2015年大连市高三双基测试理科数学答案

辽宁省大连市2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={2，3}，B={x|x2﹣4x+3=0}，则A∩B等于( )A．{2} B．{3} C．{1} D．{1，3}2．已知复数z的共轭复数为，若||=4，则z•=( )A．4 B．2 C．16 D．±23．对变量x、y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关4．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．A•A B．C•CC．C﹣﹣C•C D．A﹣﹣A•A5．在△ABC中，D为BC边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=( )A．（﹣2，﹣4）B．（0，﹣4）C．（2，4）D．（0，4）6．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为( )A．h=5.6+4.8sinθB．h=5.6+4.8cosθC．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）7．如图所示的流程图，最后输出n的值是( )A．3 B．4 C．5 D．68．设F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B两点（B点在第一象限，A点在第四象限），O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比为( )A．B．2 C．3 D．49．用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )A．6个B．7个C．10个D．无数个10．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．11．定义表示不超过X的最大整数．设n∈N*，且M=（n+1）2+n﹣2，则下列不等式恒成立的是( )A．M2≥2n+1B．当n≥2时，2M≥4n﹣2C．M2≥2n+1D．当n≥3时，2M≥2n+212．对∀x∈（0，），下列四个命题：①sinx+tanx＞2x；②sinx•tanx＞x2；③sinx+tanx ＞x；④sinx•tanx＞2x2，则正确命题的序号是( )A．①、②B．①、③C．③、④D．②、④二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点，则点P落在△AOB内的概率是__________．14．若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，则++…+的值为__________．15．设点P在曲线y=x2+1（x≥0）上，点Q在曲线y=（x≥1）上，则|PQ|的最小值为__________．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，P为双曲线C上异于顶点的一动点，直线PA1斜率为k1，直线PA2斜率为k2，且k1k2=1，又△PF1F2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为__________．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知两个数列{a n}，{b n}，其中{a n}是等比数列，且a2=，a5=﹣，b n=（1﹣a n）．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥+．18．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={2，3}，B={x|x2﹣4x+3=0}，则A∩B等于( )A．{2} B．{3} C．{1} D．{1，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中方程的解确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中方程变形得：（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x=1或x=3，即B={1，3}，∵A={2，3}，∴A∩B={3}，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z的共轭复数为，若||=4，则z•=( )A．4 B．2 C．16 D．±2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：先设出复数z=a+bi（a、b∈R），再求出共轭复数，由已知||=4，则z•的答案可求．解答：解：设则=a﹣bi，∵||=，∴z•=（a+bi）•（a﹣bi）=a2+b2=42=16．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及共轭复数的求法，是基础题．3．对变量x、y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关考点：散点图．专题：数形结合法．分析：通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．解答：解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选C点评：本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，是一个基础题，本题可以粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．4．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．A•A B．C•CC．C﹣﹣C•C D．A﹣﹣A•A考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：根据题意，分2步分析，先从4名男医生中选2人，再从3名女医生中选出1人，由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，先从4名男医生中选2人，有C42种选法，再从3名女医生中选出1人，有C31种选法，则不同的选法共有C42C31种；故选：B点评：本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同5．在△ABC中，D为BC边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=( ) A．（﹣2，﹣4）B．（0，﹣4）C．（2，4）D．（0，4）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的几何意义和向量的坐标运算计算即可解答：解：=﹣=﹣=（1，4）﹣（2，0）=（1，4）﹣（1，0）=（0，4），故选：D．点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．6．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为( )A．h=5.6+4.8sinθB．h=5.6+4.8cosθC．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：三角函数的求值．分析：本题需要过点O作平行与地面的直线l，过点B作l的垂线，根据三角函数来求解．解答：解：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P，则∠BOP=θ﹣，根据三角函数的定义得：BP=OBsin（θ﹣）=4.8sin（θ﹣）h=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin（θ﹣）故选：D点评：本题考查了在实际问题中建立三角函数模型的能力．7．如图所示的流程图，最后输出n的值是( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n的值，当n=5时，满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，n=2不满足条件2n＞n2，n=3不满足条件2n＞n2，n=4不满足条件2n＞n2，n=5满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的n的值是解题的关键，属于基础题．8．设F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B两点（B点在第一象限，A点在第四象限），O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比为( )A．B．2 C．3 D．4考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线AB的方程，代入抛物线方程，消去x，求得y1=﹣p，y2=p，运用两点的距离公式，计算即可得到结论．解答：解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），准线为x=﹣，设直线AB：y=（x﹣），联立抛物线方程，消去x，可得y2﹣2py﹣p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣p，y2=p，由M（﹣，y1），则|OM|===p，|OB|====p，即有|OB|=3|OM|．故选C．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程的运用，同时考查直线和抛物线联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．9．用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )A．6个B．7个C．10个D．无数个考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．解答：解：∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选；D点评：本题考查了常见的几何体的性质，关键是确定几何体的性质为中心对称，难度不大，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥，画出该三棱锥的直观图，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为1的正方体中一三棱锥P﹣ABC，如图所示；∴该三棱锥的体积为××12×1=．故选：A．点评：本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目．11．定义表示不超过X的最大整数．设n∈N*，且M=（n+1）2+n﹣2，则下列不等式恒成立的是( )A．M2≥2n+1B．当n≥2时，2M≥4n﹣2C．M2≥2n+1D．当n≥3时，2M≥2n+2考点：基本不等式．专题：不等式．分析：分析：首先理解所表示的含义，然后把]2（进行化简，得到M=n＞0，再分别判断各选项是否正确，问题得以解决．解答：解：∵则n是正整数，∴2=2=（n+1）2等式成立，∴M=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，对于选项A：M2=n2≥2n+1当n=1不成立，对于选项B：2M=2n≥4n﹣2，当n=3时，不成立对于选项C：M2=n2≥2n+1当n=1不成立，对于选项D：2M=2n≥2n+2，分别画出y=2x与y=2x+1的图象，如图所示，由图象可知，当n≥3时，2M≥2n+2恒成立，故选：D点评：本题主要考查取整函数的知识点，解答本题的关键之处是把]2进化简成（n+1）2，只要此步有思路了，本题就迎刃而解了．12．对∀x∈（0，），下列四个命题：①sinx+tanx＞2x；②sinx•tanx＞x2；③sinx+tanx ＞x；④sinx•tanx＞2x2，则正确命题的序号是( )A．①、②B．①、③C．③、④D．②、④考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：①令f（x）=sinx+tanx﹣2x，求得导数，判断单调性，即可判断；②令f（x）=sinxtanx﹣x2，求得导数，再令g（x）=sinx+﹣2x，求得导数，判断单调性，即可判断f（x）的单调性，进而得到结论；③令x=，求出不等式左右两边的数值，即可判断；④令x=，求出不等式左右两边的数值，即可判断．解答：解：①令f（x）=sinx+tanx﹣2x，求导f′（x）=cosx+sec2x﹣2=，∵x∈（0，），∴0＜cosx＜1，∴f′（x）＞0，即函数单调递增，又f（0）=0，∴f（x）＞0，∴sinx+tanx﹣2x＞0，即sinx+tanx＞2x，故①正确；②令f（x）=sinxtanx﹣x2，f′（x）=cosxtanx+sinxsec2x﹣2x=sinx+﹣2x，g（x）=sinx+﹣2x，g′（x）=cosx+﹣2=cosx+﹣2+，由0＜x＜，则cosx∈（0，1），cosx+＞2，则g′（x）＞0，g（x）在（0，）递增，即有g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，）递增，即有f（x）＞f（0）=0，故②正确；③令x=，则sinx+tanx=sin+tan=，x=，由＞，故③错误；④令x=，则sinxtanx=，2x2=，＜，故④错误．故选A．点评：此题考查了三角不等式的恒成立问题，主要考查三角函数的图象和性质，运用导数判断单调性，进而得到大小和特殊值法判断，是解题的关键．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点，则点P落在△AOB内的概率是．考点：几何概型；二次函数的性质．专题：概率与统计．分析：首先分别求出区域M和△AOB的面积，利用几何概型公式解答．解答：解：由已知区域M的面积为=，△AOB的面积为=，由几何概型可得点P落在△AOB内的概率是；故答案为：．点评：本题考查了定积分以及几何概型公式的运用；关键是分别求出两个区域的面积，利用定积分解答．14．若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，则++…+的值为﹣1．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：分别在已知的二项式中取x=0和，得到a0=1，，则答案可求．