平面向量的概念及其线性运算

第1讲平面向量的概念及线性运算1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有□1方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的□2模.(2)零向量：长度为□30的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于□41个单位长度的向量.(4)平行向量：方向相同或□5相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线.(5)相等向量：长度相等且方向□6相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向□7相反的向量.2.平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算□8三角形法则□9平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝□10b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c＝□11a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差□12三角形法则a －b ＝□13a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a的方向□14相同；当λ＜0时，λa与a的方向□15相反；当λ＝0时，λa＝□160(1)结合律：λ(μa)＝□17λμa＝□18μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝□19λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝□20λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使□21b＝λa.共线向量定理中易忽视“a≠0”，若忽视“a≠0”，则λ可能不存在；也可能有无数个.常用结论1.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→).2.若G为△ABC的重心，则有(1)GA→＋GB→＋GC→＝0；(2)AG→＝13(AB→＋AC→).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.()(3)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2.回源教材(1)已知a，b是两个不共线向量，向量b－t a与12a－32b共线，则实数t ＝.解析：因为b－t a与12a－32b共线，所以存在λ∈R，使得b－t a＝λ(12a－32b)，t ，＝1，＝－23，＝13.答案：13(2)若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是.解析：因为AB→＝3a ，CD →＝－5a ，故AB →∥CD →，且|AB →|≠|CD →|.又|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABCD 是等腰梯形.答案：等腰梯形(3)在平行四边形ABCD 中，BC 的中点为M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AM→＝.解析：AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .答案：a ＋12b平面向量的概念例1(1)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC→相等的向量为()A.BA →B.CD →C.AD→ D.OD→解析：D A ，B 选项均与BC →方向不同，C 选项与BC →长度不相等，D 选项与BC →方向相同，长度相等.(2)(多选)下列命题中正确的是()A.向量AB→的长度与向量BA →的长度相等B.向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D.两个终点相同的向量，一定是共线向量解析：AC对于A ，向量AB →与向量BA →的长度相等，方向相反，故A 正确；对于B ，向量a 与b 平行，且a 或b 为零向量时，不满足条件，故B 错误；对于C ，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C 正确；对于D ，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D 错误.反思感悟平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.(4)a|a |是与a 同方向的单位向量.训练1(1)(2024·福州模拟)如图，在正△ABC 中，D ，E ，F 均为所在边的中点，则以下向量和FC→相等的是()A.EF →B.FB →C.DF→ D.ED→解析：D ∵EF→，FB →，DF →与FC →方向不同，∴EF →，FB →，DF →与FC →均不相等；∵ED→与FC →方向相同，长度相等，∴ED →＝FC →.(2)(多选)下列说法中正确的是()A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等C.若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，与方向无关D.若a 与b 是相反向量，则|a |＝|b |解析：CD 对于A ，单位向量方向不同时并不相等，A 错误；对于B ，0的相反向量为0，B 错误；对于C ，|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，与方向无关，C 正确；对于D ，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D 正确.平面向量的线性运算向量的线性运算例2(2024·德宏州质量监测)在△ABC 中，若AD 为BC 边上的中线，点E在AD 上，且AE ＝2ED ，则EB →＝()A.23AB →－13AC →B.23AC →－13AB →C.76AB →－56AC →D.76AC →－56AB →解析：A 如图所示.在△ABC 中，因为AD 为BC 边上的中线，所以D 为BC 的中点.由平行四边形法则，得AD→＝12(AB →＋AC →).又点E 在AD 上，且AE ＝2ED ，所以EA→＝－23AD →，所以EB→＝EA →＋AB →＝－23AD →＋AB →＝－23×12(AB →＋AC →)＋AB→＝－13AB →－13AC →＋AB→＝23AB →－13AC →.故选A.根据向量线性运算求参数例3(2024·江西重点中学协作体第一次联考)如图，在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，AC 与MD 相交于点P .若AP→＝xAB →＋yAD →，则x ＋y ＝()A.1B.43C.53D.2解析：B 因为在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，AC 与MD 相交于点P ，所以AD CM ＝AP PC ＝2，所以AP →＝23AC →＝23(AB →＋AD →).又AP →＝xAB →＋yAD →，所以x ＝y ＝23，x ＋y ＝43.故选B.反思感悟平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.训练2(1)(2024·茂名模拟)在△ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b .若点M 满足MC →＝2BM →，则AM →＝()A.13b ＋23c B.23b －13c C.53c －23b D.23b ＋13c 解析：A由题意可得AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →＝13b ＋23c .故选A.(2)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝33，∠ABC ＝30°，AD 为BC 边上的高.若AD →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ＝.解析：如图，∵AD 为BC 边上的高，∴AD ⊥BC .∵AB ＝2，∠ABC ＝30°，∴BD ＝3＝13BC ，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC→＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.又AD →＝λAB →＋μAC →，∴λ＝23，μ＝13，故λ－μ＝13.答案：13共线向量定理及应用例4(1)已知平面向量a ，b 不共线，AB→＝4a ＋6b ，BC →＝－a ＋3b ，CD →＝a ＋3b ，则()A.A ，B ，D 三点共线B.A ，B ，C 三点共线C.B ，C ，D 三点共线D.A ，C ，D 三点共线解析：D 对于A ，BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋3b ＋(a ＋3b )＝6b ，与AB →不共线，A 不正确；对于B ，AB→＝4a ＋6b ，BC →＝－a ＋3b ，则AB →与BC →不共线，B 不正确；对于C ，BC→＝－a ＋3b ，CD →＝a ＋3b ，则BC →与CD →不共线，C 不正确；对于D ，AC →＝AB →＋BC →＝4a ＋6b ＋(－a ＋3b )＝3a ＋9b ＝3CD →，即AC →∥CD →，又线段AC 与CD 有公共点C ，所以A ，C ，D 三点共线，D 正确.故选D.(2)(2024·枣庄期末)已知D 为线段AB 上的任意一点，O 为直线AB 外一点，A 关于点O 的对称点为C .若OD→＝xOB →＋yOC →，则x －y 的值为()A.－1B.0C.1D.2解析：C依题意可得A ，B ，D 三点共线，所以OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为A关于点O 的对称点为C ，所以OC→＝－OA →，又OD →＝xOB →＋yOC →，所以OD →＝xOB →－yOA →y ＝λ，＝1－λ，则x －y ＝1－λ＋λ＝1.