高一数学-苏教版高一数学幂函数3 精品

高中数学苏教版必修1第3章《3.3 幂函数》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
⑴知识与技能
1.通过实例,了解幂函数的概念,知道幂函数也是一类函数模型,了解幂函数与指数函数的区别;
2.通过几个常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的图象,观察、总结出幂函数的变化情况和性质,培养学生的抽象概括能力;
3.会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小。

⑵过程与方法
通过生活实例引出幂函数的概念,感受函数模型的拓广过程,同时要求学生利用多媒体加深对幂函数图像规律的理解并加以运用,从而感知传统教学与现代技术相结合的方法。

⑶情感态度与价值观
加强学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生的协作精神、创新能力和信息技术能力,激发学生的学习兴趣,感受逻辑思维的丰富内涵。

2学情分析
高一学生在理解函数知识的环节上相对比较薄弱,认知水平普遍不高。

前面学生已经掌握了指数函数和对数函数,初步完成了初高中函数知识的衔接,幂函数模型的提出,既是对前面知识的巩固,也是建构思想的新一轮挑战。

所以,结合本课的实际需要,要使学生在创设的问题情景中通过观察类比、思考探究、概括归纳和动手尝试相结合,理解幂函数的概念, 测重对图象的绘制及归纳,从而突显学生的主体地位,培养学生由具体到抽象,由特殊到一般的数学思维能力,形成实事求是的科学态度,增强锲而不舍的求学精神。

3重点难点
教学重点:常见幂函数的图像和性质。

3.3 幂函数要点精析1．幂函数的一般形式为y = xα，其中x 是自变量，α是常数，其定义域是使xα有意义的x值的集合．幂函数的定义域随幂指数的变化而变化，所以应根据各种幂指数的意义来确定幂函数的定义域．2．由幂函数定义可知，函数y = 2x2、y = x2－1等都不是幂函数．反比例函数y=kx(k≠0)，一次函数y = kx＋b (k≠0)，二次函数y = ax2＋bx＋c (a≠0)中，分别当k = 1，k = 1且b = 0，a = 1且b = c = 0时，即y = x1-，y = x，y = x2是幂函数，当这些条件不具备时，它们均不符合幂函数的定义，但它们是由幂函数经过算术运算而得到的初等函数．3．幂函数与指数函数的主要区别是：幂函数是底数为变量，指数函数是指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．4．幂函数的图象和性质：幂函数的图象的位置和形状变化复杂，只要幂指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生和大的变化．⑴幂函数的图象都过点(1，1)，除原点外，任何幂函数的图象与坐标轴都不相交．当α= 1，3和－1时，幂函数y = xα的图象在第一或第三象限；当α= 2时，幂函数y = xα的图象在第一或第二象限；α=12时，幂函数y = xα的图象在第一象限．就是说，任何幂函数的图象一定经过第一象限且一定不经过第四象限．⑵当α= 1，2，3，12时，幂函数图象过原点，且在[0，＋∞)上是增函数，此性质还可以推广到当α＞0时也成立．⑶当α=－1时，幂函数图象不过原点，且在(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，函数y = x1-的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．(若再用描点法做出α=－2或α=－3等函数的图象，还可以得到α=－1时的幂函数图象的性质就是α＜0时的幂函数图象的基本性质)．⑷按照函数奇偶性定义，函数y = x、y = x3和y = x1-都是奇函数，函数y = x2是偶函数，由于函数y = x 12的定义域关于原点不对称，函数在其它象限无图象，只在第一象限有图象，所以函数y = x 12是非奇非偶函数．⑸任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．5．应用幂函数的单调性比较大小时，应将幂指数变为相同，且幂的底数为正数，分别比较，并且注意分别与0与1，与－1比较，从而确定大小关系．6．利用幂函数知识解题时，要注意数形结合，并且注意幂函数的图象在第一象限内凸凹情况需和直线y = x比较．作幂函数的图象关键是利用幂函数的有关特性先作出在第一象限内的图象，然后再根据定义域、值域以及奇偶性作出在其它象限内的图象(如果存在的话)．。