解答：由（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，取x=0，得a0=1，再取x=，得，∴．故答案为：﹣1．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是在已知的二项式中对x值的选取，是基础题．15．设点P在曲线y=x2+1（x≥0）上，点Q在曲线y=（x≥1）上，则|PQ|的最小值为．考点：两点间距离公式的应用；二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：曲线y=的图象在第一象限，要使曲线y=x2+1上的点与曲线y=上的点取得最小值，点P应在曲线y=x2+1的第一象限内的图象上，分析可知y=x2+1（x≥0）与y=互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以，求出y=上点Q到直线y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值．解答：解：由y=x2+1，得：x2=y﹣1，x=．所以，y=x2+1（x≥0）与y=互为反函数．它们的图象关于y=x对称．P在曲线y=x2+1上，点Q在曲线y=上，设P（x，1+x2），Q（x，）要使|PQ|的距离最小，则P应在y=x2+1（x≥0）上，又P，Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍．以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离d===．所以当=，即x=时，d取得最小值，则|PQ|的最小值等于2×=．故答案为：．点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把求两曲线上点的最小距离问题，转化为求一支曲线上的动点到定直线的最小距离问题，此题是中档题．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，P为双曲线C上异于顶点的一动点，直线PA1斜率为k1，直线PA2斜率为k2，且k1k2=1，又△PF1F2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为x2﹣y2=1．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF1|﹣|PF2|=（PB+BF1）﹣（PC+CF2），由此得到△PF1F2的内切圆的圆心横坐标．即为a=1，再由直线的斜率公式和点P满足双曲线方程，化简整理，即可得到b=1，进而得到双曲线方程．解答：解：设点P是双曲线右支上一点，∴按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，若设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），该点也是内切圆与横轴的切点．设B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．考虑到同一点向圆引的两条切线相等：则有：PF1﹣PF2=（PB+BF1）﹣（PC+CF2）=BF1﹣CF2=AF1﹣F2A=（c+x）﹣（c﹣x）=2x=2a，即x=a所以内切圆的圆心横坐标为a．由题意可得a=1，顶点A1（﹣1，0），A2（1，0），设P（m，n），则m2﹣=1，即n2=b2（m2﹣1），k1k2=1，可得•=1，即有=b2=1，即有双曲线的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知两个数列{a n}，{b n}，其中{a n}是等比数列，且a2=，a5=﹣，b n=（1﹣a n）．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥+．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a3=可得公比q，进而可得a n的表达式，计算可得结论；（Ⅱ）通过计算可得S n=+，对n分奇、偶数讨论即可．解答：（Ⅰ）解：∵a3==，∴q=﹣，∴a n=a2•q n﹣2=•=，∴b n=；（Ⅱ）证明：S n=b1+b2+…+b n=﹣=﹣•=+，当n为奇数时，S n=+（1+）＞+；当n为偶数时，S n=+（1﹣）≥+×=+；综上：S n≥+．点评：本题考查等比数列的性质，通项公式及求和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∠ADC=120°，∴，∴．在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=，∴，∴，∴MN∥PD．又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C，，P（0，0，4）．由（Ⅱ）可知，为平面PAC的法向量．，．设平面PBC的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，，则平面PBC的一个法向量为，设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则．所以二面角A﹣PC﹣B余弦值为．点评：熟练掌握正三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例在三角形中的逆定理应用、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角是解题的关键．20．如图，已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形F1BF2面积的最大值为（a＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）求三角形F1AB面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）确定c=，即可求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，求出三角形F1AB面积，分类讨论，即可求出最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意，椭圆的上顶点为（0，1），下顶点为（0，﹣1），当B与上（或下）顶点重合时，三角形F1BF2面积最大S==，∴c=，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）三角形F1AB面积S==c•AB•sinα（α为F2B与x轴正向所成的角）设F2（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣c），代入椭圆方程可得（1+a2k2）x2﹣2a2k2cx+a2k2c2﹣a2=0，∴x1+x2=，x1x2=∴AB=|x1﹣x2|=，∴S=c•AB•sinα=，a时，S≤=a；1＜a＜时，S≤=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查求最值，属于中档题．21．已知函数f（x）=e x﹣ax2+（a﹣e+1）x﹣1，（e=2.71828…是自然对数的底数，a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x•f′（x）在区间；（Ⅲ）假设函数f（x）在区间（0，1）上有零点；即存在x∈（0，1），使得e x﹣ax2+（a﹣e+1）x﹣1=0；即，记；①若h（x）＜1，∴，即：；由于x∈（0，1），有x2﹣x＜0；即证e x﹣x2+（2﹣e）x﹣1＞0在x∈（0，1）恒成立；令H（x）=e x﹣x2+（2﹣e）x﹣1，x∈（0，1）；H′（x）=e x﹣2x+2﹣e，H″=e x﹣2；当x∈（0，ln2），H″（x）＜0，当x∈（ln2，1），H″（x）＞0；∴当x∈（0，ln2），H′（x）单调递减，x∈（ln2，1），H′（x）单调递增；而H′（0）=1﹣0+2﹣e＞0，H′（1）=e﹣2+2﹣e=0，H′（ln2）=e ln2﹣2ln2+2﹣e=4﹣e﹣2ln2＜0；故在（0，ln2）上存在唯一的实数x0使得H′（x0）=0；所以，在（0，x0）上H（x）单调递增，在（x0，1）上H（x）单调递减；而H（0）=0，H（1）=0；故H（x）＞0在（0，1）成立；即成立；②若h（x）＞e﹣2；∴，即；由于x∈（0，1），有x2﹣x＜0；即证e x+（e﹣2）x2﹣x﹣1＜0在x∈（0，1）恒成立；令H（x）=e x﹣（e﹣2）x2﹣x﹣1，H′（x）=e x﹣2（e﹣2）x﹣1，H″（x）=e x﹣2（e﹣2）；当x∈（0，ln2（e﹣2）），H″（x）＜0，H′（x）单调递减；当x∈（ln2（e﹣2），1），H″（x）＞0，H′（x）单调递增；而H′（0）=0，H′（1）=3﹣e＞0；∴在（ln2（e﹣2），1）上存在唯一的实数x0使得H′（x0）=0；所以，在（0，x0）上H（x）单调递减，在（x0，1）上H（x）单调递增；又H（0）=0，H（1）=0；故H（x）＜0在（0，1）成立，即成立．由①②可得，a∈（e﹣2，1）时，h（x）存在零点．点评：考查根据函数导数符号求函数单调区间的方法，函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调性定义的运用，会正确求导，会求二阶导数并能运用二阶导数，函数零点的概念，以及掌握本题在证明函数存在零点时用到的方法．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．（1）求证：圆心O在直线AD上．（2）求证：点C是线段GD的中点．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：（1）根据题意，易得CD=BD，又由△ABC是等腰三角形，即AD是∠CAB的角分线，即可证明；（2）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，结合圆切线的性质，易得CG=CF=CD，即可证明．解答：证明：（1）∵AB=AC，AF=AE∴CD=BE又∵CF=CD，BD=BE∴CF=BD又∵△ABC是等腰三角形，∴AD是∠CAB的角分线∴圆心O在直线AD上．（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，∴∠HFD=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°又∵∠G+∠FHD=90°∴∠FDH=∠G∵⊙O与AC相切于点F∴∠AFH=∠GFC=∠FDH∴∠GFC=∠G∴CG=CF=CD∴点C是线段GD的中点．点评：本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度及圆周角定理求解．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1和C2的极坐标方程；（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将l1逆时针旋转得到l2：θ=α+，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）先将参数方程转化为普通方程，然后利用极坐标方程和普通方程之间的关系进行转化即可；（2）设极坐标方程，结合三角函数的最值性质进行求解即可．解答：解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，所以C1极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=4，所以C2极坐标方程为ρ=4sinθ（2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα，点Q极坐标为（ρ2，4sin（α+）），即ρ2=4sin（α+），则|OP||OQ|=ρ1ρ1=4cosα•4sin（α+）=16cosα（sinα+cosα）=8sin（2α+）+4∵α∈（0，），∴2α+∈（，），当2α+=，即α=时，|OP|•|OQ|取最大值，此时P极点坐标（2，）．点评：本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程的转化，将参数方程和极坐标方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．选修4-5：不等式选讲24．已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由条件利用绝对值三角不等式求得的最小值．（2）由条件利用绝对值三角不等式|2+x|+|2﹣x|≤4，再根据绝对值的意义可得|2+x|+|2﹣x|≥4，从而得到|2+x|+|2﹣x|=4，由此利用绝对值的意义求得x的范围．解答：解：（1）∵=||+||=|2+|+|2﹣|≥|（2+）+（2﹣）|=4，所以的最小值为4．（2）∵|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|，不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，∴4|a||≥|a|（|2+x|+|2﹣x|），即|2+x|+|2﹣x|≤4．而|2+x|+|2﹣x|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，它的最小值为4，故|2+x|+|2﹣x|=4，∴﹣2≤x≤2，即实数x的取值范围为：．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．。