故选C.反思感悟利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A ，B ，C 三点共线⇔AB→，AC →共线.(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.训练3(1)(多选)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a＋(2－m )b 共线，则实数m 的取值可以为()A.－1B.3C.4D.3解析：AD由a ，b 不共线易知a ＋(2－m )b 为非零向量，因为向量m a －3b与a ＋(2－m )b 共线，所以存在实数λ，使得m a －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，所以＝λ，3＝λ（2－m ），得m ＝－1或m ＝3.故选AD.(2)如图，在△ABC 中，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →(m ∈R )，则m 的值为()A.－34 B.－14C.14D.34解析：C由AD→＝2DB →，可得AB →＝32AD →，即AP→＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →.因为C ，P ，D 三点共线，所以m ＋34＝1，m ＝14.故选C.限时规范训练(三十五)A 级基础落实练1.化简2(a －3b )－3(a ＋b )的结果为()A.a ＋4b B.－a －9b C.2a ＋b D.a －3b解析：B2(a －3b )－3(a ＋b )＝2a －6b －3a －3b ＝－a －9b .2.(多选)下列命题中，正确的是()A.若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB.在△ABC 中，AB→＋BC →＋CA →＝0C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D.如果非零向量a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a ，b 之一的方向一定相同解析：BC对于A 选项，0平行于任何向量，若b ＝0，满足a ∥b ，b ∥c ，但不一定满足a ∥c ，故A 错误；对于B 选项，首尾顺次相接，正确；对于C 选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C 正确；对于D 选项，当a ＋b ＝0时，零向量的方向是任意的，故D 错误.3.(2024·枣庄调研)已知a ，b 是两个不共线的平面向量，向量AB →＝λa ＋b ，AC →＝a －μb (λ，μ∈R )，若AB→∥AC →，则有()A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1C.λμ＝－1 D.λμ＝1解析：C因为AB →∥AC →，所以存在实数k 使AB →＝kAC →.因为AB→＝λa ＋b ，AC →＝a －μb (λ，μ∈R )，所以λa＋b＝k(a－μb)，＝k，＝－kμ，所以λμ＝－1.故选C.4.设a＝(AB→＋CD→)＋(BC→＋DA→)，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A.a∥bB.a＋b＝aC.a＋b＝bD.|a＋b|＝|a|＋|b|解析：B由题意得，a＝(AB→＋CD→)＋(BC→＋DA→)＝AC→＋CA→＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由以上可知a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确.5.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，且FC→＝λFD→＋μFE→，则λ＋μ等于()A.1B.2C.3D.4解析：D∵FC→＝FO→＋OC→＝4FO→＝4×12(FD→＋FE→)＝2FD→＋2FE→，∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.6.在△ABC中，BD→＝13BC→，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→等于()A.23a＋13b B.13a＋23bC.13a－23b D.23a－13b解析：A 如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点E ，F ，则四边形AEDF 为平行四边形，所以AD →＝AE →＋AF →.因为BD →＝13BC →，所以AE→＝23AB →，AF →＝13AC →，所以AD →＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b .7.已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为.解析：由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b ＝k ，λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.答案：－128.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE→＝.解析：BE→＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .答案：b －12a9.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为.解析：OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形.答案：直角三角形10.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且BF →∥BD →，求实数k 的值.解：(1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，因为AB →＝2e 1－8e 2，所以AB →＝2BD →，又AB→与BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线.(2)由(1)知BD →＝e 1－4e 2，若BF →＝3e 1－k e 2，且BF →∥BD →，可设BF →＝λBD →(λ∈R )，所以3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，即(3－λ)e 1＝(k －4λ)e 2，又e 1，e 2是两个不共线的向量，－λ＝0，－4λ＝0，解得k＝12.11.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB→＝a，AC→＝b.(1)试用a，b表示BC→，AD→，BE→；(2)证明：B，E，F三点共线.解：(1)在△ABC中，因为AB→＝a，AC→＝b，所以BC→＝AC→－AB→＝b－a，AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋14BC→＝a＋14(b－a)＝34a＋14b，BE→＝BA→＋AE→＝－AB→＋13AC→＝－a＋13b.(2)证明：因为BE→＝－a＋13b，BF→＝BA→＋AF→＝－AB→＋23AD→＝－a＋23(34a＋14b)＝－12a＋16b＝12(－a＋13b)，所以BF→＝12BE→，即BF→与BE→共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线.B级能力提升练12.设P，Q为△ABC内的两点，且AP→＝25AB→＋15→，AQ→＝14AB→＋23AC→，则△ABP 的面积与△ABQ的面积之比为()A.45B.85C.43D.310解析：D 如图，设AM →＝25AB →，AN →＝15AC →，∴AP→＝25AB →＋15AC →＝AM →＋AN →，由平行四边形法则知NP ∥AB ，∴△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为15，同理，由AQ→＝14AB →＋23AC →，可得△ABQ 的面积与△ABC 的面积之比为23，∴△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为15∶23＝310.13.(2024·南昌联考)已知O 是△ABC 的外心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则∠ACB ＝()A.π2B.2π3C.π3D.π4解析：B 设AB 的中点为D ，如图所示.由OA →＋OB →＋CO →＝0，得OA→＋OB →＝OC →，则2OD→＝OC →，所以D 是OC 的中点.因为OA ＝OB ，AB 的中点为D ，所以AB ⊥OD ，因此有cos ∠AOD ＝cos ∠BOD ＝OD OA ＝12，则∠AOD ＝∠BOD ＝π3.因为OA ＝OB ＝OC ，所以△OAC ，△OBC 是等边三角形，所以∠ACB ＝∠ACO ＋∠BCO ＝π3＋π3＝2π3.故选B.14.经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，(m ＞0，n ＞0).(1)证明：1m ＋1n 为定值；(2)求m ＋n 的最小值.解：(1)证明：设OA→＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＝(13－m )a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，则n b －m a ＝λ(13－m )a ＋13λb ，m ＝λ（13－m ），＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.(2)由(1)知，1m ＋1n ＝3，于是m ＋n ＝13(1m ＋1n)(m ＋n )＝13(2＋nm＋mn)≥13(2＋2)＝43.当且仅当m＝n＝23时，m＋n取得最小值，最小值为43.。