主动成长 夯基达标 1.若f （x ）＝（m 2－1）x 2＋（m －1）x ＋（n －2）为奇函数，则m 、n 的值为( )A ．m ＝1，n ＝2B ．m ＝－1，n ＝2C ．m ＝±1，n ＝2D ．m ＝±1，n ∈R思路解析：f （x ）为奇函数，则f （－x ）＝－f （x ），即无论x 取何值,（m 2－1）x 2-（m －1）x ＋n －2＝－［（m 2－1）x 2＋（m －1）x ＋（n －2）］都成立,即2（m 2－1）x 2＋2（n －2）＝0．∴⎩⎨⎧=-=-.02,012n m ∴⎩⎨⎧=±=.2,1n m 答案：C2.下列函数中是幂函数的是( )A.y =x xB.y =3x 21C.y =x 21+1D.y =x-2 思路解析：根据幂函数的基本形式为y =x n 易得到答案.答案：D3.幂函数y =x n (n ∈Q )的图象一定经过点( )A.(0,0)B.(1,1)C.(-1,-1)D.(0,1)思路解析：本题主要考查了幂函数的图象的性质.答案：B4.设f （x ）为偶函数，对于任意的x ∈(0,+∞)，都有f （2＋x ）＝－2f （2－x ），已知f （－1）＝4，那么f （－3）等于 …( )A.2B.-2C.8D.-8思路解析：∵f （x ）为偶函数，∴f （－1）＝f （1）＝4．∴令x ＝1，得f （3）＝－2f （1）＝－2×4＝－8．答案：D5.幂函数f (x )的图象过点(2，516)，则函数的解析式是( )A.f (x -2)=(x -2)45B.f (x -2)=x 45-2C.f (x -2)=x 54-2D.f (x -2)=(x -2)54思路解析：可以先求f (x )的表达式，然后再去求f (x -2)的表达式. 设f (x )=x a ,则516=2a,∴254=2a . ∴a =54.∴f (x )=x 54.因此f (x -2)=(x -2)54. 答案：D 6.比较(54)21和(109)31两个数的大小. 思路解析：使用幂函数的图象以及性质.∵54<109,21>0, ∴根据幂函数的单调性，有(54)21<(109)21. 又0<109<1, 21>31, ∴根据指数函数的单调性，有(109)21<(109)31. ∴综上可知(54)21<(109)31. 解：(54)21<(109)31. 7.已知函数f (x )=(a -1)x a 2+a -1，那么当a ＝ 时，f （x ）为正比例函数，当a ＝ 时，f （x ）为反比例函数；当a ＝ 时，f （x ）为二次函数；当a ＝ 时，f （x ）为幂函数．思路解析：（1）当⎩⎨⎧=-+≠-11,012a a a 即a ＝－2时，f （x ）为正比例函数； （2）当⎩⎨⎧-=-+≠-11,012a a a 即a ＝0或a ＝－1时，f （x ）为反比例函数；（3）当⎩⎨⎧≠-=-+,01,212a a a 即a =2131±-时，f （x ）为二次函数； （4）当a －1＝1，即a ＝2时，f （x ）是幂函数．答案：－2 0或－12131±- 2 8.函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，函数g （x ）＝x 2＋（c －2）x ＋5是偶函数，则b ＋c＝ ．思路解析：∵f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，∴b ＝0．∵g （x ）＝x 2＋（c －2）x ＋5是偶函数，∴c －2＝0，即c ＝2．∴b ＋c ＝0＋2＝2．答案：29.证明函数y =x 21-1在［0,+∞)上是增函数.证明：任取x 1,x 2∈［0,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=(1x -1)-(2x -1)=1x -2x =2121x x x x +-. 因为x 1,x 2∈［0,+∞)且x 1<x 2,所以x 1-x 2<0，1x +2x >0.所以f (x 1)-f (x 2)<0.所以f (x )在［0,+∞)上是增函数.10.某公司产值最初为m 万元，以后连续三年持续增长，这三年的增长率分别为a ,b ,c ,求这三年的平均增长率.