2015年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(理科)试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ） A.{}0,3 B.{}2,0,3 C.{}1,0,3 D.{}2,1,0,3 2．若复数(21a -)＋(1a -)i (i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝ ( ) A ．±1 B ．－1 C ．0 D ．1 3．有下列关于三角函数的命题：1:,()2P x x k k ∀∈≠+∈R Z ππ，若tan 0x >，则sin 20x >；23:sin()2P y x π=-函数与函数cos y x =的图象相同；300:,2cos 3P x x ∃∈=R ；4:|cos |P y x =函数()x ∈R 的最小正周期为2π．其中的真命题是（ ）A ．1P ，4PB ．2P ，4PC ．2P ，3PD ．1P ，2P4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 65．已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.56π B.π C. 76π D. 2π(第4题图)6．某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：附：22112212211212()n n n n n K n n n n ++++-=，则下列结论正确的是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别无关”B ．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别无关”7.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k 的值为（ ） A. 1 B.－1 C. 2 D. --2 8. 已知菱形ABCD 的边长为3，060B?，沿对角线AD 折成一个四面体，使得平面ACD ^平面ABD ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）A. 15pB. 154pC. D. 6p9．定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ）A ．3(2)2(3)f f <B ．3(4)4(3)f f <C ．2(3)3(4)f f <D ．(2)2(1)f f <10. 已知12F F 、分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A.B.)+∞C. D. (2,)+∞11. 如图，长方形ABCD 的长2AD x =，宽(1)AB x x =≥，线段MN 的长度为1，端点N M ,在长方形ABCD 的四边上滑动，当N M ,沿长方形的四边滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围成的面积数值的差为y ，则函数()y f x =的图象大致为（ ）12.已知函数1ln 1)(-+=x xx f ,*)()(N k x k x g ∈=，若对任意的1c >,存在实数b a ,满足0a b <<c <，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

辽宁省大连市2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B = （ ） （A ） [1,0]- （B ） [1,0]- （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞+∞ （2）设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -- （D ）1i -+ （3）已知1,a b == ，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）（A ）6π （B ）4π （C ） 3π （D ）23π（4）已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为（ ）（A ）12（B ）1 （C （D ）2(5)已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数 2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是（ ） （A ）25 （B ）35 （C ）12（D ）310（6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤ （7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）（A ）323（B ）64 （C （D ）643（8）已知直线1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅MB MA ，则=m （ ）（A （B ）2 （C ）21（D ）0 （9）对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数，① 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（ ）（A ）2()f x x = （B ） ()21x f x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+（10）在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则当xy 取得最大值时，点P 的坐标是（ ）（A ）(4,2) （B ）(2,2) （C ）(2,6) （D ）5(,5)2（11) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数0)y x =≥的图象交于点P，若函数y =在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）（A ）12（B ）22（C）12（D ）32（12）若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是（ ）（A ）14（B ）1 （C ）2 （D ）12第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）（13）函数1sin 22y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________．（14）612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ． (15) 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f = ，则不等式(2)0f x -≥的解集是 ．（16）同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 ． 三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) （17）(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-(2)n ≥. (Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (Ⅱ) 证明：当2n ≥时，1231113 (2)32n S S S S n++++<.（18）(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点,E F分别为为AB和PD中点.(Ⅰ)求证：直线AF//平面PEC；(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.（19）(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望.（20） （本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为(0,1)，且离心率为2，.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆1C :22221(0)x y m n m n+=>>上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=； （Ⅲ）以圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为,A B ,当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.（21）（本小题满分12分）若定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-， 21()()(1)24x g x f x a x a =-+-+，（Ⅰ）求函数()f x 解析式；（Ⅱ）求函数()g x 单调区间；（Ⅲ）若x 、y 、m 满足||||-≤-x m y m ，则称x 比y 更接近m .当2a ≥且1x ≥时，试比较ex和1x e a -+哪个更接近ln x ，并说明理由。

一．单项选择题。

（本部分共5道选择题） 1．若x ＞0，则x ＋4x的最小值为( )．A ．2B ．3C ．2 2D ．4 解析 ∵x ＞0，∴x ＋4x≥4.答案 D2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2解析 ∵a·c ＝a·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝⎛⎭⎪⎫a·a a·b b ＝a·a －⎝⎛⎭⎪⎫a 2a·b a·b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0，c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D.答案 D3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( )．（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）A.1423B.2843C.2803D.1403答案 B二．填空题。

（本部分共2道填空题）1．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析 (数形结合法)A ＝(－∞，1]，B ＝[a ，＋∞)，要使A ∪B ＝R ，只需a ≤1.如图．答案 (－∞，1]2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________． 解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象 如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．答案 ①②④三．解答题。

2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ理科数学注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足1+z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+z=i,∴z=i−1=(i−1)(−i+1)=i,∴|z|=1.2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案:C解析:∵p:∃n∈N,n2>2n,∴p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A. −3,3B. −3,3C. −22,22D. −23,23答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又∵x022−y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-3<y0<3. 6.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 答案:B解析:设底面圆半径为R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=1×1·πR 2h=1×π× 16 2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( )A .AD =-1AB +4AC B .AD =1AB −4AC C .AD =43AB +13AC D .AD=43AB −13AC 答案:A解析:如图:∵AD =AB +BD,BC =3CD , ∴AD =AB +43BC =AB +43(AC −AB )=-13AB +43AC. 8.(2015课标全国Ⅰ,理8)函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A . kπ−1,kπ+3 ,k ∈Z B . 2kπ−1,2kπ+3 ,k ∈Z C . k −14,k +34 ,k ∈Z D . 2k −1,2k +3 ,k ∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2× 54−14=2,所以2πω=2,解得ω=π. 所以f (x )=cos(πx+φ).由图像可知,当x=12 14+54=34时,f (x )取得最小值,即f 3 =cos3π+φ =-1,解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z ),解得φ=2k π+π4(k ∈Z ).令k=0,得φ=π,所以f (x )=cos πx +π.令2k π≤πx+π≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z ).所以函数f (x )=cos πx +π4的单调递减区间为 2k−14,2k +34(k ∈Z ).结合选项知应选D .9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A .5B .6C .7D .8答案:C解析:∵S=1,n=0,m=1,t=0.01,∴S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01,∴S=14,m=18,n=2,S>0.01,∴S=1,m=1,n=3,S>0.01,∴S=1,m=1,n=4,S>0.01,∴S=132,m=164,n=5,S>0.01,∴S=1,m=1,n=6,S>0.01,∴S=1,m=1,n=7,S<0.01,∴n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60 答案:C解析:由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x 6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f (x )=e x (2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A. −32e ,1B. −32e,34C.32e ,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g −1.