 0.1 倍 答案：D 5. E k 是粒子的动能， p 是它的动量，那么粒子的静能 m0 c 等于 (A) ( p c − E k ) / 2 Ek
13. 静止质量为 9.1 × 10 −31 kg 的电子具有 5 倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率。 [提示：电子的静能为 E0 = 0.511 MeV ] 解：由总能量公式
夹角 θ 。 解：光线的速度在 K ′ 系中两个速度坐标上的投影分别为
⎧V x′ = c cos θ ′ ⎨ ′ ⎩V y = c sin θ ′
由速度变换关系
Vx =
u + Vx′ ， Vx′ ⋅ u 1+ 2 c
V y′ 1 − Vy =
1+
u2 c2
u V x′ c2
则在 K 系中速度的两个投影分别为
7.论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他
惯性系中，这两个事件一定不同时发生 。 证明：令在某个惯性系中两事件满足

相对论习题(附答案)

1.狭义相对论的两个基本假设分别是——————————————和——————————————。

2.在S系中观察到两个事件同时发生在x轴上，其间距离是1m。

在S´系中观察这两个事件之间的距离是2m。

则在S´系中这两个事件的时间间隔是—————。

—————————3.宇宙飞船相对于地面以速度v做匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过Δt（飞船上的钟）时间后，被尾部的接受器收到，真空中光速用c表示，则飞船的固有长度为。

——————————————4.一宇航员要到离地球为5 光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为 3 光年，真空中光速用c表示，则他所乘的火箭相对地球的速度应是———。

———————————5.在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s，若相对甲做匀速直线运动的乙测得时间间隔为5s，真空中光速用c表示，则乙相对于甲的运。

动速度是———————————6.一宇宙飞船相对地球以0.8c（c表示真空中光速）的速度飞行。

一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为90m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为。

——————————————7.两个惯性系中的观察者O 和O´以0.6c（c为真空中光速）的相对速度互相接近，如果O测得两者的初距离是20m , 则O´测得两者经过时间间隔Δt´=后相遇。

——————————————8.π+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿命是 2.6×10-8s,如果它相对实验室以0.8c（c为真空中光速）的速度运动，那么实验室坐标。

系中测得的π+介子的寿命是——————————————9.c表示真空中光速，电子的静能m o c2 = 0.5 MeV，则根据相对论动力学，动。

能为1/4 Mev的电子，其运动速度约等于——————————————10.α粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的5倍时，其动能为静止能倍量的——————————————= 11. 在S系中观察到两个事件同时发生在x轴上，其间距是1000 m。

相对论习题课


解答提示
在 s` 系中米尺为原长，有
l′ y
θ`
3 0 l′ = 1 ⋅ cos 30 = x 2 1 0 l′ y = 1 ⋅ sin 30 = 2
0 ′ 1 − u2 c2 = 在 s 系中： l x = l cos 45 = l x
′ lx
1 ⋯ (2) 2 由（ 2），在 s 系测得米尺长度 l = 2 = 0.707(m) 2
y′
y
A
0
S′
� u
山洞长
x′ S x
l A + lB Δt = = 10 − 5 s 0.6 c
′ l′ A + lB Δt ′ = = 10−5 s u �
lB = 1.0 km
S ′系：列车长 l ′ A = l0 = 1.0km
山洞长 lB ′ = 1− β 2 l0 = 0.8km (2) S系：δ t = lB − lA = 1.11× 10−6 s u ′ < l′ (3) S ′系： l B A
例 . 设有一宇宙飞船 A 以速率 0.9 c 匀速向东飞行，另一宇宙飞船 B 0.9c 以速率 0.8 c 匀速向西飞行。试问，乘坐在宇宙飞船 B 上的宇航员所测 0.8c 得的宇宙飞船 A 的速率是多少？
设向东为 x 轴正方向，对地面参照系 s , A 的速度为
v x = 0.9c
对以 B 为参照系的 s ` ， A 的速度为
相对论
狭义相对论的两个基本假设
相对性原理: 物理定律在所有惯性系中都是相同的 , 不存在任何一个特殊的绝对的惯性系 . 光速不变原理: 在所有的惯性系中,光在真空中的速 率都相同.
狭义相对论的运动学（时空的变换）
一、绝对时空观 伽利略变换