思路解析：第一年的产值为m (1+a ),第二年的产值为m (1+a )(1+b ),第三年的产值为m (1+a )(1+b )(1+c ),如果设平均增长率为x ,则第三年的产值也为m (1+x )3.解：设这三年的平均增长率为x ,依题意，得m (1+x )3=m (1+a )(1+b )(1+c ).解得x =()()()11113-+++c b a .答：这三年的平均增长率为x =()()()11113-+++c b a .11.已知幂函数f (x )=x m 2-2m -3(m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数.求函数f (x )的解析式.思路解析：因为f (x )是偶函数，故m 2-2m -3是偶数.又f (x )在区间(0,+∞)上是减函数，故m 2-2m -3<0,可解得-1<m <3,而m ∈Z.则只有m =1.所以有f (x )=x -4.解：f (x )=x -4.走近高考12.已知x ∈N *,f (x )=()⎩⎨⎧〈+≥-.3,2,3,352x x f x x 其值域设为D ，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，则其中属于集合D 的元素是 .（写出所有可能的数值）思路分析：代入解方程可得.答案：-26,14,6513.函数f (x )=(m 2-m -1)x m 2+m -3是幂函数，且当x ∈（0，＋∞）时，f （x ）是增函数，求f （x ）的解析式．解：根据幂函数定义，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1．当m ＝2时，f （x ）＝x 3在（0，＋∞）上是增函数；当m ＝－1时，f （x ）＝x －3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求．故f （x ）＝x 3．14.设f (x )=cbx ax ++12（a 、b 、c 为自然数）为奇函数，且f （1）＝2，f （2）＜3，求a 、b 、c 的值．解法一：∵f （x ）为奇函数，∴f （x ）＋f （－x ）＝0．∴(ax 2+1)(c bx +1+bx c -1)=0． ∴(ax 2+1)·()()bx c c bx c -+2=0对一切定义域内的x 成立． ∴f (x )=c bx ax ++12∵f （1）＝2，∴ba 1+=2． 又∵f （2）＜3，∴b a 214+<3． 消去a ，得b <23． 又∵b ∈N *，∴b ＝1，从而a ＝1．∴a ＝b ＝1，c ＝0．解法二：设g （x ）＝a x 2＋1，φ（x ）＝bx ＋c ．∴g （－x ）＝a （－x ）2＋1＝ax 2＋1＝g （x ）．∴g （x ）为偶函数．由f (x )=()()x x g ϕ，得φ(x )=()()x f x g ． ∵f （x ）是奇函数，g （x ）为偶函数， ∴φ(-x )=()()x f x g --=()()x f x g -=-()()x f x g =-φ(x )． 因此φ（x ）一定是奇函数．由φ（－x ）＝－φ（x ），得c ＝0．由f (1)=2由①得a ＝2b －1，代入②解得b <23． 又b ∈Z +，故b ＝1，从而a ＝1． 综上，a ＝b ＝1，c ＝0．15.已知幂函数f (x )=(t 3-t +1)x51(7+3t -2t 2),t ∈Z 是偶函数且在(0,+∞)上为增函数，求实数t 的值和函数f (x )的解析式. 思路解析：关于幂函数y =x n (n ∈Q ,n ≠0)的奇偶性问题，设n=q p (|p |,|q|互质),当q 为偶数时，p 必为奇数.y =x q p是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y =x q p 的奇偶性与p 的奇偶性对应.解：∵f (x )是幂函数,∴t 3-t +1=1.∴t =-1,1或0.当t =0时,f (x )=x 57是奇函数.当t =-1时,f (x )=x 52是偶函数.当t =1时,f (x )=x 58是偶函数.且52，58都大于0，在(0,+∞)为增函数. 故t =1，且f (x )=x 58或t =-1且f (x )=x 52.。