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D1,0.取点C −1,−3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=0−−3e=3,k PA=0−(−1)=1,所以32e ≤a<1.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,理13)若函数f(x)=x ln(x+ a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=ln a+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,∴a=1.14.(2015课标全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆x 2+y2=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案: x−32+y2=25解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a−0)2+(0−2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是 x−322+y2=254.15.(2015课标全国Ⅰ,理15)若x,y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为.答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使y最大,则y−0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yx max =3−01−0=3.16.(2015课标全国Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案:( 6− 2, 6+ 2) 解析:如图.作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE 中,由正弦定理得,EB= − 延长CD 交BA 的延长线于F ,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6+ 2, 所以AB 的取值范围为( 6− 2, 6+ 2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3.可得a n +12−a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1,即2(a n+1+a n )=a n +12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ). 由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. 6分(2)由a n =2n+1可知b n =1n n +1=1=11−1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12 13−15 + 15−17 +⋯+12n +1−12n +3=n . 12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(1)连结BD ,设BD ∩AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC ,可知AE=EC. 又AE ⊥EC ,所以EG= 3,且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中,可得BE= 2,故DF= 2. 在Rt △FDG 中,可得FG= 62.在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE= 2,DF= 22,可得EF=3 22. 从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG=G ,可得EG ⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC. 6分(2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A (0,- E (1,0, F −1,0,2,C (0, 3,0),所以AE =(1, 3, 2),CF= −1,− 3, 2 . 10分故cos <AE ,CF >=AE ·CF|AE ||CF|=- 33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 3.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =18∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i −u )(v i −v )∑i =1n(u i −u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i −w )(y i −y )∑i =18(w i −w )2=108.81.6=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理20)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N两点.(1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x 2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0. y=x 2在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0. 故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. 5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−bx 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a.当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意. 12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )=x 3+ax+1,g (x )=-ln x.(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x>0),讨论h (x )零点的个数. 解:(1)设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f'(x 0)=0,即 x 03+ax 0+1=0,3x 02+a =0.解得x 0=1,a=-3.因此,当a=-34时,x 轴为曲线y=f (x )的切线. 5分(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x<0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)无零点. 当x=1时,若a ≥-54,则f (1)=a+54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x=1是h (x )的零点;若a<-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x=1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x>0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a ≤-3或a ≥0,则f'(x )=3x 2+a 在(0,1)无零点,故f (x )在(0,1)单调.而f (0)=14,f (1)=a+54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3<a<0,则f (x )在 0, −3单调递减,在 −3,1 单调递增,故在(0,1)中,当x= −3时,f (x )取得最小值,最小值为f −a =2a −a +1. ①若f −a >0,即-3<a<0,f (x )在(0,1)无零点; ②若f −a =0,即a=-3,则f (x )在(0,1)有唯一零点;③若f −3 <0,即-3<a<-34,由于f (0)=14,f (1)=a+54,所以当-54<a<-34时,f (x )在(0,1)有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)有一个零点.10分综上,当a>-3或a<-5时,h (x )有一个零点;当a=-3或a=-5时,h (x )有两个零点;当-5<a<-3时,h (x )有三个零点. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=3CE,求∠ACB的大小.解:(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.5分(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=2.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=12−x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.5分(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|= 2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为1.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x2<x<2.5分(2)由题设可得,f(x)=x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a−13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为2(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10分。

2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣3x ﹣10＜0，x ∈N *}，B={2x ＜16}，则A ∩B=（）A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3}D ．{1}2．（5分）若i 为复数单位，复数z=在复平面内对应的点在直线x +2y +5=0上，则实数a 的值为（）A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．（5分）命题“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤54．（5分）已知函数f （x ）=，则f （f （9））的值为（）A ．﹣ B ．﹣9 9 C C ．D ．95．（5分）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz 平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）A ．B ．1 C ．2 D ．46．（5分）若双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=1相切，则双曲线的离心率为（）A ．2 B ．C ．D ．7．（5分）若实数x ，y 满足约束条件，则目标函数z=3x +y 的最大值为（）A ．6 B ．C ．D ．﹣18．（5分）（2x ﹣）n 的展开式的各个二项式系数之和为64，则在（2x ﹣）n的展开式中，常数项为（的展开式中，常数项为（ ）A．﹣120 B．120 120 C C．﹣60 D．609．（5分）若正整数N除以正整m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10=4（mod6）．如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定律”的某一环节，执行该框图，输入a=2，b=3，c=5，则输出的N=（）A．6 B．9 C．12 D．2110．（5分）已知过抛物线y 2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的方程为（的方程为（ ）A．x﹣2y﹣1=0 1=0 B B．2x﹣y﹣2=0 2=0 C C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y﹣=0 11．（5分）已知等差数列分）已知等差数列{{a n}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a1=3，S n为数列a n的前n项和，则a n•S n的最小值为（的最小值为（ ）A．0 B．﹣3 3 C C．﹣20 D．912．（5分）已知函数f（x）=x2e2x+m|x|e x+1（m∈R）有四个零点，则m的取值范围为（范围为（ ）A．（﹣∞，﹣e﹣）B．（﹣∞，e+）C．（﹣e﹣，﹣2）D．（﹣∞，﹣）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列分）等差数列{{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=．14．（5分）已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为．15．（5分）已知平面内三个单位向量，，，＜，＞=60°，若=m+n，则m+n的最大值是的最大值是 ．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的取值范围是 ．的对角线BD1的截面面积为S，则S的取值范围是三、解答题（本题共70分）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B ﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB．（1）求角C；（2）向量=（sinA，cosB），=（cosx，sinx），若函数f（x）=•的图象关于直线x=对称，求角A，B．18．（12分）为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：男生成绩：分数段[50，60]（60，70]（70，80]（80，90]（90，100]频数910215723女生成绩：（如图）（1）根据以上数据完成下列2×2列联表优秀非优秀合计男生a b女生c d合计根据此数据你认为能否有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关？参考公式：K 2=，（n=a+b+c+d）．P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 2.841 5.024 6.6357.87910.828（2）以样本中的频率作为概率，学校在全校成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市体育运动知识竞赛．（i）在其中2人为男生的条件下，求另1人为女生的概率；（ii）设3人中女生人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM 沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若=2，求二面角E﹣AM﹣D的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象与直线4x﹣3y﹣2=0相切，求a的值．21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M（m，0）（m＞）做斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P（，0），且•为定值．（1）求椭圆E的方程；求四边形ABCD面积的两点，求四边形（2）过点M且垂直于l的直线与椭圆E交于B，D两点，最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在极坐标系下，点P是曲线ρ=2（0＜θ＜π）上的动点，A（2，0），线段AP的中点为Q，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；处的切线斜率的取值范围是[[﹣，﹣]，求点M横（2）若轨迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是坐标的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+4|．（1）若y=f（2x+a）+f（2x﹣a）最小值为4，求a的值；（2）求不等式f（x）＞1﹣x的解集．2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣3x ﹣10＜0，x ∈N *}，B={2x＜16}，则A ∩B=（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{1，2，3，4} C ．{1，2，3} D ．{1}【解答】解：A={x |x 2﹣3x ﹣10＜0，x ∈N *}={x |﹣2＜x ＜5，x ∈N *}={1，2，3，4}，B={2x＜16}={x |x ＜4}， 则A ∩B={1，2，3}， 故选：C ．2．（5分）若i 为复数单位，复数z=在复平面内对应的点在直线x +2y +5=0上，则实数a 的值为（的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【解答】解：复数z===﹣i ﹣a 在复平面内对应的点（﹣a ，﹣1）在直线x +2y +5=0上， ∴﹣a ﹣2+5=0， 解得a=3． 故选：B ．3．（5分）命题“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5【解答】解：命题“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≤0”为真命题，可化为∀x ∈[1，2]，a ≥x 2，恒成立 即只需a ≥（x 2）max =4，即“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≤0”为真命题的充要条件为a ≥4， 而要找的一个充分不必要条件即为集合而要找的一个充分不必要条件即为集合{{a |a ≥4}的真子集，由选择项可知C 符合题意． 故选C4．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（9））的值为（）的值为（ ）A．﹣ B．﹣9 9 C C．D．9【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（9）=，f（f（9））=f（）==．故选：C．5．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（四面体左（侧）视图面积为（ ）A．B．1 C．2 D．4【解答】解：若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图为三角形，底高分别为1，2，面积为1，故选C．6．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（切，则双曲线的离心率为（ ）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，圆（x﹣2）2+y2=1的圆心为（2，0），半径为1，则由圆心到直线的距离为1，可得=1，解得a=b，c===a，则有e==．故选C．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．6 B．C．D．﹣1【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（2，0），解得B（，），C（0，﹣1）将三个代入z=3x+y得z的值分别为6，，﹣1，直线z=3x+y过点A （2，0）时，z取得最大值为6；故选：A．8．（5分）（2x﹣）n的展开式的各个二项式系数之和为64，则在（2x﹣）n的展开式中，常数项为（的展开式中，常数项为（ ）A．﹣120 B．120 120 C C．﹣60 D．60【解答】解：由题意可得2n=64，求得，求得 n=6，故（2x﹣）n展开式的通项公式为T r+1=（﹣1）r•（2）6﹣r x6﹣r，令6﹣r=0，求得，求得 r=4，得展开式的常数项为=60，故选：D ．9．（5分）若正整数N 除以正整m 后的余数为n ，则记为N=n （modm ），例如10=4（mod6）．如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定律”的某一环节，执行该框图，输入a=2，b=3，c=5，则输出的N=（ ）A ．6 B ．9 C ．12 D ．21【解答】解：模拟运行程序，可得程序的作用是先求2，3的最小公倍数，再除以5，余数为1，故N=6， 故选A ．10．（5分）已知过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若=3，则直线l 的方程为（的方程为（ ）A ．x ﹣2y ﹣1=0 1=0 B B ．2x ﹣y ﹣2=0 2=0 C C ．x ﹣y ﹣1=0 D ．x ﹣y ﹣=0【解答】解：作出抛物线的准线l ：x=﹣1，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ， 连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E ． ∵=3，∴设AF=3m ，BF=m ，由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=3m ，BD=m ．因此，Rt △ABE 中，cos ∠BAE=，得∠BAE=60°所以，直线AB 的倾斜角∠AFx=60°， 得直线AB 的斜率k=tan60°k=tan60°==．则直线l 的方程为：y=，即x ﹣y ﹣=0，故选：D ．11．（5分）已知等差数列分）已知等差数列{{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 1=3，S n 为数列a n 的前n 项和，则a n •S n 的最小值为（的最小值为（） A ．0 B ．﹣3 3 C C ．﹣20 D ．9【解答】解：∵等差数列解：∵等差数列{{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，a 1=3， ∴（3+4d ）2=（3+2d ）（3+14d ）， 解得d=﹣2或d=0，当d=0时，a n =3，S n =3n ，a n S n =9n ， 当n=1时，a n •S n 取最小值9；当d=﹣2时，a n =3+（n ﹣1）（﹣2）=5﹣2n ， S n =3n +=4n ﹣n 2，a n •S n =（5﹣2n ）（4n ﹣n2）=2n 3﹣13n 2+20n ， 设f （n ）=2n 3﹣13n 2+20n ，则fʹ（n ）=6n 2﹣26n +20=6（n ﹣）2﹣，∴当n=3时，a n •S n 取最小值：2×27﹣13×9+20×3=﹣3． 综上，a n •S n 取最小值为﹣3． 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）=x 2e 2x+m |x |e x+1（m ∈R ）有四个零点，则m 的取值范围为（范围为（ ）A．（﹣∞，﹣e﹣）B．（﹣∞，e+）C．（﹣e﹣，﹣2）D．（﹣∞，﹣）【解答】解：令y=xe x，则y'=（1+x）ex，由y'=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减，当x∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y单调递增．作出y=xe x图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象（如图10），令f（x）=t，则关于t方程h（t）=t 2+mt+1=0两根分别在时（如图11），满足g（x）=﹣1的x有4个，由，解得m＜﹣e﹣．故选：A．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列分）等差数列{{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=130．【解答】解：∵等差数列解：∵等差数列{{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，∴S13=（a1+a13）=（a4+a10）==130．故答案为：130．14．（5分）已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为36．【解答】解：设图中阴影部分的面积为S，由题意可得=，解得S=36故答案为：3615．（5分）已知平面内三个单位向量，，，＜，＞=60°，若=m+n，则m+n的最大值是的最大值是 ．【解答】解：由已知条件=m+n，两边平方可得1=m 2+mn+n2=（m+n）2﹣mn，∴（m+n）2﹣1=mn，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m，n＞0，∴（m+n）2﹣1=mn≤（m+n）2，∴，则m+n≤，即m+n的最大值为．故答案为：16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，则S的取值范围是的取值范围是 [] ．【解答】解：由图可知，当M、N分别为AA1、CC1的中点时，截面面积最小为；当截面为ABC1D1时，截面面积最大为．∴S 的取值范围是的取值范围是[[]．故答案为：故答案为：[[]．三、解答题（本题共70分）17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B ﹣cos 2C ﹣sin 2A=sinAsinB ． （1）求角C ；（2）向量=（sinA ，cosB ），=（cosx ，sinx ），若函数f （x ）=•的图象关于直线x=对称，求角A ，B ．【解答】解：（1）△ABC 中，cos 2B ﹣cos 2C ﹣sin 2A=sinAsinB ， ∴（1﹣sin 2B ）﹣（1﹣sin 2C ）﹣sin 2A=sinAsinB ， ∴sin 2C ﹣sin 2B ﹣sin 2A=sinAsinB ， ∴c 2﹣b 2﹣a 2=ab ， ∴cosC===﹣，又C ∈（0，π）， ∴C=；（2）向量=（sinA ，cosB ），=（cosx ，sinx ），∴函数f （x ）=•=sinAcosx +cosBsinx ； 又f （x ）的图象关于直线x=对称，∴f （+x ）=f （﹣x ），∴sinAcos （+x ）+cosBsin （+x ）=sinAcos （﹣x ）+cosBsin （﹣x ），∴sinA[cos（+x）﹣cos（﹣x）]+cosB[sin（+x）﹣sin（﹣x）]=0，∴﹣2sinAsin sinx+2cosBcos sinx=0，∴2sinx（﹣sinAsin+cosBcos）=0；又sinx≠0，∴sinAsin﹣cosBcos=0，又B=﹣A，∴sinAsin﹣cos（﹣A）cos=0，∴sinA﹣cosA=0，∴sin（A﹣）=0，∴sin（A﹣）=0；又A∈（0，），∴A﹣∈（﹣，），∴A﹣=0，∴A=；∴B=﹣A=．18．（12分）为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：男生成绩：分数段[50，60]（60，70]（70，80]（80，90]（90，100]频数910215723女生成绩：（如图）（1）根据以上数据完成下列2×2列联表优秀非优秀合计男生a b120女生c d100合计120100220根据此数据你认为能否有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关？参考公式：K 2=，（n=a+b+c+d）．P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 2.841 5.024 6.6357.87910.828（2）以样本中的频率作为概率，学校在全校成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市体育运动知识竞赛．