平面向量的线性运算在数学中，平面向量是向量的一种，它在平面内具有长度和方向，可以用有向线段表示。

平面向量之间可以进行线性运算，包括加法和数乘。

本文将详细介绍平面向量的线性运算及其性质。

一、平面向量的定义平面向量是指具有大小和方向的向量，它们通常用加粗的小写字母表示，如a、a等。

平面向量可以用有向线段表示，线段的起点表示向量的起点，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个平面向量a和a，它们的加法定义为：a + a = a + a这意味着向量的加法满足交换律，顺序不影响结果。

加法的几何解释为将两个向量的起点相连，然后将它们的箭头相连，新向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。

三、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

设有一个平面向量a和一个实数a，它们的数乘定义为：aa = aa数乘有以下性质：1. 数乘满足结合律：(aa)a = a(aa)，其中a和a为实数。

2. 数乘满足分配律：(a + a)a = aa + aa，其中a和a为实数。

3. 数乘满足分配律：a(a + a) = aa + aa，其中a为实数，a和a为平面向量。

四、线性组合线性组合是指将一组向量与一组实数相乘并求和得到一个新的向量。

设有a个平面向量a₁、a₂、...、aa和a个实数a₁、a₂、...、aa，它们的线性组合定义为：a₁a₁ + a₂a₂ + ... + aaaa线性组合是向量加法和数乘的联合运算，这个概念在线性代数中具有重要的应用。

五、线性运算的性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即a + a = a + a。

2. 结合律：向量加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)，其中a、a和a为平面向量。

3. 分配律：向量加法和数乘满足分配律，即a(a + a) = aa + aa，(a + a)a = aa + aa，其中a、a为实数，a和a为平面向量。