考察以下几个函数： y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x .问题1：这几个函数是指数函数吗？ 提示：不是指数函数． 问题2：它们有什么共同特征？提示：幂的底数是自变量，指数是常数． 问题3：你能举出一个这样的函数的实际例子吗？提示：正方体的棱长为x ，它的体积关于x 的函数关系式是V ＝x 3.幂函数的概念：一般地，我们把形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝x －2的图象如图所示．问题1：它们的图象都过同一个定点吗？ 提示：是的．都过定点(1,1)．问题2：这六个函数的图象哪些关于原点对称，哪些关于y 轴对称？ 提示：y ＝x ，y ＝x 3，y ＝x－1关于原点对称，而y ＝x 2，y ＝x－2关于y 轴对称．问题3：通过观察这六个函数的图象，在第一象限内，哪些是增函数，哪些是减函数？ 提示：在第一象限内，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y＝x12是增函数，y ＝x －1，y ＝x －2是减函数．问题4：这几个函数在第四象限有图象吗？ 提示：没有．幂函数y ＝x ，y ＝x2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1，y ＝x －2的性质：函数 特征 性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1y ＝x －2定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} (0，＋∞)奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇偶单调性增x ∈[0，＋∞)增， x ∈(－∞，0] 减增增x ∈(－∞，0) 减，x ∈(0，＋∞) 减x ∈(0，＋∞) 减，x ∈(－∞，0) 增 公共点(0,0)，(1,1)(1,1)1．幂函数y ＝x α的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x中，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大到小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．[例1] 已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数？[思路点拨] 根据各相应函数的定义，列出系数、指数满足的方程或不等式求解． [精解详析] ①∵f (x )是幂函数， 故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1.②若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1， 解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.③若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1， 解得m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.④若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，得m ＝－1. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.[一点通] 将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：①正比例函数y ＝kx (k ≠0)；②反比例函数y ＝kx (k ≠0)；③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；④幂函数y ＝x α(α∈R )，转化为系数和指数的取值问题．1．下列函数中是幂函数的为________．①y ＝1x 2；②y ＝－3x 3；③y ＝x 13＋x 2；④y ＝x π；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝2x 2＋1；⑦y ＝4.解析：具备形式y ＝x α的函数是幂函数，所以①y ＝1x 2＝x －2，④y ＝x π是幂函数，其他都不是幂函数．★答案★：①④2．若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________． 解析：因为函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数， 所以2m ＋3＝1，即m ＝－1. ★答案★：－1[例2] 讨论函数f (x )＝x －23的定义域、值域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象求出函数的单调区间．[思路点拨] 首先将幂函数化成根式的形式，再讨论定义域、值域、奇偶性，作图象． [精解详析] ∵y ＝x －23＝13x 2，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 令f (x )＝13x 2，∵f (－x )＝13(－x )2＝13x 2＝f (x )．∴y ＝x －23是偶函数．其图象如图所示．由图可知，函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．[一点通] 幂函数y ＝x α的图象和性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过(0,0)和(1,1)，在第一象限图象上升是增函数；α<0时，图象过(1,1)，不过(0,0)，在第一象限图象下降是减函数，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸，0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．3．下列命题正确的个数是________． ①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线 ②幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大 ④幂函数的图象不可能在第四象限⑤图象不经过点(－1,1)的幂函数一定不是偶函数 解析：序号 结论 原因① 错误 直线上不含(0,1)点② 错误 如y ＝1x 在x ＝0处没意义，不过(0,0)③ 错误 如y ＝1x 在(0，＋∞)上随x 增大而减小④ 正确 在x >0时，x α>0⑤正确点(－1,1)与点(1,1)关于y 轴对称★答案★：4．如图，曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1,1，12，2四个值，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的α依次为________．解析：作直线x ＝x 0(x 0>1)与四条曲线相交，有x －10<x 012<x 0<x 20，由图可知图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的α分别是2,1，12，－1.★答案★：2,1，12，－15．