（i）在其中2人为男生的条件下，求另1人为女生的概率；（ii）设3人中女生人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题意，K 2=≈15.64＞10.828，∴有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关；（2）（i）在其中2人为男生的条件下，另1人为女生的概率为=（ii）设3人中女生人数为随机变量X，X=0，1，2，3，则因为所取总体数量较多，抽取3名学生可以看出3次独立重复实验，于是X服从二项分布B（3，）．所以得分布列为：ξ0123P数学期望EX=3×=1．19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM 沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若=2，求二面角E﹣AM﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）长方形ABCD中，设AB=2，AD=1，M为DC的中点则AM=BM=，∴AM 2+BM2=AB2，∴BM⊥AM∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM．解：（2）建立如图所示的直角坐标系，∵=2，设AB=2，AD=1，∴A（，0，0），M（﹣，0，0），B（﹣，，0），D（0，0，），则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=（，，），=（﹣，0，0），设AME的一个法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣4），设二面角E﹣AM﹣D的平面角为θ，则cosθ==，sinθ==，∴二面角E﹣AM﹣D的正弦值为．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象与直线4x﹣3y﹣2=0相切，求a的值．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（x﹣1）+，则fʹ（x）=，∵函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，∴在x∈（1，4）上恒成立．即a≥在x∈（1，4）上恒成立．令g（x）=，则gʹ（x）=．当x∈（1，3）时，gʹ（x）＞0，当x∈（3，4）时，gʹ（x）＜0．∴g（x）在（1，3）上为增函数，在（3，4）上为减函数，∴g（x）max=g（3）=﹣8．则a≥﹣8；（2）设切点坐标为（x0，y0），则fʹ（x0）=，①则，②f（x0）=，③联立①，②，③得，即．令g（x）=，gʹ（x）=，令h（x）=8x2﹣19x+17，△＜0，∴h（x）＞0恒成立，∴gʹ（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g （2）=0，∴x 0=2，a=3．21．（12分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1与抛物线y 2=﹣4x的焦点重合，椭圆E 的离心率为，过点M （m ，0）（m ＞）做斜率存在且不为0的直线l ，交椭圆E 于A ，C 两点，点P （，0），且•为定值．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点M 且垂直于l 的直线与椭圆E 交于B ，D 两点，两点，求四边形求四边形ABCD 面积的最小值．【解答】解：（1）抛物线y 2=﹣4x 的焦点为（﹣1，0），∴F 1（1，0），∴c=1，又，a 2=b 2+c 2，解得c=1=b ，a 2=2． ∴椭圆E 的方程为：+y 2=1．（2）设直线l 的方程为：ty +m=x ，A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）． 联立，化为：（t 2+2）y 2+2tmy +m 2﹣2=0．△＞0，∴y 1+y 2=，y 1•y 2=．•=+y 1y 2=+y 1•y 2=（y 1+y 2）+（t 2+1）y 1•y 2+=+（t 2+1）+=为定值．∴=，化为：3m 2﹣5m +2=0，，解得m=1．∴M （1，0）． ∴y 1+y 2=，y 1•y 2=．∴|AC |===，把代换t可得：可得：||BD|=．∴S四边形ABCD=|AC|•|BD|=××=，令t 2+1=k＞1，则f（k）====≥，当=，即k=2，t=±1时取等号．∴四边形ABCD面积的最小值为．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在极坐标系下，点P是曲线ρ=2（0＜θ＜π）上的动点，A（2，0），线段AP的中点为Q，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；（2）若轨迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是处的切线斜率的取值范围是[[﹣，﹣]，求点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）曲线ρ=2（0＜θ＜π），即ρ2=4，（0＜θ＜π），化为直角坐标方程：x2+y2=4（0＜y≤2）．设线段AP的中点Q（x，y），A（xʹ，yʹ），则，y=，解得xʹ=2x﹣2，yʹ=2y．∵（xʹ）2+（yʹ）2=4，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4，化为：（x﹣1）2+y2=1．由yʹ∈（0，2]，可得0＜2y≤2，解得0＜y≤1．∴点Q的轨迹C的直角坐标方程：（x﹣1）2+y2=1（0＜y≤1）．（2）轨迹C的方程为：y==，设M（x0，y0）．yʹ==，∵迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是处的切线斜率的取值范围是[[﹣，﹣]，∴≤≤，解得：≤x 0≤．∴点M 横坐标的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲] 23．设函数f （x ）=|x +4|．（1）若y=f （2x +a ）+f （2x ﹣a ）最小值为4，求a 的值； （2）求不等式f （x ）＞1﹣x 的解集． 【解答】解：（1）由题意，函数f （x ）=|x +4|．那么y=f （2x +a ）+f （2x ﹣a ）=|2x +a +4|+|2x ﹣a +4|≥|2x +a ﹣4﹣（2x ﹣a +4）|=|2a | ∵最小值为4，即，即||2a |=3， ∴a=（2）函数f （x ）=|x +4|=∴不等式f （x ）＞1﹣x 等价于，解得：x ＞﹣2或x ＜﹣10故得不等式f （x ）＞1﹣x 的解集为的解集为{{x |x ＞﹣2或x ＜﹣10}．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：lP A'ABl C PA B D运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为的最小值为M FEACB P2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

2015届辽宁省大连市高三上学期名校联考理科数学试卷一、单选题1．设集合2{|320}M x x x =++<，集合1{|()4}2x N x =≤，则M N =U （ ）A.{|2}x x ≥-B.{|1}x x >-C.{|1}x x <-D.{|2}x x ≤- 答案： A 解答：∵2{|320}{|21}M x x x x x =++<=-<<-，1{|()4}{|2}2x N x x x =≤=≥-，则{|2}M N x x =≥-U .2．已知复数1z i =+,则221z zz -=-（ ） A.2i - B.2i C.2- D.2 答案： B 解答：222(1)2(1)21z z i i i z i-+-+==-. 3．如图，若()log 3x f x =，2()log g x x =，输入 0.25x =，则输出()h x =（ ）A.0.25B.32log 2C.21log 32-D.2- 答案： D 解答：因为2111()log 3422f =->-，211()log 244g ==-，所以11()()44f g >，所以1(()4)2h g x =-＝，故选D.4．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．命题“x R ∃∈，20x x -≤”的否定是“x R ∃∈，20x x ->”B ．命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的充分不必要条件C ．命题“若22am bm ≤，则a b ≤”是假命题D ．命题“在三角形ABC 中，若1sin 2A <，则6A π<”的逆否命题为真命题 答案： C 解答：A ：错误，特称命题的否定为全称命题；B ：错误，“p q ∨为真”则p 真q 假，p 假q 真，p 真q 真；“p q ∧为真”则p 真q 真，所以应该为必要不充分条件；C ：正确；D ：错误，原命题56A ππ<<或06A π<<，是假命题，则逆否命题也是假命题. 故选C.5．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t 内的路程为212s t =米，那么，此人（ ）A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车，但其间最近距离为14米D.不能追上汽车，但其间最近距离为7米 答案： D 解答：设人于x 秒追上汽车，有216252x x -=，∵x 无解，因此不能追上汽车，由二次函数的性质可知，6x =,最近距离为7米，故选D.6．在ABC ∆中，2()BC BA AC AC +⋅=uu u r uu r uu u r uu u r ，则三角形ABC 的形状一定是 （ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 答案： C 解答：∵2()BC BA AC AC +⋅=uu u r uu r uu u r uu u r ，∴2()AC AB BA AC AC -+⋅=uu u r uu u r uu r uu u r uu u r ，∴0AB AC ⋅=uu u r uuu r ，所以三角形ABC 的形状一定是直角三角形. 7．函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（ ）A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C.向左平移6π个单位长度D.向左平移12π个单位长度答案： A 解答： 由题意可得12741234ππππω⨯=-=，∴2ω=.再由五点法作图可得23πϕπ⨯+=， ∴3πϕ=，故函数()sin()sin(2)sin 2()36f x x x x ππωϕ=+=+=+.故把()y f x =的图象向右平移6π个单位长度可得sin y x ω=的图象，故选A. 8．抛物线212x y =在第一象限内图象上一点22(,)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标即为1i a +，其中i N +∈，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A.64B.42C.32D.21 答案： B 解答：∵22y x =，∴4y x '=，∴4ix a i y a ='=，∴过点22(,)i i a a 的切线方程为24()2i i i y a x a a =-+，令0y =，得1i x a +=，可得112i i a a +=，又232a =，所以246328324244a a a ++=++=. 9．已知12F F 、 是双曲线22221()0x y a ba b -=>>的左右两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ,与双曲线交于点N （设点M ,N 均在第一象限），当直线1MF 与直线ON 平行时，双曲线的离心率取值为0e ，则0e 所在的区间为（ ）A.B.C.2)D.(2,3) 答案： A 解答：因为2220c c a b e a =+=， ，双曲线的渐近线方程为by x a=， 与圆222x y c += 联立，得(,)M a b ，与双曲线方程22221()0x y a ba b -=>>联立，得交点N ，即22)c a N c-， 直线1MF 与直线ON 平行时，即有22b ac =+ ， 即222222()()(2)a c c a a c a +-=- ，即有32232220c ac a c a +--=， 即有320002220e e e +--= ，令32()222f x x x x =+-- ，由于(1)0f <，0f >，0f >，(2)0f >，(3)0f > ，则0(1e ∈. 故选A ．10．设k 是一个正整数，(1)kxk+的展开式中第四项的系数为116，记函数2y x =与y kx =的图像所围成的阴影部分为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，则点(,)x y 恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A.1796 B.532 C.16 D.748答案： C 解答：根据题意得3311()16kC k =，解得：4k =或45k =（舍去），解方程组24y x y x⎧=⎨=⎩，解得：0x =或4，∴阴影部分的面积为4223400132(4)(2)33x x dx x x -=-=⎰，所以点(,)x y 恰好落在阴影区域内的概率为32134166=⨯.11．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1BB =设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（ ） A.1D.2答案： A 解答：如下图所示：在11PC D ∆中，111C D =，1D P =，1130PD C ∠=︒,由余弦定理可得，22211111112cos3013211C P C D D P C D D P =+-⨯⨯︒=+-⨯=，所以11PC =.12．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f x f －＝，则()()f f x x +-的最小值等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12 答案： B 解答：因为函数()f x 是定义在R 上的单调增函数，且满足对任意的实数x 都有()3[]4x f f x -=，令()3xf x k -=，所以()4f k =，即431kk k -=⇒=，所以(()31()33224)x x x f x f x f x -=+⇒+-=++≥=，当且仅当0x =时，取等号，故选B. 