大物上13相对论习题课共34页文档

25、学习是劳动，是充满思想的劳动，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
大物上13相对论习题课
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
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'
x
x ut 1 u 2 / c2
z z u t ' 2 x c 1 u 2 / c2
3
y y,
t
速度变换: 正变换
vx u v u 1 2 vx c
' x
逆变换
' vx u vx u ' 1 2 vx c
vy v 1 u 2 / c2 u 1 2 vx c
例3 . 在 S 参考系中有 x 轴上相隔为 Δx 处有两只同步的钟A 和 B，读数相同。在 S 系的 x 轴上也有一只同样的钟 A 。
S 系相对于 S系的运动速度为 v ，沿 x 轴方向，且当 A 与A 相遇时，刚好两钟的读数均为零。 (作业 3) 那么，当 A 钟与 B钟相遇时，求： (1) 此时，在 S 系中 A 钟和 B 钟的读数是多少？ (2) 此时，在 S 系中 A 钟的读数是多少？ S S v
' y
v 'y vy u ' 1 2 vx c
1 u 2 / c2
vz ' vz 1 u 2 / c2 u 1 2 vx c
vz' vz 1 u 2 / c2 u ' 1 2 vx c
4
3. 相对论运动学效应
(1) 同时性的相对性
u t 2 x c t t2 t1 0, (t 0) 2 2 1 u / c
2
E0 m0 c
Ek E E0 mc2 m0 c 2
E E0 Ek mc 2
(6) 能量—动量的关系
E 2 p 2c 2 m02c 4
6
三、解题思路和例题
相对论运动学问题:
1. 明确参考系S和S`以及它们的相对速度u的方向和大小
2. 将已知条件化为事件（即明确时间、空间坐标） 运用洛伦兹变换求解
设
A'
o
o
A
B
x
11
x x
例4 设想地球上有一观察者测得一艘宇宙以0.6c的速率
向东飞行， 5.0s 后该飞船将和一颗以 0.8c 的速率向西飞 行的彗星相碰撞。试问： 求：（1）飞船上看，彗星的速度多大？ （2）飞船上看，再经过多少时间相撞？ 0.6c 0.8c
飞船
慧星
12
例5： 请证明：一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。

h ˆ e c
p1
p2
例6：两个质量相同的质点进行相对论性碰撞。碰撞前，一个质点 具有能量E1，另一个质点是静止的；碰撞后两个质点具有相同 的能量E，并且具有数值相同的偏角θ。 （1）试用E10表示碰撞后每个质点的相对论动量； （2）试导出关系式 （书后题：7－19）
sin
2m0 c 2 E10 3m0 c 2
设： 事件1 事件2
S系 ( x1 , t1 )
( x2 , t2 )
S 系 , t1 ) (பைடு நூலகம்x1
, t2 ) ( x2
3. 用洛仑兹变换讨论。
相对论质点动力学问题:
选择相对论动力学效应的公式
7
注意
1.原时一定是在某坐标系中同一地点发生的两个事 件的时间间隔（用一只钟测的）；
2.原长一定是相对其静止的参照系中两点的空间间隔。
(2) 光速不变原理
2
2. 洛伦兹变换
y S O z z`
y`
S` u
P
坐标变换:
( x, y, z, t )
x (x`)
( x, y , z , t )
O`
正变换
逆变换
2 2
x
y' y
t
x ut 1 u / c
z z u t 2 x c 1 u 2 / c2
运动的时钟变慢
(2) 时间延缓
t2 t1
(3) 长度收缩
0
1 u 2 / c2
2 2
5
运动的尺收缩
L L0 1 u / c
4. 相对论质点动力学关系式
(1) 相对论质量 (2) 相对论动量 (3) 静能 (4) 相对论动能 (5) 相对论总能量
m
m0
1 v2 / c2 m0 v p mv 2 2 1 v / c
例7： 静止的正负电子对湮没时产生两个光子，若其中一个光子
再与一个静止电子相碰，求它能给予这个电子的最大速度。
（书后题：7－11）
15
例8：静止的子的寿命约为=210-6s。今在6km的高空，由于 介子的衰变产生一个速度为v=0.998c的子，试论证此子有无可
能到达地面。（书后题：7－13）
大学物理习题课
——狭义相对论
2014. 4. 14
1
狭义相对论
一、基本概念
1. 经典力学时空观 2. 狭义相对论时空观
z y S O z` y` S` O` u
P
( x, y, z, t )
x (x`)
( x, y , z , t )
二、基本规律
1. 狭义相对论的两个基本假设 (1) 相对性原理
3.运动物体的长度（同时测）和空间间隔（不一定同 8 时测）的区别。
例1. 飞船以0.6c 沿地面接收站与飞船连线方向向外飞 行，飞船上的光源以T0 = 4s 的周期向地球发光脉冲。 求：地面接收站接收到的脉冲周期。
u
接收站
9
例2：在惯性系S中的同一地点发生两个事件，事件B比事件A晚4 s 发生。在另一个惯性系S’中观察，事件B比事件A晚5s发生，问 这两个参考系的相对速度多大？在S’系中这两个事件发生的地点 相距多远？（设S’系以恒定速率u相对S系沿x轴运动。）