若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(2，12)在幂函数g (x )的图象上，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，求函数h (x )的最大值以及单调区间． 解：设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)α＝2，解得α＝2，所以f (x )＝x 2.又设g (x )＝x β，由点(2，12)在幂函数g (x )的图象上，所以2β＝12，解得β＝－1，所以g (x )＝x －1.在同一坐标系中画出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x－1的图象，由题意及图可知h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0或x >1，x 2，0<x ≤1， 根据函数h (x )的解析式及图象可知函数h (x )的最大值为1， 所以h (x )的单调增区间是(0,1]，单调减区间是(－∞，0)和(1，＋∞).[例3] 比较下列各组数中两个值的大小： (1)(23)13与(34)13；(2)(－23)－2与(－34)－2； (3)(a ＋1)3与a 3；(4)31.4与51.5.[思路点拨] 分别构造出相对应的幂函数，然后再利用函数的单调性比较值的大小． [精解详析] (1)函数y ＝x 13在R 上为增函数， ∵23<34，∴(23)13<(34)13. (2)函数y ＝x－2在(－∞，0)为增函数，∵－23>－34，∴(－23)－2>(－34)－2.(3)函数y ＝x 3在R 上为增函数，∵a ＋1>a ，∴(a ＋1)3>a 3.(4)函数y ＝3x 与y ＝x 1.5在(0，＋∞)上均为增函数， ∵1.4<1.5,3<5，∴31.4<31.5,31.5<51.5， ∴31.4<51.5.[一点通] 比较幂式的大小时，首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同．若指数相同，底数不同，则考查幂函数；若底数相同，指数不同，则考查指数函数；若底数和指数均不同，要引进中间量，综合考查指数函数和幂函数．6．已知(3－2a )13<(2＋a )13，则a 的取值范围是________． 解析：∵幂函数f (x )＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴3－2a <2＋a . 解得a >13.∴a 的取值范围是(13，＋∞)．★答案★：(13，＋∞)7．比较下面各组数的大小： (1)(78)78，(87)78； (2)(－2.1)37，(－2.2)37； (3)(－π)23-，(－23)23-.解：(1)∵78>0，y ＝x 78在[0，＋∞)上是单调增函数，且78<87，∴(78)78<(87)78.(2)∵(－2.1)37＝－2.137，(－2.2)37＝－2.237， 经比较知2.137<2.237，∴(－2.1)37>(－2.2)37. (3)∵(－π)23-＝π23-，(－23)23-＝(23)23-，经比较知π23->(23)23-，∴(－π)23->(－23)23-.简单的幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1，幂函数过定点(1,1)．(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．一、填空题1．已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，则其表达式为f (x )＝________．解析：设f (x )＝x a ，图象过点(2，2)，即2＝2a，则a ＝12，故f (x )＝x 12.★答案★：x 122．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上是单调增函数的α的值的个数为________．解析：∵f (x )＝x α为奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，∴α＝13，1,3.共3个．★答案★：33．函数y ＝x 13的图象是________．解析：当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x .故图象是②. ★答案★：②4．幂函数f (x )的图象过点(2，m )且f (m )＝16，则实数m 的值为________．解析：设幂函数f (x )＝x a ，由图象过点(2，m )，得f (2)＝2a ＝m ，所以f (m )＝m a ＝2a 2＝16，解得a ＝－2或2，所以m ＝22＝4或m ＝2－2＝14.★答案★：4或145．已知x 2>x 13，则x 的取值范围是________． 解析：作出函数y ＝x 2和y ＝x 13的图象(如图所示)． 由图象易知x <0或x >1.★答案★：(－∞，0)∪(1，＋∞)6．给出幂函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x ；⑤f (x )＝1x .其中满足条件f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2(x 1>x 2>0)的函数序号是________．(填入所有正确的序号)解析：结合图象可知满足条件的函数图象在第一象限向下凸起，②③⑤都是向下凸起，①没有凸起，④向上凸起，故满足条件的只有②③⑤.★答案★：②③⑤ 二、解答题7．比较下列各组数的大小． (1)312和3.112；(2)－8－1和－9－1；(3)(12)23，(15)23和(12)13. 解：(1)构造函数f (x )＝x 12，此函数在[0，＋∞)上是增函数，∵3<3.1， ∴312<3.112.(2)构造f (x )＝x －1，此函数在(0，＋∞)上是减函数， ∵8<9，∴8－1>9－1， ∴－8－1<－9－1.(3)构造函数y ＝x 23，此函数在[0，＋∞)上是增函数， 则(12)23>(15)23. 构造函数y ＝(12)x ，此函数在R 上是减函数，则(12)23<(12)13， 故(15)23<(12)23<(12)13. 8.点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )?解：设f (x )＝x α，则由题意得2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2. 再设g (x )＝x β， 则由题意得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2，在同一坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：①当x >1或x <－1 时，f (x )>g (x )； ②当x ＝±1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．9．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1,2.∵函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，∴m ＝1. ∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13.∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减．∴a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32).。