二、填空题13．在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者.三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有______种（用数字作答)． 答案：10解答：设这三个人分别是甲、乙、丙，则他们的传递方式，如下图，故共有10种.14．设实数,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为10，则22a b +的最小值为 . 答案：2513解答：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线(0,0)ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大10，即4610a b +=，即235a b +=，而22+a b 可看成点(,)a b与原点之间的距离的平方，所以222min 25()13a b +==.15．把矩形ABCD 沿对角线BD 折起，形成三棱锥C ABD -的正视图和俯视图如右图所示，则侧视图的面积为.答案：7225解答：从题图分析知平面CBD ⊥平面BAD ，其直观图如图所示： ∴侧（左）视图为腰长为125的等腰直角三角形，其面积为7225.16．定义域为R 的函数1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2215()[()]()28h x f x bf x b =++-，有五个不同的零点12345,,,,x x x x x .设12345x x x x x <<<< ,且12345,,,,x x x x x 构成一个等差数列的前五项，则该数列的前10项和为 . 答案：35解答：因为定义域为R 的函数1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，22()[()158](2)h f bf b x x x =++-；当1x =时，()1f x =，2151028b b ++-=， 解得12b =-，32b =-；当1x ≠时，令1()01t f x x ==>-，2215()()()[]28h x f x bf x b =++- ，换元，可得 21122()t t t ϕ=-- ，或23122()t t t ϕ=-+，即211022t t --=或231022t t +=-，得：1t =， 12t =- （舍去），12t = 即111x =-，或11 012x x ==-，，或2x =或1x =-，或3x =，所以有五个不同的零点11x =-，20x =，31x =，42x =，53x = ，因为12345,,,,x x x x x 构成一个等差数列的前五项，所以该数列的前10项和为1010910(1)1352S ⨯⨯-+⨯==. 三、解答题17．已知函数27()2cos sin(2)6f x x x π=--. （1）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合；（2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2f A =，2b c +=，求实数a 的取值范围. 答案：（1）最大值为2；x 的取值集合为{,}6x x k k Z ππ=+∈；（2）[1,2). 解答：（1）2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666f x x x x x x πππ=--=+--11+2cos 21+sin(2)226x x x π=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2. 当且仅当sin(2)16x π+=，即22()62x k k Z πππ+=+∈ ，即,6x k k Z ππ=+∈时取到.所以函数最大值为2时x 的取值集合为{,}6x x k k Z ππ=+∈.（2）由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得 1sin(2).62A π+=∵(0,)A π∈，∴132(,)666A πππ+∈，∴5266A ππ+=，∴3A π=. 在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π.由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a .∴当1==c b 时，取等号. 又由b c a +>得2a <.所以a 的取值范围是[1,2).18． 在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格.（1）用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较；（2）求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；（3）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望. 答案： （1）见解析； （2)27； （3）7()5E X =. 解答：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分.甲班的方差>乙班的方差，所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定. （2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A ； 事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B.则11451110101165111010()2(/)()71C C C C P A B P B A C C P A C C ⋅===-. （3）X 的取值为0,1,2,3， 分布列为期望7()5E X =. 19．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，112AB AD A B ==,60BAD ∠=.（1）证明：1BB AC ⊥；（2）若2AB =，且二面角1A AB C --大小为60︒，连接,AC BD ，设交点为O ，连接1B O .求三棱锥1B ABO -外接球的体积.（球体体积公式：343V R π=,R 是球半径） 答案： （1)见解析； （2）12548π. 解答：（1）证明：底面平行四边形ABCD 中，连接,AC BD ，设AC BD O =I ， 因为AB AD =, 60BAD ∠=︒，所以AC BD ⊥,又1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，所以AC ⊥平面1BDD ， 又因为四棱台1111ABCD A B C D -中，侧棱1DD 与1BB 延长后交于一点， 所以1BB ⊂平面1BDD ，所以1AC BB ⊥.即1BB AC ⊥. （2）因为四边形ABCD 为平行四边形，所以1.2OD BD =由棱台定义及112AB AD A B ==知11//D B DO ，且11D B DO =，所以四边形11D B OD 为平行四边形，所以11//DD B O .因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1B O ⊥平面ABCD ，即1B O AO ⊥,1B O BO ⊥， 由（1）知AC BD ⊥于点O ,即AO BO ⊥,以1,,DB AC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图：则(0,(1,0,0),),)(1,0,0A B D -，设10,(0,)B h ，则11,)(0,D h -；设1,,)(0)(A a b h h >，则(1,DA =u u u r，11(1,,0)D A a b =+uuuu r ，因为1112D A DA =uuuu r uu u r ， 所以12a =-,b =即11(,)2A h -.所以11(,)22AA h =-uuu r，(1AB =u u u r , 设平面1A AB 的一个法向量为(,,)n x y z =r， 则100AA n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uu u r r，即1020x y hz x ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩取y =则3x =-,3z h=-，即3()n h=--r ，又已知平面ABC 的一个法向量(0,0,1)m =u r ,由二面角1A AB C --大小为60︒，可得31cos ,2n m <>==r u r， 解得：32h =，即棱台的高为32， 因为1B O AO ⊥,1B O BO ⊥，AO BO ⊥，所以三棱锥1B ABO -外接球的直径就是以1,,OA OB OB 为三条棱的长方体的体对角线,52=，所以外接球半径54R =，所以外接球体积为33445125()33448V R πππ==⨯=.20．设抛物线21:4C y x =的准线与x 轴交于点1F ，焦点为2F ；以1F ，2F 为焦点，离心率为12的椭圆记作2C .（1）求椭圆的标准方程；（2）直线L 经过椭圆2C 的右焦点2F ，与抛物线1C 交于12,A A 两点，与椭圆2C 交于12,B B 两点.当以12B B 为直径的圆经过1F 时，求12A A 长；（3）若M 是椭圆上的动点，以M 为圆心，2MF 为半径作圆M e ,是否存在定圆N e ,使得M e 与N e 恒相切？若存在，求出N e 的方程，若不存在，请说明理由. 答案：（1）22143x y +=； （2)649； （3）见解析. 解答：（1）椭圆方程22143x y +=. （2）当直线L 与x 轴垂直时，13(1,)2B -,23(1,)2B ,又1(1,0)F -,此时11210B F B F ⋅≠uuu r uuu u r，所以以12B B 为直径的圆不经过1F .不满足条件.当直线L 不与x 轴垂直时，设:()1L y k x =-，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，即2222(34)84120k x k x k +-+-=，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点.设111(),B x y ，222(),B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，因为以12B B 为直径的圆经过1F ，所以11210B F B F ⋅=uuu r uuu u r，又10()1,F -，所以1212(11(0))x x y y ----+=，即2221212))(1(110()k x x k x x k ++-+++=，所以解得297k =. 由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222()240k x k x k -++=， 因为直线L 与抛物线有两个交点，所以0k ≠，设133244(),,,()A x y A x y ，则234222442k x x k k ++==+，341x x =， 所以12342464229A A x x p k =++=++=. （3）存在定圆N e ,使得M e 与N e 恒相切，其方程为：22(116)x y ++=,圆心是左焦点1F .由椭圆的定义可知：1224MF MF a +==，∴124MF MF =-， 所以两圆相内切. 21．已知函数1()ln ,(0,)f x x ax x x =++∈+∞（a 是实数)，22()11xg x x =++. （1）若函数()f x 在[1,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围；（2）是否存在正实数a 满足：对于任意1[1,2]x ∈，总存在2[1,2]x ∈，使得12(())f x g x =成立，若存在求出a 的范围，若不存在，说明理由. （3）若数列{}n x 满足112x =，1()1n n x g x +=-，求证：2222311212231()()()516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<L .答案：（1）1(,][0,)4-∞-+∞U ； （2）见解析； （3）见解析. 解答：（1）222111()ax x f x a x x x+-'=-+=,[1,)x ∈+∞ 显然0a ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在[1,)+∞上是单调增函数，符合要求.当0a <时，令2(1)h x ax x =+-, 当x →+∞时，()h x →-∞时,所以函数()f x 在[1,)+∞上只能是单调减函数.所以140a ∆=+≤或0(1)0112g a⎧⎪∆>⎪≤⎨⎪⎪-≤⎩， 解得14a ≤-.综上：满足条件的a 的取值范围是1(,][0,)4-∞-+∞. （2）不存在满足条件的正实数a .因为由（1）知，0a >时()f x 在[1,)+∞上是单调增函数， 所以()f x 在[1,2]上是单调增函数.所以对于任意1[1,2]x ∈，1(1)()(2)f f x f ≤≤， 即11[1,ln 2()2]2f x a a ∈+++； 2222(1)()(1)x g x x -'=+，当[1,2]x ∈时，()0g x '≤，所以)(g x 在[1,2]上是单调减函数. 所以当2[1,2]x ∈时，29()[,2]5g x ∈，若对于任意1[1,2]x ∈，总存在2[1,2]x ∈，使得12(())f x g x =成立，则19[1,ln 22][,2]25a a +++⊆，此时a 无解. 所以不存在满足条件的正实数a .