一、填空题1. 已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(4，2)，则k＋α＝__________．【★答案★】【解析】由幂函数的定义知k＝1.又f(4)＝2，所以4α＝2，解得α＝，从而k＋α＝.2. 已知二次函数f(x)＝2x2－mx＋3.若f(－4)＝f(0)，则f(1)的值为________．【★答案★】13【解析】∵ f(－4)＝f(0)，∴ f(x)图象的对称轴为直线x＝－2，∴＝－2，∴ m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴ f(1)＝2＋8＋3＝13.3. 设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)的值为________．【★答案★】112【解析】令f(x)≤0，得3≤x≤20.∴当3≤x≤20时，g(x)＝f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(3)＝g(4)＝g(5)＝g(6)＝0.∴ g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)＝g(1)＋g(2)＝2f(1)＋2f(2)＝112.4. 若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式是f(x)＝________．【★答案★】－2x2＋4【解析】f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2，由已知条件ab＋2a＝0.又f(x)的值域为(－∞，4]，则因此f(x)＝－2x2＋4.点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.5. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是__________．【★答案★】y＝－x2＋2x＋8【解析】设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴方程为x＝1，当x＝1时，y max＝－9a＝9，∴ a＝－1，∴ y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.6. 设α∈，则使幂函数f(x)＝xα的图象分布在一、三象限，且在(0，＋∞)上为减函数的α取值个数为__________个．【★答案★】1【解析】只有α＝－1适合题意．7. 若图象过点(1，0)的二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为0，＋∞)，则a＝__________．【★答案★】2【解析】由题意抛物线的对称轴方程是x＝1，所以a＝2.8. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．【★答案★】(2－，2＋)【解析】易知f(a)＝e a－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋.9. 设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，则下列命题中是真命题的有________．(填序号)①当b>0时，函数f(x)在R上是单调增函数；②当b<0时，函数f(x)在R上有最小值；③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0可能有三个实数根．【★答案★】①③④【解析】由于函数的单调性与常数项无关，所以可取c＝0，此时f(x)＝|x|x＋bx(b>0)是奇函数，且在0，＋∞)上显然是增函数，即知①正确；取b<0，c＝0，结合图象即知②错误，④正确；由于y＝|x|x＋bx是奇函数，其图象关于原点(0，0)对称，所以f(x) 的图象关于点(0，c)对称，所以③正确．10. 已知函数f(x)＝是偶函数，直线y＝t与函数y＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D.若AB＝BC，则实数t的值为____________．【★答案★】－学￥科￥网...二、解答题11. 已知函数f(x)＝x2＋a，x∈R.(1) 对任意x1，x2∈R，比较f(x1)＋f(x2)]与f的大小；(2) 若x∈－1，1]时，有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围．【★答案★】（1）见解析（2）－1≤a≤0.【解析】试题分析：（1）作差后配方，根据平方数非负得证（2）根据绝对值定义将不等式转化为对应函数最值：，求对应函数最值可得实数a的取值范围．试题解析：解：(1) ∵ 对任意x1，x2∈R， f(x1)＋f(x2)]－f＝(x1－x2)2≥0，∴f(x1)＋f(x2)]≥f.(2) 由|f(x)|≤1，得－1≤f(x)≤1，即－1≤x2＋a≤1，得解得－1≤a≤0.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.12. 已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)x m＋1为幂函数，且为奇函数．(1) 求m的值；(2) 求函数g(x)＝h(x)＋在x∈上的值域．