（3）因为122()11n n n n x x g x x +=-=+，所以10x >时，101n x +<≤，()n N *∈（当且仅当1n x =时取等号），若1n x =，则11x =，这与已知矛盾，所以01n x <<.1211111(1)21448121n n n n n n nn x x x x x x x x ++-=-≤⋅≤=+++-+， （两个等号不能同时成立）所以2111111()111()()8n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ++++++--=-<-，2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++L12231111111[()()()]n n x x x x x x +<-+-++-L11111()8n x x +=-， 又()121101n n n n n n x x x x x x ++-=->+，所以1n nx x +>,所以112n x ≤<， 又112x =，所以222231121223131()()()152(21)8816n n n n x x x x x x x x x x x x +++---+++<-<=L . 22．选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是O e 的直径，AC 是O e 的弦，BAC ∠的平分线AD 交O e 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ， OE 交AD 于点F ．若35AC AB =，求AF FD 的值.答案：85. 解答：连接,OD BC ，设BC 交OD 于点M ． 因为OA OD =，所以OAD ODA ∠=∠； 又因为OAD DAE ∠=∠，所以ODA DAE ∠=∠,所以//OD AE ；又因为AC BC ⊥，且DE AC ⊥，所以//BC DE ． 所以四边形CMDE 为平行四边形， 所以CE MD =，由35AC AB =，设3AC x =，5AB x =，则32OM x =，又52AO x =，所以5322MD x x x =-=，所以4AE AC CE x =+=， 因为//OD AE ，所以48552AF AE x FD OD x ===.23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l 的参数方程为2,4.x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M N 、．若PM MN PN 、、成等比数列,求实数a 的值. 答案：1a =.解答：曲线C 的直角坐标方程为22(0)y ax a =>，将直线l的参数方程化为2,24.2x t y ''⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t '为参数）代入曲线C的直角坐标方程得：2(116402)t t a -++'='， 因为交于两点，所以0∆>，即0a >或4a <-．设交点,M N 对应的参数分别为12,t t ''．则12)t t '+='，12216)4(t t a '=+'， 若PM MN PN 、、成等比数列,则21212t t t t -=''''，解得1a =或4a =-（舍）， 所以满足条件的1a =． 24．选修4-5：不等式选讲已知函数2()log (12)f x x x m =++--． （1）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围． 答案：（1）(,3)(4,)-∞-+∞U ； （2）(,1]-∞-． 解答：（1）由题设知：721>-++x x ， 不等式的解集是以下不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>-++≥7212x x x ，或12127x x x -<<⎧⎨+-+>⎩，或1127x x x ≤-⎧⎨---+>⎩， 解得函数)(x f 的定义域为(,3)(4,)-∞-+∞U ． （2）不等式2)(≥x f 即421+≥-++m x x ，∵x R ∈时，恒有3)2()1(21=--+≥-++x x x x ， 不等式421+≥-++m x x 解集是R ， ∴43m +≤，m 的取值范围是(,1]-∞-．。

2015年大连市高三双基测试理科数学答案2015年大连市高三双基测试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．23三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题 （1）A ；（2）C ；（3）D ；（4）A ； （5）D ；（6）D ；（7）B ；（8）C ；（9）A ；（10）D ； （11) C ； （12）B ． 二.填空题（13）79（14）35；(15) 54；16．2.三.解答题（17）解：(I)Θ,121+=+n nn a a a∴nnn a a a 1211+=+，化简得nn a a 1211+=+，即2111=-+nn a a ，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1是以1为首项，2为公差4的等差数列. ·································· 6分(Ⅱ)由(I)知nn a =-121，所以()nn n S n +-==21212. 8分证法一：()nS S S n n n ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+⨯⨯+222121111111111212231()()()nn n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++11111111223111···· 12分证法二：（用数学归纳法）当1n =时，111S =，1112n =+不等式成立．假设当n k =时，不等式成立，即kkS S S k ++⋅⋅⋅+>+121111．则当1n k =+时，则()kk k S S S S k k +++⋅⋅⋅++>+++21211111111，又Θ()()()()()k k k k k k k k k k k k k ++-=-+-+=-=>++++++++++222211111111101121122121，∴k k k S S S S k ++++⋅⋅⋅++>+121111112，∴原不等式成立． ····················· 12分证法三：n S S S n++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+>22212111111112，又因为nn >+11，5所以nn S S S n ++⋅⋅⋅+>+121111． ················· 12分（18）解：（Ⅰ）系统抽样．这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5. ····· 2分（Ⅱ）车速在[80,90)的车辆共有(0.2＋0.3)×40＝20辆，速度在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆．记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A ，车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B ，则P (A )＋P (B )＝C 28C 112C 320＋C 18C 212C 320＝8641140＝7295.················ 8分(Ⅲ)车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，设车速在[75,80)的车辆数为X，则X的可能取值为1、2、3.P(X＝1)＝C22×C14C36＝420＝15，P(X＝2)＝C12×C24C36＝1220＝35，P(X＝3)＝C02×C34C36＝420＝15，故分布列为∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为E(X)＝1×15＋2×35＋3×15＝2. 12分67（19）解：(Ⅰ) ⊥AE Θ平面CDE ，⊂CD 平面CDE，CDAE ⊥∴， A B C DQ 为正方形，C D A D∴⊥， ,,A E A D A A D A E =⊂Q I 平面DAE ，⊥∴CD 平面DAE(Ⅱ)D E ⊂Q 平面DAE ，C D D E ∴⊥ ··· 4分 ∴以D 为原点，以DE 为x 轴建立如图所示的坐标系，则(2,0,0)E ，(1,0,0)F ，(2,0,2)A ，)0,0,0(D ··· 6分Q ⊥AE 平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，A E D E ∴⊥ Q 2AED E ==，A D ∴A B C DQ为正方形，C D ∴(0,0)C ∴由A B C D为正方形可得：(2)D B D A D C =+=u u u r u u u ru u u r，(2,2)B ∴ 设平面BEF 的法向量为1111(,,)n x y z =u r(0,2)B E =-u u u r，(1,0,0)F E =u u u r8由1100n B E n F E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ur uuu r ur uuur 111200z x ⎧--=⎪⇒⎨=⎪⎩，令11y=，则1z1(0,1,n ∴=u r设平面BCF 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r， (2,0,2)B C =--u u u r，(1,0)C F =u u u r由222222220000x z n BC x n C F ⎧--=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩u u r u u u ru u r u u u r ，令21y=，则2x =，2z =-21,n ∴u u r·········· 8分设二面角C B F E--的平面角的大小为θ，则 12121212c o s c o s (,)c o s ,||||n n n n n n nn θπ⋅=-<>=-<>=-⋅u r u u ru r u u r u r u u r u r u ur ==∴二面角C B F E--的平面角的余弦值为-分（20）解：（Ⅰ）设直线1l 的方程为：2x my =+，点1122(,),(,)A x y B x y ．联立方程组22,2.x my y px =+⎧⎨=⎩得2240y pmy p --=，12122,4y y pmy y y p+=⋅=-．121212121212121224()2244(4)(4)y y y y my y y y k k x x my my my my +++=+=+=++++++12880(2)(2)mp mpmy my -+==++. ·························· 4分9（Ⅱ）设点0(,)P x y ,直线101110:()y y PA y yx x x x --=--，当2x =时，10104Mp y y y y y -+=+，同理20204Np y y y y y -+=+. ······················· 6分因为2OM ON =u u u u r u u u rg ，42N M yy +=,210210442p y yp y y y yy y -+-+⋅=-++，220210122210210164()2()p py y y y y y y y y y y y -++=-+++，222002001684242p p my py p pmy y --=--++12p =，抛物线C 的方程2yx=. ········· 12分（21）（本小题满分12分）（1）)0()(>-=a e x x f ax，则axae x f -='1)(令01)(=-='axaex f ，则aa x 1ln 1=故函数)(x f 的增区间为)1ln 1,(aa -∞；减区间为10),1ln 1(+∞aa .（2）当a a a 21ln 1≥，即210e a ≤<时，2max2)2()(e aa f x f -==， 当aa a a 21ln 11<<时，即e a e 112<<时，aa a a a f x f 11ln 1)1ln 1()(max-==，当a a a 11ln 1≤时，即e a 1≥时，e aa f x f -==1)1()(max. ·· 8分(3)若函数)(x f 有两个零点，则011ln 1)1ln 1(>-=aa a a a f ，即ea 1<， 而此时，01)1(>-=e aa f ，由此可得211ln 11x aa a x<<<，故aa a x x11ln 112->-，即)1ln 1(121aa xx -<-，又Q)(,0)(212211=-==-=ax ax e x x f e x x f11212211[((1ln )]()ln()12ax a ax ax a x x ae a a ax x e e e e e ae x e---∴===<==. ·· 12分(22) 证明：（Ⅰ）连结AB ，∵ABPE 四点共圆，∴ABC E ∠=∠．又∵ABC ADC ∠=∠,∴ADC E ∠=∠，∴,,,A D M E 四点公圆． ································ 5分 （Ⅱ）法一：连结,BN ∵PNB PAB C ∠=∠=∠，BPN NPC ∠=∠，∴PNB ∆∽PCN ∆，PB PNPN PC=，∴2PN PB PC=⋅．10分法二：连结,PN AN ．由（Ⅰ）知PDN E ∠=∠，∴PDN E PNA ∠=∠=∠，又∵APN NPD ∠=∠，∴PDN ∆∽PNA ∆．∴PD PNPN PA=，∴2PN PD PA =⋅， PB PC PD PA⋅=⋅， ∴2PNPB PC=⋅． · 10分(23)解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为：sin()43πρθ+=， 曲线C 的参数方程为2cos .(sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）． ·················································· 5分 （Ⅱ） 曲线C 的点P(2.)cos sin θθ到直线l ：20y +-=的距离|sin 2|2d θθ+-==．则)2sin 30d PA θα==+-︒，tan 6α=．当sin()1θα+=-时，max||2PA ；当sin()13θα+=时，min||PA = ． ········· 10分(24)证明：因为,x y是正实数，所以22()3x y x y xy++≥=，当且仅当22x y x y ==，即1x y ==时，等号成立；同理：223xy y x xy ++≥=，当且仅当22xy y x ==，即 ·1x y == 时，等号成立． 所以222222()()9x y x y xyy x x y ++++≥，当且仅当1x y ==时，等号成立． 因为x y ≠ ，所以222222()()9x y x y xyy x x y ++++>.10分。