【★答案★】（1）0（2）试题解析：解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，∴m2－5m＋1＝1，.解得m＝0或5又h(x)为奇函数，∴m＝0(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，令＝t，则x＝－t2＋，t∈0,1]，∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.13. 已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，且f(2)＝15.(1)求函数f(x)的解析式；(2) 令g(x)＝(2－2m)x－f(x)．①若函数g(x)在x∈0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g(x)在x∈0，2]上的最小值．【★答案★】（1）f(x)＝－x2＋2x＋15.（2）①m≤0或m≥2.②见解析【解析】试题分析：（1）设二次函数一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入条件化简，根据恒等条件得2a＝－2，a＋b＝1，解得a＝－1，b＝2.再根据f(2)＝15，求c（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法.试题解析：解：(1) 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝－2x＋1，∴ 2a＝－2，a＋b＝1，∴ a＝－1，b＝2.又f(2)＝15，∴ c＝15.∴ f(x)＝－x2＋2x＋15.(2) ①∵ f(x)＝－x2＋2x＋15，∴ g(x)＝(2－2m)x－f(x)＝x2－2mx－15.又g(x)在x∈0，2]上是单调函数，∴对称轴x＝m在区间0，2]的左侧或右侧，∴ m≤0或m≥2.② g(x)＝x2－2mx－15，x∈0，2]，对称轴x＝m，当m＞2时，g(x)min＝g(2)＝4－4m－15＝－4m－11；当m＜0时，g(x)min＝g(0)＝－15；当0≤m≤2时，g(x)min＝g(m)＝m2－2m2－15＝－m2－15.综上所述，g(x)min＝点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.。

?幂函数?教学设计一、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学〔必修1〕第二章第四节的内容。

该教学内容在人教版试验修订本〔必修〕中已被删去。

标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。

故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。

?标准?将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。

其中，学生在初中已经学习了=、=2、=-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。

现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。

学生已经了解了函数的根本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了根本思路和方法。

因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。

该内容安排一课时。

二、教学目标鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标：⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。

⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。

⑶加深学生对研究函数性质的根本方法和流程的经验。

⑷培养学生观察、分析、归纳能力。

了解类比法在研究问题中的作用。

三、教学方法和教具的选择基于对课程理念的理解和对教材的分析，运用问题情境可以使学生较快的进入数学知识情景，使学生对数学知识结构作主动性的扩展，通过问题的导引，学生对数学问题探究，进行数学建构，并能运用数学知识解决问题，让学生有运用数学成功的体验。

本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上，引导学生提出问题、解决问题的教学方法，表达以学生为主体，教师主导作用的教学思想。

教具：多媒体。

制作多媒体课件以提高教学效率。

四、教学重点和难点重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用。

难点是引导学生概括出幂函数性质。

五、教学流程基于新课程理念在教学过程中的表达，教学流程的基线为：1考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和根本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的根本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开。